teoria dos numeros ciclo2 portfolio primo

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GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
RA: 8089632 
TURMA: DGMAT1901BHOA0S 
 
 
 
 
TEORIA DOS NÚMEROS: ALGORITMO DE EUCLIDES, NÚMEROS 
PRIMOS, MMC e MDC 
 
 
 
 
 
 
POLO DE BELO HORIZONTE – MG 
2020 
 
 
 
GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
RA: 8089632 
TURMA: DGMAT1901BHOA0S 
 
 
 
TEORIA DOS NÚMEROS: ALGORITMO DE EUCLIDES, NÚMEROS 
PRIMOS, MMC e MDC 
 
 
Atividade de Portfólio apresentado 
ao Centro Universitário Claretiano 
para a disciplina de Teoria dos Nú-
meros, ministrada pela Tutora: Juli-
ana Brassolatti Gonçalves. 
 
 
POLO DE BELO HORIZONTE – MG 
2020 
Com base nas leituras propostas, resolva os exercícios a seguir: 
1) Exercício 1, da página 112, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-
históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson. 
Considere dois números a e b em sua forma fatorada, de modo que 𝑎 = 23 ∙ 32 ∙ 54 ∙ 7 e 𝑏 =
24 ∙ 31 ∙ 55. Podemos afirmar que o MDC (a,b) é: 
a) 27 ∙ 33 ∙ 59 b) 27 ∙ 33 ∙ 59 ∙ 7 c) 24 ∙ 32 ∙ 55 ∙ 7 d) 23 ∙ 31 ∙ 55 
Resposta: A resposta correta é a Letra C. 
Resolução: Creio que o enunciado do livro está escrito incorretamente, pois não tem op-
ção de resposta para MDC nessa questão. Acredito que o enunciado correto seria pedindo 
para encontrar o MMC. Nisso se baseia minha resolução: 
𝒂 = 𝟐𝟑 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓𝟒 ∙ 𝟕 = 𝟖 ∙ 𝟗 ∙ 𝟔𝟐𝟓 ∙ 𝟕 = 𝟑𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 
𝐛 = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟓 = 𝟏𝟔 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
𝟑𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟕𝟓𝟎𝟎, 𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟕𝟖𝟕𝟓𝟎, 𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎
𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓,
𝟑𝟗𝟑𝟕𝟓,
𝟏𝟖𝟕𝟓𝟎
𝟗𝟑𝟕𝟓
𝟏𝟑𝟏𝟐𝟓, 𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟒𝟑𝟕𝟓,
𝟖𝟕𝟓,
𝟏𝟕𝟓,
𝟑𝟓,
𝟕,
𝟕,
𝟏,
𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟓
𝟓
𝟏
𝟏
|
|
|
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
 
𝟑
𝟓
𝟓
𝟓
𝟓
𝟓
𝟕
 𝑴𝑴𝑪 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟕 = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓𝟓 ∙ 𝟕 
Logo, o MMC (a, b)= 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓𝟓 ∙ 𝟕 
 
 
2) Exercício 2, da página 112, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-
históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson. 
Considerando a e b como no exercício anterior, podemos afirmar que o MDC (a,b) é: 
a) 27 ∙ 33 ∙ 59 ∙ 7 b) 23 ∙ 31 ∙ 54 c) 23 ∙ 31 ∙ 54 ∙ 7 d) 24 ∙ 32 ∙ 55 
Resposta: A resposta correta é a letra B. 
Resolução:𝒂 = 𝟐𝟑 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓𝟒 ∙ 𝟕 𝐛 = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟓 
Considerando a resolução fatorada no exercício anterior, os fatores comuns de a e b são: 
Mdc= 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟐𝟑 ∙ 𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟒 
O teorema 4.3 nos diz que “ o mdc de dois números primos a e b é igual ao produto dos 
fatores primos comuns à decomposição de ambos, tomados um a um e com o menor expo-
ente quando comparados em ambas as fatorações. 
Portanto ao comparar a e b, temos: 
𝟐𝟑 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟓𝟒 ∙ 𝟕 
𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟓 
𝟐𝟑 ∙ 𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟒 
 
