Atividade 4 laboratório matemática e fisica

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PERGUNTA 1
1. Duas partículas movem-se, linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é origem de um sistema de coordenadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo   = 1 m/s, inclinação de 45º, e a velocidade da partícula 2 é  . Em t = 0 s, a partícula 1 dista 20 m de  , horizontal, e a partícula 2 ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1.
 
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) A posição da partícula 1 pode ser definida por: 
II. (  ) A posição da partícula 2 pode ser definida por: 
III. (  ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si.
IV. (  ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x = 0 em instantes diferentes.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	V, V, F, F.
	
	
	V, V, F, V.
	
	
	V, V, V, F.
	
	
	V, F, F, F.
	
	
	F, V, F, F.
	
	
	
1 pontos   
PERGUNTA 2
1. Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de vértices E, F, G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a interseção das diagonais do losango. Um vetor que porventura tenha origem no ponto I e término em J é representado por  .
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. (  )      .
II. (  )    // 
III. (  )   .  
IV. (  )    .
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	V, F, V, V.
	
	
	V, V, V, F.
	
	
	V, V, V, V.
	
	
	F, V, V, V.
	
	
	V, V, F, V.
1 pontos   
PERGUNTA 3
1. Uma grandeza relacionada à possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar rotações é denominada torque. Matematicamente, é definida   em que   é a posição de aplicação da força   em relação ao eixo de rotação. Suponha a situação seguinte em que uma força de 10 N, no sentido positivo do eixo x, é aplicada sobre uma barra AB de 2 m de comprimento alinhada ao eixo y.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e a assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsas.
I. Nessa situação, o módulo do torque é  .
II. Uma das unidades de medida do vetor   é m.N.
III. O vetor   é ortogonal, simultaneamente, a   e a  .
IV. A orientação de   coincide com a do vetor   no eixo z.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	V, F, V, V.
	
	
	V, V, V, F.
	
	
	V, V, V, V.
	
	
	F, V, V, V.
	
	
	V, V, F, V.
1 pontos   
PERGUNTA 4
1. Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY. Considere que uma delas executa movimentos de acordo com o desenho superior. Os vetores   representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
De acordo com o enunciado e apoiado pela figura apresentada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O vetor   representa a trajetória integral da formiga.
PORQUE
II. O vetor   possui origem em (0, 0) e término na posição final.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
	
	
	As asserções I e II são proposições falsas.
	
	
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	
	
	A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
	
	
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
1 pontos   
PERGUNTA 5
1. Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto   está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles definem os vetores   = (1, -1, 1),   = (1, -3, -1),   = (-2, 1, -3), dentre outros.
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Pertencem ao mesmo plano.
PORQUE
II.  .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	As asserções I e II são proposições falsas.
	
	
	A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
	
	
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	
	
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
1 pontos   
PERGUNTA 6
1. Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada ponto de coordenadas (x, y, z). Quando os valores são somente numéricos, o campo é denominado escalar. Seja, então, um campo de forças F:   definido por  .
 
Considere as figuras a seguir:
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Qual delas representa o campo vetorial F?
	
	
	IV.
	
	
	V.
	
	
	III.
	
	
	II.
	
	
	I.
1 pontos   
PERGUNTA 7
1. Dados dois vetores,   = (a x , a y , a z ) e   = (b x , b y , b z ), define-se como produtor escalar, representado por  , o número real a x b x
+ a y b y + c x c y ou ao equivalente   em que θ é o ângulo compreendido entre eles. Suponha, então, os vetores   = (2, 1, m),   = (m+2, –5, 2) e   = (2m, 8, m).
Para quais valores de m os vetores resultantes das operações   +   e    serão ortogonais entre si? Assinale a alternativa correta.
	
	
	m = 3 apenas.
	
	
	m = -6 ou m = 3.
	
	
	Não existe m ∈
ℝ.
	
	
	Qualquer m ∈ ℝ.
	
	
	m = -6 apenas.
1 pontos   
PERGUNTA 8
1. No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar  , o seu gradiente é definido por  , em que  ,   e   são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos cartesianos x, y e z.
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
1. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	
	
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
	
	
	As asserções I e II são proposições falsas.
 
 
	
	
	A asserção I é uma proposição verdadeira, e a asserção II é uma proposição falsa.
1 pontos   
PERGUNTA 9
1. Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio de três vetores linearmente independentes,  ,    e  , pode ser expresso como um produto misto do tipo  . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro.
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
1 pontos   
PERGUNTA 10
1. Suponha que o vetor posição  de uma partícula P em movimento no espaço ℝ 3 seja dado, em função do tempo, pela expressão  . Os vetores  ,   e   possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
II. A velocidade vetorial é  .
III. A posição inicial da partícula é   .
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	V, V, V, F.
	
	
	V, V, F, V.
	
	
	V, V, F, F.
 
 
	
	
	V, F, V, F.
	
	
	V, V, V, V.
1 pontos   
· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Duas partículas movem-se,linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é origem de um sistema de coordenadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo   = 1 m/s, inclinação de 45º, e a velocidade da partícula 2 é  . Em t = 0 s, a partícula 1 dista 20 m de  , horizontal, e a partícula 2 ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1.
 
