Nota de aula_Capitulo 2 (Parte 6)

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Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
2.8. ANÁLISE DE UMA VIGA SUBMETIDA A VARIAÇÃO UNIFORME DE TEMPERATURA 
O objetivo desta seção é apresentar a influência da solicitação térmica na análise de uma 
estrutura hiperestática. É sabido que essa solicitação não gera esforços internos numa 
estrutura isostática. Para uma variação uniforme de temperatura, ocorre deslocamento 
longitudinal. Quando existe uma variação de temperatura ao longo das fibras da seção 
transversal, tem-se a flexão estrutural. Entretanto, se a estrutura for hiperestática, esforços 
internos surgem nas seções transversais, devido à resistência oferecida a esse tipo de 
solicitação. 
A variação de temperatura, assim como toda ação externa, deve ser considerada no caso 
básico 0. Sendo assim, o termo de carga devido a essa ação é calculado através da seguinte 
expressão: 
0
T T
i i i
estrutura estrutura
N du M dδ = + θ  (2.18) 
com, 
T
CGdu T dx= α∆ e 
( )i ST T T dxd
h
α ∆ −∆
θ = . (2.19) 
sendo duT e dθT o deslocamento axial relativo e a rotação relativa devidos à variação de 
temperatura, respectivamente; ∆Ti, ∆TS e ∆TCG representam a variação de temperatura na 
fibra inferior, na fibra superior e na fibra que contém o centroide, respectivamente. O termo 
h refere-se à altura da seção transversal, e α é o coeficiente de dilatação térmica. 
Como exemplo inicial, considere a viga ilustrada na Figura 2.28(a). Admita que essa 
estrutura esteja submetida a um acréscimo de temperatura uniforme, ∆T. Objetiva-se obter 
o diagrama de esforço normal e as reações de apoio da viga. 
 
 
(a) Estrutura hiperestática (b) Sistema Principal e Hiperestático 
Figura 2.28. Viga com variação de temperatura uniforme 
 
A viga com dois apoios do 2o gênero nas extremidades tem grau de hiperestaticidade igual a 
L
A B
X1A B
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1. O Sistema Principal escolhido é a viga biapoiada ilustrada na Figura 2.28(b). Nessa figura, 
o hiperestático refere-se à reação força horizontal em B, em virtude da liberação do 
deslocamento horizontal dessa seção. Sendo assim, em cada caso básico, será calculado esse 
grau de liberdade. A Figura 2.29 ilustra as soluções básicas. No Caso 0 (Figura 2.29a) mostra-
se o termo de carga a ser calculado. Nenhum esforço interno é desenvolvido uma vez que a 
viga isostática adquire uma configuração de equilíbrio sem resistência à solicitação. No Caso 
1, para o hiperestático unitário, o esforço normal desenvolvido na viga é igual a um, como 
ilustra a Figura 2.29b. Assim, o termo de carga e coeficiente de flexibilidade podem ser 
calculados: 
 
 
(a) Caso O: Solicitação externa no SP (b) Caso 1: Hiperestático X1 no SP 
Figura 2.29. Viga com variação de temperatura uniforme 
 
10 1
0
L
T
CG
estrutura
N du T dx L Tδ = = α∆ = α ∆  
( )[ ]1 111
1
1 1 1
estrutura
N N L
dx L
EA EA EA
δ = = =⋅ ⋅ ⋅ 
Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos para restabelecer a condição de 
compatibilidade, ou seja, deslocamento horizontal da seção B nulo, vem: 
, 10 11 1
0B X X∆ = δ + δ = (2.20) 
10
1
11
L T
X EA T
L
EA
δ α ∆
= − = − = −α ∆
δ
 (2.21) 
Sendo assim, o sinal negativo para X1 (hiperestático que representa a reação força horizontal 
em B) indica que o seu sentido é para a esquerda. A consideração inicial estava então 
incorreta. O esforço normal na viga e a reação força horizontal em A podem ser obtidos por 
superposição de efeitos, através das expressões: 
BA
δ10
1
δ11
. X1
1
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( )0 1 1 0 1N N N X EA T EA T= + = + ⋅ −α ∆ = −α ∆ (compressão) 
e 
( ) ( ) ( )0 1 1 0 1R R RX EA T EA T= + = + − ⋅ −α ∆ = +α ∆ → . 
Na próxima seção será estudado o efeito de uma variação não uniforme de temperatura ao 
longo das fibras da seção transversal no comportamento de um pórtico plano. 
 
