AVC Calculo diferencial e integral II

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Enunciado: 
O Engenheiro Nonato está realizando alguns cálculos para concluir um projeto, 
trabalhando com as funções a seguir: 
Função f, sendo f(x) = sen(x) + 2 
Função g, sendo g(x) = cos (x) – 2 
 
a) Faça o gráfico de cada função, f e g, no mesmo plano cartesiano, dentro do 
intervalo [-π; π]. 
Para: 
f(x) = sem (x) + 2 
[-π, π] 
 
f(-π) = sen (-π) + 2 = 0 + 2 = 2 
f(-π/2) = sen (-π/2) + 2 = -1 + 2 = 1 
f(0) = sen (0) + 2 = 0 + 2 = 2 
f(π/2) = sen (π/2) + 2 = 1 + 2 = 3 
f(π) = sen (π) + 2 = 0 + 2 = 2 
 
Para: 
g(x) = cos (x) – 2 
[-π, π] 
 
g(-π) = cos (-π) - 2 = -1 - 2 = -3 
g(-π/2) = cos (-π/2) - 2 = 0 - 2 = -2 
g(0) = cos (0) -2 = 1 -2 = -1 
g(π/2) = cos (π/2) - 2 = 0 - 2 = -2 
g(π) = cos (π) - 2 = -1 -2 = -3 
 
 
x f(x) 
-π 2 
-π/2 1 
0 2 
π/2 3 
π 2 
x g(x) 
-π -3 
-π/2 -2 
0 -1 
π/2 -2 
π -3 
 
 
 
b) Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções f e g e pelas 
retas x = 0 e x = π. 
A = oꭍπ sen (x) + 2dx - oꭍπ cos (x) – 2dx 
A = oꭍπ sen (x) dx + oꭍπ 2dx - oꭍπ cos (x) dx = oꭍπ – 2dx 
A = - cos (x) o|π + 2x o|π – sem (x) o|π – 2x o|π 
A = - cos (π) + cos (0) + 2 π – 2 . 0 – (sem (π) – sem (0) - 2 π + 2 . 0) 
A = -(-1) + 1 + 2 π – 0 – (0 - 0 - 2 π + 0) 
A = 2 + 2 π + 2 π 
A = 4 π + 2m² 
 
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-π -π/2 0 π/2 π
f(x) = sen(x) + 2
g(x) = cos(x) - 2
 
c) O engenheiro precisa calcular o volume do reservatório representado pelos 
gráficos de f e g e as retas x = - π e x = π, cuja profundidade do reservatório 
mede 3 m. 
Área: 
 
A = -π ꭍπ sen (x) + 2dx - -π ꭍπ cos (x) – 2dx 
A = -π ꭍπ sen (x) dx + -π ꭍπ 2dx - -π ꭍπ cos (x) dx - -π ꭍπ 2dx 
A = - cos (x) –π|π + 2x –π|π – sen (x) –π|π – 2x–π|π 
A = - cos (π) + cos (-π) + 2 π – 2.(- π) – (sem(π) – sem(-π) - x π + 2.(- π)) 
A = -(-1) + (-1) + 2 π + 2 π – (0 – 0 - 2 π - 2 π) 
A = 4 π + 4 π 
A = 8 π m² 
 
Volume: 
 
V = A . h 
V = 8 π . 3 
V = 24 π 
V = 24 . 3,1415 
V = 75,396m³