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SISTEMAS DIGITAIS – CCO01022 – GRAD-ONLINE 
 
 
1 DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
 
CAMPUS: ONLINE 
CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 
DISCIPLINA: SISTEMAS DIGITAIS 
CÓDIGO: CCO01022 - SISTEMAS DIGITAIS 
PROFESSOR AUTOR: Prof. MS. Alberto Antônio de Souza 
 
UNIDADE 1: SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
1.1. Introdução 
1.2. Sistema Binário 
1.3. Procedimento prático para mudança de base 
1.4. Conversão entre bases 2 n 
1.5. Conversão de números fracionários 
1.6. Exercícios Propostos 
 
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
 
 
1.1. Introdução 
As grandezas da natureza podem ser classificadas em dois grandes grupos. 
O primeiro, o das grandezas discretas , concentra aquelas cuja dimensão pode assumir 
um número finito de níveis ou valores diferentes. Esse é o caso, por exemplo, do número 
de alunos dentro de uma classe, ou o número de páginas de um livro. No segundo grupo, 
o das grandezas contínuas , estão concentradas as grandezas cuja dimensão pode 
assumir infinitos níveis ou valores diferentes. Como exemplo, cite-se a altura média dos 
alunos de uma classe ou o peso de um livro. 
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Os computadores analógicos, que podem ser implementados a partir de 
amplificadores operacionais, são especialmente indicados para o processamento das 
grandezas contínuas. No entanto, apesar das vantagens inerentes aos computadores 
analógicos, como maior velocidade e maior simplicidade na implementação de funções 
complexas (somadores, subtratores, multiplicadores, integradores e diferenciadores) 
esses apresentaram problemas (como dificuldade de controle das margens de ruído 
eletromagnético e não linearidades) que inviabilizaram sua utilização em larga escala e 
restringiram seu uso quase que exclusivamente à área de controle de sistemas. 
Desta forma, o impulso para o desenvolvimento dos computadores digitais, 
capazes de processar as grandezas discretas ou que podem assumir um número finito de 
níveis, é resultado das dificuldades em implementar computadores cujas variáveis ou 
operandos assumem infinitos valores diferentes. Destaque-se nesse processo os 
computadores digitais atualmente em uso em todo o mundo, em que o sistema de 
numeração utilizado é o sistema binário. 
1.2. Sistema Binário 
O sistema de numeração mais difundido e mais utilizado pela humanidade é 
sistema decimal ou de base 10 . A razão para tanto está no fato do homem nascer um 
computador sempre à mão, ou melhor, nos 10 dedos das mãos! Isso torna natural o ato 
de agrupar ou construir conjuntos de 10 objetos . 
Embora seja natural o ato de construir grupos de 10 coisas, registros históricos 
mostram que importantes civilizações do passado se desenvolveram usando sistemas de 
numeração de base diferente de 10, tais como base 12 e base 60 , caso das civilizações 
mesopotâmicas - sumérios, babilônios e assírios. A matemática desses povos antigos 
influenciou civilizações ocidentais, como é o caso da Grã-Bretanha e suas colônias que, 
