U4 - Produto Vetorial e Produto Misto

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Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
Produto Vetorial e Produto Misto
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. João Dimas Saraiva dos Santos
Revisão Técnica:
Profa. Me. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Prof. Me. Claudio Brites
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• Introdução
• Definição de Produto Vetorial
• Proposição de Lagrange
A partir de agora, você estudará o produto vetorial e o produto misto e, para isso, serão 
incluídos elementos da Álgebra Linear. 
Ao longo das unidades, nosso objeto de estudo, vetores, foi se ampliando e os temas se 
inter-relacionando de tal modo que se tronou impossível prosseguir os estudos sem uma boa 
assimilação de conceitos anteriores. Afinal, a construção do conhecimento se realiza também 
por avanços e retrocessos. 
O produto vetorial, como o próprio nome indica, resulta em um vetor. Já o produto misto 
envolve o produto escalar e o produto vetorial, o que sempre resultará em um número real.
Faremos as representações algébrica e geométrica tanto do produto vetorial como do produto 
misto, visões complementares e que facilitam a concretização do conhecimento. 
Além de outras aplicações no campo da Física e da Engenharia, por exemplo, o estudo do 
produto vetorial e do produto misto estão atrelados respectivamente ao cálculo da área de 
um paralelogramo e ao cálculo do volume de paralelepípedos. 
Isso obviamente leva a desdobramentos e, consequentemente, a aplicações no cálculo de 
áreas e volumes de outras figuras geométricas. 
 · Nesta unidade, estudaremos produto vetorial e produto misto. O 
produto vetorial é mais um recurso importantíssimo da Álgebra 
Vetorial, muito utilizado na descrição de fenômenos físicos 
abordados em Mecânica, na eletricidade e no eletromagnetismo. 
Já o produto misto reúne as propriedades e as aplicações dos 
dois, isto é, do produto escalar e do produto vetorial.
Produto Vetorial e Produto Misto
• Conclusões finais sobre o produto vetorial
• Produto Misto
• Interpretação geométrica do módulo do produto misto
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Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
Contextualização
Nesta unidade, vamos aprofundar nosso trabalho com vetores, tendo como foco o produto 
vetorial e o produto misto.
Essas duas operações só estão definidas para vetores no espaço tridimensional; contrariamente 
ao produto escalar, o qual se define no espaço bi e tridimensional. 
O produto vetorial resulta sempre em um vetor, daí o seu nome. Já o produto misto tem 
como resultado um número real. 
Os produtos vetorial e misto têm representações algébricas u x v e u ⦁ (v x w ), 
respectivamente. Você também encontrará o produto vetorial com a seguinte representação: 
 u ˄ v

 – no entanto, no nosso caso, optamos pela primeira notação. 
O módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
 u e v (figura abaixo), sendo esses vetores obrigatoriamente coplanares: 
De modo análogo, o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores é igual, 
numericamente, ao valor absoluto do produto misto entre eles. Para vetores u e v no espaço, 
sabemos que seu produto vetorial v x w ainda é um vetor no espaço. Desse modo, dado 
um terceiro vetor u, também no espaço, podemos fazer o produto escalar de u por v x w , 
obtendo um número real. Esse produto é chamado de produto misto dos vetores u, v e w , que 
é representado por u ⦁ (v x w ). Observe a figura a seguir:
Imagem
As aplicações imediatas do produto vetorial e do produto misto, como você deve ter percebido, 
estão na determinação de áreas e de volumes.
Nesse ponto, você também terá contato com a Álgebra Linear, que, num primeiro momento, 
exigirá a aplicação de conceitos básicos de matrizes e, sobretudo, determinantes. 
Os detalhes e esclarecimentos sobre o tema estão expostos ao decorrer na unidade. 
7
Introdução
Vamos desenvolver algumas propriedades dos determinantes necessárias para dar sequência 
ao nosso trabalho.
 1) Definimos um determinante de ordem 2 como:
1 1
1 2 2 1
2 2
 
