Processos estocásticos

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Processos
estocásticos
Prof. Mauro Rezende Filho
Descrição
Os vetores de probabilidade e as matrizes estocásticas, as cadeias de
Markov e as probabilidades de transição em várias etapas e a
distribuição estacionária de uma cadeia regular de Markov.
Propósito
Cadeia de Markov é um caso particular do processo estocástico com
estados discretos, sendo um sistema matemático que experimenta
transições de um estado para outro de acordo com certas regras
probabilísticas. As cadeias de Markov surgem amplamente em
contextos estatísticos e teóricos da informação e são amplamente
empregados em economia, teoria dos jogos, teoria das filas
(comunicação), genética e finanças.
Preparação
Antes de iniciar o estudo, faça o download do Solucionário.
Objetivos
Módulo 1
Vetores de probabilidade e matrizes
estocásticas
Identificar os conceitos e as aplicações de vetores de probabilidade e
matrizes estocásticas.
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Módulo 2
Cadeias de Markov
Identificar o conceito e as aplicações das cadeias de Markov.
Módulo 3
Cadeia regular de Markov: probabilidades e
distribuição
Identificar as probabilidades de transição em várias etapas e a
distribuição estacionária de uma cadeia regular de Markov.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os
conceitos que serão abordados neste conteúdo.

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1 - Vetores de probabilidade e matrizes estocásticas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os conceitos e as aplicações de vetores
de probabilidade e matrizes estocásticas.
Vamos começar!
Os conceitos e as aplicações de
vetores de probabilidade e matrizes
estocásticas
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.
Vetores de probabilidade
Um vetor de probabilidade é um vetor (ou seja, uma matriz com uma
única coluna ou linha) em que todas as entradas são não negativas e
somam exatamente um. Às vezes também é chamado de vetor
estocástico.
Vejamos um exemplo simples. O vetor (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6)
representa a distribuição de probabilidade de um lançamento aleatório
de um dado honesto. Cada entrada representa suas chances de rolar
uma face do dado (ou seja, você tem 1/6 de chance de rolar 1, 2, 3, 4, 5
ou 6).
Nem sempre é tão simétrico; na verdade, geralmente não é. Por
exemplo, o vetor estocástico que representa a probabilidade de chover,
nevar, estar nublado sem chuva/neve ou fazer sol o dia todo pode ser

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(0,5; 0; 0,40; 0,10). Observe que aqui as entradas ainda somam um e as
categorias representam todos os resultados possíveis e não se
sobrepõem.
Em essência, um vetor de probabilidade n-dimensional pode representar
a distribuição de probabilidade de um conjunto de n variáveis. É uma
maneira concisa e muito conveniente de representar a distribuição de
probabilidade de variáveis aleatórias discretas.
Todo vetor de probabilidade n-dimensional tem uma média
de .
O comprimento de um vetor de probabilidade é calculado pela fórmula:
Aqui é a variância de todas as entradas no vetor de probabilidade. O
"comprimento" de um vetor de probabilidade, assim definido, não tem
nada a ver com o número de entradas na matriz.
O vetor mais curto representa um sistema com certeza mínima
(qualquer uma das opções tem a mesma probabilidade de acontecer), e
o mais longo, um sistema com certeza máxima (você sabe exatamente
o que acontecerá). Por exemplo, se o vetor meteorológico for {1000}, há
100% de chance de chuva.
Se A é uma matriz estocástica regular e é n x n, existe um único vetor
estocástico v para o qual Av = v.
Matrizes estocásticas
Uma matriz estocástica é uma matriz quadrada cujas colunas são
vetores de probabilidade. Um vetor de probabilidade é um vetor
numérico cujas entradas são números reais entre 0 e 1 cuja soma é 1.
Uma matriz estocástica é uma matriz que descreve as
transições de uma cadeia de Markov. Também é
chamada de matriz de Markov.
Uma matriz estocástica à direita é uma matriz quadrada de números
reais não negativos cujas linhas somam 1, ou seja, uma matriz
1/n
√nσ2 +
1
n
σ2
Vetor de probabilidade mais longo possível 
Vetor de probabilidade mais curto possível 
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estocástica à direita tem cada linha somando 1.
MatrixForm [RM = {{0.5, 0, 0.5}, {0.5, 0.25, 0.25}, {1, 0, 0}}]
Uma matriz estocástica à esquerda é uma matriz quadrada de números
reais não negativos cujas colunas somam 1, ou seja, uma matriz
estocástica esquerda tem cada coluna somando 1.
MatrixForm [LM = Transposta [{{0.5, 0, 0.5}, {0.5, 0.25, 0.25}, {1, 0, 0}}]]
Uma matriz duplamente estocástica é uma matriz quadrada de números
reais não negativos com cada linha e coluna somando 1, ou seja, uma
matriz duplamente estocástica tem linhas e colunas somando 1.
MatrixForm [DM = {{0.5, 0, 0.5}, {0.5, 0.25, 0.25}, {0, 0.75, 0.25}}]
Exemplo
Uma empresa de aluguel de caminhões tem locais em toda cidade de
São Paulo, onde você pode alugar caminhões de mudança. Você pode
devolvê-los para qualquer outro local. Para simplificar, imagine que haja
três locais e que todos os clientes devolvam seu caminhão no dia
seguinte. Seja o vetor cujas entradas , são o número de
caminhões nos locais 1, 2 e 3, respectivamente. Seja A a matriz cuja i,j-
entrada é a probabilidade de um cliente alugando um caminhão do local
j devolvê-lo ao local i.
Por exemplo, a matriz:
Mostra uma probabilidade de 30% de que um cliente alugando do local 3
devolva o caminhão ao local 2 e uma probabilidade de 40% de que um
caminhão alugado do local 1 seja devolvido ao local 3. A segunda linha
⎡⎢⎣0.5 0 0.5
0.5 0.25 0.25
1 0 0
⎤⎥⎦⎡⎢⎣0.5 0.5 1
0 0.25 0
0.5 0.25 0
⎤⎥⎦⎡⎢⎣0.5 0 0.5
0.5 0.25 0.25
0 0.75 0.25
⎤⎥⎦vt xt, yt zt
A =
⎡⎢⎣0.3 0.4 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.2 0.2
⎤⎥⎦03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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(por exemplo) da matriz A mostra que o número de caminhões
devolvidos ao local 2 será (em média):
30% dos caminhões do local 1.
40% dos caminhões do local 2.
30% dos caminhões do local 3.
Aplicando isso a todas as três linhas, temos:
Portanto, representa o número de caminhões em cada local no dia
seguinte.
Este é um exemplo de um sistema dinâmico discreto linear.
Exemplo
Considere um movimento populacional entre cidade e periferia em uma
região metropolitana regida pela matriz migratória M:
M=  
DE
PARA
Cidade Subúrbio
0,95 0,03 Cidade
0,05 0,97 Subúrbio
Agora perceba que:
Cada vetor coluna de M é um vetor de probabilidade.
M é uma matriz estocástica.
Suponha que a população em 2019 seja 600.000 na cidade e
400.000 nos subúrbios.
O estado inicial (vetor de probabilidade) é:
Encontre a distribuição da população no ano de 2019 e 2020.
A =
⎡⎢⎣xt
yt
zt
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0.3xt 0.4yt 0.5zt
0.3xt 0.4yt 0.3zt
0.4xt 0.2yt 0.2zt
⎤⎥⎦Avt
x0 = [ ]0, 6
0, 4
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Solução
A distribuição da população em 2019 é dada por , ou seja:
Relembrando multiplicação de matrizes:
Então, podemos concluir que:
58,2% da região viverá na cidade em 2020.
41,8% da região viverá nos subúrbios em 2020.
Modelos de aplicação
Exemplo 1 - Vetores de probabilidade
Duas locadoras de jogos, Vic's e MovieMaster, acabam de abrir em uma
nova área residencial. Inicialmente, cada uma tem metade do mercado
de jogos alugados. Um cliente que aluga daVic's tem 60% de
probabilidade de alugar da Vic's na próxima vez e 40% de chance de
alugar do MovieMaster. Por outro lado, um cliente que aluga
inicialmente da MovieMaster tem apenas 30% de probabilidade de
alugar do MovieMaster na próxima vez e 70% de probabilidade de alugar
da Vic's.
