aula5 Análise das variações

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Disciplina: Análise das variações
Aula 5: Variações quadráticas – Parte II
Apresentação
Nesta aula, abordaremos formalmente a função quadrática, analisando seus coeficientes
e fazendo a relação entre a parte algébrica e geométrica da função. Também serão
apresentadas algumas maneiras distintas de se calcular as raízes das funções
quadráticas.
Na última parte da aula, daremos ênfase ao estudo dos sinais da função quadrática bem
como às inequações que envolvem estas funções.
Objetivos
Reconhecer a representação gráfica de uma Função Quadrática;
Aplicar o conceito de vértice de uma parábola;
Explicar as inequações do 2º grau.
Variações quadráticas
Na aula anterior, vimos as variações quadráticas com ênfase na modelagem de
problemas por meio de Função Polinomial do 2º Grau. Agora veremos uma
Função do 2º Grau, fazendo a abordagem dos seus pontos notáveis como
coeficientes, vértices raízes e representação gráfica da função, e na parte final o
seu estudo dos sinais.
f : ℝ → ℝ é chamada de função 2º grau quando existem
números reais a, b e c, com a ≠ 0 tal que f(x) = ax2 + bx + c para
todo x ∈ ℝ.
Uma Função do 2º Grau ou uma Função Quadrática tem como representação
gráfica uma figura conhecida como parábola, onde sua variação será dependente
do coeficiente que acompanha a variável de maior grau (o coeficiente a).
Características de uma Função
Quadrática segundo os seus
coeficientes
Cada um dos coeficientes (a, b e c) da Função Quadrática fornece informações
úteis sobre a representação gráfica desta função, vejamos cada uma delas.
Coeficiente a
É aquele que nos fornece o entendimento se a função quadrática terá
concavidade voltada para cima ou para baixo. Sendo assim, temos duas
situações:
Se a > 0
Então, a concavidade é voltada para cima.
Se a < 0
Então, a concavidade é voltada para baixo.
Outro aspecto é que o coeficiente a representa a abertura da concavidade:
Quanto maior for o valor em módulo de a, maior será a abertura.
Quanto menor for o seu valor, menor será a sua abertura.
Caso tenha-se a diminuição do valor ao ponto que o mesmo deixe de ser
positivo e passe a ser negativo, a sua concavidade deixa de ser voltada para
cima e passa para a baixo.
Coeficiente b
Indica se o gráfico da parábola irá tocar no eixo y pela parte crescente ou
decrescente do gráfico.
Se b > 0
Então, a concavidade irá tocar no eixo y pelo lado crescente da função.
Se b < 0
Então, a concavidade irá tocar no eixo y pelo lado decrescente da função.
Se b = 0
Então, a concavidade irá tocar no eixo y exatamente no vértice da função.
Gráfico da Função do 2º Grau com o valor de b variando.
Gráfico da Função do 2º Grau com o valor de b variando.
Gráfico da Função do 2º Grau com o valor de b variando.
Coeficiente c
Em uma função quadrática, representa o valor no eixo y onde o gráfico
interceptará o eixo, sendo o par ordenado deste ponto igual a (0, c).
Gráfico da Função do 2º Grau com o valor de c variando.
Gráfico da Função do 2º Grau com o valor de c variando.
Vértice da Função Quadrática
Seja uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, seu vértice representa o ponto
onde o gráfico da função muda de sentido, deixando de ser decrescente para ser
crescente, se a > 0, ou deixando de ser crescente para ser decrescente, se a < 0.
O vértice de uma parábola é um par ordenado representado por Xv, Yv, sendo o
seu valor conhecido por meio das fórmulas matemáticas:
Xv =
-b
2a
Yv =
- ∆
4a
Ficando:
V =
-b
2a ,
- ∆
4a( )
Se a < 0, Xv e Yv são conhecidos como ponto de máximo e valor máximo
respectivamente.
Se a > 0, Xv e Yv são conhecidos como ponto de mínimo e valor mínimo,
respectivamente.
O vértice de uma parábola, pode ser usado em problemas de otimização, não
sendo o seu uso específico para simples cálculo de números isolados, como
vemos no exemplo a seguir:
Exemplo
O custo de fabricação de determinado produto é dado por C(x) = 3x2 - 19x + 21. Se
a receita obtida com a venda de x unidades é dada por R(x) = 2x2 + x, para que o
lucro L(x) = R(x) - C(x) seja máximo, quantas unidades devem ser vendidas?
Resolução:
Neste problema, em primeiro lugar, deve-se encontrar a função Lucro, obtida
por meio da subtração entre a função Receita (aquilo que se arrecada com
venda) e a função Custo (aquilo que se gasta com a produção de um produto).
Sendo assim, temos:
L(x) = R(x) - C(x)L(x) = 2x2 + x - 3x2 - 19x + 21 L(x) = 2x2 + x - 3x2 + 19x - 21L(x) = - x2 + 20x - 21
Agora que já temos a função Lucro, podemos fazer o que o enunciado pede, o
valor de x para que haja lucro máximo.
A palavra “máximo” ou a expressão “lucro máximo” se fazem presentes, pois a
representação gráfica dessa função — por temos o valor de a < 0, fica com
concavidade voltada para baixo —, sendo o seu ponto de mudança (sentido da
parábola) o valor mais alto, ao que chamamos de y do vértice.
Sendo assim, vamos calcular o x do vértice.
Xv =
- 20
2 ( - 1 ) =
20
2 = 10
Concluímos que essa empresa precisará vender 10 unidades de peças para que
tenha lucro máximo.

