RAFA 3

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA 
BRUNO GARBINATTO DE MORAES 
GABRIEL BARBOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPARATIVO ENTRE MÉTODOS DE CÁLCULO DE LAJE MACIÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palhoça 
2017 
 
BRUNO GARBINATTO DE MORAES 
GABRIEL BARBOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPARATIVO ENTRE MÉTODOS DE CÁLCULO DE LAJE MACIÇA 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 
ao Curso de Engenharia Civil da Universidade 
do Sul de Santa Catarina como requisito 
parcial à obtenção do título de Engenheiro 
Civil. 
 
 
 
Orientador: Prof. Paulo Henrique Wagner, Esp. 
 
 
 
Palhoça 
2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedicamos este trabalho aos nossos familiares 
e namoradas que nos apoiaram e incentivaram 
neste período e em toda a nossa vida. A todos 
que nos auxiliaram na elaboração desta 
pesquisa, possibilitando a sua execução. 
AGRADECIMENTOS 
Agradeço primeiramente a Deus por me dar saúde e possibilitar a realização de 
todos meus sonhos. 
 Agradeço a meus pais por me criarem, dando educação e me apoiarem em todas 
as etapas e decisões da minha vida. 
 Ao meu irmão e cunhada, que também são meus padrinhos de batismo, por todas 
as preocupações e ajuda nos momentos mais difíceis de minha vida. 
 A minha namorada que está ao meu lado durante sete anos e me acompanhou em 
todas as dificuldades e realizações pessoais durante esse curso. 
 Por fim, agradeço a toda minha família, aos professores e colegas da Unisul, em 
especial ao meu orientador Paulo Wagner, por todos os ensinamentos durante esses cinco 
anos. 
 
Obrigado, Gabriel Barbosa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
Agradeço ao Professor Paulo Wagner, por todo o auxílio concedido e vasto 
conhecimento transmitido ao longo de todo o desenvolvimento deste trabalho. 
 Agradeço aos colegas de trabalho e amigos da Estúdio Casa, pelo convívio e 
aprendizagem em meu dia a dia para meu crescimento profissional. 
 Agradeço a todos os grandes amigos, professores e pessoas que de alguma 
maneira participaram e contribuíram antes e durante o período acadêmico com sua 
companhia, pensamentos, idéias, conselhos e risadas. 
 Agradeço em especial aos meus pais Luiz Paulo e Fabiane, meu irmão Lucas, 
meus tios, meus avós, namorada e toda a família, pelo enorme carinho e incentivo durante 
toda minha vida e todo esse período de graduação. 
 
Obrigado, Bruno Garbinatto de Moraes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “A verdadeira motivação vem de realização, desenvolvimento pessoal, satisfação 
no trabalho e reconhecimento”. (FREDERICK HERZBERG) 
RESUMO 
 
 
 