x y
x y x y
x y
= − 
x2
x1
y2
+
y1
-
Fizemos o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da 
diagonal secundária.
Acompanhe o exemplo seguinte:
( ) ( )6 2 6 3 – 4 2 18 8 26
4 3
−
= − = + =
2) Algumas propriedades dos determinantes que serão úteis no produto vetorial.
a. A permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante.
Vamos utilizar o mesmo exemplo do item 1):
( ) ( )4 3 4 2 – 6 3 8 18 26
6 2
= − = − − = −
−
b. Se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais, o determinante é zero. 
Exemplo:
( ) ( )2 4 2 16 – 8 4 32 32 0
8 16
−
= − − = − + =
−
Os elementos da 2º linha são o quádruplo dos elementos da 1º linha.
c. Se uma linha for constituída de zeros, o determinante é zero. 
( ) ( )0 0 0 3 – 4 0 0
4 3
= =
8
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
d. Um determinante de ordem 3 (três linhas por três colunas) pode ser dado por:
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
· · ·
I II III
a b c
y z x z x y
x y z a b c
y z x z x y
x y z
= − +
Note que (I) foi obtido ao eliminarmos a 1º linha e a 1º coluna (a12: a), encontramos na 
1º linha e na 1º coluna; (II) foi obtido ao eliminarmos a linha e a colna às quais o elemento 
pertence (b12: b está na 1º linha e a 2º coluna); e (III) foi obtido da mesma forma. O elemento 
c13 está na 1º linha e na 3º coluna; suprimindo a linha e a coluna às quais o elemento pertence, 
resta (III).
A expressão do lado direto da equação é conhecida como desenvolvimento do determinante 
pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha. Esse procedimento pode ser aplicado 
à quaisquer umas das linhas ou quaisquer das colunas. Na realidade, as propriedades aqui 
abordadas fizeram referência apenas às linhas, porém elas também são válidas para as colunas. 
Acompanhe o exemplo a seguir:
( )
1 2 4
5 1 3 1 3 5
3 5 1 1 · 2· 4·
3 6 2 6 2 3
2 3 6
−
− −
− = − − +
− − − −
− −
 
= (-1)[(-5)(6)-(-3)(1)]-2[(3)(6)-(-2)(1)]+4[(3)(-3)-(-2)(-5)]=
= (-1)[-30+3]-2[18+2]+4[-9 -10]=27-40-76= -89
Defi nição de Produto Vetorial
Dados dois vetores 1 1 1 2 2 2 u x i y j z k ev x i y j z k= + + = + +
 
   
 
, nessa ordem, denominamos 
produto vetorial de u por v e indicamos u x v (leia-se:” u vetorial v”), o vetor obtido 
desenvolvendo-se o determinante:
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
 · · ·
i j k
y z x z x y
x y z i j k
y z x z x y
x y z
= − +

 

 
Acompanhe o exemplo:
Calcular u x v e v x u sendo 3 2 2 4 5u i j k ev i j k= + + = + +
 
   
 
9
 u x v = 
3 2 1 2 1 3
1 3 2 · · · 7 2
4 5 2 5 2 4
2 4 5
i j k
i j k i j k= − + = − −

 
 
   
 v x u = 4 5 2 5 2 42 4 5 · · · 7 2
3 2 1 2 1 3
1 3 2
i j k
i j k i j k= − + = − + +

 
 
   
Perceba que para o cálculo de v x u os componentes de v foram anotados na segunda linha 
e os componentes de u na terceira linha, isso nos leva a conclusão de que u x v= -(v x u). 
Observe a representação gráfica (Figura 2) dos produtos vetoriais, u x v e v x u

, obtidos acima:
 Figura 2 
Note que os vetores representados na figura têm sentidos opostos.
Considerando-se as observações feitas sobre as propriedades dos determinantes de matrizes 
quadradas, vamos listar o que podemos concluir de imediato sobre os determinantes de ordem 2.
1º v x u = -( u x v), (Figura 2). Observe que os vetores v x u e u x v são opostos. A 
troca da ordem dos vetores no produto vetorial u x v gera a troca de sinais de todos os 
determinantes, isto é, troca os sinais de todos os seus componentes. Do fato de u x v 
≠ v x u, concluímos que o produto vetorial, contrariamente ao produto escalar, não é 
comutativo. No produto escalar, vimos que u ⦁ v = v ⦁ u , concluindo que no produto 
vetorial a ordem dos fatores deve ser considerada. 
10
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
2º u x v = 0

 se, e somentese, u // v, uma vez que, nesse caso, os determinantes têm suas 
linhas constituídas de elementos proporcionais. Vejamos os casos particulares:
a. u x u = 0

