Sistemas Lineares

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Sistemas Lineares 
Prof. Mestre Hamilton Brito 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
1) Equação linear 
Chamamos de equação linear, nas incógnitas 
 toda equação do tipo 
 
Os números , todos reais, são 
chamados coeficientes e b, também real, é o termo 
independente da equação. 
 Exemplos: 
a) 
b) 
 
Os exemplos a seguir não são equações 
lineares. 
a) 
 
b) √ 
1.1. Solução de uma Equação Linear 
A solução de uma equação linear 
 é a sequência (conhecida 
como ênupla) . 
Exemplo: a ênupla {1,2,3,-2} é solução da 
equação linear 
2) DEFINIÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
Um sistema de equações lineares ou simplesmente 
sistema linear é um conjunto de m ( ) equações 
lineares, ou seja, é um conjunto de equações lineares 
do tipo: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 são as incógnitas do sistema 
linear acima. 
Com base nas aulas anteriores de matrizes, o 
sistema linear acima pode ser reescrito como: 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
Exemplo Resolvido 
O sistema {
 
 
 
 pode ser representado 
matricialmente por: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
3) SOLUÇÃO DE SISTEMA LINEAR 
Uma ênupla é solução de um sistema linear se 
ela é solução de todas as ênuplas. 
Exemplo resolvido 
 A ênupla {2,3} é solução do sistema linear 
{
 
 
 pois {
 
 
 
Há diversos métodos para se resolver sistemas 
lineares (adição, substituição, igualdade, regra de 
Cramer etc.). Vamos focar em especial no método da 
adição aqui. E iremos focar prioritariamente em 
sistemas 2 por 2 pois o ENEM não costuma cobrar 
sistemas de ordem maiores. 
3.1 MÉTODO DA ADIÇÃO 
 O método consiste em somar as duas 
equações do sistema de forma a eliminar uma das 
variáveis. Porém, essa eliminação só será possível se 
Conhecimentos Algébricos/Geométricos: 
Sistemas de Equações. 
H22 - Utilizar conhecimentos 
algébricos/geométricos como recurso para a 
construção de argumentação. 
 
 
 
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a variável tiver o mesmo coeficiente com sinais 
opostos nas duas equações. 
 Quando a variável a eliminar não tiver sinais 
opostos, você pode multiplicar por um determinado 
valor específico em cada sistema para tornar a situação 
propícia para a eliminação. Se for o caso, pode-se 
multiplicar não apenas em uma mas em todas as 
equações. Após achar uma variável, a outra poderá ser 
encontrada através da substituição da variável 
encontrada em qualquer equação do sistema. 
 Vejamos na prática como funciona: 
Exemplo resolvido 
1) {
 
 
 
Solução: Vemos no sistema acima que a variável y 
tem os mesmos coeficientes (1) com sinais contrários 
nas duas equações (é positiva na primeira e negativa 
na segunda). Então poderemos somar as duas 
equações membro a membro para eliminar y. 
{
 
 
 
 
 
De posse de x=2, iremos substituir esse valor em 
qualquer uma das duas equações. Vamos usar a 
primeira equação. 
 
 
 
 
 
 Portanto, S={2,3}. 
 
 {
 
 
 
 
Solução: Nenhuma variável tem mesmo coeficiente 
com sinais opostos (no caso do y, na primeira equação 
o coeficiente é 1 e na segunda equação o coeficiente é 
-3). Diante disso, vamos optar por eliminar x ou y. 
Vamos escolher o x. Para tornar os coeficientes de x 
com sinais opostos, o mais óbvio é multiplicar a 
primeira equação por -2. Lembre-se que: IREMOS 
MULTIPLICAR TODOS OS TERMOS DA PRIMEIRA 
EQUAÇÃO. 
 
{
 
 
 {
 
 
 
 Agora sim podemos ver que temos uma 
variável com mesmo coeficiente com sinais 
contrários. É só somar as duas equações: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 De posse de y=3, iremos substituir esse valor 
em qualquer uma das duas equações. Vamos usar a 
primeira equação. 
 
 
 
 
 
 Portanto, S={2,3}. 
 
4 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES. 
Balanceamento de Equações Químicas: 
Caixa Eletrônico 
Lei de Kirchoff (Lei dos Nós e Lei das Malhas) 
 
 
5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) (UFBA) Uma pessoa retira R$70,00 de um banco, 
recebendo 10 notas, algumas de R$10,00 e outras de 
R$5,00. Calcule quantas notas de R$5,00 a pessoa 
recebeu? 
 