Atualmente a utilização dos softwares em projetos estruturais de concreto armado vem sendo 
muito utilizada pelos engenheiros de estruturas. A rapidez de processamento dos cálculos e 
ferramentas gráficas que permitem uma análise mais sofisticada e prática, trouxeram mais 
agilidade e mais confiabilidade por ser um processo mecanizado menos suscetível ao erro. 
Apesar do grande auxilio oferecido pelos softwares programados para cálculos estruturais, o 
fato de os projetos estruturais estarem cada vez mais ousados e desafiadores cabem ressaltar 
que a participação de um engenheiro habilitado é indispensável para que todas as 
considerações, cabíveis ao projeto, sejam tomadas resultando em um projeto seguro e 
confortável. Juntamente com a evolução dos projetos exigindo novas técnicas e novos 
materiais, há um acompanhamento dos processos de cálculo, levando em consideração as 
novas técnicas, gerando novos métodos de cálculo e análises a serem feitas. Com isso, se 
propôs comparar os resultados obtidos através dos cálculos manuais de laje maciça (Czerny, 
Libanio e Marcus) e comparar com os resultados do software Eberick com os, analisando as 
diferenças nos momentos resultantes, nas armaduras e flechas. Será exposto também no 
presente trabalho que os resultados obtidos pelo software foram maiores que os encontrados 
pelos métodos manuais de cálculo. 
Palavras-chave: NBR 6118:2014. Laje maciça. Tabela de Czerny. Tabela de Libanio. Tabela 
de Marcus. Eberick. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
Figura 1 – Densidade de probabilidade da resistência a compressão do concreto................... 23 
Figura 2 - Vão efetivo das lajes ................................................................................................ 27 
Figura 3– Laje Maciça .............................................................................................................. 35 
Figura 4– Laje nervurada com mesa superior de concreto ....................................................... 37 
Figura 5– Laje nervurada invertida .......................................................................................... 37 
Figura 6– Laje nervurada dupla ................................................................................................ 38 
Figura 7– Laje pré moldada com vigotas de concreto armado ................................................. 40 
Figura 8– Laje pré moldada com vigotas treliçadas ................................................................. 40 
Figura 9– Laje armada em cruz. ............................................................................................... 43 
Figura 10– Laje armada em uma direção. ................................................................................ 43 
Figura 11– Laje simplesmente apoiada nos quatro lados ......................................................... 48 
Figura 12– Condições de contorno lajes retangulares .............................................................. 50 
Figura 13– Altura útil. .............................................................................................................. 52 
Figura 14– apresentação do eberick v10 .................................................................................. 61 
Figura 15– representação dos momentos positivos com lajes biapoiadas ................................ 63 
Figura 16– Pórtico modelo construído no eberick.................................................................... 76 
Figura 17– Flecha máxima na laje de 9cm ............................................................................... 78 
Figura 18– Flecha máxima na laje de 10cm ............................................................................. 79 
Figura 19– Flecha máxima na laje de 11cm ............................................................................. 80 
Figura 20– Flecha máxima na laje de 12cm ............................................................................. 81 
Figura 21 - Gráfico dos momentos positivo ............................................................................. 83 
Figura 22 - Gráfico representando as áreas de aço ................................................................... 84 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE QUADROS 
 
 
 
Quadro 1– valores mínimos para cargas verticais .................................................................... 26 
Quadro 2– Classes de agressividade ambiental ........................................................................ 28 
Quadro 3 – Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento 
nominal..............................................................................................................29 
Quadro 4– Limites para deslocamentos ................................................................................... 31 
Quadro 5– Valores mínimos para armaduras passivas aderentes ............................................. 33 
Quadro 6– Valores de ..................................................................................................... 34 
Quadro7– Tabela tipo 1 de Czerny. ......................................................................................... 44 
Quadro 8– Coeficientes para o calculo dos momentos fletores ............................................... 47 
Quadro 9 – Coeficientes para o calculo dos momentos fletores .............................................. 51 
Quadro 10– Tabela Kc/Ks para calculo do As ......................................................................... 53 
Quadro 11– Tabela com coeficiente α para calculo da flecha .................................................. 57 
Quadro 13– Resultados de calculo das lajes pelo método de CZERNY .................................. 68 
Quadro 14– Resultados de calculo das lajes pelo método de LIBANIO.................................. 71 
Quadro 15– Resultados de calculo das lajes pelo método de MARCUS ................................. 75 
Quadro 16– Tabela de dados do eberick .................................................................................. 77 
Quadro 17– Resultados da laje de 9cm pelo Eberick ............................................................... 78 
Quadro 18– Resultados da laje de 10cm pelo Eberick ............................................................. 79 
Quadro 19– Resultados da laje de 11cm pelo Eberick ............................................................. 80 
Quadro 20– Resultados da laje de 12cm pelo Eberick ............................................................. 81 
Quadro 21 - Comparativo dos momentos positivos ................................................................. 82 
Quadro 22 - Momento negativo gerado no eberick .................................................................. 83 
Quadro 23 - Resultados das áreas de aço positivas .................................................................. 84 
Quadro 24 - Flechas dos cálculos manuais ............................................................................... 85 
Quadro 25 - Flechas do Eberick v10 ........................................................................................ 85 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
 