 (determinantes de ordem 2 com linhas iguais);
b. u x 0

 = 0

 (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros).
A seguir, encontram-se alguns exemplos de produto vetorial de vetores paralelos:
I. u x (2 )v = 0

 
II. (2u)

 x (3u)

= 0

 
III. ( u x v) x (v x u) 
IV. ( u - v) x (v - u

)=0

V. (5 u + 2v) x (3 u

+4v)=0

VI. (2 u) x 0

 =0

 
Vamos, a partir de agora, explorar situações em u x v, no caso de u e v serem não-nulos e 
não-paralelos. 
Características do vetor u x v
Sejam os vetores u= (x1, y1, z1) e v

= (x2, y2, z2).
 1) A direção de u x v.
O vetor u x v é ortogonal a u e ortogonal a v
Como sabemos que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero, basta 
mostrar que ( u x v) ⦁ u = 0 e ( u x v) ⦁ v= 0.
Na Figura 3 está representado o que acima foi exposto. 
Figura 3 
11
Acompanhe as resoluções a seguir, que comprovam o que se buscou discutir nesse item.
Dados os vetores u = (-1, 2, 5) e v = (3, 4 -2), vamos calcular ( u x v). 
A resolução desse determinante se dará por meio de um dispositivo prático, cujas vantagens 
são agilizar na resolução e evitar que você corra o risco de esquecer de trocar o sinal do termo 
intermediário. Esse processo consiste em dispor os vetores em linha e repetir pela ordem as duas 
primeiras colunas. Os três componentes de u x v são dados pelos três determinantes. Assim:
 u x v = 1 2 5
3 4 2
i j k
−
−

 
 = 
1 2 5 1 2
3 4 2 3 4
− −
−
1 2 5 1 2
3 4 2 3 4
− −
−
1 2 5 1 2
3 4 2 3 4
− −
−
1 2 5 1 2
3 4 2 3 4
− −
−
1 2 5 1 2
3 4 2 3 4
− −
−
 = = -24 i

 + 13 j

 - 10 k

Agora, fazemos o produto escalar ( u x v) ⦁ u:
( u x v) ⦁ u = (-24, 13, -10) ⦁ (-1, 2, 5) = 24 + 26 – 50 = 0, isso comprova o que foi 
discutido anteriormente.
Exercício como sugestão: comprove que ( u x v) ⦁ v = 0. É bem simples!.
2) Sentido de ( u x v).
O sentido de u x v relativo a ( u e v) é determinado pela regra da mão direita (Figura 4a), isto 
é, se os dedos da mão direita estão postos em forma de concha, de tal forma que eles fecham 
de u para v no sentido de rotação que leva u em v com menos de 1800, então o polegar irá 
apontar grosseiramente na direção de u x v. Já a Figura 4b mostra que o produto vetorial muda 
de sentido quando a ordem dos vetores é invertida. Observamos facilmente que só será possível 
dobrar os dedos de v x u se invertermos a posição da mão, quando então o polegar estiver 
apontando para baixo.
Figura 4a Figura 4b
 
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Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
3) Comprimento de u x v
Se θ é o ângulo entre dois vetores u x v não-nulos, então:
 u x v|= | u| |v| sen θ
Trocando Ideias
Consulte os sites mencionados anteriormente e, também, acesse http://fatosmatematicos.
blogspot.com.br/ para obter mais informações sobre a identidade de Lagrange, que será 
aqui utilizada.
Para demonstramos a relação | u x v|= | u|=|v|sen θ, recorreremos à identidade de agrange.
 
