Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Módulo Números Complexos - Forma Algébrica Introdução à forma polar de um número complexo 3◦ ano E.M. Introdução à forma polar de um número complexo 1 Exerćıcios Introdutórios Exerćıcio 1. Encontre a representação polar dos números complexos: a) z = −1− i. b) z = 2 + 2i. c) z = −1 + i √ 3. d) z = 1− i √ 3. Exerćıcio 2. Encontre a representação polar dos seguin- tes números complexos a) z = 2i. b) z = −1. c) z = 2. d) z = −3i. Exerćıcio 3. Determine o módulo e o argumento princi- pal dos seguintes números complexos a) z = 4. b) z = 1 + i. c) z = 1 + i √ 3. d) z = 2− 2i. Exerćıcio 4. Coloque na forma algébrica os seguintes números: (a) z = 3 · (cos π + i sen π). (b) z = 4 · (cos π/4 + i sen π/4). (c) z = 4 · (cos 11π/6 + i sen 11π/6). (d) z = 5 · (cos 3π/2 + i sen 3π/2). Exerćıcio 5. Calcule o módulo dos números (a) z = (1− i)(2 + i) (b) z = ( √ 3 + i)5. (c) z = 5i 3 + 4i . Exerćıcio 6. Escreva na forma trigonométrica o número complexo (1/2 + i √ 3/2)10. Exerćıcio 7. Escreva na forma trigonométrica o número complexo z = (1 + i √ 3)6 i7 . Exerćıcio 8. Fixado θ, qual a representação gráfica dos números complexos z = r(cos θ + i sen θ) quando r varia no conjunto R. Exerćıcio 9. Calcule o valor de (− √ 3− i)10. Exerćıcio 10. Determine o menor número natural n para o qual (i− √ 3)n é um imaginário puro Exerćıcio 11. Escreva na forma trigonométrica os conju- gados dos seguintes números complexos: a) z = 1/(1 + i) b) z = (1 + i)2 2 Exerćıcios de Fixação Exerćıcio 12. Calcule o valor de (1 + i)200 Exerćıcio 13. Calcule ( √ 2 + i √ 2)10 Exerćıcio 14. Calcule ( 1/ √ 2− i/ √ 2 )20 Exerćıcio 15. Calcule o valor de z = (1− i)10( √ 3 + i)5 (−1− i √ 3)10 . Exerćıcio 16. Determine |z| e argz se z = (1 + i √ 3)100 + (1− i √ 3)100. Exerćıcio 17. Verifique que cos3 θ = (3 cos θ + cos 3θ)/4. Exerćıcio 18. Determine a forma trigonométrica do número −1 + i tg α 1− i tg α . 3 Exerćıcios de Aprofundamento e de Exames Exerćıcio 19. Simplifique (1+w)100 se w = cos(2π/3)+ i sen(2π/3). Exerćıcio 20. Se w1 = −1/2 + i √ 3/2 e w2 = −1/2− i √ 3/2, determine o valor de w1001 + w 100 2 . Exerćıcio 21. Sejam n um número natural e z é um número complexo de módulo unitário tal que z2n 6= −1. Verifique que zn 1 + z2n ∈ R. Exerćıcio 22. Encontre todos os números complexos z tais que |z| = 1 e ∣∣∣∣ zz + zz ∣∣∣∣ = 1. Exerćıcio 23. Se a = cos π/5 e b = sen π/5, então o número complexo (cos π/5 + i sen π/5)54 é igual a http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br