Sistema de Equações Lineares (1)

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Álgebra Linear
Aula 01/Parte 02
Prof. Me. Janiel Martins Neves
INSTITUTO FEDERAL 
DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
PIAUÍ
Campus Paulistana
IFPI – INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA – CAMPUS PAULISTANA
Curso de Licenciatura em Física
SISTEMA DE EQUAÇÕES
LINEARES
IFPI – INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA – CAMPUS PAULISTANA
1- EQUAÇÃO LINEAR
DEFINIÇÃO: São equações da forma
𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2+ 𝑎13. 𝑥3 + ... + 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏1
De modo que,
• 𝑥1, 𝑥2, ...,𝑥𝑛 são as incógnitas;
• 𝑎11, 𝑎12, ..., 𝑎1𝑛 são os coeficientes (reais ou complexo);
• 𝑏1 é o termo independente (real ou complexo).
Exemplo
Solução de uma Equação Linear: É uma sequência de
números reais ( 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, … , 𝑟𝑖 ) que quando trocamos cada 𝑥𝑖 por
𝑟𝑖 na equação o membro da esquerda permanece
identicamente igual ao membro da direita.
𝑎11. 𝑥1 + 𝑎12. 𝑥2+ 𝑎13. 𝑥3 + ... + 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏1
Fazendo as substituições temos;
𝑎11. 𝑟1 + 𝑎12. 𝑟2+ 𝑎13. 𝑟3 + ... + 𝑎1𝑛. 𝑟𝑛 = 𝑏1
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2- SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Definição: É um conjunto formado por duas ou mais equações
lineares que pode ser representado na seguinte forma:
Onde:
• 𝑥1,𝑥2, ...,𝑥𝑚 são as incógnitas;
• 𝑎11, 𝑎12, ..., 𝑎𝑛𝑚 são os coeficientes (reais ou complexo);
• 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏𝑛 é o termo independente (real ou complexo).
Tem n equações e m incógnitas
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3. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES 
LINEARES
São os valores que transformam simultaneamente as equações
de um sistema de equações lineares em identidade, isto é, que
satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua
solução.
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4. SISTEMAS EQUIVALENTES
Diz – se que dois sistemas de equações lineares são
equivalentes quando admitem a mesma solução.
Exemplo: Os sistemas abaixo:
 
3𝑥 + 6𝑦 = 42
2𝑥 − 4𝑦 = 12
e 
𝑥 + 2𝑦 = 14
𝑥 − 2𝑦 = 6
São equivalentes porque admitem a mesma solução:
𝑥 = 10 e 𝑦 = 2
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5. OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMA 
EQUIVALENTES
Um sistema de equações lineares se transforma num sistema
equivalente quando se efetuam as seguintes operações
elementares:
I – Permutação de duas equações.
II – Multiplicação de uma equação por um número real
diferente de zero.
III – Substituição de uma equação por sua soma com outra
equação previamente multiplicada por um número real
diferente de zero.
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6. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LINEARES.
6.1. Método da substituição
Consiste em isolar uma variável (colocar uma variável em
função das outras), a partir de uma equação, e substituir seu
valor nas outras equações.
6.2. Método da Adição
Consiste em somar uma equação a outra, com o objetivo de
eliminar uma (ou mais) incógnitas nas outras equações. As
vezes, antes, precisamos multiplicar a(s) equação(ões) por
uma constante.
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6.3. Método do escalonamento
Consiste em eliminar a(s) variável(is) das equações do sistema 
por meio de operações elementares realizadas nas equações.
Antes de fazer tais operações é importante escrever o sistema na 
sua forma matricial ampliada. Por exemplo
 
3𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 0
⇒
3 1
1 −1
.
𝑥
𝑦 =
2
0
⇒
3 1 2
1 −1 0
Sistema Matriz Ampliada
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Exemplo: Considere o seguinte sistema:
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1000
2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 2000
2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 2500
Forma matricial, temos;
1 1 1
2 1 4
2 3 5
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
1000
2000
2500
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Escrevendo o sistema S na forma da matriz ampliada
1
2
2
1
1
3
1
4
5
1000
2000
2500
Aplicando o escalonamento para 1ª eliminação, podemos
escolher o elemento da primeira linha e da primeira
coluna para ser o pivô. Os demais elementos dessa
coluna deverão ser iguais a zero.
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Aplicando operações elementares nas 2ª e 3ª linhas;
1
2
2
1
1
3
1
4
5
1000
2000
2500
Resultando em na matriz equivalente
(1ª) 
1
0
0
1
−1
1
1
2
3
1000
0
500
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Para escolher como pivô o elemento da segunda linha e
segunda coluna, precisamos multiplicar a linha 2 por
(-1):
1
0
0
1
−1
1
1
2
3
1000
0
500
𝐿2 → −1 . 𝐿2
Resultando em:
(2ª) 
1
0
0
1
1
1
1
−2
3
1000
0
500
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Aplicando operações elementares nas 1ª e 3ª linhas:
1
0
0
1
1
1
1
−2
3
1000
0
500
Resultando em:
(3ª) 
1
0
0
0
1
0
3
−2
5
1000
0
500
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Para escolher como pivô o elemento da terceira linha e
terceira coluna, precisamos dividir a linha 3 por (+5) :
1
0
0
0
1
0
3
−2
5
1000
0
500
𝐿2 →
1
5
. 𝐿3
Resultando em
4ª
1
0
0
0
1
0
3
−2
1
1000
0
100
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Aplicando operações elementares nas 1ª e 2ª linhas:
1
0
0
0
1
0
3
−2
1
1000
0
100
Resultando em
(5ª) 
1
0
0
0
1
0
0
0
1
700
200
100
⇒ 
𝑥 = 700
𝑦 = 200
𝑧 = 100
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Portanto o sistema inicial 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1000
2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 2000
2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 2500
Tem como solução
𝑋 =
𝑥
𝑦
𝑧
=
700
200
100
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MATRIZ ESCALONADA
DEFINIÇÃO: uma matriz está na forma escalonada
reduzida quando satisfaz as seguintes condições:
• Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por
zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;
• O pivô (1ª elemento não nulo de uma linha) de cada
linha não nula é igual a 1;
• O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô
da linha anterior;
• Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus
outros elementos são iguais a zero.
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7. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES
LINEARES
Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S
visando a classifica – lo. Resolver um sistema linear significa
determinar todas as suas soluções.
Suponhamos que um sistema de m equações com n incógnitas
tenha sido escalonado e, retiradas as equações do tipo 0 = 0,
restam p equações com n incógnitas.
I. Se último das equações restante é
0𝑥1 + …+ 0𝑥𝑛 = 𝛽𝑝 𝛽𝑝 ≠ 0 então o sistema é incompatível;
Caso contrário, sobram duas alternativas:
II. Se 𝑝 = 𝑛 o sistema é compatível determinado
III. Se 𝑝 < 𝑛, então o sistema é compatível indeterminado.