Proposição de Lagrange
Dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v

 = (x2, y2, z2), então | u

 x v|2+ ( u x v )2= | u|2 • |v|2.
Em palavras, o que ele afirma é: o quadrado do produto vetorial de u e v mais o quadrado do 
produto escalar de u e v é igual ao quadrado do vetor u multiplicado pelo quadrado do vetor v. 
Demonstração:
Da definição de produto vetorial, temos:
 u x v= 1 1 1 1 1 11 1 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
· · · ( ) 
i j k
y z x z x y
x y z i j k y z y z i
y z x z x y
x y z
= − + −

 

  
Na sequência, temos:
13
u v
 
�� � � � � � � ��� �� � � �� �
2
1 1 1 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2
2
x y z x y z x x y y z z, , , ,
u v
 2 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2� � � �� � � � �� �x y z x y z
Note que você deverá igualar as expressões obtidas acima para provar que a identidade de 
Lagrange é verdadeira – tente!
Isolando 2 u vx  em u v u v u v
     
x
2 2 2 2
� �� � � � , vem:
u v u v u v
     
x
2 2 2 2
� � � �� �
Sabemos que u • v = | u|•|v| cos θ (I). Substituindo (I) em 
( )2 2 2 2 · u v u v u v= −x       , temos:
( )22 2 2 · · · cosu v u v u v θ= −x     
2 2 2 2 2 2 · · cosu v u v u v θ= −x      
Colocando 2 2·u v  em evidência:
2 2 2 2 · ·(1 cos )u v u v θ= −x   
2 21 cos senθ θ− = (identidade trigonométrica)
2 2 2 2 · ·senu v u v θ=x    
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros:
 u ·v · senu v θ=x   
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
Acompanhe por meio de uma representação gráfica (Figura 5) a comprovação da relação 
 A u v= x  , onde A é a área de um paralelogramo determinado pelos vetores u vx
 
 não-nulos. 
Essa relação pode ser assim enunciada: “A área do paralelogramo determinado pelos vetores u 
e v é numericamente igual ao comprimento do vetor u x v”.
Figura 4.5 v
|v|
|u| u
Área do paralelogramo = base (vezes) altura = | u||v| sen θ
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Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
Acompanhe um exemplo que comprova o que foi desenvolvido anteriormente:
Determinar o produto vetorial u x v dados os vetores u= 4i e v = 2 j.
Resolução:
( )0 0 4 0 4 0 4 0 0 0, 0, 8
2 0 0 0 0 2
0 2 0
i j k
i j k= − + =

 

 
Acompanhe a representação gráfica de u x v:
Conclusões fi nais sobre o produto vetorial
 
1. O produto vetorial não é associativo, sendo assim, em geral:
( ) ( ) w u v u v w≠x x x x      
2. Para quaisquer vetores u, v, w e o escalar a são válidas as propriedades:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v w u v u w e u v w u w v w+ = + + = +x x x x x x             
( ) ( ) ( ) a u v au v u av= =x x x     
u v w u v w
� � �� � � ��
� � � � � � �x x
15
Atividades
1. Determine o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo das ordenadas e vu x= x   , sendo 
( ) ( )1,1 , 1 2,1 , 1u ev= − = − −  .
2. Sejam os vetores , u e v
 
= − = −( , , ) ( , , )1 3 1 4 2 2 determinar um vetor que seja:
a. Ortogonal a u e v 
b. Ortogonal a u e v e unitário;
c. Ortogonal a u e v e tenha módulo 3;
d. Ortogonal a u e v e tenha cota igual a 5.
3. Seja um triângulo isósceles de lados AB

 = AC

 = 4 e o ângulo entre esses lados mede 30o, 
calcule AB ACx
 
.
4. Dados os vetores u=(-1, 1, -1) e v=(3, -2, 4), calcular:
a. a área do paralelogramo determinado por u e v;
b. a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u.
5. Determinar a distância do ponto (4, 2, 1) à reta r que passa por A(-1, 2, 3) e B(5, 1, -1). 
6. Dados os vetores u= (-2, 3, 1)e v=(2, -1, a), calcule o valor de a para que a área do 
paralelogramo determinado por u e v seja igual à 21.
7. Dados os pontos A(1, -2, 1), B(4, 0, -2) e C(3, -2, 2), determinar:
a. a área do triângulo ABC;
b. a altura do triângulo relativa ao vértice C. 
Resoluções
1. O vetor x é perpendicular ao eixo das ordenadas, ou seja, 0y. Em símbolos x ⊥ 0y, logo 
ele é do tipo x = (x, 0, z). Sabendo que
 u = x x v equivale a: (1, 1, -1) = 0
2 1 1
i j k
x z
− −