durante muito tempo, trabalharam com um sistema de numeração de base 12 . 
Por esse motivo, o ano possui 12 meses, o dia tem 24 horas e uma hora possui 
60 minutos. Outro legado desses povos; é a divisão da circunferência em 360 graus 
(6 vezes 60). Atualmente, mesmo no Brasil, é possível se comprar produtos em 
quantidades múltiplas de 12, ou em dúzias . 
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No sistema de numeração decimal os números são representados como uma 
somatória de múltiplos de 10n, em que os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são os 
multiplicadores . Os expoentes das potências 10n, correspondem às posições dos 
multiplicadores dentro do número, contadas da direita para a esquerda , iniciando pela 
posição 0. Assim, considerando o número 1987 como exemplo, sua decomposição pode 
ser feita da seguinte maneira: 
1987 = 1000 + 900 + 80 + 7 = 1.1000 + 9.100 + 8.10 + 7.1 
1987 = 1 milhar + 9 centenas + 8 dezenas + 7 unidades 
1987 = 1.103 + 9.102 + 8.101 + 7.100 
Analogamente, para se estudar como é feita a representação de números numa 
base 2 ou binário é razoável supor que os números sejam representados como 
somatórias de múltiplos de 2n, e que os possíveis algarismos multiplicadores sejam 0 e 1. 
Assim, para representar números na base 2, devemos somar múltiplos de: 
20 =1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 
24 =16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 
28 = 256 29 = 512 210 = 1024 211 =2048 
..... ..... ..... ..... 
Vamos procurar, por exemplo, uma representação binária para número 27 que está 
representado na base 10. A maior potência de 2 que não excede 27 é 16. Assim: 
27 = 16 + 11 
Analogamente para o número 11, que ainda está representado como uma potência 
de 10, tomamos o número 8, que é a maior potência de 2 que não excede 11. Logo: 
27 = 16 + (8 + 3) = 16 + 8 + 3 
Finalmente, transformamos o número 3 numa soma de 2 e 1, que são duas 
potências de 2: 
27 = 16 + 8 + (2 + 1) = 16 + 8 + 2 + 1 
27 = 1.16 + 1.8 + 0.4 + 1.2 + 1.1 = 1. 24 + 1. 23 + 0. 22 + 1. 21 + 1. 20 
Tomando-se, novamente, apenas os algarismos multiplicadores da representação 
binária temos: 
2710 = 110112 
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Generalizando, num sistema genérico de base B , os números serão representados 
como uma somatória de múltiplos de Bn e os possíveis multiplicadores serão os 
algarismos de 0, 1, ..., (B-1). Os expoentes das potências Bn, correspondem às posições 
dos multiplicadores dentro do número, contadas da direita para a esquerda , a partir da 
posição 0 . Por essa razão, o sistema de numeração é dito posicional . 
 Na tabela a seguir estão representados alguns dos mais importantes sistemas de 
numeração: 
Sistema Base Algarismos 
Binário 2 0 e 1 
Ternário 3 0, 1 e 2 
Quaternário 4 0, 1, 2 e 3 
Quintenário 5 0, 1, 2, 3 e 4 
Octal 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 
Decimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 
Hexadecimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F 
 
