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livro gabarito matemática 3

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Módulo Números Complexos - Forma Algébrica
Introdução à forma polar de um número complexo
3◦ ano E.M.
Introdução à forma polar de um número complexo
1 Exerćıcios Introdutórios
Exerćıcio 1. Encontre a representação polar dos
números complexos:
a) z = −1− i.
b) z = 2 + 2i.
c) z = −1 + i
√
3.
d) z = 1− i
√
3.
Exerćıcio 2. Encontre a representação polar dos seguin-
tes números complexos
a) z = 2i.
b) z = −1.
c) z = 2.
d) z = −3i.
Exerćıcio 3. Determine o módulo e o argumento princi-
pal dos seguintes números complexos
a) z = 4.
b) z = 1 + i.
c) z = 1 + i
√
3.
d) z = 2− 2i.
Exerćıcio 4. Coloque na forma algébrica os seguintes
números:
(a) z = 3 · (cos π + i sen π).
(b) z = 4 · (cos π/4 + i sen π/4).
(c) z = 4 · (cos 11π/6 + i sen 11π/6).
(d) z = 5 · (cos 3π/2 + i sen 3π/2).
Exerćıcio 5. Calcule o módulo dos números
(a) z = (1− i)(2 + i)
(b) z = (
√
3 + i)5.
(c) z =
5i
3 + 4i
.
Exerćıcio 6. Escreva na forma trigonométrica o número
complexo (1/2 + i
√
3/2)10.
Exerćıcio 7. Escreva na forma trigonométrica o número
complexo z =
(1 + i
√
3)6
i7
.
Exerćıcio 8. Fixado θ, qual a representação gráfica dos
números complexos z = r(cos θ + i sen θ) quando r varia
no conjunto R.
Exerćıcio 9. Calcule o valor de (−
√
3− i)10.
Exerćıcio 10. Determine o menor número natural n para
o qual (i−
√
3)n é um imaginário puro
Exerćıcio 11. Escreva na forma trigonométrica os conju-
gados dos seguintes números complexos:
a) z = 1/(1 + i)
b) z = (1 + i)2
2 Exerćıcios de Fixação
Exerćıcio 12. Calcule o valor de (1 + i)200
Exerćıcio 13. Calcule (
√
2 + i
√
2)10
Exerćıcio 14. Calcule
(
1/
√
2− i/
√
2
)20
Exerćıcio 15. Calcule o valor de
z =
(1− i)10(
√
3 + i)5
(−1− i
√
3)10
.
Exerćıcio 16. Determine |z| e argz se
z = (1 + i
√
3)100 + (1− i
√
3)100.
Exerćıcio 17. Verifique que
cos3 θ = (3 cos θ + cos 3θ)/4.
Exerćıcio 18. Determine a forma trigonométrica do
número −1 + i tg α
1− i tg α .
3 Exerćıcios de Aprofundamento e de
Exames
Exerćıcio 19. Simplifique (1+w)100 se w = cos(2π/3)+
i sen(2π/3).
Exerćıcio 20. Se w1 = −1/2 + i
√
3/2 e w2 = −1/2−
i
√
3/2, determine o valor de w1001 + w
100
2 .
Exerćıcio 21. Sejam n um número natural e z é um
número complexo de módulo unitário tal que z2n 6= −1.
Verifique que
zn
1 + z2n
∈ R.
Exerćıcio 22. Encontre todos os números complexos z
tais que |z| = 1 e ∣∣∣∣ zz + zz
∣∣∣∣ = 1.
Exerćıcio 23. Se a = cos π/5 e b = sen π/5, então o
número complexo (cos π/5 + i sen π/5)54 é igual a
http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br
a) a + bi.
b) −a + bi.
c) (1− 2a2b2) + ab(1 + b2)i.
d) a− bi.
e) 1− 4a2b2 + 2ab(1− b2)i.
Exerćıcio 24. Determine uma expressão reduzida para
o somatório:(
2004
0
)
+
(
2004
3
)
+
(
2004
6
)
+ . . . +
(
2004
2004
)
Exerćıcio 25. Se z = cos t + i sen t, onde 0 < t < 2π,
então podemos afirmar que w =
1 + z
1− z é dado por
a) i cotg(t/2).
b) i tg(t/2).
c) i cotg(t).
d) i tg t.
e) n.d.a.