 
, então:
( )0 0 1, 1, 1
1 1 2 1 2 1
z x z x
i j k+ = −
− − −

 
16
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
1
2 1
1
z
x z
x
= −
 − =
 = −
Logo, x =(-1, 0, -1)
2. Sabemos que u x v é ortogonal a u x v, ao mesmo tempo. Também sabemos que 
multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção, logo todos os vetores 
do tipo a ( u x v) e a ∈ R são também ortogonais a u e v. Portanto, esse problema tem 
infinitas soluções.
 u x v = 3 1 1 1 1 31 3 1 
2 2 4 2 4 2
4 2 2i j k
i j k
− −
− = − +
− −
−

 

 
 = (8, 6, -10)
Logo, as infinitas soluções são a (8, 6, -10), a ∈ R
b. A partir de u x v, ou de qualquer a( u x v), a ≠0, obtermos dois vetores unitários:
Vamos determinar | u x v| = ( ) ( )22 28 6 10 64 36 100 200 100 2 10 2+ + − = + + = = =
u1= 
( )8, 6, 10 8 6 10 4 3 1, , , , 
 10 2 10 2 10 2 10 2 5 2 5 2 2
u v
u v
−    
= = − = −      
x
x
 
 
ou 2 1 
4 3 1 , , 
5 2 5 2 2
u u  = − = − −  
c. Para obter um vetor de módulo 3 que seja ortogonal a u x v, basta multiplicar por 3 
um vetor unitário:
4 3 1 12 9 33 , , , , 
5 2 5 2 2 5 2 5 2 2
ou   − = −      
4 3 1 12 9 33 , , , , 
5 2 5 2 2 5 2 5 2 2
   
− − = − −      
d. Das infinitas soluções a(8, 6, -10), queremos aquela cuja cota seja igual a 5. Então, (8a, 
6a, -10a), isto é, -10a = 5, logo a = 
1
2
− .
17
3. Utilizando a relação| u x v|= | u|•|v| • sen θ, a qual representa a área de um 
paralelogramo:
 AB·AC · sen30oAB AC =x
   
 
1 4·4· 
2
AB AC =x
 
 = 8
Logo, 8 representa a área do paralelogramo determinada pelos vetores AB

 e AC

 Então, a 
área do triângulo isósceles ABC mede 4 u.a (unidades de área).
4. a) Primeiramente, vamos determinar o produto vetorial u x v.
 u x v = 
1 1 1 1 1 1
1 1 1 
2 4 3 4 3 2
3 2 4
i j k
i j k
− − − −
− − = − +
− −
−

 

 
= (2, 1, -1)
A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial, então:
| u x v| = ( )22 22 1 1 6+ + − = u.a
b) Vamos utilizar a definição de área do paralelogramo: A = b•h (base vezes altura). Utilizando 
essa definição para a representação geométrica, teremos: 
| u|• h = A 
| u|• h= | u

 x v|
Temos que determinar o módulo de | u|: ( ) ( )2 22 1 1 1 3u = − + + − = . 
 Substituindo | u|= 3, na fórmula seguinte, obtemos: 
 6 2 u.a
u 3
u v
h = = =
x 

5. Consideremos d a distância entre o ponto P e a reta r. Observe na figura seguinte que 
calcular essa distância d é o mesmo que calcular a altura h, como foi feito no item b) do 
exercício anterior. 
 
 
AB
AB AP
d =
x
 

18
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
AB

 = B – A = (5, 1, -1) – (-1, 2, 3) = (6, -1, -4)
AP

 = P - A = (4, 2, 1) - (-1, 2, 3) = (5, 0, -2)
 AB APx
 
= 
i j k
1 4 6 4 6 1
6 1 4 i j k
0 2 5 2 5 0
5 0 2
− − − −
− − = − +
− −
−
  
  
 AB APx
 
= (2, -8, 5) e | AB APx
 
|= ( )22 22 8 5 93+ − + =
|AB
| = ( )22 2 1 (-4)6 53+ − + =
 
 
AB
AB AP
d =
x
 
 = 
93 93 
5353
=
6. A área do paralelogramo é determinada por A=| u x v|, logo, primeiramente, devemos calcular:
 u x v = 
i j k
3 1 2 1 2 3
2 3 1 i j k
1 2 2 1
2 1
a a
a
− −
− = − +
− −
−
  