a) a + bi. b) −a + bi. c) (1− 2a2b2) + ab(1 + b2)i. d) a− bi. e) 1− 4a2b2 + 2ab(1− b2)i. Exerćıcio 24. Determine uma expressão reduzida para o somatório:( 2004 0 ) + ( 2004 3 ) + ( 2004 6 ) + . . . + ( 2004 2004 ) Exerćıcio 25. Se z = cos t + i sen t, onde 0 < t < 2π, então podemos afirmar que w = 1 + z 1− z é dado por a) i cotg(t/2). b) i tg(t/2). c) i cotg(t). d) i tg t. e) n.d.a. Exerćıcio 26. Para cada n, temos que 1− ( 4n 2 ) + ( 4n 4 ) − . . .− ( 4n 4n− 2 ) + 1 é igual a: a) (−1)n · 22n b) 22n c) (−1)n · 2n d) (−1)n+1 · 22n e) (−1)n+1 · 2n. Exerćıcio 27. Se z + 1 z = 2 cos θ, verifique que zn + 1 zn = 2 cos nθ. Exerćıcio 28. Mostre que sen(2π/7) + sen(4π/7) + sen(8π/7) = √ 7 2 . http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br Respostas e Soluções. 1. a) z = √ 2(cos(5π/4) + i sen(5π/4)). b) z = 2 √ 2(cos(π/4) + i sen(π/4)). c) z = 2(cos(2π/3) + i sen(2π/3)). d) z = 2(cos(5π/3) + i sen(5π/3)). 2. a) z = 2(cos(π/2) + i sen(π/2)). b) z = cos(π) + i sen(π). c) z = 2(cos 0 + i sen 0). d) z = 3(cos(3π/2) + i sen(3π/2)). 3. a) |z| = 4 e argz = 0. b) |z| = √ 1 + 1 = √ 2 e argz = π/4. c) |z| = √ 1 + 3 = 2 e argz = π/3. d) |z| = √ 4 + 4 = 2 √ 2 e argz = 7π/4. 4. a) z = 3 · (cos π + i sen π) = 3 · (−1 + 0) = −3 b) z = 4 · (cos π/4 + i sen π/4) = 3 · ( √ 2/2 + √ 2i/2) = 3 √ 2/2 + 3 √ 2i/2 c) z = 4 · (cos 11π/6 + i sen 11π/6) = 4 · (1/2− √ 3i/2 = 2− 2 √ 3i d) z = 5 · (cos 3π/2 + i sen 3π/2) = 5(0− i) = −5i. 5. (a) |z| = |(1− i)(2 + i)| = |1− i| · |2 + i| = √ 2 · √ 5 = √ 10. (b) |z| = |( √ 3 + i)5| = | √ 3 + i|5 = ( √ 9 + 1)5 = 100 √ 10. (c) |z| = ∣∣∣∣ 5i3 + 4i ∣∣∣∣ = |5i| |3 + 4i| = 5 5 = 1. 6. (1/2 + i √ 3/2)10 = (cos π/3 + i sen π/6)10 = (cos 10π/3 + i sen 10π/6) = (cos 4π/3 + i sen 4π/6). 7. (1 + i √ 3)6 i7 = 26i(cos π/3 + i sen π/3)6 i8 = 26i · (cos 2π + i sen 2π) = 26i = 26(cos π/2 + i sen π/2). 8. A representação gráfica consite em uma reta que passa pela origem e forma com o eixo positivo ~ox um ângulo de θ. 9. (− √ 3− i)10 = 210(− √ 3/2− i/2)10 = 210(cos 7π/6 + i sen 7π/6)10 = 210(cos 70π/6 + i sen 70π/6) = 210(cos 10π/6 + i sen 10π/6). 10. Se z = i− √ 3 = 2(cos 5π/6 + i sen 5π/6), temos zn = 2n(cos(5π/6) + i sen(5π/6))n = 2n(cos(5nπ/6) + i sen(5nπ/6)) Para que ele seja um imaginário puro, 5nπ/6 = π/2+πk, ou seja, 5n = 3 + 6k. Assim, 5n− 3 deve ser múltiplo de 6 e o menor valor natural para que isso aconteça é n = 3. http://matematica.obmep.org.br/ 3 matematica@obmep.org.br 11. a) z = 1 1 + i = 1 1 + i = 1 1− i = 1 + i (1− i)(1 + i) = 1 + i 2 = 1/2 + i/2 = √ 2 2 (cos π/4 + i sen π/4). z = (1 + i)2 = (1 + i)2 = (1− i)2 = 1− 2i + i2 = −2i = 2(cos 3π/2 + i sen 3π/2) 12. (1 + i)200 = ( √ 2)200 · (cos π/4 + i sen π/4)200 = 2100 · (cos 200π/4 + i sen 200π/4)200 = 2100 · (cos 50π + i sen 50π) = 2100. 