MICRO I (Aula 07 - Demanda)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 07 
 
DEMANDA 
 
1. DEMANDA 
A solução do Problema de Maximização da Utilidade (PMU) do consumidor com 
preferências definidas no conjunto de consumo 𝑋 = 𝑅+
2 fornece as funções demandas 
marshallianas para um conjunto de preços e renda dados. 
𝑥1
∗ = 𝑥1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
𝑥2
∗ = 𝑥2(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
Mas, se os preços ou a renda mudarem? Certamente estas escolhas ótimas se alteram. 
Então, qual a trajetória que o consumidor adotará ao encarar mudanças de preços ou 
da renda? 
Variações na Renda (mantidos os preços constantes) 
Bens Normais 
 
 
 
 
 
 
 
O bem 1 é inferior e o bem 2 é normal 
 
 
 
 
 
 
 
Curva de Renda-Consumo 
Função do tipo 𝑥2 = 𝑓(𝑥1) no espaço de consumo que contempla todos os pontos de 
escolhas ótimas do consumidor quando sua renda varia, mantidos os preços constantes. 
 
 
 
 
 
 
Curva de Engel 
Função no espaço renda x quantidade que explica como as mudanças na renda impactam 
sobre as mudanças na quantidade demandada de um bem da cesta de consumo mantidos 
todos os preços constantes. 
No gráfico abaixo, para o bem 1, a Curva de Engel é positivamente inclinada, significando 
que o bem 1 é normal. Se for negativamente inclinada, o bem será inferior. 
 
Alguns Exemplos 
a) Substitutos Perfeitos 
b) Complementares Perfeitos 
 
c) Cobb-Douglas 
 
Preferências Homotéticas 
Quando a renda do consumidor aumenta em certa proporção, a demanda por um bem 
pode: 
• aumentar mais que proporcionalmente (são ditos bens superiores cuja curva de 
Engel possui forma logarítmica); 
• aumentar menos que proporcionalmente (são os bens normais e cuja curva de Engel 
tem forma exponencial); 
• aumentar na mesma proporção (curva de Engel é uma reta que parte da origem) 
As curvas de Renda-Consumo e de Engel das preferências homotéticas são 
representadas por retas que partem da origem. Assim, os três casos estudados 
(substitutos perfeitos, complementares perfeitos e Cobb-Douglas) acima, são exemplos 
de preferências homotéticas. 
 
 
 
 
Preferências Quase-lineares 
Preferências quase-lineares são representadas por funções onde a utilidade é linear em 
apenas um dos bens. Exemplos de funções utilidade quase-lineares no 𝑋 = 𝑅+
2 : 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑣(𝑥1) + 𝑥2 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 𝑣(𝑥2) 
Nestes casos, as curvas de Renda-Consumo e de Engel possuem formato especial. Nos 
gráficos abaixo, observe que a partir de certo nível de consumo do bem 1, as variações 
da renda não impactam mais sobre a demanda deste bem e, como consequência, toda a 
renda adicional vai inteiramente para o consumo do bem 2. 
Em outras palavras, se a escolha do consumidor for (𝑥1
∗, 𝑥2
∗) na curva de indiferença que 
tangencia a reta orçamentária, então, se a renda aumentar, a nova escolha será 
(𝑥1
∗, 𝑥2
∗ + 𝑘) onde 𝑘 é uma constante. 
 
Usando o exemplo da função utilidade 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = √𝑥1 + 𝑥2 e resolvendo o PMU, 
resultam nas demandas: 
𝑥1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
𝑝2
2
4𝑝1
2 e 𝑥2(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =
4𝑝1𝑀−𝑝2
2
4𝑝1𝑝2
 
A demanda pelo bem 1 não depende da renda, depende apenas dos preços. Assim, 
qualquer variação da renda impactará somente sobre o consumo do bem 2. 
 
