aula 6

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Ensino de matemática (Fonte: Shutterstock).
t = tg
𝑥
2
, − 𝜋 < 𝑥 < 𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
2 𝑡
1+ 𝑡2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
1− 𝑡2
1+ 𝑡2
d𝑥 =
2dt
1 + 𝑡2
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
2 𝑡
1+ 𝑡2
sen 2 θ = 2 senθ cosθ
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
sen x =
2 𝑠 𝑒 𝑛
𝑥
2
cos
𝑥
2
1
=
2 𝑠 𝑒 𝑛
𝑥
2
cos
𝑥
2
𝑐 𝑜 𝑠2
𝑥
2
+ 𝑠 𝑒 𝑛2
𝑥
2
=
2 𝑠 𝑒 𝑛
𝑥
2
cos
𝑥
2
𝑐 𝑜 𝑠2
𝑥
2
𝑐 𝑜 𝑠2
𝑥
2
+ 𝑠 𝑒 𝑛2
𝑥
2
𝑐 𝑜 s2
𝑥
2
=
2 𝑡 𝑔
𝑥
2
1+ 𝑡 𝑔2
𝑥
2
=
2 𝑡
1 + 𝑡2
∫
2x
x2+ 1
dx = ln x2 + 1 + C
cos 𝑥 =
1 - 𝑡2
1 + 𝑡2
cos x =
𝑐 𝑜 𝑠2
𝑥
2
𝑠 𝑒 𝑛2
𝑥
2
1
=
cos2
𝑥
2
𝑠 𝑒 𝑛2
𝑥
2
𝑐 𝑜 𝑠2
𝑥
2
𝑐 𝑜 𝑠2
𝑥
2
+ 𝑠 𝑒 𝑛2
𝑥
2
𝑐 𝑜 s2
𝑥
2
=
1 - 𝑡 𝑔2
𝑥
2
1 + 𝑡 𝑔2
𝑥
2
=
1 - 𝑡2
1+ 𝑡2
𝑑𝑥 =
2𝑑 𝑡
1 + 𝑡 2
( )
( )
𝑦′ =
𝑢 ′
1 + 𝑢2
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∫
𝑑 𝑥
3 +5 cos 𝑥
𝑥 = 𝑡𝑔
𝑡
2
∫
𝑑 𝑥
3+5 cos𝑥
= ∫
2 𝑑 𝑡
1+ 𝑡2
3+ 5
1− 𝑡2
1+ 𝑡2
∫
2 𝑑 𝑡
1+ 𝑡2
3+ 3 𝑡2+5 - 5 𝑡2
1+ 𝑡2
= ∫
2𝑑 t
8 -2 𝑡2
= ∫
𝑑 t
𝑡2 - 4
=
- ∫
𝑑 𝑡
( 𝑡 −2 ) ( 𝑡 + 2 )
- ∫
𝑑 𝑡
( 𝑡 −2 ) ( 𝑡 + 2 )
= -
−1
4
∫
𝑑 𝑡
𝑡 +2
+
1
4
∫
𝑑 𝑡
𝑡 −2
=
1
4
ln 𝑡 + 2 −
1
4
ln 𝑡 − 2 + 𝐶 =
1
4
ln
| 𝑡 +2 |
| 𝑡 −2 |
+ 𝐶
1
4
ln
𝑡g
x
2
+2
𝑡 g
x
2
−2
+ 𝐶
n
√𝒙 Z =
n
√𝒙
n
√𝒙
m
√𝒙 u =
mn
√𝒙
∫
𝑑 𝑥
1 +√𝑥
Z =
n
√𝒙
∫
𝑑 𝑥
1+√𝑥
= ∫
2 𝑧
1+ 𝑧
𝑑𝑧
2 -
2
1+ 𝑧
[ ] | | | |
| |
| |
∫ 2dz - ∫
2
1+ 𝑧
𝑑𝑧 = 2𝑧 − 2 ln 1 + 𝑧 + 𝑐
2𝑧 − 2 ln 1 + 𝑧 + 𝑐 = 2√ 𝑥 − ln 1 + √𝑥 + 𝑐
√ 2 + + , a ≠ 0
√𝒂𝒙2 + 𝒃𝒙 + 𝒄, a ≠ 0
𝒂𝒙2 + 𝒃𝒙 + 𝒄
√𝒂𝒙2 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = ± √𝒂𝒙 + 𝒕
√𝒂𝒙2 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒙𝒕 ± √𝒄
√𝒂𝒙2 + 𝒃𝒙 + 𝒄 √𝒂𝒙2 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒙 − 𝒓 𝒕, r
Fonte: Shutterstock
∫
𝑑 𝑥
𝑥√4x2+ 𝑥 −3
4x2 + 𝑥 − 3 , a > 0
√4𝑥2 + 𝑥 − 3 = 2𝑥 + 𝑡
4𝑥2 + 𝑥 − 3 = 2𝑥 − t 2 = 4𝑥t2 + 4𝑥𝑡 + t2𝑥 − 4𝑥𝑡 = t2 + 3𝑥 1 − 4𝑡 = t2 + 3
| | | |
( )
( )
( ) ( )
𝑥 =
𝑡2+3
( 1−4 𝑡 ) √ 4𝑥2 + 𝑥 − 3 = 2𝑥 + 𝑡 = 2
𝑡2+3
( 1−4 𝑡 )
+ 𝑡𝑑𝑥 =
−4 𝑡2+2 𝑡 +12
( 1−4 𝑡 )
𝑑𝑡
∫
𝑑 𝑥
𝑥√4x2 + 𝑥 − 3
= ∫
4t2+2t+12
( 1− 4 𝑡 )
dt
t2 + 3
( 1 - 4t )
2
t2+3
( 1 - 4t )
+ t
= ∫
2
t2 + 3
dt =
2
√3
arctg
t
√3
+ C
∫
2
𝑡 2+ 3
𝑑𝑡 =
2
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
t
√3
+ 𝐶 =
2
√3
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
√4𝑥2 + 𝑥 − 3− 2𝑥
√3
+ 𝐶
∫
2dt
t2+3
Fonte: Shutterstock.
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
∫𝑥√𝑥 − 3
∫
𝑑 𝑥
1−cos𝑥
∫0
1 𝑑 𝑥
𝑥√𝑥2+ 𝑥 −6
( )