Qual é o vetor de probabilidade inicial?
Qual é a matriz de transição?
Qual é a probabilidade de um cliente alugar um filme de cada loja
pela segunda vez?
Qual é a probabilidade de um cliente alugar um filme de cada loja
pela terceira vez?
Que suposição você está fazendo no item anterior? Quão realista
ela é?
Solução
x1 = Mx0
[ ]× [ ] = [ ]0, 95 0, 03
0, 05 0, 97
0, 60
0, 40
0, 582
0, 418
0, 582 = 0, 95 × 0, 6 + 0, 03 × 0, 4
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Inicialmente, cada loja tem 50% do mercado, logo, o vetor de
probabilidade inicial é V M:
A primeira linha da matriz de transição representa as probabilidades de
segunda locação por clientes cuja escolha inicial foi a Vic's. Há 60% de
chance de o cliente retornar, então a primeira entrada é 0,6. É 40%
provável que o cliente alugue do MovieMaster, então a segunda entrada
é 0,4.
Da mesma forma, a segunda linha da matriz de transição representa as
probabilidades do segundo aluguel por clientes cuja primeira escolha foi
o MovieMaster. Há 30% de chance de ser a Video Vic's.
Independentemente de qual loja o cliente escolher pela primeira vez,
você está assumindo que há apenas duas opções para a próxima visita.
Portanto, a soma das probabilidades em cada linha é igual a 1. Para
encontrar as probabilidades de um cliente alugar uma das lojas na
segunda visita, vamos calcular o vetor de probabilidade do primeiro
passo, S(1):
Relembrando multiplicação de matrizes:
Esse novo vetor mostra que há 65% de probabilidade de que um cliente
alugue um filme da Vic's na segunda visita a uma locadora e 35% de
chance de que o cliente alugue da MovieMaster. Para determinar as
probabilidades de qual loja um cliente escolherá na terceira visita,
vamos calcular o vetor de probabilidade do segundo passo, S(2):
S(0) = [0, 5 0, 5]
P = [ ]
V M
0, 6 0, 4
0, 7 0, 3
V
M
S(1) = S(0) × P
S(1) = [ ] × [ ] = [ ]0, 5 0, 5
0, 6 0, 4
0, 7 0, 3
0, 65 0, 35
0, 65 = 0, 5 × 0, 6 + 0, 5 × 0, 7
0, 35 = 0, 5 × 0, 4 + 0, 5 × 0, 3
S(2) = S(1) × P
S(1) = [ ] × [ ] = [ ]0, 65 0, 35
0, 6 0, 4
0, 7 0, 3
0, 635 0, 365
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Assim, em uma terceira visita, um cliente tem 63,5% de probabilidade de
alugar da Vic's e 36,5% de probabilidade de alugar da MovieMaster.
Para calcular as probabilidades do segundo passo, você assume que as
probabilidades de transição condicional não mudam. Essa suposição
pode não ser realista, já que os clientes com 70% de probabilidade de
sair do MovieMaster podem não ter 40% de probabilidade de voltar, a
menos que esqueçam por que mudaram em primeiro lugar.
Em outras palavras, as matrizes estocásticas não têm
memória de longo prazo, elas lembram apenas o
estado mais recente na previsão do próximo.
Observe que o resultado do Exemplo 1, item d, pode ser calculado de
outra maneira:
Da mesma forma, e assim por diante. Em geral, o vetor
de probabilidade de enésimo passo é dado por:
Exemplo 2 - Participação de mercado
de longo prazo
Uma empresa de pesquisa de marketing rastreou as vendas de três
marcas de tacos de golfe. A cada ano, em média:
Player-One mantém 70% de seus clientes, mas perde 20% para
Slapshot e 10% para Extreme Styx.
Slapshot mantém 65% de seus clientes, mas perde 10% para
Extreme Styx e 25% para Player-One.
Extreme Styx mantém 55% de seus clientes, mas perde 30% para
Player-One e 15% para Slapshot.
Qual é a matriz de transição? Assumindo que cada marca começa com
uma participação de mercado igual, determine a participação de
mercado de cada marca depois de um, dois e três anos. Determine a
participação de mercado de longo prazo de cada marca. Que suposição
você deve fazer para responder ao item anterior?
Solução
A matriz de transição é:
S(2) = S(1)P = (S(0)P)P = S(0)(PP) = S(0)P 2
S(3) = S(0)P 3
S(n)
S(n) = S(0)P n
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Assumindo que cada marca começa com uma participação de mercado
igual, o vetor de probabilidade inicial é:
Para determinar as participações de mercado de cada marca depois de
um ano, vamos calcular o vetor de probabilidade do primeiro passo:
Assim, depois de um ano, o Player-One terá uma participação de
mercado de aproximadamente 42%, o Slapshot terá 33% e o Extreme
Styx terá 25%. Da mesma forma, você pode prever as participações de
mercado depois de dois anos usando:
E depois de três anos:
Depois de três anos, Player-One terá aproximadamente 46% do mercado,
Slapshot terá 34% e Extreme Styx terá 20%. Os resultados do item b
sugerem que as participações de mercado relativas podem estar
convergindo para um estado estacionário por um longo período de
tempo. Você pode testar essa hipótese calculando vetores de estado
superior e verificando a estabilidade. Por exemplo, temos:
P =
P S E
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦ P
S
E
S(0) = [ ]1
3
1
3
1
3
S(1) = S(0) × P
S(1) = [ ]× = [1
3
1
3
1
3
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦ 0, 416 0, 3
S(2) = S(1) × P
S(2) = [ ] × = [0, 416 0, 33 0, 25
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦ 0, 4
S(3) = S(2) × P
S(3) = [ ] ×
= [ ]
0, 45 0, 3375 0, 2125
⎡⎢⎣ 0, 7 0, 2 0, 1
0, 25 0, 65 0, 1
0, 3 0, 15 0, 55
⎤⎥⎦0, 463 0, 341 0, 196
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Nesse caso, o vetor de estado estacionário [0,471 0,347 0,182] indica
que, por um longo período de tempo, o Player-One terá
aproximadamente 47% do mercado de tacos de golfe, enquanto
Slapshot e Extreme Styx terão 35 e 18%, respectivamente, com base nas
tendências atuais.
A suposição que responde a pergunta feita anteriormente é que a matriz
de transição não muda, ou seja, as tendências de mercado permanecem
as mesmas no longo prazo.
OBSERVAÇÃO
No próximo módulo veremos cadeias de Markov, mas guarde os
seguintes conceitos:
A teoria das cadeias de Markov pode ser aplicada a modelos de
probabilidade em que o resultado de uma tentativa afeta
diretamente o resultado da próxima tentativa.
Cadeias de Markov regulares eventualmente atingem um estado
estacionário, que pode ser usado para fazer previsões de longo
prazo.
Mão na massa
Questão 1
Encontre a matriz de transição de estado (P) para a cadeia de
Markov abaixo:
S(10) = S(9) × P = [ ]
S(11) = S(10) × P = [ ]
0, 471 0, 347 0, 182
0, 471 0, 347 0, 182

A P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 2 0 0
0, 6 0, 2 0, 2 0, 5
0 0, 5 0, 8 0, 5
0 0, 1 0 0
⎤⎥⎦03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EObserve%20a%20sequ%C3%AAncia%20de%20cores%20dos%20arcos%20e%20dos%20n%C3%B
image%20src%3D%22img_POOL%2Fpool_02.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Mauro%20Rezende%
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Um sistema de aquisição de dados do sistema de instrumentação
adquire um bloco de dados de cada um dos dois sensores de
temperatura redundantes a cada 50ms. Em seguida, os sensores
são numerados 0 e 1. A cada período de 50ms, o computador
verifica os dados de um dos dois sensores para a presença de picos
de dados causados por interferência eletromagnética de impulso
(EMI). Se a EMI de impulso estiver presente, o computador rejeitará
os dados desse sensor e examinaráos dados do outro. Se o outro
sensor também tiver EMI de impulso, o computador aguardará os
próximos dois períodos de aquisição de dados sem coletar dados e,
em seguida, começará a adquirir dados novamente do primeiro
sensor. Qual será o gráfico desse sistema usando as probabilidades
de impulso EMI?