 
 
 
 
Variações nos Preços 
Agora, suponha uma redução do preço do bem 1, mantendo-se constantes �̅� 𝑒 𝑝2̅̅ ̅̅ 
a) Bens Comuns 
 
b) Bem 1 é um bem de Giffen 
 
Curva de Preço-Consumo e Curva de Demanda 
Curva de preço-consumo é uma função que representa a trajetória de escolhas do 
consumidor no espaço de consumo quando o preço de um dos bens varia, mantendo-se 
os demais preços e a renda constantes. É a função que une todos os pontos de escolha 
ótima do consumidor quando um preço varia. 
Curva de Demanda é uma função no espaço preço x quantidade que relaciona a variação 
do preço de um bem com a sua quantidade demandada. 
 
Alguns Exemplos 
a) Substitutos Perfeitos 
𝑥1 =
{
 
 
0, 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑝2
(0,
𝑀
𝑝1
) , 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑝2
𝑀
𝑝1
 , 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑝2 }
 
 
 
 
b) Complementares Perfeitos 
 
 
𝑝1 > 𝑝2 
𝑝1 < 𝑝2 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2012) Cap. 6 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Com relação à função demanda, avalie as afirmativas: 
(a) Se a função utilidade de um consumidor for 32),( yxyxU = , sua curva de 
demanda pelo bem x terá elasticidade constante igual a .
5
2
− 
(b) Se a função utilidade de um consumidor for ba yxyxU =),( e se k
p
p
y
x
= , a 
trajetória de renda-consumo desses bens será x
a
kb
y = . 
(c) A curva de Engel de um bem de Giffen é crescente. 
(d) Se a trajetória preço-consumo para cada um de dois bens é crescente, a 
elasticidade-preço cruzada desses bens será positiva. 
 
2. Dois indivíduos A e B consomem apenas dois bens 1 e 2. As funções utilidade de A e 
B são, respectivamente, },min{),( 2121
AAAA
A qqqqU = e 
BBBB
B qqqqU 2121 ln),( += . 
Considere uma redução do preço do bem 1 e determine as expressões das curvas 
de: 
(a) Renda-consumo; 
(b) Engel; e, 
(c) Preço-consumo. 
 
3. Resolva as “Questões de Revisão” do final do Capítulo 6 do Varian. 
 
NOTAS ADICIONAIS 
 
Demanda de Mercado 
Supondo-se que existam n potenciais consumidores do bem 1 no mercado, então, 
define-se a demanda de mercado pelo bem 1 como, 
𝑋1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) =∑𝑥1
𝑖(𝑝1, 𝑝2, 𝑚𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
Onde: 
𝑝1 é o preço do bem 1; 
𝑝2 é o preço do bem 2, 
𝑚𝑖 é a renda do consumidor 𝑖 
 
Representações Gráficas Usuais da Demanda de Mercado 
 
 
Demanda Inversa 
A função demanda inversa responde à seguinte pergunta: qual preço de mercado deve 
ser praticado para que os consumidores demandem 𝑥 unidades do bem? 
 
Função de demanda 
inversa: 
𝑝1 = 𝑓(𝑥1) 
Elasticidades da Demanda 
As elasticidades da demanda refletem o grau de sensibilidade do consumidor 
representado por suas reações ou respostas em relação à quantidade demandada do 
bem 1 quando os preços ou a renda, isoladamente, variam. 
 
Dada a função demanda de mercado, 𝑄1(𝑝1, 𝑝2, 𝑀), 
 
1. Suponha uma variação no preço deste bem, de 𝑝1
0 para 𝑝1
1 , mantendo-se 𝑝2
0 𝑒 𝑀 
inalterados. A medida do coeficiente de Elasticidade-preço da demanda é dada por: 
𝜂𝑝 =
%∆𝑄1
%∆𝑝1
=
∆𝑄1
𝑄1
∆𝑝1
𝑝1
=
∆𝑄1
∆𝑝1
∙
𝑝1
𝑄1
< 0 (medida no arco) 
𝜂𝑝 =
∆𝑄1
∆𝑝1
∙
𝑝1
0+𝑝1
1
2
𝑄1
0+𝑄1
1
2
 (medida no ponto médio de preços e quantidades) 
𝜂𝑝 =
𝜕𝑄1
𝜕𝑝1
∙
𝑝1
𝑄1
 (medida no ponto) 
Observação: O resultado do cálculo de 𝜂𝑝 é sempre negativo, pois reflete a 
relação inversa preço-quantidade na função demanda. Toma-se, então, seu valor 
absoluto como critério para classificação da demanda de um bem. Assim, 
Se |𝜂𝑝| > 1 ⟹ %∆𝑄 > %∆𝑝 ⟹ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 
Se |𝜂𝑝| = 1 ⟹ %∆𝑄 = %∆𝑝 ⟹ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 
Se |𝜂𝑝| < 1 ⟹ %∆𝑄 < %∆𝑝 ⟹ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 
 