  
 u x v = (3a + 1, 2a + 2, -4)
| u x v | = 21
2 2 2(3 1) (2 2) ( 4) 21 a a+ + + + − = (elevar ambos os membros ao quadrado)
(3a+1)2 + (2a + 2)2 + (-42 = 21 
9a2+ 6a + 1 + 4a2 + 8a + 4 + 16 = 21
13a2+ 14a + 21 = 21 
13a2+ 14a + 21 - 21 = 0 
13a2+ 14a = 0 
a(13a + 14) = 0 
140 1 3 1 4 0 
13
a ou a a= + = ⇒ = −
Logo, a = 0 ou a = 
14 
13
−
19
7. a) Observe na figura a seguir que a partir do triângulo ABC é possível obter a área de um 
paralelogramo, cuja área é o dobro da área do triângulo.
C
A
h
B
D
Como a área do paralelogramo é determinada pelo módulo dos vetores |( AB APx
 
|, temos 
que, primeiramente, determinar os vetores ( AB APx
 
):
AB

 = B – A = (4, 0, -2) – (1, -2, 1) = (3, 2, -3)
AC

 = C – A = (3, -2, 2) – (1, -2, 1) = (2, 0, 1)
| AB ACx
 
|= 
2 3 3 3 3 2
 3 2 3 
0 1 2 1 2 0
2 0 1
i j k
i j k
− −
− = − +

 

 
| AB ACx
 
|=(2, -9, -4)
| AB ACx
 
| = ( )2 22 9 ( 4) 4 81 16 101+ − + − = + + =
Então a área procurada é A∆= 
1
101
2
 u.a. 
b) A altura do triângulo que está indicada na figura é a mesma do paralelogramo de base 
AB. Sabemos que a área do paralelogramo é base vezes altura, então | AB ACx
 
| = 1 29
2
. 
b • h =1 29
2
 ⇒ h = 29 
b
 ⇒ h = 
( )22 2
29 29 29 
22223 2 3
= =
+ + −
Produto Misto
Chamamos de produto misto dos vetores, 
1 1 1 2 2 2 3 3 3 , u x i y j z k v x i y j z k e w x i y j z k= + + = + + = + +
  
     
   
1 1 1 2 2 2 3 3 3 , u x i y j z k v x i y j z k e w x i y j z k= + + = + + = + +
  
     
   considerados nessa ordem, ao número real u • (v x w ). O produto misto também 
é indicado por ( u, v, w ).
20
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
Sabendo que v x w = 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3
 · · ·
i j k
y z x z x y
x y z i j k
y z x z x y
x y z
= − +

 

 
então, temos u ⦁ (v x w ) = 2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3 3
 
y z x z x y
x y z
y z x z x y
− + e, portanto
 u ⦁ (v x w ) = 
1 2 3
2 2 2
3 3 3
x x x
x y z
x y z
Ao resolvermos esse determinante, obteremos um número real de onde se conclui que u ⦁ (v x w ), 
ou seja, o produto misto sempre resultará em um escalar (número). 
Atividade
Calcule o produto misto dos vetores ( ) ( ) ( )0, 2, 4 , 2, 1, 3 2, 0,1 u v e w= = − =   .
Resolução
Temos que determinar u ⦁ (v x w ).
Temos, então, que resolver o determinante: u ⦁ (vxw ) = ( u,v,w ) = 
( u,v,w ) = 
0 2 4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 0· 2· 4·
0 1 2 1 2 0
2 0 1
− −
− = − + = 0 + 8 + 8 = 16
Propriedades do Produto Misto
As propriedades do produto misto, em sua maioria, derivam das propriedades dos determinantes. 
I) O produto misto ( u, v, w ) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. Vamos 
comprovar essa propriedade com base na atividade anterior em que ( u, v, w ) = 8.
( u, v, w ) = -8 (troca de u e v)
( u, v, w ) = -8 (troca de u e w )
( u, v, w ) = -8 (troca de v e w )
21
Se trocarmos novamente a ordem de dois vetores nos produtos mistos anteriores, que 
resultaram em -8, o resultado volta a ser 8.
Então, se em relação ao produto misto ( u, v, w ) ocorrer:
a. uma permutação – haverá troca de sinal; 
b. duas permutações – não alterará o valor.
Resulta dessa propriedade que os sinais ⦁ e x podem ser trocados, isto é, u ⦁ (v x w )=( u x 
v) ⦁ w pois ( u x v) ⦁ w = w ⦁ ( u x v) = (w , u, v) = ( u, v, w ) = u ⦁ (v x w ).
II) ( u+ x

