Apol Analise combinatoria 2

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Questão 1/5 - Análise Combinatória
Considere o binômio (x−1x)8.(x−1x)8. Com base nele, assinale V para as afirmativas verdadeira e F para as falsas.
I.  (   ) O termo geral do desenvolvimento deste binômio é Tp+1=(8p)(−1)px8−2p.Tp+1=(8p)(−1)px8−2p.
 
II. (   ) O coeficiente independente de xx vale 70.
III.  (   ) O desenvolvimento deste binômio não apresenta parcela com o monômio x5.x5. 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento do binômio (x−1x)8(x−1x)8 é dado por
Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p,Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p,
o que mostra que a afirmativa I é verdadeira. O coeficiente independente de xx ocorre quando a potência de xx for nula. Isso acontece quando no termo geral do desenvolvimento tivermos 8−2p=08−2p=0, isto é, p=4.p=4. Logo, o coeficiente independente de xx vale T5=(84)(−1)4=(84)=70T5=(84)(−1)4=(84)=70 e a afirmativa II é verdadeira. Para que tenhamos o monômio x5x5 no desenvolvimento do binômio em questão, devemos impor que 8−2p=5.8−2p=5. Como não existe p∈Np∈N que satisfaz essa equação, concluímos que o desenvolvimento não apresenta parcela com o monômio x5x5. Portanto, a afirmativa III também é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 2/5 - Análise Combinatória
Uma combinação simples de nn elementos (distintos), tomados pp a pp, é qualquer escolha de pp elementos dentre os nn elementos dados. Escrevemos Cn,pCn,p para indicar a quantidade de combinações de nn elementos, tomados pp a pp. Com base nesta noção, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) Deseja-se formar uma equipe de três membros e dispõe-se de sete funcionários. O número de equipes que podem ser formadas é 35. 
II.  (   ) Na primeira fase de um campeonato de futebol com 6 times, cada time jogou exatamente uma vez contra cada um dos outros. Nesta fase, foram realizados 15 jogos.
III. (   ) A equação Cn,2=28Cn,2=28 é satisfeita para n=8.n=8. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V, V, V
Você acertou!
Cada equipe é uma escolha de três funcionários dentre os sete disponíveis. Logo, o número de equipes é C7,3=7!3!(7−3)!=35.C7,3=7!3!(7−3)!=35. A afirmativa I é verdadeira. O número de jogos realizados corresponde à quantidade de maneiras de escolhermos 2 times dentre os 6. Este número é C6,2=15C6,2=15 e a afirmativa II é verdadeira. Notamos que 
(n2)=28⟹n!2!(n−2)!=28⟹n2−n−56=0⟹n=−7 ou n=8.(n2)=28⟹n!2!(n−2)!=28⟹n2−n−56=0⟹n=−7 ou n=8.
Como n=−7n=−7 não é permitido, garantimos que n=8n=8 e a afirmativa III também é verdadeira.
	
	B
	V, F, V
	
	C
	V, V, F
	
	D
	V, F, F
	
	E
	F, V, V
Questão 3/5 - Análise Combinatória
Três moedas são lançadas simultaneamente. A respeito desse experimento aleatório, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral associado a esse experimento é formado por 6 eventos elementares. 
II. A probabilidade de obter exatamente duas caras é 38.38.
III.  A probabilidade de obter pelo menos duas caras é 12.12. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Você acertou!
Indicamos "cara" por KK e "coroa" por CC. O espaço amostral é então Ω={(CCC),(CCK),(CKC),(CKK),(KCC),(KCK),(KKC),(KKK)}.Ω={(CCC),(CCK),(CKC),(CKK),(KCC),(KCK),(KKC),(KKK)}.Com isso, o espaço amostral é formado por 8 eventos elementares e a afirmativa I é falsa. Se AA indica o evento de "obter duas caras", teremos A={(KKC),(KCK),(CKK)}.A={(KKC),(KCK),(CKK)}. Logo, a probabilidade de obter exatamente duas caras é P(A)=#A#Ω=38.P(A)=#A#Ω=38. Assim, a afirmativa II é correta. Se BB denota o evento  "obter pelo menos duas caras", teremos B={(KKC),(KCK),(CKK),(KKK)}.B={(KKC),(KCK),(CKK),(KKK)}. Portanto, P(B)=#B#Ω=48=12P(B)=#B#Ω=48=12 e a afirmativa III é correta.
Questão 4/5 - Análise Combinatória
Dada uma palavra qualquer, chamamos de anagrama qualquer palavra obtida permutando-se as letras da palavra original. Com base nessa noção, analise as afirmativas:
I. O número de anagramas da palavra TEORIA é igual a 720. 
II. O número de anagramas da palavra TEORIA que começam com a letra T e terminam com a letra A é igual a 24. 
III. O número de anagramas da palavra TEORIA que começam com uma vogal é igual a 360. 
Assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	Apenas a afirmativa I está correta.
	