Logo, o mdc (a, b) = 𝟐𝟑 ∙ 𝟑𝟏 ∙ 𝟓𝟒 
 
 
3) Exercício 3, da página 112, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-
históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson. 
Utilizando o Teorema 4.6 e o algoritmo de Euclides para o MDC, estudado no capítulo 3, 
calcule o MMC (2424,918). O resultado é: 
a)196 ∙ 256 b) 1425 ∙ 312 c) 118 ∙ 76 d) 370 ∙ 872 
 Resposta: A resposta correta é a letra D. 
Resolução: Utilizando o algoritmo de Euclides para encontrar o MDC: 
 
 2 1 1 1 3 1 1 2 2 
2424 918 588 330 258 72 42 30 12 6 
588 330 258 72 42 30 12 6 0 
Pelo diagrama, o MDC dos dois números em questão é o último resto não nulo do processo 
das divisões sucessivas. 
Logo, o MDC (2424,918) = 6 
O Teorema 4.6 diz que o produto do m.m.c. pelo m.d.c. de dois números é igual ao produto 
dos próprios números. 
𝑴𝑫𝑪 (𝒂, 𝒃) ∙ 𝑴𝑴𝑪 (𝒂, 𝒃) = 𝒂 ∙ 𝒃 
Ou seja, 𝒂 = 𝟐𝟒𝟐𝟒 𝒃 = 𝟗𝟏𝟖 
 𝑴𝑫𝑪 (𝟐𝟒𝟐𝟒, 𝟗𝟏𝟖) ∙ 𝑴𝑴𝑪 (𝟐𝟒𝟐𝟒, 𝟗𝟏𝟖) = 𝟐𝟒𝟐𝟒 ∙ 𝟗𝟏𝟖 
𝟔 ∙ 𝑴𝑴𝑪 = 𝟐𝟒𝟐𝟒 ∙ 𝟗𝟏𝟖 
𝑴𝑴𝑪 =
𝟐. 𝟐𝟐𝟓. 𝟐𝟑𝟐
𝟔
 
𝑴𝑴𝑪 = 𝟑𝟕𝟎. 𝟖𝟕𝟐 
 
Confirmando, com a decomposição de fatores: 
𝟐𝟒𝟐𝟒
𝟏𝟐𝟏𝟐
𝟔𝟎𝟔
𝟑𝟎𝟑
𝟏𝟎𝟏
𝟏
|
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏𝟎𝟏
 
𝟗𝟏𝟖
𝟒𝟓𝟗
𝟏𝟓𝟑
𝟓𝟏
𝟏𝟕
𝟏
|
|
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏𝟕
 
𝟗𝟏𝟖,
𝟒𝟓𝟗,
𝟒𝟓𝟗,
𝟒𝟓𝟗,
𝟏𝟓𝟑,
𝟓𝟏
𝟏𝟕
𝟏,
𝟏,
,
𝟐𝟒𝟐𝟒
𝟏𝟐𝟏𝟐
𝟔𝟎𝟔
𝟑𝟎𝟑
𝟏𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟏
𝟏
|
|
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏𝟕
𝟏𝟎𝟏
 