 – largura da nervura 
 – vão efetivo da laje 
 – distância entre as faces internas dos apoios 
 – menor valor entre 2⁄ e 0,3. ℎ 
 – largura do apoio 
ℎ– espessura da laje 
−cobrimento determinado pela NBR 6118:2014 de acordo com a classe de agressividade 
ambiental 
 – menor valor entre 2⁄ e 0,3. ℎ 
 – largura do apoio 
− fator de redução de combinação frequente 
 – taxa de armadura de tração 
– taxa de armadura ativa 
 – taxa mínima de armadura 
 – armadura de tração 
, – momento fletor mínimo de tração 
, – resistência característica superior do concreto a tração 
 – menor vão da laje 
 – maior vão da laje 
– altura útil 
, – armadura mínima de tração 
 – tensão de escoamento do aço 
 – resistência característica do concreto à compressão 
 – resistência média à tração do concreto 
 – tensão de escoamento característica do aço 
−distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada 
−momento de inércia da seção bruta de concreto 
−resistência à tração direta do concreto, com o quantil apropriado a cada verificação 
particular 
– diâmetro das barras da armadura 
− Resistência a compressão do corpo de prova de concreto na idade de (j) dias 
−Carga de ruptura do corpo de prova 
A − Área da seção transversal do corpo de prova 
−coeficiente tabelado em função de (ver Tabelas anexos) 
−rigidez da laje à flexão 
−flecha imediata 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................................... 15 
1.1 JUSTIFICATIVA ....................................................................................................... 15 
1.2 OBJETIVO ................................................................................................................. 16 
1.2.1 Objetivo geral ............................................................................................................................... 16 
1.2.2 Objetivos específicos .................................................................................................................. 16 
1.3 RESUMO DA METODOLOGIA .............................................................................. 16 
1.4 DELIMITAÇÕES ...................................................................................................... 17 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................................... 19 
2.1 CONCRETO ARMADO ............................................................................................ 19 
2.1.1 Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado .......................................................... 19 
2.1.2 Características e Propriedades do Concreto .................................................................... 20 
2.1.3 Características do Concreto Endurecido .......................................................................... 22 
2.2 CARACTERÍSTICAS DAS LAJES DE CONCRETO ARMADO ........................... 25 
2.2.1 Vinculação nas lajes ................................................................................................................... 25 
2.2.2 Cargas atuantes nas lajes ......................................................................................................... 25 
2.2.3 Vão efetivo nas lajes................................................................................................................... 26 
2.3 CRITÉRIOS A SEREM SEGUIDOS NO DIMENSIONAMENTO DAS LAJES ..... 27 
2.3.1 Classe de agressividade ambiental ........................................................................................ 27 
2.3.2 Cobrimento nominal .................................................................................................................. 28 
2.3.3 Estados limites .............................................................................................................................. 29 
2.3.4 Deslocamentos-limites ................................................................................................................ 30 
2.3.5 Taxas de armadura mínima e máxima ............................................................................... 32 
2.4 TIPOS DE LAJES ...................................................................................................... 34 
2.4.1 Laje maciça .................................................................................................................................... 34 
2.4.2 Laje nervurada ............................................................................................................................. 36 
2.4.3 Laje pré moldada ......................................................................................................................... 39 
2.4.4 Lajes protendidas ........................................................................................................................ 41 
2.5 MÉTODOS DE CÁLCULO DE LAJES MACIÇAS ................................................. 41 
2.5.1 Cálculo pelo processo elástico através de CZERNY ..................................................... 42 
2.5.2 Cálculo pelo método de Libânio (adaptação do método de Bares) ........................... 44 
2.5.3 Cálculo pelo método de Marcus .............................................................................................. 47 
2.6 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS PARA TODOS OS MÉTODOS DE 
 CÁLCULO MANUAL...............................................................................................51 
2.7 ÁREA DE AÇO MÍNIMA ......................................................................................... 54 
2.8 FLECHAS ..................................................................................................................54 
2.8.1 Verificação do Estádio ................................................................................................................ 55 
2.8.2 Flecha Imediata ............................................................................................................................. 56 
2.8.3 Flecha Diferida no Tempo......................................................................................................... 59 
2.8.4 Flecha Total .................................................................................................................................... 60 
2.9 SOFTWARE EBERICK V10 ..................................................................................... 60 
3 CÁLCULOS MANUAIS E LANÇAMENTO NO SOFTWARE EBERICK ......... 63 
3.1 CÁLCULO MANUAL PELO MÉTODO DE CZERNY ........................................... 63 
3.1.1 Cálculo dos momentos positivos na laje: ............................................................................. 64 
3.1.2 Cálculo da área de aço ................................................................................................................ 64 
3.1.3 Área de aço mínima ..................................................................................................................... 66 
3.1.4 Cálculo da flecha ........................................................................................................................... 66 
3.1.5 Resultados das lajes pelo método de CZERNY ................................................................ 68 
3.2 CÁLCULO MANUAL PELO MÉTODO DE LIBANIO ........................................... 69 
3.2.1 Cálculo dos momentos na laje ................................................................................................. 69 
3.2.2 Cálculo das armaduras .............................................................................................................. 70 
3.2.3 Resultados das lajes pelo método de LIBANIO ............................................................... 71 
3.3 CÁLCULO MANUAL PELO MÉTODO DE MARCUS .......................................... 72 
3.3.1 Seguindo o roteiro de cálculo, calcula-se . ...................................................... 72 
3.3.2 Cálculo das armaduras: ............................................................................................................. 73 
3.3.3 Resultado das lajes pelo método de MARCUS ................................................................. 75 
3.4 CÁLCULOS RESULTANTES DO LANÇAMENTO UTILIZANDO EBERICK 
 V10. ............................................................................................................................ 75 
3.4.1 Cargas e dados utilizados no Eberick ................................................................................... 76 
3.4.2 Resultados Eberick ...................................................................................................................... 77 
 
