MICRO I (Aula 03 - Preferências)

Prévia do material em texto

UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 03 
 
 
PREFERÊNCIAS 
 
 
Introdução 
 
Definidas no conjunto (ou espaço) de consumo, as preferências do consumidor são capturadas 
pelas relações de preferência que, por sua vez, sintetizam todas as informações que o 
consumidor possui sobre as cestas de consumo, permitindo que ele possa ordená-las duas a 
duas, segundo seus gostos. 
 
Relações de Preferências 
 
Sejam duas cestas x, y ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , se, para o consumidor vale a sentença: 
 
➢ x ≽ y, significa que ele considera que a cesta x é ‘pelo menos tão boa quanto’ ou 
‘fracamente preferível’ à cesta y; 
➢ 𝑥 ≻ 𝑦, significa que ele considera que a cesta x é ‘estritamente ou fortemente 
preferida’ à cesta y. Note que, se x ≻ y ⟺ x ≽ y, mas não é o caso de y ≽ x; 
➢ x ∽ y, que ele considera que a cesta x é ‘indiferente’ à cesta y. Note que, se x ∽ y 
⟺ x ≽ y e y ≽ x. 
 
Quadro Resumo das Relações de Preferência 
≽ ≡ {𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ≽ 𝑦} a cesta x é “pelo menos tão boa quanto” a cesta y 
≼ ≡ {𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑦 ≼ 𝑥} a cesta y é “não melhor do que” a cesta x 
≻ ≡ {𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ≻ 𝑦} a cesta x é “fortemente preferida” à cesta y 
≺ ≡ {𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑦 ≺ 𝑥} a cesta y é “pior” do que a cesta x 
∼ ≡ {𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ∼ 𝑦} a cesta x é “indiferente” à cesta y 
 
 
Curva de Indiferença 
 
As Curvas de Indiferença são o instrumento gráfico adequado para representar as preferências 
do consumidor (Hicks, 1939). 
 
No gráfico abaixo, considere o ponto x=(x1,x2) pertencente ao Conjunto de Consumo 𝑋 =
𝑅+ 
2 
 
 
 
A Curva de Indiferença é o limite (ou contorno) inferior do conjunto das cestas “fracamente 
preferidas” à cesta x=(x1,x2) 
 
Uma Curva de Indiferença é o locus de todos os pontos que representam cestas de consumo 
que, à luz das preferências do consumidor, são indiferentes entre si. 
 
Exemplo: Para quaisquer x, y, z ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
2 , com 𝑥 ≠ 𝑦 ≠ 𝑧, se o consumidor considera que 
x∽y∽z, então, x, y e z são pontos (ou cestas) que pertencem a uma mesma curva de 
indiferença. 
 
 
Mapa de Indiferença 
 
 
 
 
 
Observação: duas curvas de indiferença representando as preferências do consumidor no 
mesmo conjunto (ou espaço) de consumo não podem se cruzar. 
 
Adiante, será visto que as comparações entre as cestas x, y e z violam o axioma da 
transitividade. 
 
 
Axiomas (ou propriedades) das Preferências 
 
 
Axiomas de Racionalidade 
 
1. Completeza: A relação de preferência ≽ é dita completa se, para quaisquer duas cestas 
x, y ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , o consumidor é capaz de examinar, ordenar e decidir suas preferências 
sobre estas cestas, 
 
x ≽ y, ou y ≽x ou ambos 
 
Este axioma significa que o consumidor tem a capacidade de ordenar as cestas de consumo 
que lhe estão disponíveis de acordo com suas preferências e de uma forma bem definida. 
 
2. Transitividade: A relação de preferência ≽ é transitiva se, para quaisquer três cestas x, 
y, z ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , o consumidor considera, 
 
x ≽ y e y ≽ z, implica que x ≽ z 
 
O axioma da transitividade dá consistência ao ordenamento das preferências do 
consumidor. 
 
Esta propriedade também se aplica para as relações de preferência derivadas. Portanto, 
as seguintes sentenças são válidas, 
 
𝒙 ≻ 𝒚 𝒆 𝒚 ≻ 𝒛 ⇒ 𝒙 ≻ 𝒛 
𝒙~𝒚 𝒆 𝒚~𝒛 ⇒ 𝒙~𝒛 
 
Observação: diz-se que uma relação de preferência é racional, se e somente se, ela for 
completa e transitiva1. 
 