Sensor
Probabilidade
do impulso
EMI
0 0,05
B P =
⎡⎢⎣0, 4 0 0, 6 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 2 0, 8 0
0 0, 5 0, 5 0
⎤⎥⎦C P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 6 0 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 2 0, 8 0
0, 5 0, 5 0 0
⎤⎥⎦D P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 6 0 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 2 0, 8 0
0 0, 5 0, 5 0
⎤⎥⎦E P =
⎡⎢⎣0, 4 0, 6 0 0
0, 2 0, 2 0, 5 0, 1
0 0, 8 0, 2 0
0 0, 5 0, 5 0
⎤⎥⎦03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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Sensor
Probabilidade
do impulso
EMI
1 0,08
Tabela: Probabilidade de impulso.
Mauro Rezende Filho.
A
B
C
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EObserve%20a%20matriz%20de%20transi%C3%A7%C3%A3o%20de%20estado%20P.%3C%2Fp%3
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqua
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P%3D%
Questão 3
Uma cadeia de Markov geralmente é mostrada por um diagrama de
transição de estado. Considere uma cadeia de Markov com três
estados possíveis 1, 2 e 3 e as seguintes probabilidades de
transição. Encontre P(X4=3|X3=2).
D
E
P =
⎡⎢⎣1/4 1/2 1/4
2/3 0 1/3
1/2 0 1/2
⎤⎥⎦A 2/3
B 1/3
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESolu%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P(X%20
Questão 4
Considere um sistema que pode estar em um dos dois estados
possíveis, S={0,1}. Em particular, suponha que a matriz de transição
seja dada pela matriz a seguir. Qual será o diagrama de transição de
estado?
C 1/4
D 1/2
E 3/4
P = [ ]1/2 1/2
1/3 2/3
A
B
C
D
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESolu%C3%A7%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3EIdentificando%20os%20estados%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbeg
Questão 5
Considere um sistema que pode estar em um dos dois estados
possíveis, S={0,1}. Em particular, suponha que a matriz de transição
seja dada pela matriz a seguir. Encontre a probabilidade de que o
sistema esteja no estado 1 no instante n=3.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%
heading%20u-title-
xsmall%22%3EExemplo%20de%20aplica%C3%A7%C3%A3o%20de%20matriz%20de%20transi%C3%A7%C3%A3
video-
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player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
Ao analisar a mudança de clientes da Business Class entre
companhias aéreas, os seguintes dados foram obtidos pela LATAM:
E
P = [ ]1/2 1/2
1/3 2/3
A [0,5972 0,4028]
B [0,4028 0,5972]
C [0,5972 0,6018]
D [0,6018 0,5972]
E [0,3981 0,6018]
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Por exemplo, se o último voo de um cliente da Business Class foi da
LATAM, a probabilidade de que seu próximo voo seja da LATAM é
de 0,85. Os clientes da classe executiva fazem em média dois voos
por ano. Atualmente a LATAM detém 30% do mercado da classe
executiva. Qual seria a participação da LATAM no mercado da
classe executiva depois de dois anos?
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%20o%20estado%20inicial%20do%20sistema%20s1%20dado%20por%20s1%20%3D%20%
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P%3D%
paragraph'%3EEm%20que%20o%20termo%20quadrado%20surge%20quando%20os%20clientes%20da%20clas
Teoria na prática
Um gestor de admissão está analisando inscrições de alunos em
potencial para um curso de graduação específico em uma universidade.
Ela considera cada aluno em potencial como estando em um dos quatro
estados possíveis:
Estado 1: não se aplicou na universidade.
Estado 2: candidatou-se à universidade, mas uma decisão de
aceitação/rejeição ainda não foi tomada.
Estado 3: candidatou-se à universidade e foi rejeitado.
A 21,4%
B 36,8%
C 28,7%
D 32,6%
E 41.2%
_black
03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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Estado 4: candidatou-se à universidade e foi aceito (foi feita uma
oferta de lugar).
No início do ano (mês 1 no ano de admissão), todos os alunos em
potencial estão no estado 1.
Sua revisão das estatísticas de admissões nos últimos anos identificou
a seguinte matriz de transição para a probabilidade de mudança entre
os estados a cada mês:
Qual é a porcentagem de alunos em potencial que serão aceitos depois
de 3 meses?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Quais das matrizes a seguir não representa um vetor de
probabilidade?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para
1 2 3 4
de 
1
2
3
4
⎡⎢⎣0, 97 0, 03 0 0
0 0, 100 0, 15 0, 75
0 0 1 0
0 0 0 0
⎤⎥⎦Mostrar solução
A [0,3 0,45 0,25]
B [0,4 -0,1 0,7]
C [ ]0, 4
0, 6
D [0,29 0,71]
E [0,4 0,35 0,25]
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%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EUm%20vetor%20de%20probabilidade%20%C3%A9%20um%20vetor%20(matriz%20linha%20ou%
Questão 2
Qual das alternativas a seguir não pode ser uma matriz de
transição?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EUma%20matriz%20de%20transi%C3%A7%C3%A3o%20(matriz%20estoc%C3%A1stica)%20%C3%
2 - Cadeias de Markov
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car o conceito e as aplicações das cadeias
de Markov.
A
⎡⎢⎣0, 3 0, 3 0, 4
0, 1 0 0, 9
0, 2 0, 4 0, 4
⎤⎥⎦B [ ]0, 2 0, 8
0, 65 0, 35
C [ ]0, 5 0, 1 0, 4
0, 3 0, 22 0, 48
D
⎡⎢⎣0, 3 0, 4 0, 3
0, 1 0, 2 0, 7
0, 3 0, 3 0, 4
⎤⎥⎦E [ ]0 1
0, 55 0, 45
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Vamos começar!
Conceito e aplicações das cadeias de
Markov
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.
Cadeias de Markov: conceitos básicos
As cadeias de Markov, nomeadas em homenagem ao matemático russo
Andrey Markov, são sistemas matemáticos que saltam de um "estado"
(uma situação ou conjunto de valores) para outro.
Se você fez um modelo de cadeia de Markov do comportamento de um
tempo, você pode incluir "sol", "neve”, "nublado" e "chuva" como estados,
que junto com outros comportamentos podem formar um “espaço de
estado”: uma lista de todos os estados possíveis. Além disso, no topo
do espaço de estados, uma cadeia de Markov informa a probabilidade
de pular, ou "transição", de um estado para outro — por exemplo, a
chance de estar “sol” quepode mudar para “neve” nos próximos cinco
minutos sem “chuva” primeiro.

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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 20/53
Com dois estados (A e B) em nosso espaço de estados, por exemplo,
existem quatro transições possíveis (não duas, porque um estado pode
fazer a transição de volta para si mesmo). Se estivermos em A,
podemos fazer a transição para B ou ficar em A. Se estivermos em B,
podemos fazer a transição para A ou ficar em B. Neste diagrama de dois
estados, a probabilidade de transição de qualquer estado para qualquer
outro estado é de 0,5.
Representação de uma cadeia de Markov.
Claro, modeladores reais nem sempre desenham diagramas de cadeia
de Markov. Em vez disso, eles usam uma matriz de transição para
calcular as probabilidades de transição. Cada estado no espaço de
estados é incluído uma vez como uma linha e novamente como uma
coluna, e cada célula na matriz informa a probabilidade de transição do
estado de sua linha para o estado de sua coluna. Assim, na matriz, as
células fazem o mesmo trabalho que as setas fazem no diagrama.
Se o espaço de estado adiciona um estado, adicionamos uma linha e
uma coluna, adicionando uma célula a cada coluna e linha existente.
