Nota de aula_Capitulo 2 (Parte 3)

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Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
2.3 ANALISE DE UMA VIGA CONTÍNUA (Sala de Aula) 
Para a viga ilustrada na Figura 2.7, objetiva-se traçar o diagrama de momento fletor e obter 
as reações de apoio. Considere EI constante, e despreze a contribuição da energia de 
deformação para o efeito cisalhante no cálculo dos deslocamentos. 
Iniciando a aplicação do Método das Forças, calcula-se o grau de hiperestaticidade da viga: 
(2 1 1 1) 3 2g NI NE= − = + + + − = . 
Como existe mais de uma opção para definição do Sistema Principal, a análise será feita 
usando dois sistemas distintos. O primeiro deles eliminando vínculos externos, ou seja, 
liberando graus de liberdade com restrição imposta por condição externa (apoio). 
Posteriormente, eliminando vínculos internos, através da liberação de graus de liberdade de 
seções internas, não necessariamente com condição de restrição imposta por algum meio 
exterior. Cabe esclarecer que várias possibilidades existem para cada uma das escolhas 
(eliminar vínculos externos ou internos). 
 
Figura 2.7. Viga contínua 
2.3.1 SOLUÇÃO 1: Eliminando vínculos externos (reações de apoio) 
Considere, inicialmente, o SP mostrado na Figura 2.8. A estrutura isostática representada 
foi estabelecida liberando os deslocamentos verticais das seções B e C. Sendo assim, define-se 
como hiperestáticos, as reações força vertical nessas seções, denotadas respectivamente por 
X1 e X2. O sentido dessas forças é arbitrário, e será mantido ou corrigido ao final. 
 
Figura 2.8. Sistema Principal e hiperestáticos para a Solução 1 
12 kN/m
4 m 4 m 4 m
A B C D
X1 X2
A B C D
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O objetivo inicial é encontrar os Hiperestáticos X1 e X2 tais que as condições de 
compatibilidade violadas sejam restabelecidas, ou seja, de modo que os deslocamentos 
verticais da seção B e C se anulem como na estrutura original (Figura 2.7). 
O passo seguinte é a solução dos casos básicos para obtenção dos deslocamentos na direção 
dos vínculos eliminados, ou seja, deslocamento vertical das seções B e C. Em cada uma 
dessas soluções básicas faz-se necessário obter as reações de apoio e os esforços internos para 
cálculos desses deslocamentos, conforme apresentado no capítulo anterior. 
Nas figuras a seguir, 2.9, 2.10 e 2.11, são exibidas a estrutura, o carregamento atuante, a sua 
configuração deformada (em linha tracejada), os deslocamentos a serem determinados, as 
reações de apoio e o diagrama de momento fletor para cada caso básico. Vale destacar que 
o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos é feita impondo as condições de 
equilíbrio estático. Maiores detalhes serão fornecidos em sala de aula. 
 
(a) Configuração deformada e termos de carga 
 
(b) Diagrama de momento fletor, M0 (valores em kNm) 
Figura 2.9. Caso 0: Solicitação externa isolada no Sistema Principal 
 
O cálculo dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade é apresentado a seguir. 
Ressalta-se que o Princípio das Forças Virtuais é aplicado, e faz-se uso da Tabela do 
Apêndice 1 para combinação de digramas. Perceba a alteração das unidades para os 
coeficientes de flexibilidade. 
1 0
10
1 7681 8 1 8 1 8
4 64 4 24 8 64
3 3 3 3 3 3
m
estrutura
M M
dx
EI EI EI
    δ = = + = −− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅        
 
12 kN/m
A B C D
δ10 δ20
40 8
32
6424
A B C D
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(a) Configuração deformada e coeficientes de flexibilidade 
 
(b) Diagrama de momento fletor, M1 (valores em kNm/kN) 
Figura 2.10. Caso 1: Hiperestático X1 isolado no Sistema Principal 
 