Outra expressão para a elasticidade-preço na função demanda 𝑄(𝑝) 
 𝜂𝑝 =
𝑑𝑄
𝑑𝑝
∙
𝑝
𝑄
=
𝑑𝑄
𝑑𝑝
. 𝑝.
1
𝑄
=
𝑑𝑄
𝑑𝑙𝑛𝑝
.
𝑑𝑙𝑛𝑝
𝑑𝑝
. 𝑝.
𝑑𝑙𝑛𝑄
𝑑𝑄
=
𝑑𝑄
𝑑𝑙𝑛𝑝
.
1
𝑝
. 𝑝.
𝑑𝑙𝑛𝑄
𝑑𝑄
=
𝑑𝑙𝑛𝑄
𝑑𝑙𝑛𝑝
 
𝜂𝑝 =
𝑑𝑙𝑛𝑄
𝑑𝑙𝑛𝑝
 
 
2. Suponha uma variação no preço do bem 2, de 𝑝2
0 para 𝑝2
1 , mantendo-se 𝑝1
0 𝑒 𝑀 
inalterados. A medida do coeficiente de Elasticidade-preço cruzada da demanda é 
dada por: 
𝜂12 =
%∆𝑄𝑥
𝐷
%∆𝑝𝑦
=
∆𝑄𝑥
𝐷
𝑄𝑥
𝐷
∆𝑝𝑦
𝑝𝑦
=
∆𝑄𝑥
𝐷
∆𝑝𝑦
∙
𝑝𝑦
𝑄𝑥
𝐷 ≷ 0 ou 𝜂12 =
𝜕𝑄𝑥
𝐷
𝜕𝑝𝑦
∙
𝑝𝑦
𝑄𝑥
𝐷 
 
3. Suponha uma variação renda M, de 𝑀0 para 𝑀1, mantendo-se 𝑝1
0 𝑒 𝑝2
0 inalterados. 
A medida do coeficiente de Elasticidade-renda da demanda é dada por: 
𝜂𝑀 =
%∆𝑄𝑥
𝐷
%∆𝑀
=
∆𝑄𝑥
𝐷
𝑄𝑥
𝐷
∆𝑀
𝑀
=
∆𝑄𝑥
𝐷
∆𝑀
∙
𝑀
𝑄𝑥
𝐷 ⋛ 0 ou 𝜂𝑝 =
𝜕𝑄𝑥
𝐷
𝜕𝑀
∙
𝑀
𝑄𝑥
𝐷 
 
Demanda Linear e Elasticidade 
Considere a função 𝑄 = 𝑎 − 𝑏𝑃. 
O coeficiente de elasticidade para esta função é𝜂𝑝 =
𝜕𝑄
𝜕𝑃
∙
𝑃
𝑄
= −𝑏 ∙
𝑃
𝑎 − 𝑏𝑃
 
Observe que, se P=0 implica que 𝜂𝑝 = 0 e, se Q=0, 𝜂𝑝 = −∞. 
Qual o preço de elasticidade-preço igual a -1? 
−𝑏 ∙
𝑃
𝑎−𝑏𝑃
= −1 → 𝑃 =
𝑎
2𝑏
 (preço que gera a elasticidade-preço unitária) 
O intercepto vertical é 𝑃 =
𝑎
𝑏
. Assim, pode-se definir os intervalos de preços de acordo 
com a elasticidade-preço. Se, 
0 ≤ 𝑃 <
𝑎
2𝑏
 a demanda é inelástica 
𝑎
2𝑏
< 𝑃 ≤
𝑎
𝑏
 a demanda será elástica 
 