Exerćıcio 26. Para cada n, temos que
1−
(
4n
2
)
+
(
4n
4
)
− . . .−
(
4n
4n− 2
)
+ 1
é igual a:
a) (−1)n · 22n b) 22n c) (−1)n · 2n d)
(−1)n+1 · 22n e) (−1)n+1 · 2n.
Exerćıcio 27. Se z +
1
z
= 2 cos θ, verifique que
zn +
1
zn
= 2 cos nθ.
Exerćıcio 28. Mostre que
sen(2π/7) + sen(4π/7) + sen(8π/7) =
√
7
2
.
http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br
Respostas e Soluções.
1.
a) z =
√
2(cos(5π/4) + i sen(5π/4)).
b) z = 2
√
2(cos(π/4) + i sen(π/4)).
c) z = 2(cos(2π/3) + i sen(2π/3)).
d) z = 2(cos(5π/3) + i sen(5π/3)).
2.
a) z = 2(cos(π/2) + i sen(π/2)).
b) z = cos(π) + i sen(π).
c) z = 2(cos 0 + i sen 0).
d) z = 3(cos(3π/2) + i sen(3π/2)).
3.
a) |z| = 4 e argz = 0.
b) |z| =
√
1 + 1 =
√
2 e argz = π/4.
c) |z| =
√
1 + 3 = 2 e argz = π/3.
d) |z| =
√
4 + 4 = 2
√
2 e argz = 7π/4.
4.
a)
z = 3 · (cos π + i sen π)
= 3 · (−1 + 0)
= −3
b)
z = 4 · (cos π/4 + i sen π/4)
= 3 · (
√
2/2 +
√
2i/2)
= 3
√
2/2 + 3
√
2i/2
c)
z = 4 · (cos 11π/6 + i sen 11π/6)
= 4 · (1/2−
√
3i/2
= 2− 2
√
3i
d)
z = 5 · (cos 3π/2 + i sen 3π/2)
= 5(0− i)
= −5i.
5.
(a)
|z| = |(1− i)(2 + i)|
= |1− i| · |2 + i|
=
√
2 ·
√
5
=
√
10.
(b)
|z| = |(
√
3 + i)5|
= |
√
3 + i|5
= (
√
9 + 1)5
= 100
√
10.
(c)
|z| =
∣∣∣∣ 5i3 + 4i
∣∣∣∣
=
|5i|
|3 + 4i|
=
5
5
= 1.
6.
(1/2 + i
√
3/2)10 = (cos π/3 + i sen π/6)10
= (cos 10π/3 + i sen 10π/6)
= (cos 4π/3 + i sen 4π/6).
7.
(1 + i
√
3)6
i7
=
26i(cos π/3 + i sen π/3)6
i8
= 26i · (cos 2π + i sen 2π)
= 26i
= 26(cos π/2 + i sen π/2).
8. A representação gráfica consite em uma reta que passa
pela origem e forma com o eixo positivo ~ox um ângulo de
θ.
9.
(−
√
3− i)10 = 210(−
√
3/2− i/2)10
= 210(cos 7π/6 + i sen 7π/6)10
= 210(cos 70π/6 + i sen 70π/6)
= 210(cos 10π/6 + i sen 10π/6).
10. Se z = i−
√
3 = 2(cos 5π/6 + i sen 5π/6), temos
zn = 2n(cos(5π/6) + i sen(5π/6))n
= 2n(cos(5nπ/6) + i sen(5nπ/6))
Para que ele seja um imaginário puro, 5nπ/6 = π/2+πk,
ou seja, 5n = 3 + 6k. Assim, 5n− 3 deve ser múltiplo de
6 e o menor valor natural para que isso aconteça é n = 3.
http://matematica.obmep.org.br/ 3 matematica@obmep.org.br
11.
a)
z =
1
1 + i
=
1
1 + i
=
1
1− i
=
1 + i
(1− i)(1 + i)
=
1 + i
2
= 1/2 + i/2
=
√
2
2
(cos π/4 + i sen π/4).
z = (1 + i)2
= (1 + i)2
= (1− i)2
= 1− 2i + i2
= −2i
= 2(cos 3π/2 + i sen 3π/2)
12.
