Análise das Variações 6

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Disciplina: Análise das variações
Aula 06: Variações Exponenciais
Apresentação
Nesta aula, iremos abordar os conceitos da Função Exponencial mostrando como está
ligada diretamente a outros conteúdos da Matemática, e em outras áreas com
Ciências Biológicas ou Ciências da Natureza.
Também será feito um resgate dos conceitos de Equação Exponencial e como vemos
a função de mesma base, apresentando algumas maneiras distintas de se calcular as
raízes das funções quadráticas. 
Na última parte dos estudos das funções exponenciais estudaremos a sua aplicação
na área da Matemática Financeira.
Objetivos
Reconhecer a representação gráfica de uma Função Exponencial;
Aplicar a Função Exponencial em situações problemas em outras áreas que não
estejam diretamente ligadas à Matemática.
Variações exponenciais
Antes de iniciarmos a nossa aula, leia um texto, retirado de um famoso livro
de contos matemáticos, apresentando de uma maneira bem simples como
uma Função Exponencial se comporta. (Adaptado de: TAHAN, Malba. O
homem que calculava. cap. 16 <galeria/aula6/docs/O-homem-que-
calculava.pdf> )
A Função Exponencial tem como característica o crescimento muito rápido,
esse é um dos motivos que a levam a ser utilizada em outras ciências onde há
uma relação de cálculo, como, por exemplo: Química, Biologia, Economia,
Geografia etc.
Uma função é chamada de exponencial quando temos 𝑓:
ℝ→ℝ , tal que 𝑓(𝑥)=𝑎 , sendo 0<𝑎≠1.
Representação gráfica de uma
Função Exponencial
Pode ser crescente ou decrescente, dependendo do valor da sua base, como
na figura abaixo.
𝑥
file:///W:/2018.2/analise_das_variacoes__GON990/galeria/aula6/docs/O-homem-que-calculava.pdf
As figuras mostram dois gráficos, um com a função crescente e outro com a
função decrescente da Função Exponencial, e podemos tirar as seguintes
informações:
O domínio da função 𝐷(𝑓) = ℝ
A imagem da função Im(f) = (0,∞) ou ℝ , pois somente teremos valores
maiores que zero e o gráfico não toca no eixo x, ele tende a x , mas não
toca.
+
∗
Sendo 𝑓(𝑥)=𝑎 , com 0<𝑎≠10 
Gráfico de uma translação
É aquele que a partir de uma função dada, podemos fazer a sua translação
tanto para cima como para baixo.
De uma forma geral, o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑎 +k , com 0<𝑎≠10 e tendo k
como uma constante real, é obtido a partir do gráfico 𝑓(𝑥)=𝑎 e deslocando K
unidades para cima ou |𝑘| unidades para baixo.
Equações Exponenciais
Uma função exponencial é decorrente de uma equação exponencial, diferente
das equações normais, sua incógnita encontra-se no exponente de pelo
menos uma potência e não na base, sendo assim, seus cálculos levarão em
consideração os seus expoentes.
Exemplos
a) 2 =16
Resolução:
𝑥 { 0 < α < 1;  Decrescente
          α > 1;  Crescente
𝑥
𝑥
𝑥
Para resolvermos essa equação devemos colocar os valores na mesma base.
Fatorando o 16, temos: 2 , logo:
2 =16 
2 =2 
𝑥=4
b) 
Resolução:
Fatorando o 81 temos: 81=3
Agora devemos colocar 1/3 na base 3 para que possamos ver as igualdades
exponenciais, e isso é possível por meio da propriedade de potência que diz : 
, sendo assim:
3 =3 
−𝑥=4 
𝑥=−4
c) 
Resolução:
Em primeiro lugar, devemos colocar a raiz em forma de potência, facilitando
assim o cálculo.
