Fenômenos_de_Transporte_Und3

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
BALANÇOS GLOBAISBALANÇOS GLOBAIS
Autor: Me. Rafaela Guimarães
R e v i s o r : M a r i o C a l l e �
I N I C I A R
introduçãoIntrodução
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, vamos aprender sobre os balanços globais de
energia, determinando se um �uido está fornecendo ou recebendo trabalho,
caso das máquinas e turbinas. Além disso, vamos deduzir a famosa equação de
Bernoulli, que, segundo especialistas, é uma das mais utilizadas em fenômenos
de transporte até hoje.
No capítulo 2, estudaremos o Teorema de Reynolds para relacionar volumes de
controle com superfícies de controle, assim, poderemos utilizar uma massa �xa
ou um volume de controle na resolução de problemas.
No capítulo 3, abordaremos o Teorema de Reynolds para entender os
escoamentos com múltiplas entradas e saídas, assim, podemos analisar as
tubulações instaladas na maioria das aplicações técnicas.
Finalmente, na última parte, faremos a análise dimensional, outra maneira de
resolver os problemas em fenômenos de transporte.
Na dinâmica dos �uidos, estudam-se seus movimentos. Para compreendermos
esses movimentos, precisamos considerar as leis fundamentais que modelam o
movimento das partículas dos �uidos. Começaremos estudando a força e a
aceleração.
Segunda Lei de Newton
Quando um �uido escoa, ocorre uma aceleração ou uma desaceleração em suas
partículas. Pela Segunda Lei de Newton, temos que “a força líquida que atua na
partícula �uida que estamos considerando precisa ser igual ao produto de sua
massa pela sua aceleração” (MUNSON, 2004, p. 89), ou seja:
F = m . a                                                                                                                    (1)
Primeiramente, estudaremos os escoamentos com viscosidade nula, isto é, a
condutibilidade térmica do �uido também é nula.
Equação deEquação de
BernoulliBernoulli
Considerando que o movimento dos �uidos é devido à força gravitacional e à
pressão exercida sobre ele, ainda de acordo com Munson e colaboradores
(2004, p. 89), podemos reescrever a Segunda Lei de Newton como:
(Força líquida na partícula devido à pressão) + (Força na partícula devido à
gravidade) = (massa da partícula x
aceleração)                                                                                            (2)
Esta é uma das mais importantes análises feitas em fenômenos de transporte: a
análise entre as forças gravitacionais, a aceleração da partícula e o campo de
pressão.
Nossa primeira análise da equação (2) será bidimensional, nas direções (x e z), ou
seja, o movimento da partícula será descrito pelo vetor velocidade, que pode ser
de�nido como a taxa de variação temporal da posição da partícula.
Estamos representando a trajetória de uma partícula na Figura 3.1. A localização
da partícula ao longo do eixo x - z é função do local ocupado por ela no instante
inicial e de sua velocidade ao longo da trajetória.
Figura 3 1 a) Escoamento do plano x z b) Descrição do escoamento utilizando
Quando o �uido está escoando em regime permanente, toda partícula �uida
escoa ao longo de sua trajetória e seu vetor velocidade é sempre tangente à
trajetória. Também podemos descrever o escoamento em função das
coordenadas da linha de corrente (MUNSON, 2004, p. 89), conforme a Figura
3.1, item b.
O movimento da partícula será descrito em função da distância, dada por s = s
(t), que pode ser medida ao longo da linha de corrente (adotando uma origem)
com um raio de curvatura local dado por R = R(s).
Como a aceleração é a taxa de variação da velocidade sobre o tempo, dado pela
fórmula a = dV/dt (a indicação da velocidade em negrito quer dizer que estamos
nos referindo ao vetor velocidade) no eixo de coordenadas x - y, essa aceleração
terá dois componentes:
um ao longo da linha de corrente, dado por as
outro normal na linha de corrente, dado por an
A aceleração na coordenada s será dada por:
as = 
dV
dt = 
dV
ds
ds
dt = V 
dV
ds                                                                                                      (3)
Onde s é a distância medida ao longo da linha de corrente considerando um
ponto inicial.
A aceleração normal será a aceleração centrífuga, dada em função da velocidade
da partícula e do raio de curvatura da trajetória. Logo:
an = 
V2
R                                                                                                                                                 (4)
Onde R é o raio de curvatura local da linha de corrente.
Figura 3.1 - a) Escoamento do plano x - z. b) Descrição do escoamento utilizando
as coordenadas de linhas de corrente 
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 90).