Exemplo
É possível utilizar o valor de vértice da parábola também de maneira direta.
Veja um exemplo <galeria/aula5/anexo/exemplo.pdf> .
( )
Atividade
1. Seja a Função Polinomial do 2º Grau f(x) = x2 - x + 3. O valor em que o
gráfico intercepta o eixo y é:
 a) 1
 b) 2
 c) 3
 d) -1
 e) -3
Raízes da Função Polinomial do 2º
Grau ou zeros da Função Quadrática
Quando estudamos na Aula 3, sobre o zero da função linear, vimos que o mesmo
era o ponto no qual o gráfico interceptava o eixo x. Ao fazermos a abordagem do
zero da função ou raiz da Função Polinomial do 2º Grau, podemos usar a mesma
definição: “ponto ou pontos onde o gráfico intercepta o eixo x”.
Com uma diferença nas funções quadráticas podemos ter
dois, um ou nenhum ponto de intercepção. Quando isso
acontece dizemos que a função não tem raiz real.
Para sabermos quantas raízes reais possuem uma Função Quadrática podemos
recorrer ao estudo do delta da Função Quadrática.
∆ > 0 e a > 0, duas raízes reais e distintas, o gráfico toca no eixo x em dois
pontos.
∆ = 0 e a < 0, uma raiz real dupla, o gráfico toca no eixo x em um único
ponto.
∆ < 0 e a < 0, não há raiz real e o gráfico não toca no eixo x.

Exemplo
Antes de continuar, veja alguns exemplos
<galeria/aula5/anexo/exemplos.pdf> .
Cálculo das Raízes de Função do 2º
Grau
Um dos métodos mais utilizados para se extrair as raízes de uma Função do 2º
Grau é o uso da Fórmula de Bháskara, porém há outros métodos como soma e
produtos das raízes e o de completar quadrados.
Utilização da Fórmula de Bháskara
Seja a função f(x) = x2 - 6x + 8, calcular as suas raízes.

Dica
A Fórmula de Bháskara é definida como: x =
-b±√b2 - 4ac
2a . Sendo assim,
vamos usá-la para encontramos as raízes, caso existam.
Vejamos:
x =
-b±√b2 - 4ac
2a
x =
- ( - 6 ) ±√ ( - 6 ) 2 - 4 · 1 · 8
2 · 1 x =
6±√36 - 32
2 x =
6±√4
2 x =
6±2
2
Com isso, temos duas opções de respostas:
x1 =
6+2
2 = 4
x2 =
6 - 2
2 = 2
Método de Resolução por Soma e Produto
Toda Função do 2º Grau pode ser escrita da seguinte maneira:
f(x) = ax2 - Sx + P
Onde:
S é soma das raízes.
P é o produto das raízes.
Vamos utilizar a função f(x) = ax2 - 4x + 3 para demonstrar esse método.
Devemos começar a sua resolução pelo produto, fazendo a seguinte pergunta:
“Quais os dois números inteiros que multiplicados resultam o valor do
termo c?”
Em seguida, devemos questionar:
“Quais os dois números que somados resultam no valor do termo b?”
Esses dois números devem satisfazer ao mesmo tempo as duas perguntas.
Sendo assim, vamos às opções dos números para a resolução da questão
apresentada.
Como o termo c = 3, temos de pensar nas possibilidades de multiplicação de doisnúmeros que resultem em 3. Sendo assim, temos:
-1 e -3 e a opção 1 e 3
Como b = - 4, temos de ver qual desses dois conjuntos de números satisfaz o
valor de b, o que nos leva a utilizar o conjunto que tenha -1 e -3, pois se
somarmos encontramos -4 e se multiplicarmos encontramos 3, os valores de b e 
c, respectivamente.
Porém, a forma apresentada da Equação do 2º Grau diz que f(x) = ax2 - Sx + P.
Na função, temos: f(x) = x2 - 4x + 3, onde a soma nesse caso é 4, fazendo com que
o valor encontrado como resposta seja invertido o sinal, ou seja, tínhamos
encontrado como resposta -1 e -3. Se temos de trocar os sinais dos resultados,
passamos a ter como resposta:
x1 = 1
x2 = 3
Método de Completar Quadrados
Consiste em tornar um trinômio qualquer em trinômio do quadrado perfeito 
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2, esse método pode ser utilizado para facilitar o cálculo das
raízes de uma Função Quadrática.
Uma Função Quadrática do tipo f(x) = ax2 + bx + c, pode ser representada como um
trinômio do quadrado perfeito como os exemplos a seguir.