Multiplicando a potência e fatorando o 64, encontramos:
 
 
X= 8
4
𝑥
𝑥 4
= 81( )13
x
4
=( )13
x
34
=α−m ( )1
α
m
−𝑥 4
= 64( )2√ x
= 64( )2 12
x
( ) =2
x
2 24
= 4x2
Atividade
1 - Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. É correto afirmar que:
 a) ela é crescente se 𝑥 > 0
 b) ela é crescente se 𝑎 > 0
 c) ela é crescente se 𝑎 > 1
 d) ela é decrescente se 𝑎≠1
 e) ela é decrescente se 0 < 𝑥 < 1
Aplicação da Função Exponencial
em outras áreas
Como citado no início da aula, várias as situações que podem ser modeladas
por uma Função Exponencial. Elas têm em comum o fato de acontecerem
muito rápidas em seu desenrolar, seja para crescimento quanto para
decaimento.
Sendo assim, entende-se que as funções exponenciais modelam
matematicamente grandezas que crescem ou decrescem a taxas constantes, e
daí servem com excelente eficácia para modelarem alguns tipos de problemas
como, por exemplo:
1
Crescimento ou decrescimento populacional;
2
Resfriamento de corpos (uma grandeza que decresce);
3
Aplicações financeiras a juros compostos (uma grandeza que cresce);
4
Desvalorização financeira a taxas fixas (outra grandeza que decresce).
Aplicação na Matemática Financeira
Utilizamos o cálculo dos juros simples, cuja função está relacionada com a
função linear; os juros compostos estão diretamente relacionados à taxa de
crescimento exponencial.
O uso da relação existente entre as funções exponenciais e o cálculo dos juros
compostos (soma do capital principal mais os juros acumulados) —
proveniente dos juros compostos — é feito por meio de uma expressão do
tipo:
𝑀 = 𝐶.(1 + 𝑖)
Na qual:
C é o valor do capital inicial aplicado durante n unidades de tempo à taxa i
(em porcentagem) por unidade de tempo.
Exemplo:
𝑛
Uma poupança especial rende 2% ao mês, em regime de juros compostos.
Davi aplicou R$540,00 nessa poupança e retirou a quantia um ano depois.
Qual valor Davi retirou?
Gabarito comentado:
Deste enunciado destacamos: n = 1 ou 12 meses; i= 0,01; C = R$540,00,
sendo assim, temos:
𝑀 = 𝐶(1+𝑖) 
𝑀 = 540·(1+0,01) 
𝑀 = 540·(1,01) 
𝑀 = 540·1,1268 
𝑀 ≅ 𝑅$ 608,49
Função Exponencial e a sua
relação com a progressão
geométricas
A definição de uma Progressão Geométrica, também conhecida como PG, é de
uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido
multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG.
Uma PG é uma sequência na qual, a partir do segundo termo, o seu valor é o
seu antecessor multiplicado pela razão q da PG; também podemos escrever
qualquer termo em função do primeiro.
Para isso, basta considerar a definição de PG:
a = a ∙ q
a = a ∙ q²
a = a ∙ q³
Dessa maneira, encontramos o termo geral, que ocupa a enésima posição na
PG definida por: , sendo . Caso o primeiro termo seja
representado por a o termo geral é dado por com .
𝑛
12
12
2 1
3 1
4 1
= ⋅an a1 qn−1 n ∈ N∗
0 = ⋅an a0 qn n ∈ N
Definições Função Exponencial x
Progressão Geométrica
Fazendo uma comparação entre as duas funções podemos perceber as
semelhanças existentes entre as duas:
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Uma função f: ℝ→ℝ + chama-se exponencial quando existe um número real
a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = a , para todo x ∈ ℝ.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma
constante q chamada razão da PG. Conforme termo geral: a = a ∙ q , com
n ∈ ℕ. (Com o primeiro termo sendo a0)
Esta comparação fica mais evidente quando confrontamos uma função
exponencial com o termo geral de uma PG, como podemos ver abaixo.