	B
	Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
Você acertou!
Cada anagrama é uma permutação das letras T, E, O, R, I, A. Logo, a palavra TEORIA possui 6!=7206!=720 anagramas e afirmativa I é correta. Fixadas as letras T, A, teremos que permutar somente as letras E, O, R, I. Com isso, o número de anagramas contendo a primeira letra T e a última letra A é 4!=244!=24. A afirmativa II também é correta. Passamos para a afirmativa III. Fixada uma vogal como primeira letra do anagrama, temos 5!=1205!=120 maneiras de dispor as demais 5 letras neste anagrama. Como são 4 vogais, teremos 4×5!=4804×5!=480 anagramas que iniciam com uma vogal. Com isso, a afirmativa III é incorreta.
	
	C
	Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
	
	D
	Apenas a afirmativa II está correta.
	
	E
	Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
Questão 5/5 - Análise Combinatória
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R, a≠0.a∈R, a≠0.
111121133114641111121133114641
Nota: 0.0
	
	A
	x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4
Para obtermos os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)4,(x+a)4, consideramos a quinta linha do triângulo de Pascal. Como o termo geral é Tp+1=(4p)apx4−p,Tp+1=(4p)apx4−p, concluímos que o desenvolvimento deste binômio é dado por x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.
	
	B
	x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4
	
	C
	x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4
	
	D
	a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4
	
	E
	a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax
Questão 1/5 - Análise Combinatória
Muito além do estudo das combinações, dos arranjos e das permutações, a Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. Com base nesses conceitos, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Os anagramas formados da palavra AMOR foram colocados em ordem alfabética. A posição correspondente à palavra ROMA é a 23ª. 
II. (   ) Em um torneio, no qual cada time enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 28 partidas. Ao todo, participaram 8 times. 
III.  (   ) Em um grupo de 7 homens e 4 mulheres, podemos formar exatamente 371 comissões de 6 pessoas incluindo pelo menos duas mulheres em cada comissão.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 20.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Você acertou!
Com a palavra AMOR, podemos formar 4!=244!=24 anagramas. Listados em ordem alfabética, o anagrama ROMA deve ser o último dessa lista. Logo, sua posição é a 24ª e a afirmativa I é falsa. Com nn times, são jogadas Cn,2Cn,2 partidas. Assim, Cn,2=28Cn,2=28, isto é, n(n−1)=56n(n−1)=56. Resolvendo essa equação e notando que nn é um inteiro positivo, concluímos que n=8n=8. Logo, a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, podemos formar C11,6C11,6 comissões de 6 pessoas num grupo de 11 pessoas. Destas possibilidades, existem C7,6C7,6 comissões sem mulheres e 4×C7,54×C7,5 comissões com apenas uma mulher. Logo, ao todo, existem C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371 comissões com pelos menos duas mulheres.
Questão 2/5 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a esse experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidadede que a carta sorteada seja um AA é 152152.
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um AA é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos AA o evento  "sortear AA". Logo, #A=4#A=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um AA é P(A)=452=113P(A)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(A∩B)=152P(A∩B)=152 e P(B)=1352.P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser AA, dado que é de copas é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 3/5 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
 
II. (   ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. (   ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 4/5 - Análise Combinatória
Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com vértices em 3 desses 13 pontos.
Nota: 20.0
	
	A
	38
	
	B
	80
	
	C
	144
	
	D
	220
Você acertou!
Para formar um triângulo, ou tomamos um vértice em rr e dois em ss ou tomamos um vértice em ss e dois em rr. O número de triângulos do 1º tipo é 5⋅C8,25⋅C8,2 e o do 2ºtipo é 8⋅C5,2.8⋅C5,2. Portanto, existem 5⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=2205⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=220 triângulos.
	
	E
	448
Questão 5/5 - Análise Combinatória
De um total de 120 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e Química sabe-se que:
I.  40 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino. 
II. O total de alunos do sexo masculino é 60, dos quais 10 destinam-se à Química. 
III. Existem 30 moças que se destinam ao curso de Química. 
Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo feminino, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de que esse aluno destine ao curso de Matemática.
Nota: 20.0
	
	A
	1/3
Você acertou!
Sejam AA o evento  "sortear aluno que se destina à Matemática" e BB o evento "sortear aluno do sexo feminino". O total de alunos do sexo feminino é 120−60=60120−60=60 e, destes, 40−20=2040−20=20 destinam-se à Matemática. Assim, P(A∩B)=20120P(A∩B)=20120. Além disso, P(B)=60120P(B)=60120. Portanto, a probabilidade de que o aluno sorteado destina-se à Matemática sabendo que é do sexo feminino é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.
	
	B
	1/6
	
	C
	1/12
	
	D
	1/4
	
	E
	5/12