Para calcular o MDC, utilizamos os fatores comuns, nesse caso o 2 e 3: 
MDC=𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟔 
Para calcular o MMC, multiplicam-se os números primos que foram utilizados na fatora-
ção: 
MMC= 𝟐𝟑 ∙ 𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟏 = 𝟑𝟕𝟎. 𝟖𝟕𝟐 
4) Exercício 5, da página 113, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-
históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson. 
Utilizando a fórmula de Euclides, quais são os três primeiros números perfeitos? 
a)6, 28, 496 b)3, 7 , 31 c)2 , 4 ,16 d) 1, 3 , 6 
Resposta: A resposta correta é a Letra A. 
Resolução: Número Perfeito é um número natural para o qual a soma de todos os seus 
divisores naturais próprios (exceto o próprio número) é igual ao próprio número. 
De acordo com Euclides, se um número da forma 𝟐𝒏 − 𝟏 é primo, então o número 
𝟐𝒏−𝟏(𝟐𝒏 − 𝟏) é um número perfeito. Então, pela forma de Euclides temos: 
𝟐𝒏−𝟏(𝟐𝒏 − 𝟏) 
𝒏 = 𝟐 → 𝟐𝟐−𝟏(𝟐𝟐 − 𝟏) = 𝟐𝟏(𝟒 − 𝟏) = 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟔 
𝒏 = 𝟑 → 𝟐𝟑−𝟏(𝟐𝟑 − 𝟏) = 𝟐𝟐(𝟖 − 𝟏) = 𝟒 ∙ 𝟕 = 𝟐𝟖 
𝒏 = 𝟓 → 𝟐𝟓−𝟏(𝟐𝟓 − 𝟏) = 𝟐𝟒(𝟑𝟐 − 𝟏) = 𝟏𝟔 ∙ 𝟑𝟏 = 𝟒𝟗𝟔 
Confirmando os números encontrados através da fórmula, segundo a definição de número 
perfeito: 
𝟔 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 
𝟐𝟖 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟒 + 𝟕 + 𝟏𝟒 
𝟒𝟗𝟔 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟒 + 𝟖 + 𝟏𝟔 + 𝟑𝟏 + 𝟔𝟐 + 𝟏𝟐𝟒 + 𝟐𝟒𝟖 
Logo os três primeiros números perfeitos são : 6, 28, 496. 
 
5) Faça o download do vídeo intitulado "Desvendando o Calendário", série Matemática na Es-
cola, que está disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1087>. Acesso em: 10 jan. 
2016, assista-o e responda as seguintes perguntas: 
Para responder as letras a, b, c, d, utilize o que está descrito no vídeo acerca do Algoritmo de 
Euclides bem como a tabela de dias da semana da forma pela qual é proposta. 
 
a) Encontre o dia da semana em que você nasceu. 
Resposta: Nasci no dia 25 de junho de 1985, numa terça-feira. 
 Resolução: Referência: 01/01/2020 – quarta-feira 
*1 ano convencional = 365 dias e 1 ano bissexto = 366 dias. 
* Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro possuem 
31 dias. 
* Abril, Junho, Setembro e Novembro possuem 30 dias. 
*Fevereiro possui 28 dias (ano convencional) e 29 dias (ano bissexto). 
r 0 1 2 3 4 5 6 
Dia da 
semana 
Quarta-
feira 
Quinta-
feira 
Sexta-
feira 
sábado domingo segunda-
feira 
terça-
feira 
• De 25/06 a 31/12/1985 são : 06+31+31+30+31+30+31= 190 dias 
• 1986 a 2019 são 33 anos 
• Anos bissextos: 𝟑𝟑 ÷ 𝟒 = 𝟗 (precisei arredondar para dar certo) 
• Anos comuns = total de anos – bissextos = 𝟑𝟑 − 𝟗 = 𝟐𝟒 𝒂𝒏𝒐𝒔 
Logo, {
𝐀𝐧𝐨𝐬 𝐛𝐢𝐬𝐬𝐞𝐱𝐭𝐨𝐬 = 𝟗 ∙ 𝟑𝟔𝟔 = 𝟑. 𝟐𝟗𝟒 𝐝𝐢𝐚𝐬
𝐀𝐧𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐮𝐧𝐬 = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟔𝟓 = 𝟖. 𝟕𝟔𝟎 𝐝𝐢𝐚𝐬
 