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ..................................................................................................... 82 
4.1 MOMENTOS DE CÁLCULO ................................................................................... 82 
4.2 ÁREAS DE AÇO ....................................................................................................... 84 
4.3 FLECHAS .................................................................................................................. 85 
5 CONCLUSÃO................................................................................................................. 86 
REFERENCIAS..................................................................................................................... 88 
ANEXO A - TABELAS DE CZERNY................................................................................ 90 
ANEXO B - TABELAS DE LIBANIO ............................................................................... 95 
ANEXO C - DETALHAMENTOS LAJES COM MOMENTO NEGATIVO (EBERICK)
 .......................................................................................................................... 100 
ANEXO D - DETALHAMENTOS LAJES SEM MOMENTO NEGATIVO (EBERICK) 
 ...........................................................................................................................102 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Com as novas tecnologias e métodos construtivos, visando cada vez mais a 
qualidade, rapidez e o custo das obras, hoje conseguimos solucionar problemas que antes 
levavam semanas de trabalho árduo braçal em poucos dias. 
Esse grande avanço iniciado pela informática acompanhado dos novos materiais 
tem papel essencial na elaboração dos projetos estruturais, fazendo com que os engenheiros 
projetistas consigam compatibilizar seus projetos e todas suas etapas, em um período de 
tempo muito mais curto, se comparado com os métodos antigos, que levavam cerca de 40% a 
mais de tempo, sendo que os modelos analisados eram menos complexos que os modelos 
modernos atuais. 
Contudo mesmo com o auxílio da informática e os softwares encontrados hoje no 
mercado, os projetos devem ser elaborados e analisados por profissionais qualificados e 
habilitados, sendo os projetos baseados e seguindo as recomendações das normas vigentes no 
Brasil, sendo a norma de procedimento para projetos de estruturas em concreto a NBR 
6118:2014, e a de valores mínimos de cargas verticais a NBR 6120 (ABNT,1980). 
O objetivo geral desse trabalho é de realizar análises dos resultados a partir dos 
diferentes métodos de cálculos para lajes maciças, que podem ser obtidos pelo software e 
pelos métodos de cálculos manuais como os baseados nos métodos de Czerny, Marcus e 
Libanio. 
As lajes maciças têm mantido sua boa utilização no que se refere a edificações 
comerciais e residências com vãos de no máximo 5 metros. Ela é muito útil no que se diz 
respeito à execução, por ser o primeiro tipo de laje criada e calculada na era do concreto 
armado. 
1.1 JUSTIFICATIVA 
 