2.9. ANÁLISE DE UM PÓRTICO SUBMETIDO A VARIAÇÃO NÃO UNIFORME DE 
TEMPERATURA 
Considere agora o pórtico ilustrado na Figura 2.30a. A estrutura é constituída por duas 
barras e a solicitação externa atuante trata-se de um aquecimento (variação de temperatura 
positiva e igual a 12oC) de um dos lados dessas barras (lado interno) com o observador ali 
situado. A configuração deformada do pórtico está representada em linha tracejada, e é 
possível notar que as barras sofrem flexão (eixo curvo da barra após a atuação do 
carregamento). Na Figura 2.30b indica-se o diagrama de momento fletor dessa estrutura que 
será encontrado aplicando o Método das Forças. 
Considere a seção transversal retangular (b = 0,2 m e h = 0,6 m), módulo de elasticidade 
E = 108 kN/m2, e coeficiente de dilatação térmica α = 1,2$10-5/0C. 
Percebe-se que o grau de hiperestaticidade dessa estrutura é igual a um (g = NI - NE=4 - 3). 
A partir daí o Sistema Principal pode ser obtido liberando, por exemplo, o deslocamento 
horizontal da seção C, que apresenta restrição de translação nas duas direções X e Y. A 
estrutura isostática assim obtida é exibida na Figura 2.31. O Hiperestático X1 que indica, 
portanto, a reação força horizontal em C é também mostrada. Vale ressaltar que a 
consideração dessa força X1 visa estabelecer a equivalência estática entre o SP e a estrutura 
original. 
Com o Sistema Principal definido, passa-se à análise das soluções básicas. Em cada uma 
delas, objetiva-se obter o deslocamento horizontal da seção C. No Caso 0, esse deslocamento 
é denotado termo de carga, e no caso 1, coeficientes de flexibilidade. 
No Caso 0, como a estrutura é isostática, nenhuma restrição a essa solicitação ocorre. 
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Portanto, nenhum esforço interno é desenvolvido. Verifica-se na Figura 2.32 a configuração 
deformada do pórtico em linha tracejada, e o deslocamento δ10 que será calculado mais 
adiante. 
 
 
(a) Geometria e carregamento (b) Momento fletor em kNm 
Figura 2.30. Pórtico submetido a variação não uniforme de temperatura 
 
 
Figura 2.31. Sistema principal e hiperestático 
 
Na Figura 2.33 mostra-se o pórtico submetido ao hiperestático X1. Considera-se para 
simplificação o valor unitário para o hiperestático, e posteriormente, todos os efeitos elásticos 
devem ser multiplicados pelo valor da incógnita X1. Na figura estão indicadas a configuração 
deformada e o coeficiente de flexibilidade δ11. Os diagramas de esforço normal e momento 
fletor decorrentes dessa solicitação (X1 = 1) estão ilustradas nas Figuras 2.34a e 2.34b. 
Perceba que as unidades desses efeitos estão alteradas pela unidade do hiperestático. 
O cálculo dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade é apresentado a seguir. 
Ressalta-se que para cálculo do termo de carga é feito através da Equação (2.16), usando 
(2.17). Já o Princípio das Forças Virtuais é aplicado, com o auxílio da Tabela 1 do Apêndice 
A, e adotado para cálculo do coeficiente de flexibilidade. Sendo assim, tem-se: 
A
B C
4 m 6 m
3 
m
12 oC
12 oC
observador
167,8
X1
A
B
C
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Figura 2.32. Caso 0: Solicitação externa isolada no Sistema Principal 
 