Total de dias passados = 𝟏𝟗𝟎 + 𝟑. 𝟐𝟗𝟒 + 𝟖. 𝟕𝟔𝟎 = 𝟏𝟐. 𝟐𝟒𝟒 𝒅𝒊𝒂𝒔 
Como na semana tem 7 dias, dividimos o total de dias pelos dias da semana: 
𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒 |𝟕 
 52 1749 
 34 
 64 
 1 
 
Utilizaremos o algoritmo de Euclides para números negativos, para isso adicionamos 1 ao 
resultado da divisão: 
𝟏. 𝟕𝟒𝟗 + 𝟏 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟎 
Pelo algoritmo de Euclides, obtemos: 
𝟕 ∙ (−𝟏. 𝟕𝟓𝟎) = −𝟏𝟐. 𝟐𝟒𝟒 
−𝟏𝟐. 𝟐𝟓𝟎 + 𝒓 = −𝟏𝟐. 𝟐𝟒𝟒 
𝒓 = −𝟏𝟐. 𝟐𝟒𝟒 + 𝟏𝟐. 𝟐𝟓𝟎 
𝒓 = 𝟔 
Portanto, como r=6 , foi no quarta-feira que eu nasci.b) Encontre em que dia da semana foi o dia da independência do Brasil. 
Resposta: Foi no sábado o dia da Independência do Brasil. 
 
Resolução: O dia da independência do Brasil foi dia 07 de setembro de 1822. 
Referência: 01/01/2020 – quarta-feira 
r 0 1 2 3 4 5 6 
Dia da 
semana 
Quarta-
feira 
Quinta-
feira 
Sexta-
feira 
sábado domingo segunda-
feira 
terça-
feira 
 
Levando em consideração que um ano tem 365 dias e anos bissextos tem 366 dias, temos 
que: 
• De 07/09 a 31/12/1822 são : 24+31+30+31= 116 dias 
• 1823 a 2019 são 196 anos 
• Anos bissextos: 𝟏𝟗𝟔 ÷ 𝟒 = 𝟒𝟗 
• Anos comuns = total de anos – bissextos = 𝟏𝟗𝟔 − 𝟒𝟗 = 𝟏𝟒𝟕 𝒂𝒏𝒐𝒔 
Logo, {
𝐀𝐧𝐨𝐬 𝐛𝐢𝐬𝐬𝐞𝐱𝐭𝐨𝐬 = 𝟒𝟗 ∙ 𝟑𝟔𝟔 = 𝟏𝟕. 𝟗𝟑𝟒 𝐝𝐢𝐚𝐬
𝐀𝐧𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐮𝐧𝐬 = 𝟏𝟒𝟕 ∙ 𝟑𝟔𝟓 = 𝟓𝟑. 𝟔𝟓𝟓 𝐝𝐢𝐚𝐬
 
Total de dias passados = 𝟏𝟏𝟔 + 𝟏𝟕. 𝟗𝟑𝟒 + 𝟓𝟑. 𝟔𝟓𝟓 = 𝟕𝟏. 𝟕𝟎𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔 
Como na semana tem 7 dias, dividimos o total de dias pelos dias da semana: 
𝟕𝟏𝟕𝟎𝟓 |𝟕 
 017 10243 
 30 
 25 
 4 
 
Utilizaremos o algoritmo de Euclides para números negativos, para isso adicionamos 1 ao 
resultado da divisão: 
𝟏𝟎. 𝟐𝟓𝟑 + 𝟏 = 𝟏𝟎. 𝟐𝟒𝟒 
Pelo algoritmo de Euclides, obtemos: 
𝟕 ∙ (−𝟏𝟎𝟐𝟒𝟒) = −𝟕𝟏. 𝟕𝟎𝟖 
−𝟕𝟏. 𝟕𝟎𝟖 + 𝒓 = −𝟕𝟏. 𝟕𝟎𝟓 
𝒓 = −𝟕𝟏. 𝟕𝟎𝟓 + 𝟕𝟏. 𝟕𝟎𝟖 
𝒓 = 𝟑 
Portanto, como r=3 , foi no sábado o dia 07 de setembro de 1822. 
 
 
c) Encontre em que dia da semana será 25 de dezembro de 2050. 
Resposta: Será no domingo o dia 25 de dezembro de 2050. 
 