( )
Segunda Lei de Newton ao Longo
de uma Linha de Corrente
Considerando a Figura 3.2, em que é mostrado o diagrama de corpo livre de uma
partícula retirada do ar em torno de um avião, temos que a dimensão dessa
partícula na direção normal será dada por δy. Se o regime de escoamento for
permanente, teremos:
∑ δFs = δm . as = δm V 
dV
ds = ρ V 
dV
ds = ρδ Volume V 
dV
ds
Onde V é a velocidade, ∑ δFs representa a soma dos componentes das forças
que atuam na partícula na direção ŝ. A massa da partícula é δ m = ρδ Volume, e V 
dV
ds é a aceleração da partícula na direção ŝ . Podemos escrever o volume da
partícula como δ Volume = δs δn δy.
A força gravitacional pode ser escrita como δW = γδ Volume, onde γ = ρg é o peso
especí�co do �uido (N/m3). Logo, a componente da força peso na direção da
linha de corrente pode ser reescrita como:
δWs = - δW sen θ = - γ δ Volume sen θ                                                           (6)
A força de pressão também pode ser reescrita como:
δFps = - 
dp
ds δ Volume                                                                     (7)
O gradiente de pressão p = 
dp
ds ŝ + 
dp
dn n̂ é o responsável pela força líquida que atua
na partícula.
Assim, a força líquida que atua sobre a partícula representada pelo diagrama de
corpo livre, conforme está representado na Figura 3.3, é dada por:
∑ δFs = δWs + δFps = −γ sen θ − 
dp
ds δ Volume                                           (8)( )
Figura: 3.3 - Diagrama de corpo livre para uma partícula �uida 
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 92).
Combinando as equações (8) e (5) nós teremos a equação do movimento ao
longo de uma linha de corrente que é dada por:
- γ sen θ - 
dp
ds = ρ V 
dV
ds = ρ as                                                               (9)
Essa equação pode ser interpretada por “a variação da velocidade da partícula é
provocada por uma combinação adequada do gradiente de pressão com a
componente peso da partícula na direção da linha de corrente” (MUNSON,
2004, p. 93).
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma relação entre pressão, energia cinética e energia
potencial muito utilizada em fenômenos de transporte para escoamentos com
líquidos incompressíveis, como a água.
As hipóteses simpli�cadoras, de acordo com Brunetti (2008, p. 87), que devemos
considerar para podermos aplicar a equação de Bernoulli são:
1. Propriedades uniformes na seção, ou seja, não variam ponto a ponto na
área da seção;
2. Fluido ideal, ou seja, o escoamento ocorre sem perdas por atrito com a
parede da tubulação;
3. Fluido incompressível, ou seja, não há variação de massa especí�ca;
4. Energia térmica desprezível, ou seja, não há trocas de calor;
5. Não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho em estudo;
6. Regime permanente.
Estudaremos um tubo de corrente com um �uido escoando do ponto 1 para o
ponto 2, conforme a Figura 3.4. Uma massa dm1 passará por esse tubo. A energia
acrescentada ao �uido com massa dm1 será
_dE1 = dm1 . g. h1 + 
dm1 . v
2
1
2 + p1 dV1                                                                                (10)
Na seção 2, uma massa \(\text{d}_{m2} do �uido que pertencia ao trecho (1) - (2)
escoa para fora, levando a energia \(\text{d}_{E2} dada por:
dE2 = dm2 . g. h2 + 
dm2. v
2
2
2 + p2 dV2                                                                                        (11)
As hipóteses consideradas no início do estudo para obtermos a equação de
Bernoulli 2, 4 e 5 garantem que nesse trecho da tubulação não houve trocas de
calor, então dE1 =  dE2 , ou:
dm1 .g. h1 + 
dm1 . v
2
1
2 +p1 dV1 = dE2 = dm2 .g. h2 + 
dm2 . v
2
2
2 + p2 dV2
                                                                                                                                                     (12)
Temos que ρ=
dm
dV e que dV=
dm
ρ                                                                                  (13)
Substituindo a equação (3.12) na equação (3.11), obtemos:
dm1 . g. h1 + 
dm1 . v
2
1
2 + 
p1
ρ1
 dm1 = dE2 = dm2 . g. h2 + 
dm2 . v
2
2
2 + 
p2
ρ2
 dm2
                                                                                                                                                                (14)
Como o �uido é incompressível ρ1 = ρ2 e como o regime é permanente  dm1 =
dm2, portanto, a equação (3.13) �cará igual a:
g. h1 + 
v21
2 + 
p1
ρ1
 = g. h2 + 
v22
2 + 
p2
ρ2
                                                                                          (15)
Agora, vamos dividir a equação (15) por g e nos lembrar de que γ = ρ. g, para
obtermos:
h1 + 
v21
2 . g+ 
p1
γ = g. h2 + 
v22
2 . g+ 
p2
γ                                                                                            (16)
A equação (16) é a famosa equação de Bernoulli que nos permite relacionar
cotas (altura), velocidades e pressões em duas seções de um tubo, onde há um
escoamento de um �uido. Abaixo indicaremos separadamente o signi�cado de
cada termo da equação (16), de acordo com Brunetti (2008, p. 89):
1. z = h = 
m . g .h
m . g = 
Ep
G - energia potencial por unidade de peso ou energia
potencial de uma partícula de peso unitário. Essa parte da equação é
também chamada de carga potencial;
2. 