 
 
Casos Extremos de Elasticidade-Preço 
• Demanda Perfeitamente Elástica, |𝜂𝑝| = ∞ 
 
 
 
• Demanda Perfeitamente Inelástica, |𝜂𝑝| = 0 
 
 
 
Função Demanda com Elasticidade Constante 
Funções demanda do tipo 𝑄 = 𝐴𝑃−𝑏 possuem elasticidade-preço constante ao longo da 
curva de demanda 
𝜂𝑝 =
𝜕𝑄
𝜕𝑃
∙
𝑃
𝑄
= −𝑏𝐴𝑃−𝑏−1.
𝑃
𝐴𝑃−𝑏
= −𝑏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elasticidade e Receita Total 
𝑅𝑇 = 𝑝. 𝑄(𝑝) 
𝑑𝑅𝑇
𝑑𝑝
=
𝑑𝑝
𝑑𝑝
𝑄(𝑝) +
𝑑𝑄(𝑝)
𝑑𝑝
𝑝 = 𝑄(𝑝) +
𝑑𝑄(𝑝)
𝑑𝑝
𝑝 =
𝑄(𝑝) (𝑄(𝑝) +
𝑑𝑄(𝑝)
𝑑𝑝
𝑝)
𝑄(𝑝)
= 𝑄(𝑝) (
𝑄(𝑝)
𝑄(𝑝)
+
𝑑𝑄(𝑝)
𝑑𝑝
𝑝
𝑄(𝑝)
) = 
𝑑𝑅𝑇
𝑑𝑝
= 𝑄(𝑝)(1 + 𝜂𝑝) 
Como 𝜂𝑝 < 0, podemos escrever 
𝑑𝑅𝑇
𝑑𝑝
= 𝑄(𝑝)(1 − |𝜂𝑝|) 
Sinais: 
Se |𝜂𝑝| > 1 ⟹
𝑑𝑅𝑇
𝑑𝑝
< 0 ⟹ ↓ 𝑝 𝑒 ↑ 𝑅𝑇 
Se |𝜂𝑝| < 1 ⟹
𝑑𝑅𝑇
𝑑𝑝
> 0 ⟹ ↑ 𝑝 𝑒 ↑ 𝑅𝑇 
Se |𝜂𝑝| = 1 ⟹
𝑑𝑅𝑇
𝑑𝑝
= 0 ⟹ (↓ 𝑜𝑢 ↑)𝑝 𝑒 𝑅𝑇 → 
 
Elasticidade e Receita Marginal 
𝑅𝑇 = 𝑝(𝑄). 𝑄 
𝑅𝑀𝑔 =
𝑑𝑅𝑇
𝑑𝑄
=
𝑑𝑝(𝑄)
𝑑𝑄
𝑄 +
𝑑𝑄
𝑑𝑄
𝑝(𝑄) = 
=
𝑑𝑝(𝑄)
𝑑𝑄
𝑄 + 𝑝(𝑄) = 𝑝(𝑄)(
𝑑𝑝(𝑄)
𝑑𝑄
𝑄 + 𝑝(𝑄)
𝑝(𝑄)
) = 
= 𝑝(𝑄) [
𝑝(𝑄)
𝑝(𝑄)
+
𝑑𝑝(𝑄)
𝑑𝑄
∙
𝑄
𝑃(𝑄)
] = 𝑝(𝑄) [1 +
1
|𝜂𝑝|
] → → → 𝑅𝑀𝑔 = 𝑝(𝑄)(1 −
1
|𝜂𝑝|
) 
• Se |𝜂𝑝| > 1 ⟹ 𝑅𝑀𝑔 > 0 (na faixa elástica da demanda, diminuir preço para 
aumentar a quantidade vendida resulta em aumento da receita total, ou seja, a 
receita marginal é positiva). 
• Se |𝜂𝑝| < 1 ⟹ 𝑅𝑀𝑔 < 0 (na faixa inelástica da demanda, diminuir preço para 
aumentar a quantidade vendida resulta em redução da receita total, ou seja, a 
receita marginal é negativa). 
 