Isso significa que o número de células cresce quadraticamente à
medida que adicionamos estados à cadeia de Markov.
Comentário
As cadeias de Markov são uma maneira bastante comum e
relativamente simples de modelar estatisticamente processos
aleatórios. Eles têm sido usados em muitos domínios diferentes, desde
a geração de texto até a modelagem financeira. No geral, as cadeias de
Markov são conceitualmente bastante intuitivas e muito acessíveis, pois
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podem ser implementadas sem o uso de conceitos estatísticos ou
matemáticos avançados. Eles são uma ótima maneira de começar a
aprender sobre modelagem probabilística e técnicas de ciência de
dados.
Um uso das cadeias de Markov é incluir fenômenos do mundo real em
simulações de computador. Por exemplo, podemos querer verificar com
que frequência uma nova barragem transbordará, o que depende do
número de dias chuvosos seguidos. Para construir este modelo,
começamos com o seguinte padrão de dias chuvosos (R) e ensolarados
(S):
Uma maneira de simular esse clima seria simplesmente dizer "Metade
dos dias são chuvosos. Portanto, todos os dias na simulação terão 50%
de chance de chuva". Essa regra geraria a seguinte sequência na
simulação:
Você notou como a sequência acima não se parece muito com a
original? A segunda sequência parece pular, enquanto a primeira (os
dados reais) parece ter uma "aderência". Nos dados reais, se está
ensolarado (S) um dia, então o dia seguinte também é muito mais
provável de ser ensolarado.
Podemos minimizar essa "aderência" com uma cadeia de Markov de
dois estados. Quando a cadeia de Markov está no estado R, ela tem 0,9
de probabilidade de ficar parada e 0,1 de chance de sair para o estado S.
Da mesma forma, o estado S tem 0,9 de probabilidade de ficar parado e
0,1 de chance de fazer a transição para o estado R.
Nas mãos de meteorologistas, ecologistas, cientistas da computação,
engenheiros financeiros e outras pessoas que precisam modelar
grandes fenômenos, as cadeias de Markov podem se tornar bastante
grandes e poderosas.
Por exemplo, o algoritmo que o Google usa para
determinar a ordem dos resultados da pesquisa,
chamado PageRank, é um tipo de cadeia de Markov.
Formalmente, uma cadeia de Markov é um autômato probabilístico. A
distribuição de probabilidade das transições de estado é tipicamente
representada como a matriz de transição da cadeia de Markov. Se a
cadeia de Markov tiver N estados possíveis, a matriz será uma matriz N
x N, tal que a entrada (I, J) é a probabilidade de transição do estado I
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para o estado J. Além disso, a matriz de transição deve ser uma matriz
estocástica, uma matriz cujas entradas em cada linha devem somar
exatamente 1. Isso faz todo o sentido, pois cada linha representa sua
própria distribuição de probabilidade.
Exemplo de matriz de transição com três estados possíveis.
Visão geral de uma cadeia de Markov de amostra, com estados como
círculos e arestas como transições.
Adicionalmente, uma cadeia de Markov também possui um vetor de
estado inicial, representado como uma matriz N x 1 (um vetor), que
descreve a distribuição de probabilidade de iniciar em cada um dos N
estados possíveis. A entrada I do vetor descreve a probabilidade da
cadeia começar no estado I.
Essas duas entidades são normalmente tudo o que é necessário para
representar uma cadeia de Markov.
Agora sabemos como obter a chance de fazer a
transição de um estado para outro, mas que tal
descobrir a chance dessa transição ocorrer em várias
etapas?
P =
⎡⎢⎣ 0, 9 0, 075 0, 025
0, 15 0, 8 0, 05
0, 25 0, 25 0, 5
⎤⎥⎦S(0) =
⎡⎢⎣1000⎤⎥⎦03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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Para formalizar isso, devemos determinar a probabilidade de passar do
estado I para o estado J em M etapas. Como se vê, é realmente muito
simples de descobrir. Dada uma matriz de transição P, isso pode ser
determinado calculando o valor da entrada (I, J) da matriz obtida
elevando P à potência de M. Para valores pequenos de M, isso pode ser
feito manualmente com multiplicação repetida. No entanto, para
grandes valores de M, se você estiver familiarizado com a álgebra linear
simples, uma maneira mais eficiente de elevar uma matriz a uma
potência é primeiro diagonalizar a matriz.
Cadeias de Markov aplicadas no mundo real:
Modelos de aplicações
Exemplo 1
Considere a cadeia de Markov com três estados, S={1,2,3}, que tem a
seguinte matriz de transição:
Desenhe o diagrama de transição de estado para esta cadeia.
Se soubermos P(X1=1)=P(X1=2)=1/4, encontre P(X1=3,X2=2,X3=1).
Solução
Exemplo 1 
Exemplo 2 
Exemplo 3 
Exemplo 4 
P =
⎡⎢⎣ 1
2
1
4
1
4
1
3 0 2
3
1
2
1
2 0
⎤⎥⎦03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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Diagrama de transição de estado.
Primeiro, obtemos:
Agora podemos escrever:
Exemplo 2
Considere a cadeia de Markov na figura a seguir. Existem duas classes
recorrentes, R1={1,2} e R2={5,6,7}. Assumindo , encontre a
probabilidade de que a cadeia seja absorvida em R1.
Diagrama de transição de estado.
Solução
Podemos então substituir cada classe recorrente por um estado
absorvente. Observe o diagrama de estado:
P(X1 = 3) = 1 − P(X1 = 1) − P(X1 = 2) = 1 −
1
4
−
1
4
=
P(X1 = 3,X2 = 2,X3 = 1) = P(X1 = 3) × p32 × p21
P(X1 = 3,X2 = 2,X3 = 1) =
1
2
×
1
2
×
1
3
=
1
12
X0 = 3
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O diagrama de transição de estado no qual substituímos cada classe recorrente por um estado
absorvente.
Agora podemos aplicar a metodologia padrão para encontrar a
probabilidade de absorção no estado R1, definindo:
Por essa definição, temos e . Para encontrar os
valores desconhecidos de , podemos usar as seguintes equações:
Para i , em que obtemos:
Resolvendo as equações acima, temos:
Portanto, se , a cadeia terminará na classe com
probabilidade .
Exemplo 3
Considere a cadeia de Markov mostrada na figura a seguir. Suponha
, e seja a primeira vez que a cadeia retorna ao estado 1, isto é:
ai = P ( absorção em R1 ∣ X0 = i), para todo i ∈ S. 
aR1 = 1 aR2 = 0
ai
ai =∑
k
ak × pik
∈ S
a3 =
1
2
aR1 +
1
2
a4 =
1
2
+
1
2
a4
a4 =
1
4
aR1 +
1
4
a3 +
1
2
aR2 =
1
4
+
1
4
a3
a3 =
5
7
e a4 =
3
7
X0 = 3 R1
a3 = 57
X0 = 1 R
R = min{n ≥ 1 : xn = 1}
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Encontre .
Diagrama de transição de estado.
Nessa questão, somos solicitados a encontrar o tempo médio de
retorno ao estado 1. Seja o tempo médio de retorno ao estado 1, isto
é, . Então:
Em que é o tempo esperado até que a cadeia atinja o estado 1 dado
. Especificamente, :
Para .
Então, vamos primeiro encontrar . Obtemos:
Resolvendo as equações propostas, temos:
Agora podemos escrever:
E [R ∣ X0 = 1]
r1
r1 = E [R ∣ X0 = 1]
r1 = 1 +∑
k
tk × p1k
tk
X0 = k t1 = 0
tk = 1 +∑
j
tj × pkj
k ≠ 1
tk′s
t2 = 1 +
1
3
t1 +
2
3
t3 = 1 +
2
3
t3
t3 = 1 +
1
2
t3 +
1
2
t1 = 1 +
1
2
t3
t3 = 2 e t2 =
7
3
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Mão na massa
Questão 1
Imagine um serviço de aluguel/empréstimo de bicicletas elétricas.