Exemplo
f(x) = x2 - 4x + 4 ⇒ (x - 2)2
f(x) = x2 + 8x + 16 ⇒ (x + 4)2
f(x) = x2 - 6x + 9 ⇒ (x - 3)2
Em outros casos, a Função Polinomial do 2º Grau apresentada não está no
formato de um trinômio do quadrado perfeito, para que isso seja feito devemos
utilizar o método de completar quadrado, conforme exemplo a seguir.
Exemplo
Determinar as raízes da função: x2 - 3x + 5 = 0
Resolução:
Utilizando o método de completar quadrado:
b
2
2
= -
3
2
2
=
9
4
Somando os termos de forma alternadas na função original:
x2 - 3x + 5 = 0x2 - 3x +
9
4 + 5 -
9
4 x -
3
2
2
+
11
4 = 0 x -
3
2
2
= -
11
4 x -
3
2 = ± -
11
4
Pelo fato de não termos raiz com índice par, no conjunto dos números reais, não
há a necessidade de continuar a resolução, pois não há raiz real,
consequentemente ao ser gerado esse gráfico não irá tocar no eixo x.
Essas representações das funções em forma de trinômio de quadrado perfeito
são conhecidas como Forma Canônica da Função Quadrática, que veremos a
seguir.

Exemplo
Para reforçar o método de completar quadrados, veja mais um exemplo
<galeria/aula5/anexo/exemplo3.pdf> .
Forma Canônica da Função
Quadrática
( ) ( )
( ) ( ) √
É uma forma que apresenta não só mais facilidade em resolver uma função
quadrática como também nos fornece, sem precisar de cálculo, os pontos de
vértice de uma parábola.
f(x) = a(x - m)2 + k
Onde:
m = Xv
k = Yv
Exemplo
f(x) = (x - 2)2
Xv = 2Yv = 0
f(x) = x -
5
2
2
-
1
4
Xv =
5
2Yv = -
1
4
f(x) = x -
3
2
2
+
11
4
Xv =
3
2Yv =
11
4
( )
( )
Atividade
2. Seja a função quadrática f(x) = x2 - 4x + 8. Os pontos de vértices são:
 a) (-2, - 4)
 b) (2, - 2)
 c) (2, 4)
 d) (4, 2)
 e) (-4, - 2)
Estudos dos Sinais da Função do 2º
Grau
Assim como feito no final da aula 3 (estudos dos sinais da Função do 1º Grau),
na Função do 2º Grau também estudamos os sinais da sua função, o que nos
dirá se ela é crescente ou decrescente.
Em uma função f(x) = ax2 + bx + c, podemos ter seis situações em relação ao
estudo de sinais. São elas:
Se a < 0 e ∆ > 0
Os valores da extremidade são negativos e a parte central, entre as raízes, será
positiva.
Se a > 0 e ∆ > 0
Os valores da extremidade são positivos e a parte central, entre as raízes, será
negativa.
Se a < 0 e ∆ < 0
Todos os valores serão negativos.
Se a > 0 e ∆ < 0
Todos os valores serão positivos.
Se a < 0 e ∆ = 0
No ponto da raiz será nulo e todos os outros pontos serão negativos.
Se a > 0 e ∆ = 0
No ponto da raiz será nulo e todos os outros pontos serão positivos.
Inequação da Função Polinomial do
2º Grau
É do tipo f(x) = ax2 + bx + c com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0, onde, diferente de uma equação
não há uma igualdade e seu resultado se dá por meio do estudo dos sinais,
podendo ser representada de quatro formas:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0