v2
2 . g= 
m . v2
2 . g . m= 
m . v2
2 . G = 
Ec
G - energia cinética por unidade de peso ou
energia cinética de uma partícula de peso unitário. Essa parte da
equação também é chamada de carga da velocidade ou carga cinética;
3. 
p
γ = 
p . V
γ . V= 
p . V
G = 
Epr
G - energia de pressão por unidade de peso ou energia
de pressão da partícula de peso unitário. Essa parte da equação é
chamada de carga de pressão.
Como z é uma cota (altura, é dado em metros), logo 
v2
2 . g , assim como 
p
γ também
devem ser medidos em m.
A energia total (representada pela letra H) por unidade de peso pode ser
calculada por:
H = 
p
γ + 
v2
2 . g+ z                                                                                            (17)
O enunciado dessa equação pode ser de�nido como “se, entre duas seções do
escoamento, o �uido for incompressível, sem atritos, e o regime, permanente, se
não houver máquina nem trocas de calor, então, as cargas totais se manterão
constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga”
(BRUNETTI, 2008, p. 89).
Se a energia total tiver sinal positivo, o escoamento estará recebendo trabalho,
ou seja, o sistema se comporta como uma bomba. Já se H for negativo, o sistema
estará fornecendo energia, ou seja, o escoamento estará exercendo a função de
uma turbina hidráulica.
praticarVamos Praticar
Na �gura a seguir, vemos um reservatório de grandes dimensões fornecendo água para
o tanque indicado com uma vazão de 10 l/s. Queremos fazer um estudo da função da
máquina representada pela letra M na �gura a seguir e de sua energia total. Dados γ
água = 104 N/m3, Atubos = 10 cm2 e g = 9,81 m/s2.
a) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 10 m.
b) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 10 m.
c) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 20 m
d) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 20 m.
e) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 5 m.
Brunetti (2008, p. 94).
Sobre essa máquina e sua energia total, podemos a�rmar que:
Podemos de�nir trabalho, segundo Livi (2017, p. 98), como o produto escalar de
uma força aplicada sobre um �uido multiplicado pelo deslocamento que essa
força provoca.
δW = F . dS                                                                                          (18)
Agora, podemos calcular a taxa de trabalho realizada no tempo:
Teorema deTeorema de
Transporte deTransporte de
Reynolds AplicadoReynolds Aplicado
à Lei deà Lei de
Conservação deConservação de
Quantidade deQuantidade de
MovimentoMovimento
δW
dt = 
F− . ds
_
dt = F . V                                                                                  (19)
Onde V é a velocidade de escoamento do �uido. Observação: podemos
representar os vetores de duas maneiras: F− e F.
A Segunda Lei de Newton a�rma que a força F exercida pela vizinhança sobre o
volume de controle, de forma que o �uido escoa através da superfície de
controle, exerce uma força (- F) sobre a vizinhança, resultando, ainda segundo
Livi (2017, p. 98), que a taxa de trabalho realizada pelo �uido pelas tensões
normais σn em um elemento de área dA da superfície de controle será dada por:
δWf
dt = - F− . V− = - σn dA−V−                                                                    (20)
Agora, podemos calcular a potência de escoamento que é de�nida como a taxa
de trabalho realizado pelas forças devidas às tensões normais considerando
toda a superfície de controle:
δWescoamento
dt = - ∫ ∫
S .C .
 σndA−V− = - - ∫ ∫
S .C .
 σn(V− . n− ) dA                                 (21)
A pressão é a componente da tensão normal σn, sendo que
σn = - p                                                            (22)
Agora, podemos reescrever a equação (21) por
δWescoamento
dt =  ∫ ∫
S .C .
 p (V−n−) dA                                               (23)
A potência resultante será dada por:
δW
dt = 
δWeixo
dt + ∫ ∫
S .C .
 p (V−n−) dA + 
δWμ
dt                                                 (24)
Analisemos a equação (25):
δQ
dt - 
δW
dt = ∫ ∫
S .C .
e ρ V− . n− dA + 
d
dt ∫ ∫ ∫
V .C .
e ρ dvol                            (25)
Que é uma expressão da Primeira Lei da Termodinâmica em relação a um
volume de controle, pode ser reescrita por:
δQ
dt - 
δWeixo
dt - ∫ ∫
S .C .