Para conseguir um empréstimo, a pessoa precisa ir a uma das três
estações: Centro (C), Copacabana (O) e Recreio dos Bandeirantes
(R). Vamos supor também que as bicicletas devam ser devolvidas
em um dos locais mencionados. Os dados obtidos revelam que a
circulação das bicicletas ocorre da seguinte forma: 95% das
bicicletas que são recolhidas no centro são devolvidas ao centro,
3% das bicicletas retiradas do centro são devolvidas em
Copacabana e 2% delas são devolvidas no Recreio. Em relação às
bicicletas retiradas em Copacabana, 2% das bicicletas são
devolvidas no centro, 90% são deixadas em Copacanana e 8% são
devolvidas no Recreio. Em relação às bicicletas recolhidas no
Recreio, 5% são deixadas no Centro, 5% em Copacabana e 90% são
deixadas no mesmo local. Sabendo-se que a distribuição inicial, no
primeiro dia, do total de bicicletas foi de 50% no Centro, 30% em
Copacabana e 20% no Recerio. Qual será a distribuição no final
desse dia?
r1 = 1 +
1
4
t1 +
1
2
t2 +
1
4
t3 = 1 +
2
3
t3
r1 = 1 +
1
4
× 0 +
1
2
×
7
3
+
1
4
× 2 =
8
3

A
39,1% no Centro, 29,5% em Copacabana e 31,4% no
Recreio dos Bandeirantes.
B
29,1% no Centro, 39,5% em Copacabana e 31,4% no
Recreio dos Bandeirantes.
C
49,1% no Centro, 29,5% em Copacabana e 21,4% no
Recreio dos Bandeirantes.
D
49,1% no Centro, 19,5% em Copacabana e 31,4% no
Recreio dos Bandeirantes.
E
40,1% no Centro, 29,5% em Copacabana e 30,4% no
Recreio dos Bandeirantes.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%
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player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Três em cada quatro caminhões (T) na estrada são seguidos por
um carro (C), enquanto apenas um em cada cinco carros (C) é
seguido por um caminhão (T). Que fração dos veículos na estrada
são caminhões?
C C T C C C T T C C C C T C C C
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Questão 3
Considere que o humor de um indivíduo é considerado como uma
cadeia de Markov de três estados com uma matriz de probabilidade
de transição:
No longo prazo, qual é a proporção de tempo do processo em cada
um dos três estados?
A 6/19 e 13/19.
B 8/19 e 11/19.
C 9/19 e 10/19.
D 5/16 e 14/19.
E 4/19 e 15/19.
P =
⎡⎢⎣0, 5 0, 4 0, 1
0, 3 0, 4 0, 3
0, 2 0, 2 0, 5
⎤⎥⎦03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Questão 4
Um problema de interesse dos sociólogos é determinar a proporção
da sociedade que tem uma ocupação de classe alta ou baixa. Um
possível modelo matemático seria assumir que as transições entre
classes sociais das sucessivas gerações de uma família podem ser
consideradas como transições de uma cadeia de Markov. Ou seja,
assumimos que a ocupação de uma criança depende apenas da
ocupação de seus pais. Suponhamos que tal modelo seja
apropriado e que a matriz de probabilidade de transição seja dada
por:
No longo prazo, qual é a proporção de tempo do processo em cada
um dos três estados?
A e .21
62 ,
23
62
18
62
B e .23
62 ,
21
62
18
62
C e .21
62 ,
18
62
23
62
D e .23
62 ,
18
62
21
62
E e .18
62 ,
23
62
21
62
P =
⎡⎢⎣0, 45 0, 48 0, 07
0, 05 0, 70 0, 25
0, 01 0, 50 0, 49
⎤⎥⎦A 0,62, 0,31 e 0,07.
B 0,31, 0,07 e 0,62.
C 0,07, 0,62 e 0,31.
D 0,31, 0,62 e 0,07.
03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Questão 5
Considere o seguinte diagrama de transição. Qual será a matriz de
transição?
Parabéns! A alternativa A está correta.
E 0,07, 0,31 e 0,62.
A P =
⎡⎢⎣0, 5 0, 25 0, 25
0, 5 0, 5 0
1 0 0
⎤⎥⎦B P =
⎡⎢⎣0, 5 0, 25 0, 25
0, 5 0, 5 0
1 0 0
⎤⎥⎦C P =
⎡⎢⎣0, 25 0, 25 0, 5
0, 5 0 0, 5
0 0 1
⎤⎥⎦D P =
⎡⎢⎣0, 25 0, 25 0, 5
0, 5 0, 5 0
0 1 0
⎤⎥⎦E P =
⎡⎢⎣0, 25 0, 25 0, 5
0, 5 0 0, 5
0 1 0
⎤⎥⎦03/06/2024, 18:21 Processos estocásticos
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%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EObserve%20as%20cores%20no%20diagrama%20que%20mostram%20as%20transi%C3%A7%C3
12%20col-md-10%20col-lg-
7'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
image%20src%3D%22img_POOL%2Fpool_23.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Mauro%20Rezende%
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A
paragraph'%3EA%20matriz%20ser%C3%A1%3A%20%5C(P%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D
Questão 6
A figura a seguir mostra um exemplo de uma cadeia de Markov com
quatro estados. Qual será a matriz de transição?
Parabéns! A alternativa D está correta.
A P =
⎡⎢⎣1/3 1/3 0 1/3
0 0 1/2 1/2
0 1 0 0
1/2 0 0 1/2
⎤⎥⎦B P =
⎡⎢⎣1/3 1/3 1/3 0
0 1/2 0 1/2
0 1 0 0
0 0 1/2 1/2
⎤⎥⎦C P =
⎡⎢⎣1/2 0 0 1/2
0 0 1/2 1/2
0 1 0 0
1/3 1/3 0 1/3
⎤⎥⎦D P =
⎡⎢⎣1/3 1/3 1/3 0
0 0 1/2 1/2
1 0 0 0
1/2 0 0 1/2
⎤⎥⎦E Não é possível determinar a matriz de transição.
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%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20a%20soma%20das%20probabilidades%20tem%20de%20ser%20igual%201%2C%20tem
items-center%20justify-content-
center'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3
12%20col-md-10%20col-lg-
8'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
image%20src%3D%22img_POOL%2Fpool_25.png%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Mauro%20Rezende%
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
paragraph'%3E%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20P%3D%
Teoria na prática
No final de junho, em ano de eleição presidencial, 40% dos eleitores
estavam registrados como liberais, 45% como conservadores e 15%
como independentes. Durante um período de um mês, os liberais
mantiveram 80% de seu eleitorado, enquanto 15% mudaram para
conservadorese 5% para independentes. Os conservadores ficaram
com 70% e perderam 20% para os liberais. Os independentes retiveram
60% e perderam 20% cada para os conservadores e liberais. Suponha
que essas tendências continuem.
1. Escreva uma matriz de transição usando essas informações.
2. Escreva um vetor de probabilidade para a distribuição inicial.
Encontre a porcentagem de cada tipo de eleitor no final de cada um dos
meses seguintes:
1. Julho
2. Agosto
3. Setembro
4. Outubro
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Suponha que um aluno possa estar em um de quatro estados:
Rico
Médio
Pobre
_black
Mostrar solução
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Em débito
Suponha as seguintes probabilidades de transição:
Se um aluno for rico, na próxima etapa de tempo o aluno será:
Médio: 0,75
Ruim: 0,2
Em dívida: 0,05
Se um aluno for médio, na próxima etapa de tempo o aluno
será:
Rico: 0,05
Médio: 0,2
Em dívida: 0,45
Se um aluno for pobre, na próxima etapa de tempo o aluno
será:
Médio: 0,4
Ruim: 0,3
Em dívida: 2
Se um aluno estiver em dívida, na próxima etapa o aluno será:
Médio: 0,15
Ruim: 0,3
Em dívida: 0,55
Suponhamos que um aluno inicie seus estudos como “médio”. Qual
será a probabilidade de ser “rico” depois de 1, 2, 3 passos de
tempo?