Resolução: 
 Referência: 01/01/2020 – quarta-feira 
r 0 1 2 3 4 5 6 
Dia da 
semana 
Quarta-
feira 
Quinta-
feira 
Sexta-
feira 
sábado domingo segunda-
feira 
terça-
feira 
 
• De 01/01 a 25/12/2050 são : 24+31+30+31= 259 dias 
• 2020 a 2050 são 30 anos 
• Anos bissextos: 𝟑𝟎 ÷ 𝟒 = 𝟖 
• Anos comuns = total de anos – bissextos = 𝟑𝟎 − 𝟖 = 𝟐𝟐 𝒂𝒏𝒐𝒔 
Logo, {
𝐀𝐧𝐨𝐬 𝐛𝐢𝐬𝐬𝐞𝐱𝐭𝐨𝐬 = 𝟖 ∙ 𝟑𝟔𝟔 𝐝𝐢𝐚𝐬 = 𝟐𝟗𝟐𝟖 𝐝𝐢𝐚𝐬
𝐀𝐧𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐮𝐧𝐬 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟔𝟓 𝐝𝐢𝐚𝐬 = 𝟖𝟎𝟑𝟎 𝐝𝐢𝐚𝐬
 
Total de dias passados = 𝟐𝟓𝟗 + 𝟐𝟗𝟐𝟖 + 𝟖𝟎𝟑𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟏𝟕 𝒅𝒊𝒂𝒔 
Como na semana tem 7 dias, dividimos o total de dias pelos dias da semana: 
𝟏𝟏𝟐𝟏𝟕 |𝟕 
 42 1602 
 017 
 3 
 
Utilizaremos o algoritmo de Euclides para números negativos, para isso adicionamos 1 ao 
resultado da divisão: 
𝟏. 𝟔𝟎𝟐 + 𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟎𝟑 
 
Pelo algoritmo de Euclides, obtemos: 
𝟕 ∙ (−𝟏. 𝟔𝟎𝟑) = −𝟏𝟏. 𝟐𝟏𝟕 
−𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟏 + 𝒓 = −𝟏𝟏. 𝟐𝟏𝟕 
𝒓 = −𝟏𝟏. 𝟐𝟏𝟕 + 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟏 
𝒓 = 𝟒 
Portanto, como r=4 , foi no domingo o dia 25 de dezembro de 2050. 
d) Encontre qual é o 2010º algarismo após a vírgula na representação decimal do número 3/101. 
Resposta: O 2010o algarismo após a vírgula nesta representação decimal é o algarismo 2. 
 
Resolução: 
𝟑
𝟏𝟎𝟏
= 0,029702970… 
Na divisão de 3 por 101, obteremos uma dízima periódica, assim teremos como resultado 
a sequência dos algarismos 0297... Por exemplo o primeiro algarismo será o 0, o segundo 
2, o terceiro 9 e o quarto 7. 
1o algarismo 2o algarismo 3o algarismo 4o algarismo 
0 2 9 7 
 
Logo teremos uma sequência de quatro algarismos, então é só dividir o número da posição 
no caso 2010 pelo número de algarismos da sequência. 
Portanto, 
𝟐𝟎𝟏𝟎 |𝟒 
 010 502 ou seja, 
𝟐𝟎𝟏𝟎
𝟒
= 𝟓𝟎𝟐 𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐 𝟐 
 2 
 