 p (V−n−) dA = ∫ ∫
S .C .
 e ρ (V−n−) dA + 
d
dt ∫ ∫ ∫
V .C .
e ρdvol
                 (26)
Onde e é a energia total especí�ca (por unidade de massa) do sistema e vol é o
menor volume, em torno de um ponto. Ou
δQ
dt - 
δWeixo
dt = ∫ ∫
S .C .
e + 
p
ρ ρ (V−n−) dA + 
d
dt ∫ ∫ ∫
V .C .
e ρdvol                             (27)
Essa equação é conhecida como equação de energia porque ela fornece um
balanço global da energia para um volume considerado (LIVI, 2017).
Teorema de Transporte de
Reynolds Aplicado à Lei de
Conservação de Quantidade de
Movimento
Considerando um volume de controle estacionário e localizado entre a
tubulação entre as seções (1) e (2) da Figura 3.5, vamos analisar o �uido que
ocupa o volume de controle no instante t. O sistema está se deslocando para a
direita um instante depois, dado por t + δt. O �uido está se deslocando com uma
velocidade v. 
( )
( )
A Figura 3.5 ilustra o escoamento nos instantes t - volume I + CV e no instante  t
+ δt, o volume é dado por volume II + CV - I.
Se B é um parâmetro do sistema, o volume associado a esse parâmetro para o
sistema no instante t é dado por:
Bsist (t) = Bvc (t)                                                                   (28)
Ou seja, o sistema e o �uido contido no volume de controle no instante t são os
mesmos.
Agora, no instante t + δt, o parâmetro B será dada por:
Bsis (t + δt) = Bvc (t + δt) - BI (t + δt) + BII (t + δt)                          (29)
E a variação da quantidade de B no sistema no intervalo de tempo δt dividido por
esse intervalo de tempo será:
Figura 3.5 - Volume de controle e sistema para o escoamento em uma tubulação
comseção transversal variável 
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 166).
δBsis
δt = 
Bsis ( t + δt ) − Bsis ( t ) 
δt = 
Bvc ( t + δt ) − BI ( t + δt ) + BII ( t + δt ) − Bsis ( t ) 
δt
                        (30)
No instante inicial Bsis (t) = Bvc (t). Então, temos:
δBsis
δt = 
Bvc ( t + δt ) − Bvc ( t ) 
δt - 
BI ( t + δt ) 
δt + 
BII ( t + δt ) 
δt                                        (31)
No limite em que δt → 0, o primeiro termo do lado direito da equação (31)
representa a taxa de variação temporal da quantidade B no volume de controle.
limδt → 0 
Bvc ( t + δt ) − Bvc ( t ) 
δt = 
dBvc
dt = 
d ∫
vc
ρ b dvol
dt                                      (32)
O terceiro termo do lado direito da equação (32) representa a taxa com que o
parâmetro extensivo B escoa do volume de controle através da superfície de
controle, representada pelo número II (romano) na Figura 3.6.
Então,
BII (t + δt) = ρ2 b2 δ volII = ρ2 b2 A2 V2 δt                             (33)
Onde ρ2 b2 são os valores de ρe b na seção II (que são constantes). Então, a taxa
com que a propriedade b escoa do volume de controle Bs será:
Bs = limδt → 0 
BII ( t + δt ) 
δt = ρ2 b2 A2 V2                                               (34)
Temos o mesmo resultado no lado I, ou seja,
BI (t + δt) = ρ1 b1 A1 V1 δt                                                          (35)
Onde ρ1 b1 também são valores constantes de ρe b na seção I. De modo
análogo:
Be = limδt → 0 
BI ( t + δt ) 
δt = ρ1 b1 A1 V1                                           (36)
( )
( )( )
Agora, vamos juntar as equações (300) a (36) para que possamos encontrar a
taxa de variação no tempo de B para o sistema e para o volume de controle:
DBsis
Dt = 
dBsis
dt + Bs - Be                                                          (37)
DBsis
Dt = 
dBsis
dt ρ2 b2 A2 V2 - ρ1 b1 A1 V1                                           (38)
Essa é a equação de transporte de Reynolds para um escoamento com uma
entrada (alimentação) e uma saída (descarga). É importante ressaltar que a taxa
de alimentação (ρ2 b2 A2 V2) e a taxa de descarga (ρ1 b1 A1 V1) não precisam
ser iguais no volume de controle. 
praticarVamos Praticar
Um motor trabalhando em regime permanente fornece 30 HP, equivalentes a 22,40
kW, a uma bomba para bombear água à taxa de 0,04 m3/s, conforme está ilustrado na
�gura a seguir. O diâmetro da entrada é de 15 cm e o de saída é de 12,5 cm. Considera-
se que a entrada e a saída da bomba estejam na mesma elevação e, ainda, que o
escoamento possa ser considerado uniforme através da entrada e da saída e
desconsiderando os termos que envolvam as trocas de calor ou variações de energia
interna.
a) entre 0 e 200 kPa.
b) entre 201 e 400 kPa.
c) entre 201 e 400 kPa.
d) entre 401 e 600 kPA.
e) entre 601 e 800 kPa.