Dos sistemas apresentados, aqueles que são de maior interesse para este curso 
são os de bases 2, 4, 8 e 16, respectivamente binário, quaternário, octal e hexadecimal. 
No entanto, os sistemas ternário e quintenário são de grande valia no estudo dos 
procedimentos utilizados na mudança de bases. 
Apresentando a representação do número 27 em diversas dessas bases, tem-se: 
2710 = 110112 = 10003 = 1234 = 1025 
convertendo-os novamente para a base 10 temos: 
10003 = 1.3
3 + 0.32 + 0.31 + 0.30 = 1.27 + 0.9 + 0.3 + 0.1 = 2710 
1234 = 1.4
2 + 2.41 + 3.40 = 1.16 + 2.4 + 3.1 = 16 + 8 + 3 = 2710 
1025 = 1.5
2 + 0.51 + 2.50 = 1.25 + 0.5 + 2.1 = 25 + 2 = 2710 
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Como é possível se verificar pelos exemplos acima, quando houver dúvida sobre 
que sistema de numeração está sendo utilizado num determinado contexto, utilizam-se 
índices, iguais à base utilizada, à direita das representações. As dúvidas que por ventura 
existirem durante a utilização dos sistemas binário, octal e hexadecimal, podem ser 
eliminadas respectivamente pelas letras B, O e H agregadas à direita das representações 
numéricas como segue: 
100111112 = 10011111B 
2378 = 237O 
B80016 = B800H 
Cada algarismo de uma representação numérica binária é denominados de bit , 
que corresponde à abreviatura de binary digi t. Existem ainda outras denominações que 
aparecem freqüentemente na área de computação, como: 
byte = conjuntode 8 bits 
nibble = conjunto de quatro bits ou meio byte 
word = conjunto de 16 bits ou dois bytes 
1.3. Procedimento Prático para Mudança de Base 
Este procedimento consiste em dividir o número representado na base 10 
sucessivamente pela nova base em que se deseja representá-lo, até que o quociente da 
divisão seja menor que a base em questão. Em seguida toma-se o último quociente e os 
restos das sucessivas divisões em ordem inversa e obtem-se, assim, a representação do 
número na nova base. 
Seja o número 6 cuja conversão para a base 2 foi mostrada: 
6 2
0 3 2
1 1 Logo 610 = 1102 
⇐⇐⇐ 
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Executando o mesmo procedimento para o número 27 em várias bases: 
a) Na base 2 
27 2
1 13 2
1 6 2
0 3 2
1 1 Logo 2710 = 110112 
⇐⇐⇐ 
b) Na base 3 
27 3
0 9 3
0 3 3
0 1 Logo 2710 = 10003 
⇐⇐⇐ 
c) Na base 4 
27 4
3 6 4
2 1 Logo 2710 = 1234 
⇐⇐⇐ 
d) Na base 5 
27 5
2 5 5
0 1 Logo 2710 = 1025 
⇐⇐⇐ 
Como é possível verificar pelos exemplos acima, os valores obtidos para as 
representações nas diversas bases são os mesmos já apresentados anteriormente. 
1.4. Conversão entre bases 2 n 
A conversão de números representados na base 2 para as bases 4, 8 e 16, e em 
sentido contrário, é muito simples de ser executada. O interesse nessa conversão reside 
no fato que os sistemas computacionais freqüentemente se utilizam da base 16 para 
representação de endereços dentro de suas memórias. 
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• Para se converter um número representado na base 2 para uma base 2n, n ≥ 2, 
deve-se agrupar, da direita para a esquerda, os bits da representação binária em grupos 
de n bits e substituir cada grupo pela sua correspondente representação na base 2n. 
Exemplo: Converter o número 100001112 para as bases 4, 8 e 16: 
a) Para a base 4 = 22, n = 2: 
100001112 = 10 00 01 11 = 2 0 1 3 = 20134 
o valor correspondente na base 10, é: 
20134 = 2.4
3 + 0.42 + 1.41 + 3.40 = 2.64 + 0.16 + 1.4 + 3.1 
 = 128 + 4 + 3 = 13510 
b) Para a base 8 = 23, n = 3: 
100001112 = 010 000 111 = 2 0 7 = 2078 
o valor correspondente na base 10, é: 
2078 = 2.8
2 + 0.81 + 7.80 = 2.64 + 0.8 + 7.1 
= 128 + 7 = 13510 
c) Para a base 8 = 24, n = 4: 
100001112 = 1000 0111 = 8 7 = 8716 
o valor correspondente na base 10, é: 
8716 = 2.8
2 + 0.81 + 7.80 = 2.64 + 0.8 + 7.1 
=128 + 7 = 13510 
• Para executar a conversão de um número representado numa base 2n, n ≥ 2, para sua 
representação na base 2 devemos substituir, da direita para a esquerda, cada um de seus 
algarismos pela sua correspondente representação binária em grupos de n bits. 
Exemplo: Converter os número 324, 2378 e B80016 para a base 2: 
a) 324 = 3 2 = 11 10 = 11102 
b) 2378 = 2 3 7 = 010 011 111 = 100111112 