Exemplo
x2 - 4x + 3 < 0
-x2 + 6x - 8 < 0
x2 - 4x + 4 ≥ 0
x2 - 3x + 5 ≥ 0
Antes de continuar, veja as resoluções dos exemplos
<galeria/aula5/anexo/resolucoes.pdf> .
Para resolvermos uma Inequação do 2º Grau devemos seguir três passos
fundamentais:
1
Achar as raízes caso seja possível;
2
Fazer o estudo dos sinais;
3
Verificar o que pede o enunciado e só assim determinar o conjunto solução.
Inequação Produto e Inequação Quociente
São assim representadas, respectivamente, f(x) · g(x) e 
f ( x )
g ( x ) . Ao partimos para a
resolução faz-se necessário utilizarmos o conceito de intervalo no conjunto dos
reais, pois, em muito dos casos, trabalharemos, no conjunto solução, com uma
infinidade de valores e não é usual escrevermos cada um deles.
Para que seja possível resolver uma inequação, seja produto ou quociente, é
preciso fazermos, em primeiro lugar, o estudo dos sinais da função, pois a
resolução da inequação se dará por meio das análises das multiplicações dos
sinais, que serão provenientes de cada função.
Exemplo
Resolva a inequação 
x2 - 4x+4
x2 - 4x+3
≤ 0
Fazendo o estudo dos sinais das funções:
1
Determinando as raízes da função x2 - 4x + 4 = 0 e fazendo o estudo dos sinais,
temos:
x1 = 2
x2 = 2
2
Determinando as raízes da função x2 - 4x + 3 e fazendo o estudo dos sinais,
temos:
x1 = 1
x2 = 3
Colocando os sinais no quadro quociente para resolução da equação, temos:
Na primeira e na segunda linha, foram colocados os sinais das raízes, e na
terceira linha o produto dos sinais, uma vez que o exercício pedia valores
menores ou iguais a zero, o resultado será onde estiver a representação de
valores positivos: {x ∈ ℝ/1 ≤ x ≤ 3} ou [1, 3].

Exemplo
Antes de encerrar seus estudos, veja mais um exemplo
<galeria/aula5/anexo/exemplo4.pdf> .
Atividade
3. O conjunto solução da inequação x2 - 5x + 6 ≤ 0 é:
 a) {x ∈ ℝ/2 ≤ x ≤ 3}
 b) {x ∈ ℝ/ - 2 ≤ x ≤ - 3}
 c) {x ∈ ℝ/x ≥ 2}
 d) {x ∈ ℝ/x ≥ 3}
 e) {x ∈ ℝ/x ≥ - 2}
4. Seja a função f, de ℝ em ℝ, definida por f(x) = 2x2 - 36x + 1. O ponto
mínimo da função f é:
 a) 18
 b) 19
 c) 20
 d) 21
 e) 22
5. A parábola definida por y = x2 + 6x + m, será tangente, tocará somente em
um ponto aos eixos das abscissas se, e somente se:
 a) m = 4
 b) m = 3
 c) m = 6
 d) m = 9
 e) m = 2
6. Seja a função quadrática f(x) = (x - 2)2 + 4, escrita na sua forma canônica.
Seus pontos de vértices são:
 a) (-2; 4)
 b) (2; - 4)
 c) (2; 4)
 d) (-4; 2)
 e) (-4; - 2)
7. Se o vértice da parábola dada por f(x) = x2 - 6x + k é o ponto (3, - 5), então,
o valor de k é:
 a) 0
 b) 4
 c) 5
 d) 6
 e) 7
8. O conjunto solução da inequação x2 - 4 ≥ 0 é:
 a) {x ∈ ℝ/x ≤ - 2 ∪ x ≥ 2}
 b) {x ∈ ℝ/ - 2 ≤ x ≤ 2}
 c) {x ∈ ℝ/x ≥ 2}
 d) {x ∈ ℝ/x ≤ 2}
 e) {x ∈ ℝ/x ≥ - 2}
Referências
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro:
SESES, 2015.
IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2003.
Próximos Passos
Modelagem de Função Exponencial;
Gráfico da Função Exponencial;
Aplicação da Função Exponencial em outras áreas.
Explore mais
Sugestões de leitura
Estudo dos sinais – função do segundo grau
<https://www.geogebra.org/material/show/id/zuhUQVvk> : abordagem
visual pelo uso do software Geogebra;
Estudo da função quadrática
<https://www.geogebra.org/m/MUbNVaTB> : variação do gráfico da
parábola por cada um de seus coeficientes – observe as mudanças das raízes e de
seu vértice.
Sugestões de vídeos
Formas e características de funções do segundo grau
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/features-of-
quadratic-functions/v/rewriting-a-quadratic-function-to-find-roots-and-
vertex> ;
Vértice e eixo de simetria de uma parábola
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/features-of-quadratic-functions/v/quadratic-functions-2> .