Nota de aula_Capitulo 2 (Parte 4)

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Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
As reações de apoio estão também indicadas. 
 
 
Figura 2.12. Reações de apoio (kN) e momento fletor (kNm) para a viga contínua 
 
2.3.2 SOLUÇÃO 2: Eliminando vínculos internos ou continuidade interna 
(esforços internos) 
Outra possibilidade de definição de um sistema principal é liberando graus de liberdade de 
seções internas. Sendo assim, uma boa escolha, é liberar rotações nesse processo. Na Figura 
2.13 mostra-se um pórtico no qual a rotação da seção S foi liberada. Ao liberar a rotação, 
introduzindo uma rótula na seção, Figura 2.13b, o ângulo entre as tangentes à configuração 
deformada é diferente de zero, ou seja, as tangentes são diferentes, representando a 
descontinuidade de rotação. Perceba que na Figura 2.13a, as tangentes à esquerda e à direita 
de S são iguais. Isso representa a continuidade de rotação nesse ponto, típica da ligação 
rígida. Ao liberar a rotação de uma seção, o momento fletor nessa posição é nulo. Portanto, 
na definição do SP, o momento fletor em S é considerado como hiperestático. 
 
(a) Continuidade de rotação da seção S (b) Descontinuidade de rotação da seção S 
Figura 2.13. Liberação de vínculo interno. 
24
12,8
3,2
20,8 31,2 4,8 0,8
A B C D
continuidade 
de rotação
S
S
tangente à 
configuração 
deformada
S
S
tangente à 
configuração 
deformada
rotação relativa
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Seguindo essa ideia, a estrutura isostática mostrada na Figura 2.14 foi obtida a partir da 
estrutura original (Figura 2.7) liberando as rotações relativas das seções transversais B e C. 
Sendo assim, define-se como hiperestáticos, os momentos fletores nessas seções, denotados 
respectivamente por X1 e X2. O sentido desses momentos é arbitrário. 
Observe que o momento fletor deve ser introduzindo à esquerda e direita das rótulas 
introduzidas. Quando se introduz rótulas numa estrutura, existe a possibilidade de separação 
da mesma nos pontos onde a rótula foi introduzida. Na Figura 2.14b indica-se a separação 
da estrutura nas seções articuladas. Destacam-se os apoios fictícios, apoios do segundo 
gênero, que indicam a existência de duas forças de ligação. 
 
 
(a) Sistema Principal usado na Solução 2 e Hiperestáticos 
 
(b) Vigas independentes para análise 
Figura 2.14. Sistema Principal usado na Solução 2 e Hiperestáticos. 
 
O objetivo inicial é encontrar os Hiperestáticos X1 e X2 tais que as condições de 
compatibilidade violadas sejam restabelecidas. Nesse caso, as rotações relativas das seções 
adjacentes às rótulas em B e C devem ser nulas, pois existe uma continuidade de rotação 
nessas seções em virtude da presença de ligação rígida entre elas. 
O passo seguinte é a solução dos casos básicos para obtenção dos deslocamentos na direção 
dos vínculos liberados, ou seja, rotação relativa das seções adjacentes à rótula em B e em C. 
Nas figuras a seguir, 2.15, 2.16 e 2.17, será exibida a estrutura usada, o carregamento atuante, 
a sua configuração deformada (em linha tracejada), os deslocamentos a serem determinados 
em cada caso básico, as reações de apoio e o diagrama de momento fletor. 
A B C D
X1 X2
A B
X1 B CX1 X2 C D
X2
apoio fictício: na separação de uma 
rótula indica o ponto onde um trecho 
está sendo suportado por outro
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(a) Configuração deformada e termos de carga 
 
(b) Diagrama de momento fletor, M0 (valores em kNm) 
Figura 2.15. Caso 0: Solicitação externa isolada no Sistema Principal 
 
 
(a) Configuração deformada e coeficientes de flexibilidade 
 
(b) Diagrama de momento fletor, M1 (valores em kNm/kNm) 
Figura 2.16. Caso 1: Hiperestático X1 isolado no Sistema Principal 
 