 
𝟓𝟎𝟐 ∙ 𝟒 = 𝟐𝟎𝟎𝟖 
𝟐𝟎𝟎𝟖 ∙ 𝒓 = 𝟐𝟎𝟏𝟎 
𝒓 = 𝟐𝟎𝟏𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟖 
𝒓 = 𝟐 (segunda posição na tabela) 
502 vezes teremos a sequência 0297 completa e faltarão 2 números (resto) para o 2010. 
Logo, o 2010o algarismo será o que ocupa a segunda posição na tabela. Portanto, é o nú-
mero 2. 
Então seguimos com 2008o algarismo= 7; 2009o algarismo = 0; 2010o algarismo = 2. 
6) Da estação rodoviária de uma cidade do interior saem dois ônibus de uma mesma companhia 
em direção à capital: um leito e o outro, convencional. O ônibus leito parte a cada 16 minutos 
e o convencional, a cada 12 minutos. A primeira saída conjunta acontece às 16h30 e a última, 
às 20h30. De quanto em quanto tempo os dois ônibus saem no mesmo horário? 
Resposta: Os dois ônibus saem no mesmo horário de 48 em 48 minutos. 
 
Dados: Ônibus leito: de 16 em 16 min ônibus convencional: de 12 em 12 min 
Como o enunciado dá a ideia de tempo e coincidência , utilizaremos o MMC para encon-
trar a resposta. 
Para isso basta calcular o MMC (16,12). Para calcular o Mínimo Múltiplo Comum, pri-
meiro decompõem-se os números, dividindo sucessivamente pelos números primos 
(2,3,5,7,11,...) até obter resto 0, depois multiplica os fatores: 
𝟏𝟔, 𝟏𝟐
𝟖, 𝟔
𝟒, 𝟑
𝟐, 𝟑
𝟏, 𝟑
𝟏, 𝟏
|
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
 
𝟑
 MMC= 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟔 ∙ 𝟑 = 𝟒𝟖 min 
 
Confirmando a resposta de acordo com o quadro de horário dos ônibus: 
Ônibus 
Leito 
16:30 16:46 17:02 17:18 17:34 17:50 18:06 18:22 18:38 
Ônibus Con-
vencional 
16:30 16:42 16:54 17:06 17:18 17:30 17:42 17:54 18:06 
 
7) Em uma avenida, os postes de iluminação estão espaçados por uma distância fixa de 120 
metros. Existem telefones públicos instalados a cada 300 metros. De quantos em quantos metros 
haverá um telefone público instalado junto a um poste de iluminação? 
 
Resposta: Haverá um telefone público instalado junto a um poste de iluminação de 600 
em 600 metros. 
Resolução: 
Dados: postes: a cada 120m telefones públicos: a cada 300m 
𝟏𝟐𝟎, 𝟑𝟎𝟎
𝟔𝟎, 𝟏𝟓𝟎
𝟑𝟎, 𝟕𝟓
𝟏𝟓, 𝟕𝟓
𝟓, 𝟐𝟓
𝟏,
𝟏,
𝟓
𝟏
|
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟓
 
𝟓
 MMC= 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟐𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓𝟐 = 𝟖 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐𝟓 = 𝟔𝟎𝟎 metros 
 
8) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com frequências diferentes. 
A primeira luz pisca 15 vezes por minuto e a segunda, 10 vezes por minuto. Em certo instante, 
as luzes piscam simultaneamente. Após quantos segundos as duas voltarão a piscar juntas? 
Resposta: As duas luzes voltarão a piscar juntas após 12 segundos. 
Resolução: 
Dados: 1ª luz: pisca 15 vezes/min 2ª luz: 10 vezes/min 
Um minuto tem 60 segundos. 
Neste problema, utiliza-se a ideia de frequência. 
Como, a 1a luz pisca 15 vezes por minuto por minuto, portanto o intervalo de tempo entre 
cada piscada é de 4 segundos (𝟔𝟎 ÷ 𝟏𝟓 = 𝟒). 
Como, a 1a luz pisca 10 vezes por minuto por minuto, portanto o intervalo de tempo entre 
cada piscada é de 6 segundos (𝟔𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟔). 
 