A Primeira Lei da Termodinâmica nos diz que: 
Balanços Globais:Balanços Globais:
Balanço Global deBalanço Global de
Quantidade deQuantidade de
MovimentoMovimento
Quando escrevemos essa lei na forma matemática, temos:
D
Dt ∫
sis
e ρdVol = ∑ Qe − ∑ Qsis sis + ∑ We − ∑ Wsis sis = 
Qliq . e + Qliq . e sis(Equação 3.38)
Ou seja, segundo Munson (2004), a energia total por unidade de massa (energia
total especí�ca) e está relacionada com a energia interna especí�ca u, com a
energia cinética por unidade de massa V2 /2 e com a energia potencial por
unidade de massa, dada por g . z pela equação:
e = u + 
V2
2 + g z                                                                          (40)
Vamos analisar mais profundamente, de acordo com Munson (2004), a equação
da energia para escoamentos em regime permanente em média, dada por:
m us − ue +
p
ρ s
 − 
p
ρ e
 + 
V2s − V
2
e
2 + g (zs − ze = Qliq.e +
Wliq.e                 (41)
( ) ( )
( )
[ ( ) ( ) ]
Quando essa equação é aplicada a um escoamento em regime permanente, a
equação resultante é:
m us − ue +
p
ρ s
 − 
p
ρ e
 + 
V2s − V
2
e
2 + g (zs − ze = Qliq.e              (42)
A diferença entre as equações (41) e (42) é o termo Wliq.e, que representa a
potência no eixo que, nesse caso, é nulo em todas as equações. Se o escoamento
for incompressível, a equação (42) pode ser simpli�cada por:
ps
ρ + 
V2s 
2 + g zs = 
pe
ρ + 
V2e 
2 + g ze - (us - ue - qliq.e)                                         (43)
Sendo que:
qliq.e = 
Qliq . e
m                                                                   (44)
É a taxa de transferência de calor por unidade de massa que escoa no volume de
controle. Se os efeitos do atrito puderem ser desprezados, teremos:
ps + 
ρ V2s 
2 + γ zs = pe + 
ρ V2e 
2 + γ ze                                            (45)
Sendo que γ = ρ g é o peso especí�co do �uido. Agora, vamos dividir a equação
(45) pela massa especí�ca do �uido:
ps
ρ + 
V2s 
2 + g zs = 
pe
ρ + 
V2e 
2 + g ze                                                  (46)
Comparando as equações (43) e (46), temos que:
us - ue - qliq.e = 0                                                                    (47)
Para escoamentos permanentes, incompressível e sem atrito. Logo,
[ ( ) ( ) ]
 us - ue - qliq.e> 0                                                                      (48)
Nos escoamentos incompressíveis, permanentes e com atrito. Logo, podemos
de�nir, segundo Munson (2004), a equação (48) como a perda do nosso sistema,
ou seja:
ps
ρ + 
V2s 
2 + g zs = 
pe
ρ + 
V2e 
2 + g ze - perda                                       (49)
Teorema de Transporte de
Reynolds Aplicado à Lei de
Conservação de Quantidade de
Movimento
Agora, vamos estudar um campo de escoamento com várias entradas e saídas
representados pela Figura 3.7. No instante t, temos o �uido contido no volume
de controle delimitado pela superfície não hachurada na �gura. No instante t + δ
t, uma porção de �uido (região II) saiu do volume de controle e uma quantidade
adicional de �uido (região I) entrou no volume de controle, lembrando que essa
quantidade não estava presente no instante inicial. 
Um exemplo de um sistema complexo é mostrado na �gura 3.8, que pode ser a
representação da tubulação de água de uma rua com várias derivações
interligando casas e prédios. Nesta representação temos v1 e v2 entrando no
volume de controle e v3, v4, v5 e v6 saindo (basta seguir o sentido das setas). 
O termo B representa a vazão líquida da propriedade B do volume de controle.
Seu valor é o resultado da integração das contribuições de cada elemento.
Considerando a área desses elementos como in�nitesimal, ela pode ser
representada por δA.