Vale destacar que o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos é feita impondo as 
condições de equilíbrio estático. Maiores detalhes serão fornecidos em sala de aula. 
O cálculo dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade é apresentado a seguir. Será 
possível perceber como é mais direto o processo de cálculo para esse SP adotado. Ressalta-se 
novamente que o Princípio das Forças Virtuais é aplicado, e faz-se uso da Tabela 1 do 
Apêndice A para cálculo das integrais através da combinação de diagramas. 
1 0
10
1 321
4 24 1
3
rad
estrutura
M M
dx
EI EI EI
  δ = = = −− ⋅ ⋅ ⋅    
 
12 kN/m
A B C D
24 24
δ10 δ20=0
B C D
24
A
δ11 δ21
1
4
1
4
1
2
B C DA
1 1
. X1
1 1
B C DA
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(a) Configuração deformada e coeficientes de flexibilidade 
 
(b) Diagrama de momento fletor, M2 (valores em kNm/kNm) 
Figura 2.17. Caso 2: Hiperestático X2 isolado no Sistema Principal 
 
2 0
20
0
estrutura
M M
dx
EI
δ = = 
1 1
11
1 81
8 1 1
33
rad kNm
estrutura
M M
dx
EI EI EI
  δ = = =+ ⋅ ⋅ ⋅    
 
2 2
22
1 81
8 1 1
33
rad kNm
estrutura
M M
dx
EI EI EI
  δ = = =+ ⋅ ⋅ ⋅    
 
1 2
12 21
1 21
4 1 1
36
rad kNm
estrutura
M M
dx
EI EI EI
  δ = δ = = =+ ⋅ ⋅ ⋅    
 
Perceba novamente a alteração nas unidades dos coeficientes de flexibilidade. Importante ter 
atenção que, embora δ12 e δ21 sejam iguais em intensidade, as unidades desses parâmetros 
podem ser diferentes dependendo do SP adotado. 
Para restabelecer as condições cinemáticas de forma a encontrar os hiperestáticos, deve-se 
usar o Princípio da Superposição de Efeitos e anular as rotações relativas das seções 
adjacentes às rótulas em B e C: 
10 11 1 21 2
0
relativa
B X Xθ = δ +δ +δ = (2.12) 
10 11 1 21 2
0
relativa
C X Xθ = δ +δ +δ = (2.13) 
Usando os parâmetros já conhecidos, e colocando (2.12) e (2.13) na forma matricial, vem: 
1
2
32 8 3 2 3 01 1
0 2 3 8 3 0
X
XEI EI
−       
+ =      
      
 (2.14) 
cuja solução fornece X1 = 12,8 kNm (momento fletor em B) e X2 = -3,2 kNm (momento 
δ12
δ22
1
4
1
4
1
2
B C DA 1 1
. X2
1 1
B C DA
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fletor em C). O sinal negativo para X2 indica que sentido arbitrado inicialmente (Figura 
2.14) é incorreto. Na Figura 2.14, considerou-se que o momento tracionava fibra superior. 
Usando os resultados apresentados nas Figuras 2.15, 2.16 e 2.17, e aplicando o Princípio da 
Superposição de Efeitos, as reações de apoio (em kN) podem ser encontradas através da 
Equação 2.6: 
( )0 1 1 2 2
1
24 12,8 20,8 kN
4
A A A AR R R X R X
 = + + = + ⋅ =− ↑ 
 
 
( ) ( )0 1 1 2 2
1 1
24 12,8 31, 2 kN3, 2
2 4
B B B BR R R X R X
   = + + = + ⋅ + ⋅ =−− ↑   
   
 
( ) ( )0 1 1 2 2
1 1
0 12,8 4,8 kN3, 2
4 2
C C C CR R R X R X
   = + + = + ⋅ + ⋅ = −−− ↓   
   
 
( ) ( )0 1 1 2 2
1
0,8 kN3, 2
4
D D D DR R R X R X
 = + + = ⋅ =−− ↑ 
 
 
O diagrama final de momento fletor pode ser visto na Figura 2.12 mostrada anteriormente. 
Para que seja reforçado o entendimento do método, aplicado diretamente à análise de vigas, 
recomenda-se que se faça o exercício a seguir.