Solução: 
 
 Para totalizar 70 reais, por exemplo, a pessoa 
poderia ter pegado 1 nota de 50 e 1 nota de 20 reais ou 
5 notas de 10 reais e 4 notas de 5 reais e por aí vai. 
Como não sabemos a quantidade notas, então vamos 
chamar de x as notas de 10 reais e de y as notas de 5 
reais. Pelo comando, a pessoa sacou 10 notas, isto é, 
x+y=10 notas o que resultou em 70 reais, ou seja, 
10x+5y=70 reais. Montando nosso sistema: 
{
 
 
 
 Vemos que nenhuma variável tem mesmo 
coeficiente com sinais contrários. Vamos multiplicar a 
primeira por -5 para eliminar o y. 
 
{
 
 
 {
 
 
 
 Como o y possui coeficientes opostos, então é só 
somar: 
 
 
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{
 
 
 
 Substituindo-se x=4 na primeira equação: 
 
 
 
 Logo, a pessoa recebeu 6 notas de 5 reais. 
 
2) (UFSCar) Dois blocos idênticos foram posicionados 
em uma mesa de altura h, conforme indica a figura 1. 
Em seguida, a posição dos blocos foi modificada, 
conforme indica a figura 2. 
 
Nas condições dadas, a altura h da mesa, em 
cm, é igual a 
a) 85. b) 78. c) 76. d) 72. e) 66 
 
Solução: Vamos supor que o bloco tenha as 
dimensões x e y conforma a figura. 
 
 
 y 
 
 
 Temos a seguinte situação na Figura 1: 
 
 Da imagem acima, concluímos que: 
 
 Na outra situação na Figura 2, temos: 
 
 
 De onde concluímos que: 
 
Montando-se um sistema de equações com as 
duas equações, temos: 
{
 
 
 
 Vemos que x e y têm os mesmos coeficientes 
com sinais contrários. Logo, basta somar ambas as 
equações: 
{
 
 
 
 Portanto, a mesa tem altura de 72 cm. 
 
 
6 COMO CAI NO ENEM? 
1) (ENEM 2018) Durante uma festa de colégio, um 
grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos 
faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que 
compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 
compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. 
O total de alunos que comprou um único bilhete era 
20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de 
bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de 
alunos do colégio. Quantos alunos compraram somente 
um bilhete? 
a) 34 b) 42 c) 47 d) 48 e) 79 
 
Solução: Questão, a meu ver, difícil porque envolve 
sistemas. Vamos montar nossos dados: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
 Temos o seguinte sistema de equações: 
{
 
 
 
 
 Comparando-se as duas equações em: 
 
 
x 
 
 
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 Para calcular y, vamos usar a equação em 
roxo, lembrando que o total de alunos que comprou um 
único bilhete era 20% do número total de bilhetes 
vendidos, isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp.: D 
 
2) (ENEM 2020) Para aumentar a arrecadação de seu 
restaurante que cobra por quilograma, o proprietário 
contratou um cantor e passou a cobrar dos clientesum 
valor fixo de couvert artístico, além do valor da comida. 
Depois, analisando as planilhas do restaurante, 
verificou-se em um dia que 30 clientes consumiram um 
total de 10 kg de comida em um período de 1 hora, 
sendo que dois desses clientes pagaram R$ 50,00 e 
R$ 34,00 e consumiram 500 g e 300 g, 
respectivamente. Qual foi a arrecadação obtida pelo 
restaurante nesse período de 1 hora, em real? 
a) 800,00. b) 810,00. c) 820,00. 
d) 1 100,00. e) 2 700,00 
 
Solução: Pelo comando, o preço que cada consumidor 
vai pagar é o preço da comida mais o couvert. No 
entanto, para determinarmos o preço pago pela 
comida, precisamos saber quanto o restaurante 
cobra por 1 kg de comida. Vamos chamar c o couvert 
e y o preço de 1kg de comida. 
{
 
 
 
 Montando-se um sistema de equações: 
{
 
 
 
 Vamos multiplicar a segunda equação por -1. 
{
 
 
 {
 
 
 
 Agora é só somar as equações: 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo-se y=80 na primeira equação: 
 
 
 
 reais o couvert. 
Como foram consumidos 10 kg de carne a 80 
reais 1 kg, então: 
Carne=80.10=800 reais. 
Como foram 30 clientes e cada um pagou 10 
reais de couvert, então: 
Couvert=30.10=300 
Portanto, o total arrecadado foi: 
T=800+300=1100 reais. 
 