 
(a) Configuração deformada e coeficientes de flexibilidade 
 
(b) Diagrama de momento fletor, M2 (valores em kNm/kN) 
Figura 2.11. Caso 2: Hiperestático X2 isolado no Sistema Principal 
 
2 0
20
1 4 1 4
4 64 4 24
3 3 3 3
1 6401 4 1 8 1 4 1 8
4 64 4 64 4 32 4 32
3 3 6 3 6 3 3 3
1 8
4 32
3 3
m
estrutura
M M
dx
EI EI EI
   +− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅    
  δ = = + + = −− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅    
  + − ⋅ ⋅ ⋅    
 
1 1
11
1 28, 4441 8 8
12
3 3 3
m kN
estrutura
M M
dx
EI EI EI
  δ = = =+ ⋅ ⋅ ⋅    

 
A B C D
1
δ11 δ21
2
3
1
3
. X1
B C
8
3 4
3
A D
A B C D
1
δ21 δ22
1
3
2
3
. X2
B C
8
34
3
A D
Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
2 2
22
1 28, 4441 8 8
12
3 3 3
m kN
estrutura
M M
dx
EI EI EI
  δ = = =+ ⋅ ⋅ ⋅    
 
1 2
12 21
1 4 8
4
3 3 3
1 1 4 8 1 8 8 1 4 4 1 4 8
4 4 4 4
3 3 3 6 3 3 6 3 3 3 3 3
1 4 8
4
3 3 3
24,888
 m kN
estrutura
M M
dx
EI EI
EI
   ++ ⋅ ⋅ ⋅    
  δ = δ = = + + =+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅    
  + + ⋅ ⋅ ⋅    
=

 
Pode-se agora restabelecer as condições cinemáticas de forma a encontrar os hiperestáticos. 
Aplica-se então o Princípio da Superposição de Efeitos e impõe a condição de deslocamentos 
verticais das seções B e C nulos: 
10 11 1 21 2
0
Y
B X X∆ = δ + δ + δ = (2.9) 
20 21 1 22 2
0
C
Y X X∆ = δ + δ + δ = (2.10) 
Usando os parâmetros já conhecidos, e colocando (2.9) e (2.10) na forma matricial, vem: 
1
2
768 28, 444 24,888 01 1
640 24,888 28, 444 0
X
XEI EI
−       
+ =      −      
 (2.11) 
cuja solução fornece X1 = 31,2 kN (reação força vertical em B) e X2 = -4,8 kN (reação força 
vertical em C). O sinal negativo para X2 indica que sentido arbitrado inicialmente (Figura 
2.8) é incorreto. Aconselha-se usar a regra de Cramer para resolver o sistema de equações. 
Usando os resultados apresentados nas Figuras 2.9, 2.10 e 2.11 e aplicando, mais uma vez, o 
Princípio da Superposição de Efeitos, as demais reações de apoio e os esforços internos podem 
ser encontrados através da Equação 2.6: 
( ) ( )0 1 1 2 2
2 1
40 31,2 20,8 kN4,8
3 3
A A A AR R R X R X
   = + + = + ⋅ + ⋅ =−− − ↑   
   
 
( ) ( )0 1 1 2 2
1 2
8 31,2 0,8 kN4,8
3 3
D D D DR R R X R X
   = + + = + ⋅ + ⋅ =−− − ↑   
   
 
( )0 1 1 2 2
8 4
64 31,2 12,8 kNm4,8
3 3
B B B BM M M X M X
   = + + = + + ⋅ + ⋅ = −−− −   
   
 
( )0 1 1 2 2
4 8
32 31,2 3,2 kNm4,8
3 3
C C C CM M M X M X
   = + + = + + ⋅ + ⋅ = +−− −   
   
 
Cabe comentar que o sinal positivo para o momento representa tração na fibra inferior. 
A Figura 2.12 ilustra o diagrama de momento fletor para a estrutura hiperestática estudada. 
Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
As reações de apoio estão também indicadas. 
 
 
Figura 2.12. Reações de apoio (kN) e momento fletor (kNm) para a viga contínua 
24
12,8
3,2
20,8 31,2 4,8 0,8
A B C D