Atualmente o mercado dispõe de diversos softwares que auxiliam no 
dimensionamento dos elementos estruturais, como por exemplo Eberick, CAD TQS, 
Cypecad, Concreto 100 e outros. 
Na utilização de softwares de cálculo estrutural nota-se diferença nos resultados 
obtidos em diferentes modelos adotados para uma mesma estrutura, assim a escolha do 
16 
 
modelo a ser adotado deve buscar uma maior aproximação do comportamento da estrutura na 
prática. 
 O software Eberick que é um dos mais utilizados hoje pelos engenheiros de 
estrutura, inclusive os engenheiros que estão entrando no mercado, processa a estrutura de 
uma forma global analisando e trabalhando em conjunto, assim os esforços se propagam pela 
estrutura gerando diferenças de resultados em relação aos métodos antigos, o que deve ser 
comparado e analisado para um maior conforto e segurança do usuário evitando desperdícios. 
 
1.2 OBJETIVO 
1.2.1 Objetivo geral 
Analisar comparativamente os resultados obtidos em três métodos distintos de 
cálculo para laje maciça e Eberick. 
1.2.2 Objetivos específicos 
a) Apresentar os três modelos de cálculo manual para lajes maciças (Czerny, Libanio e 
Marcus), analisando os momentos obtidos devido às cargas lançadas nesses planos de 
lajes; 
 
b) Utilizando as espessuras de laje, mesma resistência característica do concreto a 
compressão (Fck), mesmo cobrimento e cargas dos cálculos manuais, efetuar o mesmo 
lançamento no eberick v10 e ao final analisar os resultados obtidos no software e 
 
c) Verificar qual dos processos, em função dos esforços calculados, obteve um 
dimensionamento menor respeitando as verificações normativas. 
 
1.3 RESUMO DA METODOLOGIA 
Foram realizadas pesquisas sobre o concreto armado, apresentando suas propriedades e 
funcionamento de acordo com a norma. Também foi realizado pesquisas sobre os modelos decálculo em questão, analisando as diferenças e as considerações particulares de cada um. 
17 
 
A importância da utilização do software pelo engenheiro, no caso, a utilização do 
Eberick V10, os dados fornecidos, os resultados obtidos e analises possíveis oferecida pelo 
software. 
Pesquisas na NBR 6118:2014, também foram realizadas com o intuito de expor as 
recomendações. 
A partir disso foram realizados os três cálculos manuais de lajes maciças, Czerny, 
Libanio e Marcus respectivamente, de acordo com o modelo adotado. 
Em seguida, foi utilizado o mesmo modelo estrutural, com lajes de 5m por 5m, e feito o 
cálculo a partir do software adotado. Com o cálculo feito foi apresentado os resultados obtidos 
pelo Eberick v10. 
Por fim são comparados os resultados e apresentados por meio de tabelas. 
 
1.4 DELIMITAÇÕES 
Dentre os elementos estruturais que compõem uma edificação de concreto 
armado, a laje é considerada o elemento mais importante da estrutura, pois as lajes ou painéis 
além de possuírem grandes dimensões e serem responsáveis por receber a maior parte do 
carregamento total da edificação, trabalham na horizontal, sendo exigidos cálculos 
específicos. 
Segundo Pinheiro; Razente (2003) 
As lajes recebem as ações verticais, perpendiculares a superfície média, e as 
transmitem para os apoios. Essa situação confere a laje o comportamento de placa. 
Outras funções das lajes é efetuar como diafragmas horizontais rígidos, distribuindo 
as ações horizontais entre os diversos pilares da estrutura. Nessa circunstâncias, a 
laje sofre ações ao longo de seu plano, comportando-se como chapa. Conclui-se, 
portanto, que as lajes tem dupla função estrutural: de placa e de chapa. O 
comportamento de chapa é fundamento para a estabilidade global da estrutura, 
principalmente nos edifícios altos. É através das lajes que os pilares contraventados 
se apoiam nos elementos de contraventamento, garantido a segurança da estrutura 
em relação as ações laterais. 
No mercado da construção civil, a variedade de tipos de laje possibilidade ao 
18 
 