Resp.: D 
3) (ENEM 2020) Após o término das inscrições de um 
concurso, cujo número de vagas é fixo, foi divulgado 
que a razão entre o número de candidatos e o número 
de vagas, nesta ordem, era igual a 300. Entretanto, as 
inscrições foram prorrogadas, inscrevendo-se mais 
4000 candidatos, fazendo com que a razão 
anteriormente referida passasse a ser igual a 400. 
Todos os candidatos inscritos fizeram a prova, e o total 
de candidatos aprovados foi igual à quantidade de 
vagas. Os demais candidatos foram reprovados. 
Nessas condições, quantos foram os candidatos 
reprovados? 
a) 11 960 b) 11 970 c) 15 960 
d) 15 970 e)19 960 
 
Solução: Vamos fazer nosso esquema chamando c o 
número de candidatos e v o número de vagas. Pelo 
comando, temos: 
{
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 Da primeira equação, temos 
Substituindo-se na segunda equação, temos: 
 
 
 
 
 
Substituindo-se na primeira equação: 
 
Ora, como entraram mais 4000 candidatos, 
então o total passou a ser T=12000+4000=16000. 
Pelo comando, a quantidade de aprovados foi 
igual ao número de vagas, isto é, A=40. Mas o 
 
 
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comando quer a quantidade de candidatos reprovados. 
Logo, é só fazer R=16000-40=15960. Resp.: A 
 
 
7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Para preparar uma solução de lavagem em um 
laboratório, um farmacêutico precisa diluir uma 
substância com concentração 1:20, isto é, usar 1 parte 
da substância concentrada em 20 partes de água para 
obter uma solução final composta de água mais a 
substância concentrada. Para preparar 500 g da 
solução final, qual será a quantidade de substância 
concentrada que o farmacêutico vai utilizar? 
a) 22,8 g b) 23,8 g c) 24,8 g 
d) 25,8 g e) 26,8 g 
 
2) (ENEM 2020 DIGITAL) Em um país, as infrações de 
trânsito são classificadas de acordo com sua 
gravidade. Infrações dos tipos leves e médias 
acrescentam, respectivamente, 3 e 4 pontos na carteira 
de habilitação do infrator, além de multas a serem 
pagas. Um motorista cometeu 5 infrações de trânsito. 
Em consequência teve 17 pontos acrescentados em 
sua carteira de habilitação. Qual é a razão entre o 
número de infrações do tipo leve e o número de 
infrações do tipo média cometidas por esse motorista? 
a) 1/4 b) 3/2 c) 
d) 5/17 e) 7/17 
 
3) (ENEM 2020 DIGITAL) Para sua festa de 17 anos, o 
aniversariante convidará 132 pessoas. Ele convidará 
26mulheres a mais do que o número de homens. A 
empresa contratada para realizar a festa cobrará R$ 
50,00 por convidado do sexo masculino e R$ 45,00 por 
convidado do sexo feminino. Quanto esse 
aniversariante terá que pagar, em real, à empresa 
contratada, pela quantidade de homens convidados 
para sua festa? 
a) 2 385,00 b) 2 650,00 c)3 300,00 
d) 3 950,00 e) 5 300,00 
 
4) (FCC 2019) Em um sistema monetário há cédulas 
brancas, azuis e pretas. Sabe-se que duas cédulas 
azuis e uma branca equivalem a 29 unidades 
monetárias, uma cédula branca e duas cédulas pretas 
equivalem a 43 unidades monetárias e 2 cédulas pretas 
e uma azul equivalem a 47 unidades monetárias. É 
correto afirmar que uma cédula branca mais uma 
cédula azul mais uma cédula preta equivalem a 
a) 18 unidades monetárias. 
b) 29 unidades monetárias 
c) 36 unidades monetárias. 
d) 25 unidades monetárias. 
e) 45 unidades monetárias. 
 
5) (VUNESP 2019) Um grupo de 34 turistas comprou 
um total de 186 camisas. Se cada mulher desse grupo 
comprou 5 camisas e cada homem do grupo comprou 6 
camisas, a diferença entre o número de mulheres e o 
número de homens, nesse grupo, é: 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e )10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito dos Exercícios propostos 
1 – B 2 – B 3 – B 4 – C 5 – A