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
A 4,275%
B 2,11%
C 2,96%
D 4,025%
E 3,078%
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Questão 2
Considere a cadeia de Markov a seguir. Encontre a distribuição
estacionária para esta cadeia.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
A 0,455, 0,259 e 0,286.
B 0,457, 0,257 e 0,286.
C 0,457, 0,260 e 0,283.
D 0,357, 0,357 e 0,286.
E 0,057, 0,457 e 0,486.
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3 - Cadeia regular de Markov: probabilidades e distribuição
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as probabilidades de transição em várias
etapas e a distribuição estacionária de uma cadeia regular de Markov.
Vamos começar!
As propriedades de transição em
várias etapas e a distribuição
estacionária de uma cadeia regular
de Markov
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.
Cadeias de Markov: transições de
várias etapas
A propriedade de Markov é quando a probabilidade de transição para o
próximo estado depende apenas do estado atual. O sistema não tem
memória. Uma cadeia de Markov é uma sequência de transições
discretas no tempo sob a propriedade de Markov com um espaço de
estados finito.

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Vamos estudar agora as equações de Chapman-Kolmogorov e como
elas são usadas para calcular as probabilidades de transição de vários
passos para determinada cadeia de Markov.
Considere a seguinte cadeia de Markov com espaço de estados {A,B,C}:
Essa cadeia de Markov está associada à seguinte matriz de transição:
Esses valores nos informam das probabilidades de passar do estado i
(linha) para o estado j (coluna). No entanto, essas probabilidades são
apenas para transições de uma etapa. Qual seria a probabilidade de
passar do estado B para o estado A em duas etapas? Bem, podemos
resolver isso por força bruta, referindo-se ao diagrama da cadeia de
Markov:
No entanto, essa abordagem se torna cada vez mais difícil quando o
espaço de estados fica maior e precisamos calcular mais de duas
transições. Existe uma maneira mais fácil e mais geral de expressar
transições de várias etapas usando as equações de Chapman-
Pij =
⎡⎢⎣ 0 0, 4 0, 6
0, 5 0, 3 0, 2
0, 5 0, 3 0, 2
⎤⎥⎦P 2
B,A = 0, 5 × 0, 3 + 0, 2 × 0, 5 = 0, 25
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Kolmogorov, as quais estudaremos a seguir. Podemos generalizar as
transições de várias etapas usando a seguinte fórmula:
Qual é a probabilidade de ir para o estado j no instante n quando
acabamos de estar no estado i no instante m. Essa equação pode ser
resolvida a partir das equações de Chapman-Kolmogorov:
Em que l é um valor inteiro entre m e n, P é a probabilidade de transição
entre estados e k é uma variável de índice que só pode assumir valores
no espaço de estados. Vamos passar por um exemplo na
implementação das equações de Chapman-Kolmogorov para nossa
cadeia de Markov acima. Desejamos ir do estado B ao estado A em
duas etapas:
Obtivemos a mesma probabilidade anterior!
Definimos o momento como igual a zero. Isso é permitido porque o
histórico de estados é irrelevante para uma cadeia de Markov, portanto,
definir o tempo atual como zero não perde generalidade na expressão.
Intuitivamente, estamos apenas quebrando a transição de duas etapas
em um conjunto de transições de uma etapa, pois conhecemos suas
P
m,n
i,j = P (Xn = j ∣ Xm = i)
P
m,n
i,j =∑
k
P
m,l
i,k × P
l,n
k,j
P
0,2
B,A =
∞
∑
k
P
0,1
B,k × P
1,2
k,A
P
0,2
B,A = 0, 3 × 0 + 0, 3 × 0, 5 + 0, 2 × 0, 5 = 0, 25
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probabilidades. Então, nós os combinamos para calcular a probabilidade
de transição de duas etapas.
Se quiséssemos calcular a transição em três etapas, o valor de l poderia
ser 1 ou 2. Portanto, teríamos de aplicar as equações de Chapman-
Kolmogorov duas vezes para expressar a fórmula em transições de uma
etapa. Esse processo é conhecido como recursão, pois estamos
constantemente calculando as probabilidades para trás.
Exemplo
Seja se chover no dia i, caso contrário . Suponha que
 e . Suponha que chova na segunda-feira. Qual é a
probabilidade de chover na sexta-feira?
Solução
Então:
Assim, a probabilidade de chover na sexta é . Observe que:
Logo, .
A relação de Chapman-Kolmogorov é um resultado importante na teoria
das cadeias de Markov (discretas), pois fornece um método para
calcular a matriz de probabilidade de transição de n passos de uma
cadeia de Markov a partir da matriz de probabilidade de transição de 1
passo de uma cadeia de Markov. A relação de Chapman-Kolmogorov
pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui é a matriz de probabilidade de transição de passos,
 é a matriz de probabilidade de transição de passos e é a
matriz de probabilidade de transição de m passos. A equação acima
vale para cadeias de Markov discretas. Para cadeias de Markov de
Xi = 0 Xi = 1
P00 = 0, 7 P10 = 0, 4
P = [ ]0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
P 4
00
P 4 = [ ]
4
= [ ]× [ ]× [
P 4 = [ ]
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 7 0, 3
0, 4 0, 6
0, 7 0,
0, 4 0,
0, 5749 0, 4251,
0, 5668 0, 4332
P 4
00 = 0, 5749
P m+n = P n × P m
P m+n n+m
P n n P m
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tempo contínuo, os elementos da matriz de probabilidade de transição
são escritos em função do tempo.
Vamos ver agora como resolvemos o problema utilizando a função
“MATRIZ.MULT” do Microsoft Excel para multiplicação de matrizes.
Vamos, então, colocar a matriz em uma planilha:
Agora veja o uso da função calcular :
Agora analise a próxima imagem:
Vamos utilizar o mesmo procedimento para calcular e
:
Exemplo
Suponha que chover ou não, hoje, dependa das condições
meteorológicas anteriores nos últimos dois dias. Especificamente,suponha que se choveu nos últimos dois dias, então choverá amanhã
com probabilidade de 0,7; se choveu hoje mas não ontem, então choverá
amanhã com probabilidade de 0,5; se choveu ontem mas não hoje,
PxP (P 2)
P 2 × P (P 3)
P 3 × P (P 4)
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então choverá amanhã com probabilidade 0,4; se não choveu nos
últimos dois dias, então choverá amanhã com probabilidade 0,2.
Se deixarmos o estado no tempo depender apenas
de estar chovendo ou não no tempo , então o modelo
acima não é uma cadeia de Markov.
No entanto, podemos transformar o modelo acima em uma cadeia de
Markov dizendo que o estado a qualquer momento é determinado pelas
condições climáticas durante o dia e o dia anterior. Em outras palavras,
podemos dizer que o processo está em:
Estado 0 se choveu hoje e ontem.
Estado 1 se choveu hoje, mas não ontem.
Estado 2 se choveu ontem, mas não hoje.
Estado 3 se não choveu ontem nem hoje.
O precedente representaria, então, uma cadeia de Markov de 4 estados
com uma matriz de probabilidade de transição:
Dado que choveu na segunda e na terça, qual é a probabilidade de
chover na quinta?
Solução
A matriz de transição de duas etapas é dada por .
Como a chuva na quinta-feira é equivalente ao processo estar no estado
0 ou no estado 1, a probabilidade desejada é dada por
.
n
n
P =
⎡⎢⎣0, 7 0 0, 3 0
0, 5 0 0, 5 0
0 0, 4 0 0, 6
0 0, 2 0 0, 8
⎤⎥⎦P 2 = P × P
P 2 = × =
⎡⎢⎣0, 7 0 0, 3 0
0, 5 0 0, 5 0
0 0, 4 0 0, 6
0 0, 2 0 0, 8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0, 7 0 0, 3 0
0, 5 0 0, 5 0
0 0, 4 0 0, 6
0 0, 2 0 0, 8
⎤⎥⎦P 2
00 + P 2
01 = 0, 49 + 0, 12 = 0, 61
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Distribuição estacionária de uma
cadeia regular de Markov
Agora que conhecemos a arquitetura geral de uma cadeia de Markov, é
hora de ver como podemos analisar uma cadeia de Markov para fazer
previsões sobre o comportamento do sistema. Para isso,
consideraremos primeiro o conceito de distribuição estacionária.