, v, w )=( u, v, w )+ ( x

, v,w )
 ( u, v+ x

,w )=( u, v, w )+ ( u, x,w )
 ( u,v,w+ x

)=( u,v,w )+ ( u, v, x

)
III) (a u,v,w ) = ( u, av, w ) = ( u, v,aw ) = a( u, v, w )
IV) ( u, v, w ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. 
Admitindo-se que ( u,v,w ) = 0, ou seja, u ⦁ (v x w ) = 0, conclui-se que (v x w ) ⊥ u. Por 
outro lado, no estudo do produto vetorial vimos que o vetor v x w é também ortogonal a v e w , 
assim sendo, como v e w é ortogonal aos três vetores u, v e w , esses são coplanares (Figura 6).
Figura 6 wx
u
w
v
v
Do mesmo modo, admitindo-se que u, v e w , sejam coplanares, o vetor v x w , por ser 
ortogonal a v e w , é também ortogonal a u. 
A conclusão imediata é de que u e v x w são ortogonais, o produto escalar deles é igual a 
zero, isto é, u ⦁ (v x w )= ( u, v, w ) = 0.
Atividades
1) Verifique se são coplanares os vetores u = (1, 1, 2), v = (3, 1, -1) e w = (0, 2, 1)
22
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
Resolução
Se o produto misto desses vetores for zero, eles serão coplanares.
( u, v, w ) = 
1 1 2
1 1 3 1 3 1
3 1 1 1 1 2
2 1 0 1 0 3
0 2 1
− −
− = − +
Logo, os vetores não são coplanares.
2) Determine o valor de x para que os vetores u = (1, x, 2), v = (-1, 3, 2) e w = (-2, 1, 1) 
sejam coplanares. 
Resolução
( u, v, w ) = 0
1 2
3 2 1 2 1 3
1 3 2 0 1 2 1 3 10 0
1 1 2 1 2 1
2 1 1
x
x x
− −
− = ⇒− + = − + =
− −
−
 
- 3x = -11 ⇒ x = 
11
3
3) Mostre que os pontos A(1, 0, 2), B(3, 2, 5), C(0, -1, 3) e D(5, 4, 2) são coplanares. 
Para que os quatro pontos dados sejam coplanares, os vetores AB

, AC

 e AD

, obrigatoriamente, 
devem ser coplanares. 
(AB

, AC

, AD

,) = 0 
D
A
B
AB

 = B – A = (3, 2, 5) – (1, 0, 2) = (2, 2, 3)
AC

 = C – A = (0, -1, 3) – (1, 0, 2) = (-1, -1, 1)
AD

 = D – A = (5, 4, 2) – (1, 0, 2) = (4, 4, 0)
2 2 3
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 2 2 3 8 8 0 0
4 0 4 0 4 4
4 4 0
− − − −
− − = ⇒ − + = − + + =
Logo, os pontos dados são coplanares. 
23
Interpretação geométrica do módulo do produto misto
O produto misto u ⦁ (v x w ) geometricamente é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo 
de arestas determinadas pelos vetores não coplanares u e v, w (Figura 7).
A área da base do paralelepípedo é |v x w |.
Considerando θ o ângulo entre os vetores u e v x w . Sendo v x w um vetor ortogonal à base, 
a altura será paralela a ele e, portanto, h=| u||cos θ|.
Note que devemos considerar o valor absoluto|cos θ|, 
no caso de θ ser um ângulo obtuso. O volume do 
paralelepípedo é dado pela fórmula:
V = (área da base) (altura)
V = |v x w || u||cos θ|
V = || u||v x w ||cos θ|
V = | u ⦁ (v x w )|, logo
V = |( u, v, w )|
Atividade
Sejam os vetores ( ) ( ) ( )4, , 1 , 2, 2, 0 1, 1, 3u x v e w= − = − = −   , determine o valor de x para que o 
volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 36 u.v. (unidades de volume).
Resolução
O volume do paralelepípedo é dado por V = |( u, v, w )| e, de acordo com o enunciado, |( u, v,w )| 
= 36, o que nos leva ao determinante:
( u, v, w ) = ( )
4 1
2 0 2 0 2 2
2 2 0 4 1
1 3 1 3 1 1
1 1 3
x
x
−
− −
− = − + −
− −
−
 = 24 + 6x + 0
Isso resulta em:
|24+6x|= 36, que pela definição de módulo nos fornece duas possibilidades:
24 + 6x = 36 ou 24 + 6x = -36
6x = 12 ou 6x = -36 – 24
x = 2 ou x = -10
24
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
Volume do Tetraedro
Dados os pontos A, B, C e D não-coplanares, e os vetores AB