 
Figura 2.33. Caso 1: Hiperestático X1 isolado no Sistema Principal 
 
 
(a) Esforço normal (kN/kN) (b) Momento fletor (kNm/kN) 
Figura 2.34. Viga com variação de temperatura uniforme 
 
10 1 1
T T
estrutura estrutura
M d N duδ = θ +  , com: 
6
T
CGdu T dx dx= α∆ = α e 
( ) ( )12 0
20
0,6
i ST T T dx dxd dx
h
α ∆ − ∆ α −
θ = = = α . 
Substituindo os valores, vem: 
1
1
10
área orientada sob N
área orientada sob M
3
10
1 1
1 6 0,98 51,8 5 1,8 6
20 6 198 65, 4 263, 42 2
3,1608 10 m−
 
⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅   δ = α + α = α + α = α   
 
δ = ⋅
�����
��������� 
Já o coeficiente de flexibilidade é obtido através da seguinte equação: 
A
B
C
δ10
12oC
12 oC
1
δ11
A
B
C
1,0
0,3
0,3
. X1
0,98
1,00
A
B
C
A
B
C
1,8
1,8
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[ ]11
5
11
1 1 11,88 10,8021 1
1 0,98 0,98 5 1 1 1 61,8 1,8 5 1,8 1,8 6
3 3
3,39 10 m kN
EI EA EI EA
−
 
δ = + = +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅  
δ = ⋅
 
Cabe esclarecer que: 
3 3
8 4
2
0,2 0,6
10 360000 
12 12
2kNm
bh kN
EI E m
m
⋅
= = ⋅ = 
e, 
8 2 6
2
10 0, 2 0,6 12 10 kN
kN
EA Ebh m
m
= = ⋅ ⋅ = ⋅ . 
Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos para restabelecer a condição de 
compatibilidade, ou seja, deslocamento horizontal da seção B nulo, vem: 
10 11 1
0
X
B X∆ = δ + δ = (2.22) 
3 5
1 13,1608 10 3,39 10 0 93,23 kNX X
− −⋅ + ⋅ = ∴ = − (2.23) 
Por fim, também considerando o Princípio da Superposição de Efeitos, o momento fletor em 
B pode ser encontrado: 
( )0 1 1 0 1,8 93,23 167,8 kNmBM M M X M= + ∴ = + ⋅ − = − 
O sinal negativo indica que o sentido do esforço é o contrário daquele encontrado no caso 1. 
O diagrama de momento final está ilustrado na Figura 2.30b mostrada anteriormente. 
 
2.10 ANALISE DE UM PÓRTICO SIMPLES COM VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (Atividade 
extra) 
Para o quadro exibido na Figura 2.35, determine as reações de apoio e o diagrama de 
momento fletor. Procure interpretar (dar o significado físico) dos hiperestáticos, dos termos 
de carga e dos coeficientes de flexibilidade. Coloque as unidades em todos os parâmetros 
calculados e diagramas apresentados. Considere a seção transversal retangular (b = 0,2 m e 
h = 0,5 m), módulo de elasticidade E = 108 kN/m2, e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10 -5/oC. 
 
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Figura 2.35. Pórtico simples com variação de temperatura 
 