Primeiro, vamos definir o que queremos dizer quando dizemos que um
processo é estacionário.
De�nição
Um processo estocástico (tempo discreto) é
estacionário se para quaisquer pontos de tempo e qualquer
, a distribuição conjunta de é a mesma que a
distribuição conjunta de .
Assim, "estacionário" refere-se a "estacionário no tempo". Em particular,
para um processo estacionário, a distribuição de é a mesma para
todos os .
Então, por que nos importamos se a cadeia de Markov é
estacionária?
Resposta
Se fosse estacionária e soubéssemos qual é a distribuição de cada ,
saberíamos a proporção de tempo em que a cadeia de Markov estava
em qualquer estado.
Por exemplo, suponha que o processo seja estacionário e saibamos que
 1/10 para cada . Então, em mais de períodos de
tempo, devemos esperar que aproximadamente 100 desses períodos de
tempo tenham sido gastos no estado 2, e ao longo de períodos de
tempo, aproximadamente desses períodos de tempo tenham
sido gastos no estado 2.
À medida que vai para o infinito, a proporção de tempo gasto no
estado 2 convergirá para 1/10 (isso pode ser provado rigorosamente por
alguma forma da Lei dos grandes números). Uma das características
atraentes das cadeias de Markov é que muitas vezes podemos torná-las
estacionárias e há uma caracterização interessante e clara da
distribuição de quando é estacionário.
Então, como fazemos uma cadeia de Markov ser
estacionária?
{Xn : n ≥ 0}
i1,… , in
m ≥ 0 (Xi1,… ,Xin )
(Xi1+m,… ,Xin+m)
Xn
n
Xn
P (Xn = 2) = n 1.000
N
N/10
N
Xn
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Se ela pode ser estacionária (e nem todos eles podem, por exemplo, o
passeio aleatório simples não pode ser estacionário e, mais geralmente,
uma cadeia de Markov em que todos os estados são transitórios ou
recorrentes nulos não pode ser estacionária), assim, tornando-a
estacionária é simplesmente uma questão de escolher a distribuição
inicial correta para . Se a cadeia de Markov é estacionária, então
chamamos a distribuição comum de todos os de distribuição
estacionária da cadeia de Markov.
Vamos ver agora como encontramos uma distribuição estacionária para
uma cadeia de Markov.
Proposição
Suponha que seja uma cadeia de Markov com espaço de estados e
matriz de probabilidade de transição . Se ) é uma
distribuição sobre (ou seja, é um vetor (linha) com componentes
tais que para todo ), então definir a
distribuição inicial de igual a tornará a cadeia de Markov
estacionária com distribuição estacionária se:
Logo:
Para todo .
Em outras palavras, é o produto escalar entre e a j-ésima coluna de
.
Exemplo
Considere apenas a classe recorrente . A matriz de transição
para essa classe é:
Intuitivamente, a cadeia passa um terço do seu tempo no estado 1, um
terço do seu tempo no estado 7 e um terço do seu tempo no estado 10.
Pode-se verificar facilmente que a distribuição 
X0
Xn
X S
P π = (πj, j ∈ S
S π |S|
∑j πj = 1 e πj ≥ 0 j ∈ S
X0 π
π
π = πP
πj =∑
i∈S
πi × pij
j ∈ S
πj π
P
{1, 7, 10}
P =
1 7 10
1
7
10
⎡⎢⎣0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎤⎥⎦ π = (1/3, 1/3, 1/3)
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satisfaz , assim, é uma distribuição
estacionária.
Exemplo
Três em cada quatro caminhões em uma estrada são seguidos por um
carro, enquanto apenas um em cada cinco carros é seguido por um
caminhão. Que fração dos veículos na estrada são caminhões?
Solução
Imagine-se sentado à beira da estrada observando os veículos
passarem. Se um caminhão passar, o próximo veículo será um carro
com probabilidade 3/4 e será um caminhão com probabilidade 1/4. Se
um carro passar, o próximo veículo será um carro com probabilidade 4/5
e será um caminhão com probabilidade 1/5. Podemos configurar isso
como uma cadeia de Markov com dois estados 0 = caminhão e 1 =
carro, e matrizes de probabilidade de transição.
As equações são:
Resolvendo, temos da primeira equação que , ou
. Colocando isso na restrição de que ,
temos que , ou , ou .
Portanto, . Ou seja, como estamos sentados à beira da
estrada, a proporção de longo prazo de veículos que serão caminhões é
de .
Precisamos da restrição de que para
determinar uma solução.
Em geral, precisamos da restrição de que para determinar
uma solução. Isso ocorre porque o sistema de equações tem
em si mesmo infinitas soluções; (se é uma solução, então também
é para qualquer constante c). Precisamos da restrição de normalização
basicamente para determinar c para tornar uma distribuição adequada
sobre .
π = πP e (1/3, 1/3, 1/3)
P = [ ]
0 1
0
1
1/4 3/4
1/5 4/5
π = πP
π0 =
1
4
π0 +
1
5
π1 e π1 =
3
4
π0 +
4
5
π1
(3/4)π0 = (1/5)π1
π0 = (4/15)π1 π0 + π1 = 1
(4/15)π1 + π1 = 1 (19/15)π1 = 1 π1 = 15/19
π0 = 4/19
4/19
π0 + π1 = 1
∑j∈S πj = 1
π = πP
π cπ
π
S
03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
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Exemplo
Considere a cadeia de Markov a seguir. Encontre a distribuição
estacionária para esta cadeia:
Solução
Para encontrar a distribuição estacionária, precisamos resolver:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Mão na massa
Questão 1
π1 =
1
4
π1 +
1
3
π2 +
1
2
π3
π2 =
1
2
π1
π3 =
1
4
π1 +
2
3
π2 +
1
2
π3
π1 + π2 + π3 = 1
π1 =
3
8
, π2 =
3
16
, π3 =
7
16

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Suponha que nossa matriz de transição de probabilidade seja a
apresentada a seguir e encontre a distribuição estacionária para
esta cadeia.
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%Questão 2
Encontre a distribuição estacionária da cadeia de Markov a seguir:
P =
⎡⎢⎣0, 7 0, 2 0, 1
0, 4 0, 6 0
0 1 0
⎤⎥⎦A 0,44, 0,41, 0,15.
B 0,54, 0,41, 0,05.
C 0,54, 0,21, 0,25.
D 0,34, 0,41, 0,25.
E 0,44, 0,21, 0,35.
P =
⎡⎢⎣ 0 0, 9 0, 1 0
0, 8 0, 1 0 0, 1
0 0, 5 0, 3 0, 2
0, 1 0 0 0, 9
⎤⎥⎦A 0,2788, 0,3009, 0,0398, 0,3805.
B 0,1788, 0,3009, 0,1398, 0,3805.
C 0,2788, 0,1009, 0,2398, 0,3805.
D 0,2788, 0,2009, 0,0398, 0,4805.
E 0,0788, 0,3009, 0,2398, 0,3805.
03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 46/53
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Questão 3
Seja a classe social de uma família: 1 (inferior), 2 (médio), 3
(superior) na enésima geração. Isso foi modelado como uma
cadeia de Markov com matriz de transição apresentada a seguir.
Qual será a distribuição estacionária?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Questão 4
Uma cadeia de Markov , começando em ,
tem a matriz de probabilidade de transição:
Seja a primeira vez que o processo
atinge o estado 2, no qual é absorvido. Se em algum experimento
observamos tal processo e notamos que a absorção ainda não
ocorreu, podemos estar interessados na probabilidade condicional
de que o processo esteja no estado 0 (ou 1), dado que a absorção
não ocorreu. Determine .