, AC

 e AD

, que pelo que discutiu-
se até então, também serão não-coplanares, a consequência é de que esses vetores determinam 
um paralelepípedo (Figura 8), cujo volume é V = |( AB

, AC

 e AD

)|. O paralelepípedo, por sua 
vez, pode ser dividido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho (vide figura abaixo) e, 
portanto, o volume Vp de cada prisma é a metade do volume V do paralelepípedo, isto é, 
1 
2p
V V=
Um dado relevante da geometria espacial que vamos recorrer agora é o fato de que o prisma 
pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. 
Com base nisso, podemos concluir que o volume Vt do tetraedro é um terço do volume do 
prisma, ou seja: 1 1 1 
3 3 2t p
V V V = =   
 ou 1 
6t
V = ou ainda ( )1 , , 6tV AB AC AD=
  
Figura 8 
Atividade
Dados A(1, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 1) e D(3, 2, 1) como vértices de um tetraedro, determine:
a. o volume do tetraedro;
b. a altura do tetraedro relativa ao vértice D. 
Resolução
O volume do tetraedro é ( )1 , , 6tV AB AC AD=
  
AB

 = B – A = (1, 0, 1) – (1, 1, 0) = (0, -1, 1)
AC

 = C – A = (0, 1, 1) – (1, 1, 0) = (-1, 0, 1)
AD

 = D – A = (3, 2, 1) – (1, 1, 0) = (2, 1, 1)
 AB

, AC

, AD

 = ( )
0 1 1
0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 1 1 0 3 1 4
1 1 2 1 2 1
2 1 1
−
− −
− = − − + = − − = −
V= |-4| = 4 (volume do paralelepípedo). 
25
Observe que devemos considerar o valor absoluto, ou seja, módulo, pois não há sentido em 
considerarmos um volume negativo. 
( )1 1 4 2 , , 4 .6 6 6 3tV AB AC AD u v= = = =
  
Observe na Figura 8 que a altura do tetraedro traçada do vértice D é a própria altura do 
paralelepípedo de base, determinada por AB

 e AC

. O volume do paralelepípedo é definido por 
V = (área da base) (altura) = |AB

 x AC

 | • h. Isolando h, pois é o que queremos calcular, vem:
 
 
Vh
AB AC
=
x
 
AB

 x AC

 = ( )
1 1 0 1 0 1
0 1 1 1, 1, 1
0 1 1 1 1 0
1 0 1
i j k
i j k
− −
− = − + = −
− −
−

 

 
( )2 2 2
4 4 . .
3 1 1 1
Vh u c
AB AC
= = =
− + +x
 
(unidades de comprimento)
26
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
 
 
Material Complementar
• CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3.ed. São Paulo. 
Pearson Prentice Hall, 2005.
• JULIANELLI, José Roberto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Rio de Janeiro: 
Ciência Moderna, 2008.
• WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 2000.
• ANTON, H. Álgebra Linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001
27
Referências
BOULOS , Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: i, tratamento vetorial – São 
Paulo: Mc Graw-Hill 2005, 3 edição
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Espaço – Rio de Janeiro: Coleção do professor de 
Matemática, 1993.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill 1987.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica – volume 2. São Paulo: Makron 
Books do Brasil Editora Ltda, 1994, 2 edição
VENTURI, Jaci J. álgebra Vetorial e Geometria Analítica – Curitiba: Scientia et Labor – 
Editora da UFPR, 1990, 3 edição
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books Ltda, 2000
28
Unidade: Produto Vetorial e Produto Misto
Anotações
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000
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