 
1 Para alguns autores, a suposição de que a relação de preferência ≽ é reflexiva (x ≽ x, para todo x ∈ X) é 
adicionada aos axiomas de completude e transitividade. Esta propriedade é, de fato, implicada pela completude 
e, por isso, redundante (Mas-Colell/Whinston/Green, 1995). 
Note também que, 
(i) ≽ é completa e transitiva; 
(ii) ≻ é completa, transitiva e irreflexiva (x ≻ x não acontece); 
(iii) ∼ é completa, transitiva, reflexiva (x∼x sempre ocorre) e simétrica (se x ∼ y então 
y ∼ x). 
 
Observação: uma propriedade adicional das preferências é conhecida na literatura como 
transitive-like property ou, ‘quase transitividade’. Veja os seguintes exemplos2: 
Se x ≻ y e y ≽ z ⇒ x ≻ z 
Se x ≻ y e y ∼ z ⇒ x ≻ z 
 
Se x ≽ y e y ~ z ⇒ x ≽ z 
Se x ≽ y e y ≻ z ⇒ x ≻ z 
 
Se x ∼ y e y ≻ z ⇒ x ≻ z 
Se x ∼ y e y ≽ z ⇒ x ≽ z 
 
Axiomas de Desejabilidade 
 
1. Monotonicidade e Monotonicidade Estrita 
 
Monotonicidade: sejam duas cestas x, y ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , se x ≥ y, então x ≽ y 
 
Se uma cesta x contém pelo menos uma unidade a mais de um bem do que a cesta y, então 
a cesta x é pelo menos tão boa quanto a cesta y. 
 
Monotonicidade Estrita: sejam duas cestas x, y ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , se x > y, então x ≻ y 
 
Se uma cesta x contém quantidades maiores de todos os bens do que a cesta y, então a cesta 
x é fortemente ou estritamente preferida à cesta y. 
 
Uma forma trivial de entender o axioma da monotonicidade é afirmar que, para o 
consumidor ‘mais é sempre preferível a menos’. 
 
A monotonicidade das preferências entre cestas com bens desejáveis implica que as curvas 
de indiferença possuem inclinação negativa. 
 
 
2 A validade destas sentenças gera muitas dúvidas. Segundo Mas-Colell/Whinston/Green (1995), a racionalidade 
de ≽ implica que ≻ e ∼ são transitivas. Portanto, a propriedade da quase transitividade permanece para ≻ quando 
esta preferência for combinada com ≽. 
 
2. Não-Saciedade Local 
 
Qualquer que seja a cesta x ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , e para todo 𝜀 > 0, sempre existirá outra cesta y ∈ 
𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , distanciada da cesta x pelo termo [∑ (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)
2𝑛
𝑖=1 ]
1/23 < 𝜀, que será pelo menos 
tão boa quanto a cesta x, isto é, y ≽ x. 
 
Este axioma diz que na vizinhança infinitesimal de uma cesta x ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , sempre existirá 
outra cesta y ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , tal que, o consumidor preferirá y pelo menos fracamente à x. 
 
Observe que, se as preferências satisfazem ao axioma da monotonicidade estrita, então, 
elas também satisfarão ao axioma da não-saciedade local. 
 
O axioma da não-saciedade local exclui a possibilidade de existirem zonas de indiferença 
ou mesmo de curvas de indiferença “espessas”. 
 
3. Convexidade e Convexidade Estrita 
 
Conexidade: para quaisquer pontos (cestas) x, y e z ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 se 
y ≽ x e z ≽ x e y ≠ z, então ∝ 𝒚 + (𝟏−∝)𝒛 ≽ 𝒙 para qualquer ∝∈ [𝟎, 𝟏] 
 
Convexidade estrita: para quaisquer pontos (cestas) x, y e z ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 se 
y ≽ x e z ≽ x e y ≠ z, então ∝ 𝒚 + (𝟏−∝)𝒛 ≻ 𝒙 para qualquer ∝∈ (𝟎, 𝟏) 
 
A convexidade das preferências implica que ‘as médias são preferíveis aos extremos’. 
Adiante, veremos que a convexidade revela a tendência do consumidor à diversificação no 
seu consumo. 
 
 
Exemplos de Preferências Convexas, Não-Convexas e Côncavas: 
 
 
As preferências mostradas no gráfico A acima são denominadas de ‘bem comportadas’ 
porque satisfazem simultaneamente aos axiomas de monotonicidade e convexidade estritas. 
 