(1 + i)200 = (
√
2)200 · (cos π/4 + i sen π/4)200
= 2100 · (cos 200π/4 + i sen 200π/4)200
= 2100 · (cos 50π + i sen 50π)
= 2100.
13.
(
√
2 + i
√
2)10 = 210 · (cos π/4 + i sen π/4)10
= 210 · (cos 10π/4 + i sen 10π/4)
= 210 · (cos π/2 + i sen π/2)
= 2100i.
14. (
1/
√
2− i/
√
2
)20
= (cos 3π/4 + i sen 3π/4)20
= (cos 60π/4 + i sen 60π/4)
= (cos π + i sen π)
= −1
15.
z =
(cos 3π/2 + i sen 3π/2)10(cos π/3 + i sen π/3)5
(cos 5π/6 + i sen 5π/5)10
=
(cos 30π/2 + i sen 30π/2)(cos 5π/3 + i sen 5π/3)
cos 50π/6 + i sen 50π/5
=
cos 2π/3 + i sen 2π/3
cos π/3 + i sen π/3
=
cos π/3 + i sen π/3.
16. Seja w = −1/2 + i
√
3/2 = cos π/3 + i sen π/3.
Portanto,
z = 2100w100 + 2100w100.
Como w3 = 1 e w 6= 1, segue que w = w2 e que w + w2 =
−1. Assim,
z = 2100w100 + 2100w100
= 2100w + 2100w
= 2100(w + w2)
= −2100
17. Seja w = cos θ + i sen θ = a + bi. Pelo Binômio de
Newton,
w3 = (a + ib)3
= a3 + 3a2bi− 3ab2 − ib3
Por outro lado,
w3 = cos 3θ + i sen 3θ.
Comparando as partes reais das duas expressões, pode-
mos concluir que
cos3 θ = a3
= (3 cos θ + cos 3θ)/4.
18.
−1 + i tg α
1− i tg α = −
cos α + i sen α
cos α− i sen α
= − (cos α + i sen α)(cos α + i sen α)
(cos α− i sen α)(cos α + i sen α)
= −cos α
2 − sen α2 + 2 cos α sen αi
cos α2 + sen α2
= − cos 2α− sen 2αi.
19. Como w3 = 1, segue que (w− 1)(w2 + w + 1) = 0.
Dado que w 6= 1, segue que w2 + w + 1 = 0. Assim
(1 + w)100 = (−w2)100
= w200
= (w3)66w2
= w2.
O valor procurado é w2 = cos(4π/3) + i sen(4π/3).
http://matematica.obmep.org.br/ 4 matematica@obmep.org.br
20. Temos w31 = w
3
2 = 3. Daı́ w
100
1 + w
100
2 = w1 + w2 =
−1.
21. (Adaptado do vestibular do IME - 2002) Seja z =
cos α + i sen α. Portanto, z = cos α− i sen α e
zn
1 + z2n
=
zn · zn
zn + z2n · zn
=
1
zn + zn
=
1
2 cos nθ
.
22. z = cos x + i sen x com x ∈ [0, 2π).
1 =
|z2 + z2|
|z|2
= 2| cos 2x|.
Daı́ cos 2x = 1/2 ou cos 2x = −1/2. As soluções dessa
equação são os números:
x1 = π/6, x2 = 5π/6, x3 = 7π/6, x4 = 11π
x5 = π/3, x6 = 2π/3, x7 = 4π/3, x8 = 5π/3
Cada um deles gera a solução zj = cos xj + i sen xj
23. (Extraı́do do ITA 2009)
(cos π/5 + i sen π/5)54 = (cos 54π/5 + i sen 54π/5)
= (cos 4π/5 + i sen 4π/5)
= − cos π/5 + i sen π/5
= −a + bi.
Resposta letra B.
24. (Adaptado do vestibular do IME de 2005) Se w =
cos(2π/3) + i sen(2π/3), temos w3 = 1. Além disso,
w2 + w + 1 = 1. Daı́
(1 + 1)2004 =
2004
∑
k=0
(
2004
k
)
1k
(1 + w)2004 =
2004
∑
k=0
(
2004
k
)
wk
(1 + w2)2004 =
2004
∑
k=0
(
2004
k
)
w2k
Como 1 + w = −w2 e 1 + w2 = −w, segue que (1 +
w)2004 = (−w2)2004 = 1 e (1 + w2)2004 =(−w)2004 = 1.
