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ROTEIRO DE PRÁTICA Tema Construção de Gráficos de Função de Duas Variáveis Unidade 2 Disciplina (s) Cálculo Aplicado – Várias Variáveis Data da última atualização 01/03/2021 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio do conceito de função de várias variáveis e curvas de nível. 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Utilize o material de apoio (E-book unidade II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quantidade Roteiro da prática 1 Computador 1 Geogebra 3D 1 III. Introdução O gráfico e as curvas de níveis são duas formas de visualizar o comportamento de uma função. Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R3 tais que z = f (x, y) com (x, y) ∈ D. As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f (x, y) = k, em que k é uma constante (na imagem de f). As curvas de nível são largamente usadas na agricultura e na construção de mapas topográficos, pois são uma maneira muito eficiente de representar graficamente as irregularidades ou o relevo de um terreno. IV. Objetivos de Aprendizagem ▪ Reconhecer funções de várias variáveis como ferramenta matemática para estudo de problemas aplicados. ▪ Determinar e esboçar domínio e imagem de funções de várias variáveis. ▪ Descrever e esboçar curvas de nível de uma função de duas variáveis. ▪ Esboçar gráficos de funções de duas variáveis. V. Experimento Escolha uma das funções abaixo e desenvolva todos os experimentos com a mesma função - atividade individual. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 + 𝑦2 4 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 + 4𝑥2 + 16𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 = 3𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 2𝑥2 + 4𝑦2 = 4𝑧 𝑧 = 1 − 𝑥2 1. Determine: 1.1 O domínio da função e esboce essa região no espaço indicado a seguir. Para x²+y² ≤ 4 ...√ 4=2 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 , Se domínio D temos: D(f)={(x,y) ∈ ℝ²/ x²+y² ≤ 4}. 1.2 Interseção com os eixos coordenados: 𝑂𝑥 (𝑦 = 0 e 𝑧 = 0), 𝑂𝑦 (𝑥 = 0 e 𝑧 = 0) e 𝑂𝑧 (𝑥 = 0 e 𝑦 = 0). Para: 𝑂𝑥 (𝑦 = 0 e 𝑧 = 0) Equação :x²+y² ≤ 4 ...√ 4=2 𝑂𝑥=(2,-2) https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/∈ https://pt.wiktionary.org/wiki/ℝ https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ Fazendo X =(𝑦 = 0, 𝑧 = 0) na equação, obtemos x = 2 como a intersecção com o eixo x. Para: 𝑂𝑦 (𝑥 = 0 e 𝑧 = 0) Equação: x²+y² ≤ 4 ...√ 4=2…. 𝑂𝑦=(2,-2) Fazendo Y=(𝑦 = 0, 𝑧 = 0) na equação, obtemos y = 2 como a intersecção com o eixo y. Para: 𝑂𝑧 (𝑥 = 0 e 𝑦 = 0). Equação: x²+y² ≤ 4 ... …. 𝑂𝑧=(4) Fazendo Z=(𝑦 = 0, 𝑦 = 0) na equação, obtemos z = 4 como a intersecção com o eixo Z. 1.3 Interseção com planos coordenados: 𝑥𝑂𝑦(𝑧 = 0), 𝑥𝑂𝑧 (𝑦 = 0) e 𝑦𝑂𝑧 (𝑥 = 0). Para: 𝑥𝑂𝑦(𝑧 = 0); Equação: x²+y² ≤ 4… Fazendo𝑥𝑂𝑦(𝑧 = 0) na Interseção, obtemos 𝑥𝑂𝑦 x=2,-2 e y=2,-2 como na intersecção com planos 𝑥𝑂𝑦. Para: 𝑥𝑂𝑧 (𝑦 = 0) Equação: x²+y² ≤ 4…√ 4=2 … Fazendo 𝑥𝑂𝑧( 𝑦 = 0) na Interseção, obtemos 𝑥𝑂𝑧 x=2,-2 e z=2,-2 como a intersecção com planos 𝑥𝑂𝑧. Para: 𝑦𝑂𝑧 (𝑥 = 0) Equação: x²+y² ≤ 4…√ 4=2 …. z=2,-2 Fazendo 𝑦𝑂𝑧(𝑥 = 0) na Interseção, obtemos 𝑦𝑂𝑧 y=2,-2 e z=2,-2 como a intersecção com planos 𝑦𝑂𝑧. 1.4 Represente as curvas determinadas acima nos planos a seguir. 1.5 Curvas de nível (𝑧 = 𝑘). Para isso, atribua 3 valores convenientes para 𝑘. Trace as curvas encontradas. https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/≤ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ f(x,y)=√25-(x²+y²) para z=k=0 0=25-(x²+y²) 25-(x²+y²) (x,y)√25=5 Circunferência de raio 5 f(x,y)=√25-(x²+y²) para z=k=3 3²=25-(x²+y²) 25-9=(x²+y²) (x,y)√16=4 Circunferência de raio 4 f(x,y)=√25-(x²+y²) para z=k=4 4²=25-(x²+y²) 25-16=(x²+y²) (x,y)√9=3 Circunferência de raio 3 1.6 Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ https://pt.wiktionary.org/wiki/√ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 2. Esboce o gráfico da superfície no Geogebra 3D. VII. Referências STEWART, James. Cálculo. 6. ed. v. 1. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2009. HOWARD A., Anton; Irl Bivens, Stephen Davis. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 ed. v.1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2007. ARGOLLO, Roberto Max; FERREIRA, Clemiro; SAKAI, Tereza; Teoria dos Erros; 1. ed. Salvador, BA; UFBA, 1998.
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