 
(a) RMg e Demanda Linear (b) RMg e Demanda não linear 
 
Equilíbrio de Mercado 
Mantidas constantes as demais variáveis que influenciam na demanda e na oferta de um 
bem X, um modelo simples de mercado é dado por: 
𝑋𝐷 = 𝑋𝐷(𝑝𝑥
𝐷) 
𝑋𝑆 = 𝑋𝑆(𝑝𝑥
𝑆) 
𝑋𝐷 = 𝑋𝑆 𝑜𝑢 𝑝𝑥
𝐷 = 𝑝𝑥
𝑆 (Equação de Equilíbrio de Mercado) 
A solução deste sistema resulta no ponto de equilíbrio de mercado, (𝑋∗, 𝑝∗) , cuja 
apresentação gráfica é, 
 
 
 
Casos especiais de equilíbrios 
Em (A), o preço é determinado apenas pela demanda 
Em (B), o preço é determinado apenas pela oferta 
(A) (B) 
 
Mudanças no 𝒑𝒙 resultam em excesso de oferta (a) ou de demanda (b) (situações de 
desequilíbrio) 
(A) (B) 
 
 
 
 
 
 
 
Mudanças nas demais variáveis exógenas alteram o equilíbrio, 
 
Incidência de Impostos 
A incidência de impostos sobre as vendas pelo governo gera dois preços relevantes para 
a análise: 
• 𝑝𝐷 : preço que será pago pelo demandante após o imposto; e, 
• 𝑝𝑆 : preço recebido pelo ofertante após o imposto 
Considere dois tipos principais de impostos sobre as vendas: 
• Impostos sobre a quantidade (montante fixo) (𝑡). Neste caso, têm-se 
𝑝𝐷 = 𝑝𝑆 + 𝑡 
• Impostos sobre o valor (alíquota) (𝜏). Neste caso, têm-se, 
𝑝𝐷 = (1 + 𝜏)𝑝𝑆 
 
O modelo de Equilíbrio de Mercado com incidência de Impostos 
𝑋𝐷(𝑝𝐷) = 𝑋𝑆(𝑝𝑆) 
i. Com 𝑡: 
𝑋𝐷(𝑝𝐷) = 𝑋𝑆(𝑝𝐷 − 𝑡) 𝑜𝑢 𝑋𝐷(𝑝𝑆 + 𝑡) = 𝑋𝑆(𝑝𝑆) 
ii. Com 𝜏: 
𝑋𝐷(𝑝𝐷) = 𝑋𝑆 (
𝑝𝐷
1 + 𝜏
) 𝑜𝑢 𝑋𝐷[(1 + 𝜏)𝑝𝑆] = 𝑋𝑆(𝑝𝑆) 
Ônus do Imposto e Arrecadação do Governo 
 
Ô𝐶 = 𝑆𝐴 = (𝑝
𝐷 − 𝑝0)𝑋1 é o ônus do consumidor 
Ô𝑃 = 𝑆𝐶 = (𝑝0 − 𝑝
𝑆)𝑋1 é o ônus do produtor 
𝐴𝐺 = Ô𝐶 + Ô𝑃 = 𝑆𝐴 + 𝑆𝐶 = (𝑝
𝐷 − 𝑝0)𝑋1 + (𝑝0 − 𝑝
𝑆)𝑋1 = (𝑝
𝐷 − 𝑝𝑆)𝑋1 = 𝑡 ∙ 𝑋1 
É a arrecadação do governo 
As áreas 𝑆𝐵 e 𝑆𝐷 representam a Carga Excessiva do imposto, 
𝑆𝐵 =
1
2
(𝑋0 − 𝑋1)(𝑝
𝐷 − 𝑝0) é a carga excessiva de imposto sobre o consumidor 
(corresponde a uma perda de bem-estar, dado que reduz o excedente do condumidor, 
ou seja, a variação do excedente do consumidor é negativa) 
𝑆𝐷 =
1
2
(𝑋0 − 𝑋1)(𝑝0 − 𝑝
𝑆) é a carga excessiva de imposto sobre o produtor 
(corresponde a uma perda de bem-estar, dado que reduz o excedente do produtor, ou 
seja, a variação do excedente do produtor é negativa) 
 