Somando as três equações, temos
2 + 22004 =
2004
∑
k=0
(
2004
k
)
(1k + wk + w2k). (1)
Temos três casos a considerar: k = 3q, k = 3q + 1 e
k = 3q + 1.
a) 1k + wk + w2k = 13q + w3q + w6q = 3
b) 1k + wk + w2k = 13q+1 + w3q+1 + w6q+2 = 0
c) 1k + wk + w2k = 13q+2 + w3q+2 + w6q+4 = 0
Logo
1 + wk + w2k =

3 se 3 | k
0 caso contrário
Finalmente, substituindo na equação ( 1), temos
2 + 22004 =
2004
∑
k=0
(
2004
k
)
(1k + wk + w2k)
2 + 22004 = 3
368
∑
q=0
(
2004
3q
)
2 + 22004
3
=
368
∑
q=0
(
2004
3q
)
.
25. (Extraı́do do vestibular do ITA - 1991)
w =
1 + z
1− z
=
1 + cos t + i sen t
1− cos t− i sen t
=
(1 + cos t + i sen t)(1− cos t + i sen t)
(1− cos t)2 + sen2 t
=
(1 + i sen t)2 − cos2 t
(1− cos t)2 + sen2 t
=
2i sen t
2− 2 cos t
=
2i sen t
2− 2 cos t
=
4i sen(t/2) cos(t/2)
4 sen2(t/2)
= i cotg(t/2).
Resposta letra A.
26. (Extraı́do do ITA) Se i2 = −1, temos
(i + 1)4n =
4n
∑
k=0
(
4n
k
)
ik
((i + 1)2)2n =
2n
∑
j=0
(
4n
2j
)
i2j +
2n−1
∑
j=0
(
4n
2j + 1
)
i2j+1
(2i)2n =
2n
∑
j=0
(
4n
2j
)
(−1)j + i
(
2n−1
∑
j=0
(
4n
2j + 1
)
(−1)j
)
.
http://matematica.obmep.org.br/ 5 matematica@obmep.org.br
Como (2i)2n = (−1)n22n é número real, podemos concluir
que
2n
∑
j=0
(
4n
2j
)
(−1)j = (−1)n22n
2n−1
∑
j=0
(
4n
2j + 1
)
(−1)j = 0.
A resposta é a letra A.
27. Seja w = cos θ + i sen θ. Assim w + w = 2 cos θ.
Como w tem módulo unitário, segue que w = 1/w. Assim
w +
1
w
= z +
1
z(
w +
1
w
)2
=
(
z +
1
z
)2
w2 + 2 +
1
w2
= z2 + 2 +
1
z2
w2 +
1
w2
= z2 +
1
z2
.
Denote por Kn = zn +
1
zn
e Tn = wn + wn. Assim, K1 =
T1 = 2 cos θ e K2 = T2. Suponha que Tn = Kn para todo
n ≤ m. Daı́(
zm +
1
zm
)(
z +
1
z
)
=
(
wm +
1
wm
)(
w +
1
w
)
zm+1
1
zm+1
+ zm−1 +
1
zm−1
= wm+1
1
wm+1
+ wm−1 +
1
wm−1
zm+1 +
1
zm+1
= wm+1 +
1
wm+1
Km+1 = Tm+1
Assim, Kn = Tn para todo n natural. Como
wn = (cos θ + i sen θ)n
= cos nθ + i sen nθ
wn = (cos θ − i sen θ)n
= cos nθ − i sen nθ
Portanto,
zn +
1
zn
= Tn
= (cos nθ + i sen nθ)
+ (cos nθ − i sen nθ)
= 2 cos θ.
28. Sejam x = cos(2π/7) + i sen(2π/7), p = x + x2 + x4
e q = x3 + x5 + x6. A quantidade desejada é a parte
imaginária de p. Como x7 = 1, segue que p + q = −1 e
pq = 2. Resolvendo a equação do segundo grau m2 + m +
2 = 0, encontramos Im p =
√
7
2
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