c) B80016 = B 8 0 0 = 1011 1000 0000 0000 = 10111000000000002 
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1.5. Conversão de números fracionários 
Para se estudar como é feita a conversão de números fracionários para sua 
correspondente representação na base 2 ou vamos, primeiramente, estudar sua 
representação na base 10. Consideremos o número 0,375 e vamos efetuar sua 
decomposição da seguinte maneira: 
0,375 = 0,3 + 0,07 + 0,005 
0,375 = 3 . 0,1 + 7 . 0,01 + 5 . 0,001 
0,375 = 3 décimos + 7 centésimos + 5 milésimos 
0,375 = 3.10-1 + 7.10-2 + 5.10-3 
No sistema decimal os números são representados como uma somatória de 
múltiplos de 10n, onde n < 0, e os multiplicadores os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Para o sistema binário é razoável supor que os números sejam representados como 
somatórias de múltiplos de 2n, onde n < 0, e os possíveis algarismos multiplicadores 
sejam 0 e 1. Assim, para representar números na base 2, devemos somar múltiplos de: 
2-1 = 0,5 2-2 = 0,25 2-3 = 0,125 
2-4 = 0,0625 2-5 = 0,03125 2-6 = 0,015625 
....... ...... ....... 
Exemplos: Converter os número 0,375 e 0,1875 para a base 2. 
a) 0,375 = 0,25 + 0,125 
 = 2-2 + 2-3 
 = 0.2-1 + 1.2-2 + 1.2-3 
 = 0,0112 
b) 0,1875 = 0,125 + 0,06125 
 = 2-3 + 2-4 
 = 0.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3 + 1.2-4 
 = 0,00112 
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• Procedimento Prático 
A conversão de um número fracionário para binário é obtida por meio de 
sucessivas multiplicações desse número pela própria base 2. A parte inteira do resultado 
da primeira multiplicação será o valor da primeira casa fracionária e a parte fracionária 
deverá ser novamente multiplicada pela base; e assim por diante, até que parte 
fracionária do produto seja igual a zero ou até que seja obtido o número de casas 
decimais desejado. 
Exemplos: Converter os número 0,375 e 0,1875 para a base 2. 
a) 0,375 x 2 = 0,750 
 0,750 x 2 = 1,500 
 0,500 x 2 = 1,000 ⇒ 0,3752 = 0,0112 
b) 0,1875 x 2 = 0,3750 
 0,3750 x 2 = 0,7500 
 0,7500 x 2 = 1,500 
 0,5000 x 2 = 1,000 ⇒ 0,18752 = 0,00112 
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PROBLEMAS PROPOSTOS 
1) Converta os números do sistema decimal para o sistema binário: 
a) 13 b) 94 c) 356 d) 39 e) 59 f) 128 g) 10,25 h) 25,125 
2) Converta os números do sistema binário para o sistema decimal: 
a) 11011 b) 101 c) 10001 d) 10111 e) 1001001 f) 101,1 g) 11111,111 
3) Converta os números do sistema decimal para o sistema octal: 
a) 94 b) 155 c) 150 d) 187 
4) Converta os números do sistema binário para o sistema octal: 
a) 1101 b) 10001 c) 101 d) 10111 e) 1001001 f) 1101100 g) 11100111 
5) Converta os números do sistema octal para o sistema decimal: 
a) 2376 b) 2403 c) 22632 d) 152 e) 1000 f) 13002 
6) Converta os números do sistema octal para o sistema binário: 
a) 56 b) 43 c) 2312 d) 1301 e) 4354 f) 2222 
7) Converta os números do sistema decimal para o sistema hexadecimal: 
a) 33 b) 54 c) 801 d) 932 e) 1110 f) 2566 
8) Converta os números do sistema hexadecimal para o sistema decimal: 
a) AAAA b) 1511 c) AB01 d) 1500 e) 120 f) 33 
9) Converta os números do sistema binário para o sistema hexadecimal: 
a) 10110111 b) 10011100 c) 1011111111 d) 11101 e) 110011 f) 111101,01 
10) Converta os números do sistema hexadecimal para o sistema binário: 
a) CD b) 649 c) A13 d) AA1A e) AB2 f) 23,4 
 
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
1. TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L., Sistemas Digitais: 
Princípios e Aplicações , Prentice Hall Brasil, 2007 
2. UYEMURA, John P., Sistemas Digitais: Uma Abordagem Integrada , São Paulo, 
Thomson Pioneira, 2002 . 
3. VAHID, Frank; LASCHUK, Anatólio, Sistemas Digitais: Projeto, otimização e HDLs , 
Bookman, 2008. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
1. ERCEGOVAC, Milos D.; LANG, Tomas e MORENO, Jaime H., Introdução aos 
Sistemas Digitais , Porto Alegre, Bookman, 2000. 
2. IDOETA, Ivan V.; CAPUANO, Francisco G., Elementos de eletrônica digital. 
Livros Érica Editora. Ltda, 2002. 
3. TAUB, Herbert; SCHILLING, Donald, EletrônicaDigital , São Paulo. McGraw-Hill, 
1982.