2.11 ANÁLISE DE UM PÓRTICO COM RECALQUE DE APOIO 
O recalque de apoio é um fenômeno comum na prática da construção civil e pode acontecer 
devido, por exemplo, ao rebaixamento do solo sob sua fundação. É uma solicitação externa 
e gera deformações numa estrutura hiperestática. Sendo assim, na aplicação do Método das 
Forças, o efeito dos recalques de apoio são considerados no termo de carga. Sendo assim, a 
expressão para calculá-los é: 
( )0 0i i
recalques
Rδ = − ⋅ρ (2.24) 
na qual ρ0 representa um determinado recalque de apoio e Ri a reação na direção desse 
recalque para o caso básico i. Para ρ0 e Ri no mesmo sentido, o produto será considerado 
positivo. O recalque de apoio é uma solicitação externa referente ao deslocamento ou rotação 
de uma seção. Para que aconteça o recalque tem-se a necessidade de haver a restrição do 
grau de liberdade na direção do recalque. 
Para exemplificar então a aplicação do Método das Forças quando se tem esse tipo de 
solicitação, considere o pórtico ilustrado na Figura 2.36a. Na seção A está indicado o recalque 
de apoio, ou seja, o deslocamento na direção Y de intensidade 0,01 m. A configuração 
deformada dessa estrutura é indicada na Figura 2.36b em escala ampliada. Pode-se perceber 
o deslocamento vertical sofrido pela seção A em decorrência da ação do recalque. Considere 
o módulo de elasticidade E = 2$108 kN/m2, e momento de inércia I = 5,1$10-5 m4. 
O grau de hiperestaticidade do pórtico é igual a 1 (g = 4 – 3), e o sistema principal adotado 
na análise está exibido na Figura 2.37. Comparando as Figuras 2.36a e 2.37 percebe que se 
4 m
3 
m
20oC
20
o C
20
oC
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optou por liberar a rotação da seção B para definir o SP. Sendo assim, o momento fletor em 
B é o hiperestático a ser determinado. Com a liberação da rotação, em cada solução básica 
do processo de análise, o objetivo será determinar a rotação relativa das seções adjacentes à 
rótula em B. 
 
 
(a) Geometria e solicitação (b) Configuração deformada 
Figura 2.36. Pórtico simples com recalque de apoio 
 
 
Figura 2.37. Sistema principal e hiperestático 
 
O recalque de apoio não gera esforços internos em uma estrutura isostática. Assim como a 
variação térmica, essa estrutura não oferece resistência a tal solicitação. Dessa forma, ocorre 
o deslocamento estrutural, mas sem o desenvolvimento de esforços internos. No caso do 
recalque de apoio, a estrutura isostática sofre apenas movimento de corpo rígido. 
A Figura 2.38a mostra a estrutura analisada na solução básica 1. Considera-se o hiperestático 
X1 com valor unitário, e multiplica-se os efeitos obtidos pelo valor do hiperestático X1. O 
diagrama de momento fletor e as reações de apoio são ilustrados na Figura 2.38b. 
Com isso, pode-se agora calcular o termo de carga e o coeficiente de flexibilidade, ou seja, as 
rotações relativas das seções adjacentes à rótula em B considerando a solicitação externa e 
o hiperestático unitário, respectivamente. 
0,01 m
A
B
C
4 m2 m
A
B C
1
X
1
X
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( )10 1 0
1
0,0025 0,01
4
rad
recalques
R
 
δ = − ρ = − =− ⋅ 
 
 
11
1 101
 1 1 1 2 1 1 4
33
rad kNm
EI EI
 
δ = =⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅  
 
Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos para restabelecer a condição de 
compatibilidade, ou seja, a rotação relativa das seções adjacentes à rótula na seção B nula, 
vem: 
10 11 1
0 0
relativa
B Xθ = ∴δ + δ = (2.25) 
1 18 5
10
0,0025 0 7,65 
3 2 10 5,1 10
kNX X
−
+ = ∴ = −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 (2.26) 
 
 
 
(a) Solicitação no Caso 1 (b) Momento fletor e reações de apoio 
Figura 2.38. Caso 1: Hiperestático X1 isolado no SP 
 
Novamente, aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos chega-se ao diagrama de 
momento fletor da estrutura hiperestática (Figura 2.39): 
0 1 1 0 ( 1) ( 7,65) 7,65 kNmBM M M X M= + ∴ = + − ⋅ − = 
 
 
Figura 2.39. Diagrama de momento fletor em kNm 
1
1
. X1
1
1
1 4
1 4
1
7,65
7,65