analise combinatoria apol 2

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Questão 1/10 - Análise Combinatória
As noções de arranjo e combinação simples são ferramentas fundamentais no processo de contagem. Com base nessas noções, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) Um arranjo de nn elementos (distintos), tomados pp a pp, é qualquer maneira de listar ordenadamente pp elementos dentre os nn elementos dados.
II. (   ) Em uma combinação simples, apenas o conjunto dos elementos escolhidos é relevante, de modo que a ordem em que eles são tomados não importa. 
III.(   ) Quatro atletas participam de uma corrida. Ao todo, existem C4,3=4C4,3=4 resultados possíveis para o 1º, 2º e 3º lugares. 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois trata-se da definição de arranjo. A afirmativa II também é verdadeira. Na combinação simples, a ordem como os elementos são tomados não é relevante. Já a afirmativa III é falsa. Neste problema, a ordem como os atletas são dispostos no pódio é relevante. Assim, o número de resultados possíveis é A4,3=4!(4−3)!=24.A4,3=4!(4−3)!=24.
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 2/10 - Análise Combinatória
Muito além do estudo das combinações, dos arranjos e das permutações, a Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. Com base nesses conceitos, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Os anagramas formados da palavra AMOR foram colocados em ordem alfabética. A posição correspondente à palavra ROMA é a 23ª. 
II. (   ) Em um torneio, no qual cada time enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 28 partidas. Ao todo, participaram 8 times. 
III.  (   ) Em um grupo de 7 homens e 4 mulheres, podemos formar exatamente 371 comissões de 6 pessoas incluindo pelo menos duas mulheres em cada comissão.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Você acertou!
Com a palavra AMOR, podemos formar 4!=244!=24 anagramas. Listados em ordem alfabética, o anagrama ROMA deve ser o último dessa lista. Logo, sua posição é a 24ª e a afirmativa I é falsa. Com nn times, são jogadas Cn,2Cn,2 partidas. Assim, Cn,2=28Cn,2=28, isto é, n(n−1)=56n(n−1)=56. Resolvendo essa equação e notando que nn é um inteiro positivo, concluímos que n=8n=8. Logo, a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, podemos formar C11,6C11,6 comissões de 6 pessoas num grupo de 11 pessoas. Destas possibilidades, existem C7,6C7,6 comissões sem mulheres e 4×C7,54×C7,5 comissões com apenas uma mulher. Logo, ao todo, existem C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371 comissões com pelos menos duas mulheres.
Questão 3/10 - Análise Combinatória
Dois dados são jogados simultaneamente. Assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7.
Nota: 10.0
	
	A
	136136
	
	B
	112112
	
	C
	1616
Você acertou!
O espaço amostral consiste de todos pares (i,j)(i,j), onde ii e jj são números naturais compreendidos entre 1 e 6, incluindo estes valores. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos #Ω=6×6=36#Ω=6×6=36 eventos elementares. Seja AA o conjunto dos pares (i,j)(i,j) tais que i+j=7i+j=7. Então, A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} e #A=6#A=6. Portanto, a probabilidade procurada é P(A)=636=16P(A)=636=16.
	
	D
	1313
	
	E
	1212
Questão 4/10 - Análise Combinatória
Considere dois números reais positivos xx e yy satisfazendo x−y=1x−y=1 e x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=16.x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=16. Assinale a alternativa que apresenta o valor de xx:
Nota: 10.0
	
	A
	7676
	
	B
	6565
	
	C
	5454
	
	D
	4343
	
	E
	3232
Você acertou!
Notamos que x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=(x+y)4x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4=(x+y)4. Como xx e yy são números positivos e (x+y)4=16(x+y)4=16, garantimos que x+y=2x+y=2. Assim, resolvendo o sistema: {x-y=1,x+y=2,{x-y=1,x+y=2, encontramos x=32x=32 e y=12.y=12.
Questão 5/10 - Análise Combinatória
Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com vértices em 3 desses 13 pontos.
Nota: 10.0
	
	A
	38
	
	B
	80
	
	C
	144
	
	D
	220
Você acertou!
Para formar um triângulo, ou tomamos um vértice em rr e dois em ss ou tomamos um vértice em ss e dois em rr. O número de triângulos do 1º tipo é 5⋅C8,25⋅C8,2 e o do 2º tipo é 8⋅C5,2.8⋅C5,2. Portanto, existem 5⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=2205⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=220 triângulos.
	