O volume de �uido que passa por cada elemento de área está representado na
Figura 3.9 e é dado por:
δvol = δln δA                                                                        (50)
Onde δln = δl cos θ é a altura (normal a base δA) do pequeno elemento de �uido e
θ é o ângulo entre o vetor velocidade e a normal que aponta para fora da
superfície, n̂. Como δl = V δt, a quantidade da propriedade B transportada
através do escoamento de área δA no intervalo de tempo δt será:
δB = b ρδVol = b ρ (V cos θδt ) δtA                                          (51) 
B é transportado através do elemento de área δA para fora do volume de
controle a uma taxa de transporte dada por:
Figura 3.9 - Volume de controle com várias seções de alimentação e descarga 
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 169).
δBs = limδt → 0 
ρ b δ Vol 
δt = limδt → 0 
( ρ b cos θ δt ) δA
δt = ρb V cos θδA                        (52)
Agora, vamos integrar a equação (52) em toda a sua porção da superfície de
controle que possui descarga de �uido, SC:
Bs = ∫
SCs
dBs = ∫
SCs
ρb V cos θ dA                                             (53)
Sendo que V cos θ é a componente da velocidade na direção normal à área δA,
que é dada pelo produto escalar V . n̂. Agora, temos uma forma alternativa para a
equação (53) que é:
Bs = ∫
SCs
ρb V . V . n̂ dA                                                       (54)Com o mesmo raciocínio, obtemos para a superfície de controle representada na
Figura 3.10:
Be = ∫
SCs
ρb V . cos θ dA = -∫
SCe
ρb V . n̂ dA                             (55) 
Figura 3.10 - Escoamento em uma região da superfície de controle (alimentação) 
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 170).
A convenção normal do versor normal à superfície aponta para a superfície, ou
nas regiões com descarga de �uido temos V . n̂ > 0, para - 90º < θ< 90º e nas
regiões com alimentação de �uido temos V . n̂ < 0, para 90º < θ< 270º, conforme
está mostrado na Figura 3.11. 
Podemos notar que o valor de cos θ é positivo nas porções da superfície de
controle que possuem descarga e negativo nas regiões com alimentação. E, nas
regiões sem alimentação ou descarga, a V   n̂ = V cos θ= 0, ou seja, o �uido se
encontra preso na superfície ou está escoando ao longo da superfície do volume
de controle. 
Figura 3.11 - Con�gurações da velocidade em uma região da superfície de
controle. a) alimentação, b) sem escoamento através da superfície e c) descarga
do �uido 
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 171).
Agora, o �uxo líquido do parâmetro B através da superfície de controle será
dado por:
Bs - Be = ∫
SCs
ρb V . n̂ dA - − ∫
SCe
ρb V . n̂ dA = ∫
SC
ρb V . n̂ dA (56)
Também podemos escrever essa equação como:
DBsis
Dt = 
dBvc
dt + ∫
SC
ρb V . n̂ dA                                           (57)
Como Bvc = ∫
SC
ρb dV, então, a equação (57) �ca sendo:
DBsis
Dt = 
d
dt ∫
vc
ρb dvol + ∫
SC
ρb V . n̂ dA                                    (58)
Essa equação é a forma geral do teorema de transporte de Reynolds para
volumes de controle �xos e não deformáveis.
O lado esquerdo da equação representa a variação temporal de um parâmetro,
que pode ser a variação de massa ou o movimento do sistema. O segundo termo
representa a taxa de variação de B no volume de controle e o último termo
representa a vazão líquida do parâmetro B através de toda a superfície de
controle. 
( )
praticarVamos Praticar
Dois orifícios localizados em uma parede com espessura igual a 120 mm são mostrados
na �gura a seguir. Os orifícios são cilíndricos e o de baixo apresenta uma entrada
arredondada. O ambiente apresenta pressão constante e igual a 1,0 kPa acima do valor
atmosférico. A descarga dos dois orifícios ocorre na atmosfera. Pode ser demonstrado
que a perda de energia disponível no orifício com entrada brusca é igual a 
0 , 5 V22
2 onde
V2 é a velocidade uniforme da seção de descarga do orifício superior. Já a perda de
energia disponível no escoamento do orifício com entrada arredondada é igual a 
0 , 05 V22
2 , onde V2 também é a velocidade uniforme da seção de descarga do orifício
inferior. Nessas condições, a vazão no orifício de menor perda será um número entre
(BRUNETTI, 2008, p. 109):
a) Entre 0 e 0,010 m³/s
Figura 3.12 - Sistema com 2 orifícios para entrada de água 
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 231).
b) Entre 0,011 e 0,020 m³/s
c) Entre 0,021 e 0,030 m³/s
d) Entre 0,031 e 0,040 m³/s
e) Entre 0,041 e 0,050 m³/s
A maioria dos escoamentos estudados em Fenômenos de Transporte são
tridimensionais e precisam de vários cálculos matemáticos para encontrarmos
as   variáveis que queremos controlar. Por isso, foram desenvolvidos outros
métodos envolvendo que possibilitam produzir modelos matemáticos de acordo
com a realidade e mais fáceis de serem trabalhados matematicamente. Um
desses modelos é a análise dimensional.