 
 
 
 
3 O termo [∑ (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)2𝑛𝑖=1 ]1/2, denominado distancia Euclidiana entre dois pontos, é definida no espaço n-
dimensional, como, [∑ (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)
2𝑛
𝑖=1 ]
1/2 = √(𝑥1 − 𝑦1)
2 + (𝑥2 − 𝑦2)
2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛)
2 
 
 
Axioma de Continuidade 
 
Para qualquer ponto (cesta) x ∈ 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , os conjuntos ‘pelo menos tão bom quanto’, ≽
(𝑥), e ‘não melhor do que’, ≼ (𝑥), são fechados no espaço 𝑅+ 
𝑛 . 
 
Observação: Dizer que ≽ (𝑥) é fechado em 𝑅+ 
𝑛 é o mesmo que dizer que seu 
complemento, ≺ (𝑥), é aberto em 𝑅+ 
𝑛 
 
 
Exemplos de Preferências 
 
 
Bens Substitutos Perfeitos: se o consumidor aceita trocar um bem pelo outro sempre à 
mesma taxa (constante), então, as curvas de indiferença são linhas retas. 
 
 
 
Bens Complementares Perfeitos: se os bens são consumidos sempre juntos e em proporções 
fixas, então, as curvas de indiferença têm um formato em ‘L’. 
 
 
Males: são bens indesejáveis, que preferimos manter longe de nós. Diferentemente dos bens 
desejáveis, as curvas de indiferença têm inclinaçãopositiva, pois o consumidor sempre prefere 
reduzir o consumo de bens indesejáveis (males) e aumentar o consumo de bens desejáveis. 
 
 
Bens Neutros: são bens com os quais o consumidor não se importa, isto é, a ele só interessa 
o consumo dos outros bens. As curvas de indiferença para bens neutros são linhas verticais. 
 
 
 
 
 
Preferências Convexas: curvas de indiferença representam o desejo do consumidor de 
diversificar o consumo entre os dois bens. A TMS é decrescente ao longo da curva. 
 
 
 
 
Preferências Côncavas: curvas de indiferença representam o desejo do consumidor de se 
especializar no consumo de apenas um dos bens. A TMS é crescente ao longo da curva. 
 
 
Taxa Marginal de Substituição (TMS) 
 
• Supondo-se preferências no espaço bidimensional, a Taxa Marginal de Substituição 
(TMS) mede o número de unidades do bem 2 que o consumidor sacrifica para obter 
uma unidade adicional do bem 1. Ou ainda, é a razão ou taxa de troca entre os bens. 
 
 
 
 
• É a medida da inclinação (negativa) da Curva de Indiferença: 
𝑇𝑀𝑆2,1 = −
∆x2
∆x1
 , no caso de variações discretas; e, 
 
𝑇𝑀𝑆2,1 = −
𝑑𝑥2
𝑑𝑥1
 , no caso de variações infinitesimais (contínuas). 
 
• O sinal negativo reflete apenas o tradeoff envolvido na troca. 
 
 
 
 
 
 
Notas Adicionais 
 
Preferências Lexicográficas4 
 
Por simplificação, assuma duas cestas, 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2) e 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2), pertencentes ao conjunto 
(ou espaço) de consumo 𝑋 = 𝑅+
2 . 
 
As preferências lexicográficas são formalmente definidas como: 
 
𝑥 ≽ 𝑦 ⇔ {𝑥1 > 𝑦1} 𝑜𝑢 {𝑥1 = 𝑦1 𝑒 𝑥2 ≥ 𝑦2} 
 
Para o caso da preferência estrita, 
 
𝑥 ≻ 𝑦 ⇔ {𝑥1 > 𝑦1} 𝑜𝑢 {𝑥1 = 𝑦1 𝑒 𝑥2 > 𝑦2} 
 
Significa que, para um consumidor, o bem 1 tem a mais alta prioridade na determinação da 
ordem de preferência, justamente como a primeira letra de uma palavra tem na ordenação de 
um dicionário. Assim, quando as quantidades do bem 1 nas duas cestas de consumo forem 
exatamente iguais, então, as quantidades do segundo bem nestas cestas passarão a ser 
determinantes da ordem de preferências do indivíduo e, assim por diante. 
 