𝑆𝐵 + 𝑆𝐷 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 
 
Repasse de um Imposto 
• Quanto mais elástica a demanda, maior o ônus sobre o produtor (colocar gráficos 
• Quanto mais inelástica a demanda, maior o ônus sobre o consumidor (colocar 
gráficos) 
 
Eficiência de Pareto 
• Uma situação é dita ‘eficiente no sentido de Pareto’ se não existir nenhuma forma de 
melhorar a situação de uma agente sem piorar a de outro. 
• Exemplo: o equilíbrio de mercado competitivo. 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2012) Caps. 15 e 16 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. A função demanda inversa de um bem no mercado é dada por P = 10 - 0,2Q. 
Determine os diferentes intervalos de preços de acordo com a elasticidade-preço. 
 
2. Sejam α = 0,2 e β = 0,3. Suponha que QMant = x –α ⋅ y β e QMarg = x α+ β ⋅ y –(1+β) 
represente as demandas de manteiga e margarina respectivamente, quando x é o 
preço da manteiga e y o preço da margarina. 
(a) Quais as variações nas quantidades demandadas se o preço da margarina 
aumentar em 10%? 
(b) Quais as variações nas quantidades demandadas se o preço da manteiga 
aumentar em 10%? 
(c) Mostre que os bens são concorrentes. 
 
3. Sejam x = f(p, q) = a ∙ eq−p e y = g(p, q) = b ⋅ ep−q funções de demanda para dois 
bens de consumo com preços p e q respectivamente. Classifique esses bens 
conforme suas elasticidades. 
 
4. A função-demanda pelo bem X é dada por DX(pX, pY, M) =5 px-0,2pY0,1M1,2. Pede-se: 
(a) Demonstre que os expoentes desta função representam as elasticidades da 
demanda do bem X em relação a cada uma das variáveis independentes. 
(b) Defina os bens X e Y de acordo com suas elasticidades. 
 
5. O governo pretende incentivar a demanda por cinema. Sabendo-se que a 
elasticidade-renda da demanda por cinema por pessoa é constante e igual a ¼; que 
a elasticidade-preço é também constante e igual a -1; que os consumidores gastam, 
em média, $200 por ano com cinema; que a renda média anual destes consumidores 
é de $12000; e, que o preço do bilhete é $2, pergunta-se: qual a melhor política de 
estímulo aos consumidores de cinema: 
(a) Um desconto de 10% no preço do bilhete? 
(b) Um aumento de 40% na renda média dos consumidores de cinema? 
 
6. A função-demanda por um produto no mercado é dada por: D(p) = (p-2a)-b. Para 
que valores do preço a demanda desse produto é considerada inelástica? Que 
condições devem ser impostas aos parâmetros “a” e “b” para que os preços sejam 
estritamente positivos? 
 
7. Um consumidor se depara com uma função utilidade dada por U(x,y) =x0,5y0,5, paga 
os preços px e py pelos bens x e y, respectivamente e possui renda M. Determine as 
elasticidades preço e renda da demanda pelo bem x e classifique este bem segundo 
estas elasticidades. 
 
8. A função utilidade de um consumidor é dada por U (x1, x2)=x1x2+x1+2x2, onde x1 e 
x2 são, respectivamente, as quantidades consumidas dos bens 1 e 2. Considere, para 
este consumidor, os preços p1>0 e p2>0 e a renda M. Demonstre que os bens 1 e 2 
são substitutos e normais. 
 
9. Resolva as “Questões de Revisão” do final do Capítulo 15 do Varian. 
10. Resolva as “Questões de Revisão” do final do Capítulo 16 do Varian.