Xn
P =
⎡⎢⎣0, 8 0, 1 0, 1
0, 2 0, 6 0, 2
0, 3 0, 3 0, 4
⎤⎥⎦A 0.69, 0.17, 0.14.
B 0.5471, 0.2715, 0.1814.
C 0.5454, 0.2727, 0.1818.
D 0.5430, 0.2745, 0.1825.
E 0.5441, 0.2737, 0.1822.
Xn ∈ {0, 1, 2} X0 = 0
P =
⎡⎢⎣0, 7 0, 2 0, 1
0, 3 0, 5 0, 2
0 0 1
⎤⎥⎦T = inf {n ≥ 0 ∣ Xn = 2}
P [X3 = 0 ∣ T > 3]
03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 47/53
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Questão 5
O proprietário de um posto de gasolina está considerando o efeito
em seu negócio (Superpet) de um novo posto de gasolina (Global)
que abriu logo abaixo da estrada. Atualmente (do mercado total
compartilhado entre Superpet e Global), Superpet tem 80% do
mercado e Global tem 20%. A análise da última semana indicou as
seguintes probabilidades de os clientes trocarem de estação em
que param a cada semana:
Qual será a participação de mercado esperada para Superpet e
Global depois de mais duas semanas?
A 0,5845
B 0,5972
C 0,6108
D 0,6652
E 0,6843
Para
S G
De  [ ]Superpet
Global
0, 75 0, 25
0, 55 0, 45
A
69,2% e 30,8% para Superpet e Global,
respectivamente.
B
30.8% e 69,2% para Superpet e Global,
respectivamente.
C
59,2% e 40,8% para Superpet e Global,
respectivamente.
03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 48/53
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%
heading%20u-title-
xsmall%22%3EComportamento%20de%20mercado%3C%2Fh4%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
video-
player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3D841bbaaffd494ceb9384
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 6
O proprietário de um posto de gasolina está considerando o efeito
em seu negócio (Superpet) de um novo posto de gasolina (Global)
que abriu logo abaixo da estrada. Atualmente (do mercado total
compartilhado entre Superpet e Global). Superpet tem 80% do
mercado e Global tem 20%. A análise da última semana indicou as
seguintes probabilidades de os clientes trocarem de estação em
que param a cada semana:
Qual seria a previsão de longo prazo para a participação de
mercado esperada para Superpet e Global?
D
40.8% e 59,2% para Superpet e Global,
respectivamente.
E
65,2% e 35,8% para Superpet e Global,
respectivamente.
Para
S G
De  [ ]Superpet
Global
0, 75 0, 25
0, 55 0, 45
A
68,75% e 31,25% para Superpet e Global,
respectivamente.
B
31.25% e 68,75% para Superpet e Global,
respectivamente.
C
58,75% e 41,25% para Superpet e Global,
respectivamente.
D
41.25% e 58,75% para Superpet e Global,
respectivamente.
03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 49/53
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAssista%20ao%20v%C3%ADdeo%20para%20conferir%20a%20resolu%C3%A7%C3%A3o%20da%
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xsmall%22%3EComportamento%20de%20mercado%20%E2%80%93%20previs%C3%A3o%3C%2Fh4%3E%0A%2
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player%20src%3D%22https%3A%2F%2Fplay.yduqs.videolib.live%2Fplayer%3Ftoken%3De5641341155d48348dd
video-
player%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
Uma grande empresa de publicidade está considerando usar a teoria de
Markov para analisar a participação de mercado para toners para
impressoras a laser, fabricadas e vendidas por seu cliente. Os dados da
pesquisa foram coletados e usados para estimar a seguinte matriz de
transição para a probabilidade de mudar de marca a cada mês:
A participação de mercado atual (mês 1) é de 45%, 25% e 30% para as
marcas 1, 2 e 3, respectivamente.
Quais serão as participações de mercado esperadas depois de dois
meses (ou seja, no mês 3)?
Qual é a previsão de longo prazo para a participação de mercado
esperada para cada uma das três marcas?
Você esperaria que a participação de mercado real se aproximasse
da previsão de longo prazo para o mercado ou não (e por quê)?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
E
48,75% e 51,25% para Superpet e Global,
respectivamente.
_black
1 2 3
1
2
3
⎡⎢⎣0, 80 0, 10 0, 10
0, 03 0, 95 0, 02
0, 20 0, 05 0, 75
⎤⎥⎦Mostrar solução
03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 50/53
Ao analisar a mudança de escolha, por parte dos clientes, entre
diferentes marcas de tubos de cobre, uma pesquisa foi estabelecida
e os dados coletados foram usados para estimar a seguinte matriz
de transição para a probabilidade de mudança entre marcas a cada
mês:
As quotas de mercado atuais (mês 1) são de 45%, 23%, 20% e 12%
para as marcas 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Quais serão as quotas
de mercado esperadas depois de dois meses (ou seja, no mês 3)?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Questão 2
Um pesquisador está analisando a troca entre dois produtos
diferentes. Ela sabe que no período 1 as quotas de mercado para os
dois produtos foram de 55% e 45%, mas que no período 2 as quotas
de mercado correspondentes foram de 67% e 33% e no período 3
foram de 70% e 30%. O pesquisador acredita que uma
representação precisa da participação de mercado em qualquer
período pode ser obtida por meio de processos de Markov.
Supondo que sua crença esteja correta, estime a matriz de
transição.
1 2 3 4
1
2
3
4
⎡⎢⎣0, 95 0, 02 0, 02 0, 01
0, 05 0, 90 0, 02 0, 03
0, 10 0, 05 0, 83 0, 02
0, 13 0, 13 0, 02 0, 72
⎤⎥⎦A
48,44%, 24,93%, 16,74% e 18,89% para as marcas 1, 2,
3 e 4 respectivamente.
B
49,44%, 14,93%, 26,74% e 8,89% para as marcas 1, 2, 3
e 4 respectivamente.
C
49,44%, 24,93%, 16,74% e 8,89% para as marcas 1, 2, 3
e 4 respectivamente.
D
49,44%,24,93%, 6,74% e 18,89% para as marcas 1, 2, 3
e 4 respectivamente.
E
39,44%, 14,93%, 16,74% e 28,89% para as marcas 1, 2,
3 e 4 respectivamente.
03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 51/53
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVeja%20o%20feedback%20completo%20no%20Solucion%C3%A1rio%20disponibilizado%20no%
Considerações �nais
Neste conteúdo, vimos que as cadeias de Markov são usadas para
modelar probabilidades com base em informações que podem ser
codificadas no estado atual. Algo transita de um estado para outro
semialeatoriamente ou estocasticamente. Cada estado tem certa
probabilidade de transição para outro estado, então cada vez que você
está em um estado e deseja fazer a transição, uma cadeia de Markov
pode prever resultados com base em dados de probabilidade
preexistentes. Mais tecnicamente, a informação é colocada em uma
matriz e um vetor — também chamado de matriz coluna — e com muitas
iterações, uma coleção de vetores de probabilidade compõe as cadeias
de Markov.
Demonstramos que um modelo de Markov é um modelo estocástico
com a propriedade de que os estados futuros são determinados apenas
pelo estado atual — isto é, o modelo não tem memória; ele só sabe em
que estado está agora, não qualquer um dos estados que ocorreram
anteriormente.
A 70,75% e 29,25%.
B 60,75% e 39,25%.
C 50,75% e 49,25%.
D 29,25% e 70,75%.
E 99,25% e 60,75%.
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03/06/2024, 18:22 Processos estocásticos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04495/index.html?brand=estacio# 52/53
Para se aprofundar neste assunto, recomendamos buscá-lo nos
seguintes portais:
Portal de Periódicos da Capes.
Biblioteca Digital de Domínio Público.
Referências
CHING, W. et al. Markov chains models, algorithms and applications.
2nd ed. Boston, MA: Springer, 2013.
GAGNIUC, P. A. Markov chains: from theory to implementation and
experimentation. New York: Wiley, 2017.
MEYER, C. D.; PLEMMONS, R. J. Linear algebra, Markov chains, and
queueing models. New York: Springer Nature, 2019.
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