	E
	448
Questão 6/10 - Análise Combinatória
Dois eventos AA e BB são chamados independentes se P(A∩B)=P(A)⋅P(B).P(A∩B)=P(A)⋅P(B). Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de serem obtidas). Considere os eventos:
AA:  "O resultado é par".
BB: "O resultado é maior ou igual a 5".
CC: "O resultado é múltiplo de 3".
Com base nesse experimento e os eventos listados acima, assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I.  (   ) Os eventos AA e BB são independentes. 
II.  (   ) Os eventos AA e CC são independentes. 
III.  (   ) Os eventos BB e CC são independentes. 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
Você acertou!
Inicialmente, as probabilidades de ocorrerem os eventos AA, BB e CC são dadas, respectivamente, por P(A)=36=12P(A)=36=12, P(B)=26=13P(B)=26=13 e P(C)=26=13.P(C)=26=13. Observamos que A∩B={6}.A∩B={6}. Assim, P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B),P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B), o que garante que os eventos AA e BB são independentes e a afirmativa I é verdadeira. Notamos agora que A∩C={6}.A∩C={6}. Logo, P(A∩C)=16=P(A)⋅P(C)P(A∩C)=16=P(A)⋅P(C) e a afirmativa II também é verdadeira. Além disso, B∩C={6}B∩C={6}, donde P(B∩C)=16≠P(B)⋅P(C),P(B∩C)=16≠P(B)⋅P(C), o que nos leva a concluir que BB e CC não são independentes. Portanto, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 7/10 - Análise Combinatória
Considere AA o conjunto formado por todos os números naturais de 3 algarismos, isto é, A={100,101,…,999}A={100,101,…,999}. Com base neste conjunto, analise as afirmativas: 
 
I. Há 1000 números no conjunto AA. 
II. O conjunto AA possui exatamente 648 números com os três algarismos distintos. 
III. O conjunto AA possui exatamente 450 números pares. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Você acertou!
No conjunto AA, temos 900 números. Isso porque o algarismo da centena não permite o algarismo 0. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×10×10=9009×10×10=900 números e a afirmativa I é incorreta. Para a afirmativa II, existem 9 modos de escolhermos o algarismo da centena (o algarismo 0 não é permitido), 9 modos de escolhermos o algarismo da dezena (não podemos utilizar o algarismo usado na centena) e para a unidade existem 8 modos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×9×8=6489×9×8=648 números com os três algarismos distintos. Com isso, a afirmativa II é correta. Passamos para a afirmativa III: existem 5 modos de escolhermos o algarismo da unidade: 0, 2, 4, 6 e 8. Já para a centena, temos 9 modos (o algarismo 0 não é permitido) e para a dezena há 10 modos. Logo, teremos 9×10×5=4509×10×5=450 números pares em AA e a afirmativa III é correta.
Questão 8/10 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta a soma dos coeficientes do polinômio p(x)=(x+1)5.p(x)=(x+1)5.
Nota: 10.0
	
	A
	16
	
	B
	24
	
	C
	32
Você acertou!
Desenvolvendo p(x)p(x) com auxílio do Binômio de Newton, temos p(x)=5∑p=0(5p)x5−p.p(x)=∑p=05(5p)x5−p. Da expressão acima, garantimos que a soma dos coeficientes do polinômio p(x)p(x) é obtida fazendo-se x=1x=1, ou seja, p(1)=(1+1)5=32.p(1)=(1+1)5=32.
	
	D
	40
	
	E
	48
Questão 9/10 - Análise CombinatóriaAnalise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R,a≠0.a∈R,a≠0.
111121133114641111121133114641
Nota: 0.0
	
	A
	x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4
	
	B
	x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4
	
	C
	x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4
	
	D
	a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4
	
	E
	a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax
Questão 10/10 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J,Q,KJ,Q,K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a este experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um JJ é 152152. 
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um JJ é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos MM o evento "sortear JJ". Logo, #M=4#M=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um JJ é P(M)=452=113P(M)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(M∩B)=152P(M∩B)=152 e P(B)=1352P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser JJ, dado que é de copas é P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113.P(M∖B)=P(M∩B)P(B)=113.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.