Observações sobre as preferências léxicográficas: 
(1) satisfazem aos axiomas de completude, transitividade, estrita monotonicidade e estrita 
convexidade, mas, não satisfazem ao axioma da continuidade; 
(2) não há uma função utilidade que represente estas preferências, pois, não haverá cestas 
indiferentes entre si. O conjunto de indiferença não é uma função e, sim, um simples ponto. 
(3) por mais que 𝑦2 > 𝑥2, se 𝑥1 > 𝑦1, ainda valerá a ordem 𝑥 ≽ 𝑦. 
 
 
 
Literatura: 
 
VARIAN, Hal R. (2016) Cap. 3 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 3) 
JEHLE & RENY (2001) 
MAS-COLLEL/WHINSTON/GREEN (1995) 
 
 
 
 
 
4 “As preferências lexicográficas são assim chamadas porque derivam de "lexico", que é o conjunto de todas as 
palavras de uma determinada língua. Lexicografia é a técnica de composição de um dicionário. Em nossa cultura 
greco-romana, um dicionário é composto pela ordem das palavras de acordo com o ‘abecedário’ do tipo {A, B, 
C,..., Z}: primeiro sempre o 'A', depois o 'B', em seguida o 'C' e assim por diante... Um dicionário, portanto, 
obedece a uma ordem estrita onde qualquer palavra que comece com 'A', não importa quão importante ou 
desimportante ela seja no nosso uso cotidiano, deve sempre vir antes de uma palavra que comece com 'B'.” 
(http://aeconomiamarginal.blogspot.com.br). 
 
http://aeconomiamarginal.blogspot.com.br/2012/08/medalhas-e-as-preferencias.html
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Avalie as seguintes afirmativas: 
(a) Se as preferências de um consumidor, definidas no conjunto de consumo X=R2+, são 
completas, transitivas e monotônicas, então a Taxa Marginal de Substituição (TMS) será 
decrescente ao longo de suas curvas de indiferença. 
(b) Se as preferências de um consumidor são transitivas, isto implica que este prefere sempre 
mais dos bens da cesta de consumo. 
(c) Um indivíduo com preferências estritamente côncavas entre dois bens tende a se 
especializar no consumo de um dos bens. 
(d) O axioma da monotonicidade das preferências do consumidor exige que, dadas duas cestas 
(x0, y0) e (x1, y1) onde x0 ≤ x1 e y0 < y1, então (x1, y1) é fortemente preferida a (x0, y0). 
(e) Se excluirmos os “males”, as curvas de indiferença terão inclinação negativa. 
(f) Uma curva de indiferença “espessa” viola os axiomas da monotonicidade e da não-
saciedade local. 
 
2. Comente: 
(a) Um consumidor de dois bens não estaria disposto a efetuar trocas entre estes bens em 
trechos horizontais de uma curva de indiferença; 
(b) Para um consumidor de dois bens substitutos perfeitos, a TMS é decrescente; 
(c) Para um consumidor de dois bens complementares perfeitos, as quantidades demandadas 
são consumidas numa proporção fixa. 
(d) Preferências estritamente convexas implicam numa TMS constante. 
 
3. Comente: 
(a) Os axiomas de monotonicidade, não-saciedade local e convexidade das preferências 
denotam a desejabilidade do consumidor. 
(b) Se o consumidor apresenta preferências não-convexas, dadas duas cestas A e B com 
quantidades diferentes dos mesmos bens x e y, ele prefere uma cesta que contenha média 
ponderada das quantidades contidas nas cestas A e B a qualquer uma das cestas A ou B. 
(c) Uma lanchonete oferece quatro tipos de sucos: laranja, melão, manga e uva. Um 
consumidor considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de melão, suco de laranja 
pelo menos tão bom quanto de manga, suco de melão pelo menos tão bom quanto de 
laranja e suco de uva pelo menos tão bom quanto de manga. Esse consumidor também 
considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de melão pelo menos 
tão bom quanto o de manga. Tal consumidor apresenta preferências completas e 
transitivas. 
(d) A teoria que explica o comportamento do consumidor só é relevante numa região de 
preferências não-saciadas. 
 
4. Discorra sobre as preferências de um técnico de futebol que escala o seu time de acordo 
com as seguintes regras: 
i. Para cada posição ele escolhe os mais rápidos; 
ii. Se dois forem igualmente rápidos, ele escolhe o que chutar melhor; 
iii. Se dois chutam igualmente bem, ele escolhe o que for mais forte; e, 
iv. Se dois forem igualmente fortes, ele escolhe o mais experiente. 
 
5. Resolva as “Questões de Revisão” do final do Capítulo 3 do Varian.