Sejam as funções exponenciais do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑎 e o termo geral da 𝑃𝐺: 𝑎
= 𝑎 ∙ 𝑞 temos:
FUNÇÃO EXPONENCIAL PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞
𝑓(𝑥) 𝑎
𝑐 𝑎
𝑎 𝑞
𝑥 𝑛
Uma observação que deve ser feita é sobre o domínio das relações com as
quais trabalhamos em cada situação:
*
x
n 0
n
𝑥
𝑛
0
𝑛
𝑥
𝑛 0
𝑛
𝑛
0
Na Função Exponencial, o termo geral vale para todo x ∈ ℝ .
Na Progressão Geométrica, o termo geral vale para todo n ∈ ℕ, uma vez que
estamos considerando uma PG cujo primeiro termo é a .
Exemplo
O valor de um automóvel daqui a t anos é dado pela lei V = 30.000 ∙ (0,8)
(em reais). Calcule o valor desse automóvel daqui a 5 anos.
Resolução utilizando a Função Exponencial:
Aplicando-se o valor dado t = 5 na fórmula, obtemos:
V = 30.000 ∙ (0,8) 
V = 30.000 ∙ 0,32768 
V = R$ 9.830,40
Resolução utilizando a PG:
O valor do automóvel, em função do tempo em anos após sua compra, forma
uma PG decrescente (30.000, 24.000, 19.200, 15.360, 12.288, 9.830,40...).
Utilizando a progressão geométrica para resolução desse problema temos os
seguintes dados: a = 30.000, q = 0,8 e n = 5,logo:
a = a ∙ q 
a = 30.000∙ (0,8) 
a =30.000 ∙ 0,32768 
a = R$ 9.830,40
Considerando a fórmula a = a ∙ q de uma PG cujo primeiro termo é a0 e
cuja razão é q, percebemos que uma PG se assemelha a uma função
exponencial f(x) = a ∙ q , com q ≠ 1, só que com uma restrição do domínio
ao conjunto dos números naturais. Podemos verificar esses dois valores de
maneira gráfica também.
Outras aplicações da Função
Exponencial
0
t
5
0
n 0
n
5
5
5
5
n 0
n
0
x
Exemplo
Um material radioativo chamado Cobalto 60, tem a sua vida reduzida pela
metade a cada 5 anos aproximadamente. A função que fornece a quantidade
de cobalto passados x anos é:
Onde C indica a quantidade inicial de cobalto-60. Após 20 anos, qual será a
porcentagem de cobalto a resfriar?
Gabarito comentado:
Substituindo x por 20 temos:
Ou 6,25%, que será o valor a reduzir da vida útil do cobalto.
f(x) = ⋅ (C0 12)
x
5
0
f(x) = ⋅ (C0 12)
x
5
f(20) = ⋅ (C0 12)
20
5
f(20) = ⋅C0 ( )12
4
f(20) = ⋅ 0, 0625C0
Atividade
2 - (UNICAMP) Suponha que o número de indivíduos de uma população
seja dado pela função f(t)= 𝑎∙2 , onde a variável t é dada em anos e a
e b são constantes. Quais são os valores das constantes a e b de modo
que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a população
após 10 anos seja a metade da inicial?
 a) 1024 e 1/10
 b) 1024 e 10
 c) 512 e 1/10
 d) 512 e 10
 e) 256 e 1/10
2 - Tendo como base o enunciado anterior, qual o tempo mínimo para
que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
 a) 30
 b) 40
 c) 50
 d) 60
 e) 65
−𝑏𝑡
3 - (CESGRANRIO-88) Se 8x = 32, então x é igual a:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 4
4 - (PUC-MG-92) Os valores de a ∈ IR que tornam a Função Exponencial
f(x) = (a – 3) decrescente são:
 a) 𝑎 < 3
 b) 0 < 𝑎 < 3
 c) 𝑎 > 3 e 𝑎≠4
 d) 𝑎< 3 e 𝑎≠0
 e) 3 < 𝑎 < 4
5
2
 
5
3
 
3
5
 
2
5
 
x
5 - (UNIFICADO-97) Segundo dados de uma pesquisa, a população de
certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo “t”, contado
em anos, aproximadamente, segundo a relação P(t) = P(0) · 2 .
Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa
região e P(t) a população “t” anos após, determine quantos anos se
passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da que
era inicialmente.
 a) 6
 b) 8
 c) 10
 d) 12
 e) 15
6 - (UNIRIO – 2002) Numa população de bactérias, há 𝑃(𝑡)=10 .3 no
instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que
inicialmente existem 10 bactérias, quantos minutos são necessários
para que se tenha o dobro da população inicial?
 a) 20
 b) 12
 c) 30
 d) 15
 e) 10
–0,25t
9 3𝑡
9
7 - A produção de uma indústria vem diminuindo a cada ano. Num certo
período, ela produziu mil unidades de seu principal produto. 
A partir daí a produção anual passou a seguir a lei y = 2000. (0,8) . O
número de unidades produzidas, aproximadamente, no quarto ano desse
período recessivo é:
 a) 720
 b) 800
 c) 819
 d) 830
 e) 840
Referências
BARROSO, J. M. Matemática: construção e significados. v. 1. 1. ed. São Paulo:
Moderna, 2008.
GUIMARÃES, L. G. S., et al. Bases matemáticas para engenharia. Rio de Janeiro:
SESES, 2015.
IEZZI, G. et al. Matemática: Ciência e Aplicações. São Paulo: Atual, 2003.
TAHAN, M. O homem que calculava. 72. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008
Próximos Passos
As propriedades do Logaritmo;
Gráfico de uma função Logarítmica;
A aplicação do Logaritmo.
Explore mais
Objetos Educacionais:
x
Neste link você terá uma abordagem visual da Função Exponencial, sendo
utilizada para facilitação do entendimento do conteúdo o software Geogebra.
Disponível em: https://www.geogebra.org/ m/rRGkTPnn
<https://www.geogebra.org/m/rRGkTPnn> . Acesso em: 10 jun. 2018.
Neste outro link você terá um jogo muito antigo, conhecido como torre de Hanoi,
no qual a quantidade de jogadas permitidas será dada pela função: f(n) = 2n -1,
onde n representa o número de discos para cada jogada. Disponível em:
https://www.geogebra.org/ m/d9zsE49A#material/uq5ZW2qg
<https://www.geogebra.org/m/d9zsE49A#material/uq5ZW2qg> .
Acesso em: 10 jun. 2018.
Videoaulas:
KHAN Academy. Análise gráfica de uma função exponencial. Disponível em:
https://pt.khanacademy.org/math/ algebra/ introduction-to-
exponential-functions/ exponential-functions-from-tables-and-graphs
/v/analyzing-graph-of-exponential-function
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-
exponential-functions/exponential-functions-from-tables-and-
graphs/v/analyzing-graph-of-exponential-function> . Acesso em: 10 jun.
2018.
_________. Problemas de modelagem utilizando função exponencial. Disponível
em: https://pt.khanacademy.org/math/ algebra/ introduction-to-
exponential-functions/ exponential-functions-from-tables-and-graphs
/v/modeling- ticket-fines-with-exponential-function
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-
exponential-functions/exponential-functions-from-tables-and-
graphs/v/modeling-ticket-fines-with-exponential-function> . Acesso em:
25 maio 2018.
https://www.geogebra.org/m/rRGkTPnn
https://www.geogebra.org/m/d9zsE49A#material/uq5ZW2qg
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-functions-from-tables-and-graphs/v/analyzing-graph-of-exponential-function
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-functions-from-tables-and-graphs/v/modeling-ticket-fines-with-exponential-function