Aula 2-Equações Diferenciais introdução-1

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Equações Diferenciais
Prof. Me. Marcelo Lopes
INTRODUÇÃO
Em geral, uma Equação Diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas.
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que ocorre na equação
Primeiramente, vamos classificar as equações diferenciais.
Exemplo 1
 
Exemplo 2 
 
Equações diferenciais Ordinárias e Parciais
Se a função desconhecida depende de uma única variável independente, temos uma equação diferencial ordinária (EDO).
As equações dos exemplos anteriores são ambas ordinárias
Se derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis aparecem na equação, tem-se uma equação diferencial parcial (EDP).
Exemplo 3
 
Solução Geral de uma EDO
Uma função f é denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y = f(x) e suas derivadas são substituídas na equação 
Exemplo 1: A solução geral da equação diferencial y’= x³ é
Onde C é uma constante arbitrária
Exemplo 2
Mostre que todo membro da família de funções 
Como queremos verificar uma solução, então derivamos a função y, utilizando a regra adequada que é a regra do quociente
Resolução do Exemplo 2
Agora vamos substituir a função y na equação diferencial dada, y’=1/2(y²-1), e verificar se y’ coincide com a derivada já resolvida acima.
Resolução do Exemplo 2
Portanto está provado que 
Exemplo 3
Verifique que y = sen(x). cos(x) - cos(x) é uma solução do problema inicial
Solução do problema inicial é a solução particular para a condição do valor inicial dado
1° Passo: Verificar a condição inicial y(0) = -1
 
Resolução do Exemplo 3
2° Passo: Derivando a função y
3° Passo: Substituindo a função y na EDO e verificar a sua derivada
Resolução do Exemplo 3
Portanto está provado que y = sen(x). cos(x) - cos(x) é uma solução do problema inicial y’+ tan(x).y = cos²(x); com y(0) = -1
Exercício 1
Resolução do Exercício 1
Substituindo a função y na EDO, temos:
 
Exercício 2
Resolução do Exercício 2
Fazendo primeiramente a verificação do valor inicial y(0) = 0,5 
Derivamos agora a função y = 1/(x+2)
Substituindo a função y na EDO: y’= - y²
 
Exemplo 4
Uma população é modelada pela equação diferencial
a) Para quais valores de P a população está aumentando?
b) Para quais valores de P a população está diminuindo?
c) Quais são as soluções de equilíbrio?
Resolução do Exemplo 4
a) Para quais valores de P a população está aumentando?
b) Para quais valores de P a população está diminuindo?
Resolução do Exemplo 4
c) Quais são as soluções de equilíbrio?
Para a solução de equilíbrio é necessário que não haja nem aumento nem diminuição, ou seja
Exercício 3
Uma curva de aprendizagem é o gráfico de uma função P(t), o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. A derivada dP/dt representa a taxa na qual o desempenho melhora. Sendo assim após modelada a população de estudantes em uma sala de aula,verificou-se a seguinte EDO: 
a) Para quais valores de P o nível de aprendizagem está aumentando?
b) Para quais valores de P o nível de aprendizagem está diminuindo?
Resolução do Exercício 3
a) Para quais valores de P o nível de aprendizagem está aumentando?
O nível de aprendizagem estará aumentando se (30 – P) > 0, assim:
O nível de aprendizagem estará aumentando se (30 – P) > 0, assim:
b) Para quais valores de P o nível de aprendizagem está diminuindo?
EDOs Lineares e não-Lineares
 
Exemplo 5
 
Exemplo 6
 
Avisos!
- Exercícios Propostos, contando presença: Exercícios 1, 2 e 3 dos slides de Equações Diferenciais (Introdução). Entregar em no máximo 72 horas, (até o dia 09/03)
- Exercícios da semana, válidos para a AV3: Questão 1 e Questão 2, ambos da lista 1. Entregar até um dia antes da próxima aula (até o dia 12/03) 
Obrigado pela atenção e sejam bem-vindos!!!