engenheiro optar por um modelo específico na edificação inteira ou variar a cada pavimento 
conforme a necessidade do pavimento ou carga solicitante. Apesar da diversidade, alguns 
métodos de cálculo para novas técnicas, tem como referência o cálculo de lajes pelo processo 
elástico. 
1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO 
 O trabalho foi organizado em cinco capítulos, apresentando os seguintes conteúdos: 
No capítulo 1 – Introdução, será apresentada a escolha do tema, objetivos, as ferramentas de 
pesquisa e a estrutura do trabalho; 
No capítulo 2 – Fundamentação teórica, será apresentada uma breve fundamentação teórica 
entendendo algumas definições necessárias, expondo sobre o concreto armado, tipos de lajes e 
cálculos de laje maciça; 
No capítulo 3 – Cálculo manual de lajes pelos três processos manuais (CZERNY, LIBANIO 
E MARCUS) e o lançamento da mesma laje no Eberick; 
No capítulo 4 – Analise dos resultados. 
O capítulo 5 – Conclusões, deixando algumas sugestões para futuros trabalhos, consideradas 
necessárias quando abordado o tema estudado. 
 
 
 
 
19 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1 CONCRETO ARMADO 
 
Faz-se necessário uma introdução sobre o concreto armado e suas propriedades 
para logo após apresentar os estudos sobre os elementos estruturais em analise no trabalho. 
 No concreto armado obtém a associação de dois materiais muito importantes para 
a construção civil, o concreto e o aço. Para utilização estrutural, o concreto sozinho não serve, 
pois, tem uma boa resistência a compressão, mas resiste pouco a tração. Consequentemente a 
esse motivo apresentado formou a união do concreto ao aço nos elementos estruturais que 
estão sujeitos a diferentes tipos de esforços. 
 Segundo Carvalho; Figueiredo Filho (2014, p.20) 
Dessa maneira, os dois materiais, concreto e aço, deverão trabalhar solidariamente, o 
que é possível devido as forças de aderência entre a superfície do aço e do concreto, 
pois as barras de aço tracionadas (armadura tracionada) só funcionam quando, pela 
deformação do concreto que as envolve, começar a ser alongadas, o que caracteriza 
as armaduras passivas. É a aderência que faz com que o concreto armado se 
comporte como material estrutural. 
2.1.1 Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado 
Como todo material utilizado para determinada finalidade, ele apresenta 
vantagens e desvantagens, a seguir será apresentado as principais vantagens e desvantagens 
do concreto armado. 
2.1.1.1 Segundo Carvalho; Figueiredo Filho (2015, p.21), as vantagens são: 
 Apresenta boa resistência a maioria das solicitações; 
 Tem boa trabalhabilidade, quando fresco, e por isso se adapta a varias formas, dando maior liberdade 
ao projetista; 
 Permite obter estruturas monolíticas; 
 As técnicas de execução são dominadas em praticamente todo país; 
 É um material durável, se for bem executado, respeitando todas as normas; 
 Apresenta durabilidade e resistência ao fogo superiores a madeira e aço; 
20 
 
 É resistente a choques e vibrações, efeitos térmicos e atmosféricos. 
2.1.1.2 Ainda segundo Carvalho; Figueiredo Filho (2015, p.22), as desvantagens são: 
 Resulta em elemento com maiores dimensões que o aço, o que, com seu peso especifico muito 
elevado (25KN/m³), acarreta em peso próprio muito grande, limitando seu uso em determinadas 
situações ou elevando bastante seu custo; 
 As reformas e adaptações são, muitas vezes, de difícil execução; 
 São necessários um sistema de formas e a utilização de escoramento, que geralmente precisam se 
manter no local até que o concreto alcance resistência adequada. 
2.1.2 Características e Propriedades do Concreto 
O concreto é obtido da mistura de cimento com alguns agregados e água. Em 
alguns casos há adição de produtos químicos para que as reações químicas que acontecem 
nessa mistura sejam alteradas. Na forma endurecida o concreto possui suas características 
bem definidas, e o sucesso só depende da sua execução. 
2.1.2.1 Concreto Fresco 
Segundo Carvalho; Figueiredo Filho (2015, p.30) 
As principais propriedades do concreto fresco são a consistência, a trabalhabilidade 
e a homogeneidade. O concreto mesmo depois de endurecido, é um material 
composto de elementos em todas as fases, ou seja, gases, líquidos, gel e sólidos, 
caracterizando-se como essencialmente heterogêneo. O objetivo do preparo do 
concreto estrutural é obter um material predominantemente sólido com grande 
resistência e com poucos espaços vazios. 
O adensamento também é uma etapa muito importante na execução do concreto, 
pois ele é responsável para que não haja vazios nessa estrutura e segregação dos seus 
materiais componentes. Outro fator importante nesse processo é a cura a que ele deve ser 
submetido logo após o adensamento e inicio da pega. 
2.1.2.2 Consistência 
A consistência esta relacionada a características inerentes do próprio concreto. 
Um dos métodos mais tradicionais de determinar a consistência do concreto é o slump test. 
21 
 