Ela é uma teoria matemática que, aplicada à Física, e especi�camente à
Mecânica dos Fluidos, permite tirar maiores proveitos dos resultados
experimentais, assim como racionalizar a pesquisa e, portanto, diminuir seus
custos e as perdas de tempo. A teoria da semelhança, ou teoria dos modelos, é
baseada em princípios abordados pela análise dimensional e resolve certos
AnáliseAnálise
Dimensional eDimensional e
Teoria daTeoria da
SemelhançaSemelhança
problemas através da análise de modelos convenientes do fenômeno em estudo
(BRUNETTI, 2008).
Grandezas Fundamentais e
Derivadas
As grandezas como espaço, tempo, velocidade descrevem os fenômenos físicos.
Uma pesquisa no conjunto de grandezas mostra a existência de somente três
grandezas independentes, a partir das quais podem ser relacionadas todas as
demais. A escolha em geral é feita com base no termo FLT (força, comprimento e
tempo) ou no MLT (massa, comprimento e tempo). Com exceção dessas três
grandezas, as demais serão derivadas delas. A equação dimensional relaciona a
grandeza escolhida como base e sua derivada.
Sistemas Coerentes de Unidades
A escolha do sistema de unidades é importante. Denominamos Sistema
Coerente de Unidades aquele que de�ne somente as unidades das grandezas
fundamentais. Para o sistema FLT, temos no MKS as seguintes unidades:
L = metro ou unidade de L;
K = kilograma-força ou unidade de F;
S = segundo ou unidade de tempo.
Outras unidades serão produto de potência dessas três. Por exemplo, a massa
especí�ca é dada por:
un ρMKS = kgf. m-4 . s2 = 
kgf . s2
m4
Teorema dos Pi ou Teorema de
Buckingham
O Teorema dos π nos diz que: “seja um fenômeno físico em que intervêm n
variáveis, x1, x2, …, xn, interligadas por uma função: f (x1, x2, …, xn) = 0. Pode-se
demonstrar que existe outra função, chamada de Φ(π1, π2, …, πn) = 0
rigorosamente equivalente à anterior para o estudo do fenômeno indicado,
onde:
os πi são números adimensionais independentes, construídos por
combinações adequadas das n variáveis ou grandezas que intervêm no
fenômeno;
a quantidade de números adimensionais é m = n - r, onde n = número de
grandezas envolvidas no fenômeno e r = número de grandezas
fundamentais contidas nas grandezas do fenômeno (para o nosso caso,
sabemos que r ≤ 3);
os adimensionais são obtidos por expressões do tipo:
π1= x
α1
1 . x
α2
2 … x
αr
r . x
αr+ 1
r+ 1
π2= x
β1
1 . x
β2
2 … x
βr
r . x
βr+ 1
r+ 1                                                         (59)
…………………………..
πm= x
δ1
1 . x
δ2
2 … x
δr
r . x
δr+ 1
r+ 1
Podemos notar que todos os adimensionais são os mesmos com exceção dos
expoentes. Chamamos esse conjunto de r fatores de base das grandezas dos
fenômenos e eles devem ser independentes.
Grupos Adimensionais
Importantes na Mecânica dos
Fluidos
Algumas grandezas aparecem repetitivamente no estudo de Mecânica dos
Fluidos. Esse conjunto é formado por quatro adimensionais, que são:
Número de Reynolds
Número de Euler
Número de Froude
Número de Mach
Número de Reynolds (Re)
O número de Reynolds, representado por Re, é obtido pela fórmula:
Re = 
ρ v L 
μ                                                               (60)
Onde L é um comprimento característico do escoamento. Vamos denominar:
Fi = m . a como as forças de inércia do escoamento e,
Fμ = σ. A como as forças viscosas. Então, a divisão entre essas duas forças será
dada por:
Fi
Fμ
= 
m . a
σ . A α 
ρ V 
v
T
μ 
v
L A
\                                                                 (61)
Sendo que V α L3 e A α L3, teremos:
Fi
Fμ
α 
ρ L3 
v
T
μ 
v
L L
2
= 
ρ v2 L2
μ 
v
L L
2
= 
ρ v L
μ                                                         (62)
Então, temos que:
Re = 
ρ v L
μ α
Fi
Fμ
                                                            (63)
Desse modo, provamos que o número de Reynolds é proporcional ao quociente
das forças de inércia e viscosas do escoamento.
