PLANO-DE-AULA-DE-SISTEMAS-LINEARES

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Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio 
Curso de Licenciatura em Matemática 
 
PLANO DE AULA 
 
IDENTIFICAÇÃO 
 
Escola: IFC – Campus Avançado Sombrio 
Município: Sombrio 
Disciplina: Matemática 
Série: 2° ano 
Nível: Ensino médio 
Professor: Giovani Marcelo Schmidt 
Tempo estimado: Cinco aulas (45min cada aula, três aulas de conteúdo um 
trabalho e uma de avaliação). 
 
TEMA: Sistemas Lineares. 
Subtema: Equação Linear, Classificação de um sistema linear, Regra de 
Cramer, Sistemas Equivalentes. 
 
 
JUSTIFICATIVA 
 Os sistemas lineares são muito uteis em várias áreas tais como: engenharia, 
física, química, ciência da computação e economia. 
 
OBJETIVOS 
 
a) Realizar operações envolvendo sistemas lineares 
b) Perceber e resolver problemas que envolvam um sistema 
linear 
 
CONTEÚDOS ENVOLVIDOS 
 
 
Conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula: Matrizes 
 
6.1 Recursos: Lousa, pincel e televisão. 
6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, usando resoluções de problemas. 
 
PROCEDIMENTOS 
 
 
 
Ministério da Educação 
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Curso de Licenciatura em Matemática 
Operacionalizações da aula 
SISTEMAS LINEARES 
 
Equação Linear 
É toda equação que possui variável e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + 
a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo 
independente e representado pelo número real b. 
Exemplos: 
x + y + z = 20 
2x –3y + 5z = 6 
4x + 5y – 10z = –3 
x – 4y – z = 0 
Sistema Linear 
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um 
sistema linear com p equações e n incógnitas. 
Exemplos: 
x + y = 3 
x – y = 1 
Sistema linear com duas equações e duas variáveis. 
2x + 5y – 6z = 24 
x – y + 10z = 30 
Sistema linear com duas equações e três variáveis. 
x + 10y – 12z = 120 
4x – 2y – 20z = 60 
–x + y + 5z = 10 
... 
Classificação de um sistema linear 
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções 
apresentadas por ele. 
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução. 
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções. 
SI – Sistema Impossível – não possui solução. 
Resolvendo o sistema ·, encontramos uma única solução: o par 
ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado 
(solução única). 
No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), 
(1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3),... São algumas de suas infinitas soluções. Por isso, 
dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). 
 
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Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz 
simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). 
 
Sistema normal 
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de 
incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de 
zero. 
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal. 
 
Regra de Cramer 
Todo sistema normal tem uma única solução dada por: 
 
Em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta 
associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz 
incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. 
 
Discussão de um sistema linear 
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: 
 a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. 
Exemplo: 
 
m=n=3 
 
Sistemas Lineares 
c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem 
solução. 
Exemplo: 
 
 
 
Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução. 
 
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Sistemas Equivalentes 
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. 
Por exemplo, dados os sistemas: 
 e 
Verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, 
S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. 
 
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. 
 
 b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se 
n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das 
incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. 
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. 
Exemplo: 
 
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. 
 
AVALIAÇÃO 
 
Critérios 
Compreensão dos assuntos abordados, interesse e participação nas atividades 
propostas, assiduidade e resolução da lista de exercícios, podendo estipular valores. 
 
Instrumentos 
 Aplicação de um trabalho e aplicação de prova. 
 
Referências 
 
 
SÓMATEMÁTICA. Sistemas Lineares. Disponível em < 
http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php > Acesso em 25 de 
Novembro de 2017. 
 
Ministério da Educação 
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica 
Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio 
Curso de Licenciatura em Matemática 
TODAMATÉRIA. Sistemas Lineares. Disponível em < 
https://www.todamateria.com.br/sistemas-lineares/ > Acesso em 27 de Novembro de 
2017