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) A posição da partícula 1 pode ser definida por: 
II. (  ) A posição da partícula 2 pode ser definida por: 
III. (  ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si.
IV. (  ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x = 0 em instantes diferentes.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, F, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, F, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Para a partícula 1,  com  . Logo, . Para a partícula 2,  e . Como não existe um momento t no qual  as partículas nunca se chocam. Para     s. Para ⇒ s. Ou seja, a passagem da partícula 1 pela coordenada x = 0 é anterior à passagem da partícula 2 pela mesma coordenada.
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de vértices E, F, G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a interseção das diagonais do losango. Um vetor que porventura tenha origem no ponto I e término em J é representado por  .
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. (  )      .
II. (  )    // 
III. (  )   .  
IV. (  )    .
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, F.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, F.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Dois vetores, para serem equivalentes entre si, necessitam possuir mesmo módulo, direção e sentido. Como os vetores   e  possuem sentidos opostos, então são vetores distintos e a equivalência  está incorreta.
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma grandeza relacionada à possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar rotações é denominada torque. Matematicamente, é definida   em que   é a posição de aplicação da força   em relação ao eixo de rotação. Suponha a situação seguinte em que uma força de 10 N, no sentido positivo do eixo x, é aplicada sobre uma barra AB de 2 m de comprimento alinhada ao eixo y.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e a assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsas.
I. Nessa situação, o módulo do torque é  .
II. Uma das unidades de medida do vetor   é m.N.
III. O vetor   é ortogonal, simultaneamente, a   e a  .
IV. A orientação de   coincide com a do vetor   no eixo z.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: , porque X. Em relação às unidades de medidas, [ ] = [ ] ⇒  [ ] =  = = [L] [F], que é o produto de um comprimento por uma força, ou seja, pode ser metro x Newton ou m.N. O vetor resultado de um produto vetorial é ortogonal aos dois vetores multiplicadores. Pelos cálculos anteriores, , a direção do vetor torque é na direção do eixo z, mas com sentido oposto ao do vetor .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY. Considere que uma delas executa movimentos de acordo com o desenho superior. Os vetores   representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos.
   
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
De acordo com o enunciado e apoiado pela figura apresentada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O vetor   representa a trajetória integral da formiga.
PORQUE
II. O vetor   possui origem em (0, 0) e término na posição final.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento  possui origem nas coordenadas em que o movimento de um corpo tem início e término na posição final do corpo em análise. Ele representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo estudado.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto   está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles definem os vetores   = (1, -1, 1),   = (1, -3, -1),   = (-2, 1, -3), dentre outros.
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Pertencem ao mesmo plano.
PORQUE
II.  .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Pelo cálculo do produto misto  X = 0. Então, o volume do paralelepípedo definido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer vetores definidos por eles também serão coplanares.
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada ponto de coordenadas (x, y, z). Quando os valores são somente numéricos, o campo é denominado escalar. Seja, então, um campo de forças F:   definido por  .
 
Considere as figuras a seguir:
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Qual delas representa o campo vetorial F?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
IV.
	Resposta Correta:
	 
IV.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: O módulo da função vetorial F decai segundo o inverso da distância em relação à origem do sistema de coordenadas, ou seja,  pois  = , em que d é o valor da distância do ponto (x, y), em relação ao ponto (0, 0). Como o vetor F é anti-horário para qualquer coordenada (x, y), a orientação do campo de forças F é anti-horário.
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Dados dois vetores,   = (a x , a y , a z ) e   = (b x , b y , b z ), define-se como produtor escalar, representado por  , o número real a x b x
+ a y b y + c x c y ou ao equivalente   em que θ é o ângulo compreendido entre eles. Suponha, então, os vetores   = (2, 1, m),   = (m+2, –5, 2) e   = (2m, 8, m).
Para quais valores de m os vetores resultantes das operações   +   e    serão ortogonais entre si? Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
m = -6 ou m = 3.
	Resposta Correta:
	 
m = -6 ou m = 3.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Para serem ortogonais entre si, é condição necessária que o ângulo entre os vetores seja . Assim  e    ou .
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar  , o seu gradiente é definido por  , em que  ,   e   são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos cartesianos x, y e z.
 
A partir do exposto,analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
8. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Esta é a própria definição de uma grandeza vetorial. A função  identifica o módulo, a direção e o sentido em que a função escalar  apresenta a maior taxa de variação por unidade de comprimento em um dado ponto de coordenadas .
	
	
	
1. Pergunta 9
0 em 1 pontos
	
	
	
	Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio de três vetores linearmente independentes,  ,    e  , pode ser expresso como um produto misto do tipo  . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro.
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. Justificativa: Podemos definir   = (20-(-10), 10-20, -30-0),   = (10-(-10), 10-20, 10-0) e  = (30-(-10), -20-20, 30-0). Segundo o teorema, temos que X = =  u.v.
	
	
	
1. Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que o vetor posição  de uma partícula P em movimento no espaço ℝ 3 seja dado, em função do tempo, pela expressão  . Os vetores  ,   e   possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
II. A velocidade vetorial é  .
III. A posição inicial da partícula é   .
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: .  ⇒ . . Na direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações cossenoidais ou senoidais. Portanto, a partícula desenvolve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do plano XY.