Como foi visto, Re < 2.000 caracteriza escoamentos laminares e Re > 2.400,
escoamentos turbulentos, ou seja, as turbulências denotam um domínio das
forças de inércia sobre as viscosas, enquanto, em escoamentos laminares, temos
um predomínio das forças viscosas sobre as inerciais. Essa predominância faz
com que o �uido �ua suavemente, sem agito. Em compensação, quando
tivermos valores muito elevados do número de Reynolds, os efeitos da
viscosidade poderão ser desprezados.
Número de Euler (Eu)
O número de Euler, representado por Eu, é calculado por:
Eu = 
Δp
ρ v2(64)
Multiplicando o numerador e o denominador pela área, temos:
Eu = 
Δp . A
ρ v2 . A
α 
F
ρ v2 L2
                                                                               (65)
O número de Euler ou coe�ciente de pressão indica a relação entre as forças de
pressão, chamadas de Fp, e as forças de inércia no escoamento de um �uido.
Utilizamos o número de Euler no estudo de escoamentos em torno de per�s, em
tubos, em máquinas hidráulicas etc.
Número de Froude (Fr)
O número de Froude é representado por Fr e obtido pela equação:
Fr = 
v2
L . g                                                                                     (66)
Que representa a relação entre as forças de inércia e as forças devidas à
aceleração da gravidade. Usamos o Fr no estudo da ação das ondas em
embarcações, escoamento em canais, vertedores, orifícios etc., ou seja,
escoamentos que possuem uma queda que podem formar ondas.
Número de Match (M)
(M) = 
v
c                                                                           (67)
Onde c é a velocidade do som no �uido em escoamento. Temos que usar o
número de Match �uidos compressíveis, como o ar. Temos que (M) < 1
produzem escoamentos subsônicos,  (M) = 1 produzem escoamentos sônicos e
 (M) > 1 produzem os supersônicos.
praticarVamos Praticar
O teorema dos π nos diz que a função equivalente pode ser construída por números
adimensionais independentes formados com as grandezas envolvidas no fenômeno. A
velocidade de um corpo em queda livre é função somente da aceleração da gravidade g
e da altura da queda h. A função de número adimensional referente ao fenômeno é
igual a (BRUNETTI, 2008, p. 149):
a) v = 
g . h
v2
.
b) π = g . h. v2 .
c) π = g . h. v.
d) v = 
g . h
v .
e) v = 
g . h
v3
.
indicações
Material
Complementar
F I L M E
Poseidon
Ano: 2006
Comentário: Na virada de ano novo, a força de um
tsunami de 150 pés consegue virar o transatlântico
Poseidon de cabeça para baixo. Os passageiros que
sobrevivem a esta guinada de 180º no eixo do navio têm
que escolher entre a sensação de conforto de estar no
salão de festas e terem sobrevivido a essa tragédia ou a
subir até o casco do navio para atingir a superfície e assim
poderem sair da embarcação. Vale notar a combinação
das forças gravitacionais, da velocidade da água e da
pressão inundando todos os cantos do transatlântico.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a
seguir.
T R A I L E R
L I V R O
Mecânica dos �uidos: Fundamentos e
Aplicações
Editora: Mc Graw Hill Editora
Autores: Çengel, Y. & Cimbala, J. M.
Comentário: O capítulo 7 deste livro nos traz maiores
informações sobre a Análise Dimensional.
Recomendamos a leitura das páginas 232 a 237, onde um
gol�nho é citado como exemplo para a obtenção dos 4
números adimensionais básicos.
conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, estudamos o balanço global de energia, para
podermos obter a equação de Bernoulli e as hipóteses utilizadas para sua
obtenção, uma das equações mais utilizadas em Fenômenos de Transporte.
Depois, estudamos o Teorema de Reynolds e aprendemos a equacionar
superfícies de controle com volumes de controle para abordarmos escoamentos
em que a massa ou o volume variam no tempo.
Estudamos a aplicação do Teorema de Reynolds ao balanço global da quantidade
de movimento para escoamentos com múltiplas saídas, como é na realidade a
maioria da nossa instalação hidráulica e de gás natural.
Finalmente, aprendemos uma nova metodologia para resolvermos os problemas
de fenômenos de transporte. A análise dimensional e a teoria dos π nos ensinam
que é possível resolver situações reais baseados em três grandezas
fundamentais. 
referências
Referências
Bibliográ�cas
g
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall
Revisada, 2008.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: Fundamentos e Aplicações.
Tradução de Roque, K. A.; Fecchio, M. M. Revisão técnica de Saltara, F. Baliño, J.
L.; Burr, K. P. Consultoria Técnica de Castro, H. M. São Paulo: Mc Graw Hill
Editora, 2007.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos
básicos. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos
Fluidos. Tradução de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.