13. ( √ 2 + i √ 2)10 = 210 · (cos π/4 + i sen π/4)10 = 210 · (cos 10π/4 + i sen 10π/4) = 210 · (cos π/2 + i sen π/2) = 2100i. 14. ( 1/ √ 2− i/ √ 2 )20 = (cos 3π/4 + i sen 3π/4)20 = (cos 60π/4 + i sen 60π/4) = (cos π + i sen π) = −1 15. z = (cos 3π/2 + i sen 3π/2)10(cos π/3 + i sen π/3)5 (cos 5π/6 + i sen 5π/5)10 = (cos 30π/2 + i sen 30π/2)(cos 5π/3 + i sen 5π/3) cos 50π/6 + i sen 50π/5 = cos 2π/3 + i sen 2π/3 cos π/3 + i sen π/3 = cos π/3 + i sen π/3. 16. Seja w = −1/2 + i √ 3/2 = cos π/3 + i sen π/3. Portanto, z = 2100w100 + 2100w100. Como w3 = 1 e w 6= 1, segue que w = w2 e que w + w2 = −1. Assim, z = 2100w100 + 2100w100 = 2100w + 2100w = 2100(w + w2) = −2100 17. Seja w = cos θ + i sen θ = a + bi. Pelo Binômio de Newton, w3 = (a + ib)3 = a3 + 3a2bi− 3ab2 − ib3 Por outro lado, w3 = cos 3θ + i sen 3θ. Comparando as partes reais das duas expressões, pode- mos concluir que cos3 θ = a3 = (3 cos θ + cos 3θ)/4. 18. −1 + i tg α 1− i tg α = − cos α + i sen α cos α− i sen α = − (cos α + i sen α)(cos α + i sen α) (cos α− i sen α)(cos α + i sen α) = −cos α 2 − sen α2 + 2 cos α sen αi cos α2 + sen α2 = − cos 2α− sen 2αi. 19. Como w3 = 1, segue que (w− 1)(w2 + w + 1) = 0. Dado que w 6= 1, segue que w2 + w + 1 = 0. Assim (1 + w)100 = (−w2)100 = w200 = (w3)66w2 = w2. O valor procurado é w2 = cos(4π/3) + i sen(4π/3). http://matematica.obmep.org.br/ 4 matematica@obmep.org.br 20. Temos w31 = w 3 2 = 3. Daı́ w 100 1 + w 100 2 = w1 + w2 = −1. 21. (Adaptado do vestibular do IME - 2002) Seja z = cos α + i sen α. Portanto, z = cos α− i sen α e zn 1 + z2n = zn · zn zn + z2n · zn = 1 zn + zn = 1 2 cos nθ . 22. z = cos x + i sen x com x ∈ [0, 2π). 1 = |z2 + z2| |z|2 = 2| cos 2x|. Daı́ cos 2x = 1/2 ou cos 2x = −1/2. As soluções dessa equação são os números: x1 = π/6, x2 = 5π/6, x3 = 7π/6, x4 = 11π x5 = π/3, x6 = 2π/3, x7 = 4π/3, x8 = 5π/3 Cada um deles gera a solução zj = cos xj + i sen xj 23. (Extraı́do do ITA 2009) (cos π/5 + i sen π/5)54 = (cos 54π/5 + i sen 54π/5) = (cos 4π/5 + i sen 4π/5) = − cos π/5 + i sen π/5 = −a + bi. Resposta letra B. 24. (Adaptado do vestibular do IME de 2005) Se w = cos(2π/3) + i sen(2π/3), temos w3 = 1. Além disso, w2 + w + 1 = 1. Daı́ (1 + 1)2004 = 2004 ∑ k=0 ( 2004 k ) 1k (1 + w)2004 = 2004 ∑ k=0 ( 2004 k ) wk (1 + w2)2004 = 2004 ∑ k=0 ( 2004 k ) w2k Como 1 + w = −w2 e 1 + w2 = −w, segue que (1 + w)2004 = (−w2)2004 = 1 e (1 + w2)2004 =(−w)2004 = 1. Somando as três equações, temos 2 + 22004 = 2004 ∑ k=0 ( 2004 k ) (1k + wk + w2k). (1) Temos três casos a considerar: k = 3q, k = 3q + 1 e k = 3q + 1. a) 1k + wk + w2k = 13q + w3q + w6q = 3 b) 1k + wk + w2k = 13q+1 + w3q+1 + w6q+2 = 0 c) 1k + wk + w2k = 13q+2 + w3q+2 + w6q+4 = 0 Logo 1 + wk + w2k = 3 se 3 | k 0 caso contrário Finalmente, substituindo na equação ( 1), temos 2 + 22004 = 2004 ∑ k=0 ( 2004 k ) (1k + wk + w2k) 2 + 22004 = 3 368 ∑ q=0 ( 2004 3q ) 2 + 22004 3 = 368 ∑ q=0 ( 2004 3q ) . 25. (Extraı́do do vestibular do ITA - 1991) w = 1 + z 1− z = 1 + cos t + i sen t 1− cos t− i sen t = (1 + cos t + i sen t)(1− cos t + i sen t) (1− cos t)2 + sen2 t = (1 + i sen t)2 − cos2 t (1− cos t)2 + sen2 t = 2i sen t 2− 2 cos t = 2i sen t 2− 2 cos t = 4i sen(t/2) cos(t/2) 4 sen2(t/2) = i cotg(t/2). Resposta letra A. 26. (Extraı́do do ITA) Se i2 = −1, temos (i + 1)4n = 4n ∑ k=0 ( 4n k ) ik ((i + 1)2)2n = 2n ∑ j=0 ( 4n 2j ) i2j + 2n−1 ∑ j=0 ( 4n 2j + 1 ) i2j+1 (2i)2n = 2n ∑ j=0 ( 4n 2j ) (−1)j + i ( 2n−1 ∑ j=0 ( 4n 2j + 1 ) (−1)j ) . http://matematica.obmep.org.br/ 5 matematica@obmep.org.br Como (2i)2n = (−1)n22n é número real, podemos concluir que 2n ∑ j=0 ( 4n 2j ) (−1)j = (−1)n22n 2n−1 ∑ j=0 ( 4n 2j + 1 ) (−1)j = 0. A resposta é a letra A. 27. Seja w = cos θ + i sen θ. Assim w + w = 2 cos θ. Como w tem módulo unitário, segue que w = 1/w. Assim w + 1 w = z + 1 z( w + 1 w )2 = ( z + 1 z )2 w2 + 2 + 1 w2 = z2 + 2 + 1 z2 w2 + 1 w2 = z2 + 1 z2 . Denote por Kn = zn + 1 zn e Tn = wn + wn. Assim, K1 = T1 = 2 cos θ e K2 = T2. Suponha que Tn = Kn para todo n ≤ m. Daı́( zm + 1 zm )( z + 1 z ) = ( wm + 1 wm )( w + 1 w ) zm+1 1 zm+1 + zm−1 + 1 zm−1 = wm+1 1 wm+1 + wm−1 + 1 wm−1 zm+1 + 1 zm+1 = wm+1 + 1 wm+1 Km+1 = Tm+1 Assim, Kn = Tn para todo n natural. Como wn = (cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ wn = (cos θ − i sen θ)n = cos nθ − i sen nθ Portanto, zn + 1 zn = Tn = (cos nθ + i sen nθ) + (cos nθ − i sen nθ) = 2 cos θ. 28. Sejam x = cos(2π/7) + i sen(2π/7), p = x + x2 + x4 e q = x3 + x5 + x6. A quantidade desejada é a parte imaginária de p. Como x7 = 1, segue que p + q = −1 e pq = 2. Resolvendo a equação do segundo grau m2 + m + 2 = 0, encontramos Im p = √ 7 2 Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ 6 matematica@obmep.org.br Exercícios Introdutórios Exercícios de Fixação Exercícios de Aprofundamento e de Exames
Compartilhar