𝟒, 𝟔
𝟐, 𝟑
𝟏 𝟑
𝟏 𝟏
|
|
𝟐
𝟐
𝟑
 
 MMC= 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟐 segundos 
 
 
9) Senhor Fábio, o marceneiro, dispõe de três ripas de madeira que medem 120 cm, 160 cm e 
200 cm de comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las em pedaços iguais de maior 
comprimento possível. Qual é a medida procurada? 
Resposta: Ele deverá cortar 12 pedaços de 40 cm. 
 
 
 
Resolução: Como ele quer um MAIOR comprimento, devemos utilizar o MDC para cal-
cular a medida. 
40cm 
Utilizamos MDC quando a pergunta do problema tem o intuito de diminuir as quantida-
des ou, quando existirem palavras como “Máximo, Divisor, Dividir, repartir em partes 
iguais”. 
MDC- Maior Múltiplo Comum (120,160,200). O MDC é(são) aquele(s) fator(es) primo 
que divide os três números simultaneamente: 
𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟔𝟎, 𝟐𝟎𝟎
𝟔𝟎, 𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎, 𝟒𝟎, 𝟓𝟎
𝟏𝟓, 𝟐𝟎, 𝟐𝟓
𝟏𝟓, 𝟏𝟎, 𝟐𝟓
𝟏𝟓,
𝟓,
𝟏,
𝟏,
𝟓, 𝟐𝟓
𝟓,
𝟏,
𝟏,
𝟐𝟓
𝟓
𝟏
|
|
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟓
 
𝟓
 MDC= 𝟐𝟑 ∙ 𝟓 = 𝟖 ∙ 𝟓 = 𝟒𝟎 𝐜𝐦 
 
Corte das ripas: {
𝒓𝒊𝒑𝒂 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝒄𝒎 ÷ 𝟒𝟎 𝒄𝒎 = 𝟑 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔
𝒓𝒊𝒑𝒂 𝟐 = 𝟏𝟔𝟎 𝒄𝒎 ÷ 𝟒𝟎 𝒄𝒎 = 𝟒 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔
𝒓𝒊𝒑𝒂 𝟑 = 𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎 ÷ 𝟒𝟎 𝒄𝒎 = 𝟓 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔
 
 
 
10) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48 m, 60 m 
e 80 m. Nas três peçaso tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, 
cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o 
tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter? 
Resposta: Deverá obter 47 retalhos de 4m cada. 
 
Resolução: Como o enunciado pediu o “Maior comprimento possível” utilizaremos o 
MDC para encontrar a resposta. 
Para descobrir a quantidade de retalho, é necessário encontrar a medida de cada tira do 
retalho. Para isso, basta calcular o MDC das peças de tecido: 
𝟒𝟖, 𝟔𝟎, 𝟖𝟎
𝟐𝟒, 𝟑𝟎, 𝟒𝟎
𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟐𝟎
𝟎𝟔, 𝟏𝟓, 𝟏𝟎
𝟎𝟑, 𝟏𝟎, 𝟐𝟓
𝟎𝟏,
𝟏,
𝟎𝟓, 𝟎𝟓
𝟏, 𝟏
|
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
 
𝟓
 MDC= 𝟐𝟐 = 𝟒 𝐦 
Portanto, cada tira mede 4 metros. 
Corte das peças: {
𝒑𝒆ç𝒂 𝟏 = 𝟒𝟖𝒎 ÷ 𝟒𝒎 = 𝟏𝟐 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔
𝒑𝒆ç𝒂 𝟐 = 𝟔𝟎𝒎 ÷ 𝟒𝒎 = 𝟏𝟓 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔
𝒑𝒆ç𝒂 𝟑 = 𝟖𝟎𝒎 ÷ 𝟒𝒎 = 𝟐𝟎 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔
 
 
2a solução: Dividir o total das somas das peças de tecido pelo tamanho do retalho: 
𝟒𝟖 + 𝟔𝟎 + 𝟖𝟎 = 𝟏𝟖𝟖 
𝟏𝟖𝟖 ÷ 𝟒 = 𝟒𝟕 𝒕𝒊𝒓𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒕𝒂𝒍𝒉𝒐