Segundo Carvalho; Figueiredo Filho (2015, p.30), “A primeira propriedade do 
concreto fresco que deve ser considerada é a sua consistência. Consistência corresponde a 
maior ou menor capacidade que o concreto fresco tem de se deformar.” 
2.1.2.3 Trabalhabilidade 
A trabalhabilidade pode ser definida como a quantidade de trabalho interno útil 
necessário a obtenção do adensamento total. A trabalhabilidade de um concreto, assim como 
sua consistência depende diretamente dos materiais sólidos, da incorporação de aditivos e 
principalmente do fator água/cimento. O efeito da água/cimento na qualidade do concreto está 
claro no item 7.4.2 da NBR 6118:2014 (ABNT, 2014). 
2.1.2.4 Homogeneidade 
De acordo com Carvalho; Figueiredo Filho (2015, p.31), 
"A distribuição dos agregados graúdos dentro da massa de concreto é um fator 
importante de interferência na qualidadedo concreto[...]. Uma homogeneidade satisfatória 
pode ser conseguida com uma boa mistura do concreto durante a etapa de fabricação”. 
Os cuidados que deve ter no transporte, lançamento e adensamento do concreto 
estão definidos nos itens 9.5 e 9.6 da NBR 14931 (ABNT, 2004), que trata da execução das 
estruturas de concreto. 
2.1.2.5 Adensamento 
De acordo com Carvalho; Figueiredo Filho (2015, p.31), “para que seja atingido um 
adensamento satisfatório, o processo mais simples e usual é a vibração mecânica, obtida pela 
imersão de vibradores na massa de concreto”. 
Podem ser seguidas algumas recomendações técnicas da ABNT NBR 14931:2014 
para o uso de vibradores mecânicos. 
 
22 
 
2.1.2.6 Inicio do endurecimento do concreto (pega) 
De acordo com Carvalho e Figueiredo Filho (2015, p.32), “Usualmente, define-se 
o inicio de pega quando a consistência do concreto não permite mais a sua trabalhabilidade, 
ou seja, não é mais possível lançá-lo nas formas e adensá-lo”. 
Segundo o item 9.3.3 da NBR 14931:2004 a recomendação é que do instante em que a 
água entrou em contato com o cimento até o final da concretagem não ultrapasse 2h30min. 
2.1.3 Características do Concreto Endurecido 
2.1.3.1 Resistência a compressão 
A NBR 6118 se aplica a concretos da classe C20 até a C90 e divide esses 
concretos em dois grupos de resistência, o grupo I, que abrange concretos com resistência de 
20MPa até 50MPa, e o grupo II, com resistência de 55 MPa até 90MPa. 
A resistência a compressão é a principal característica do concreto na sua forma 
endurecida, essa resistência é determinada através de ensaios de corpos de prova submetidos a 
compressão centradas (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
Ainda segundo o mesmo autor citado acima a resistência a compressão, obtida por 
ensaio de curta duração do corpo de prova, é dada por: 
 
= 
 
 
Em que: 
 – Resistência a compressão do corpo de prova de concreto na idade de (j) dias; 
 - Carga de ruptura do corpo de prova; e 
A – Área da seção transversal do corpo de prova. 
 
2.1.3.2 Resistência característica do concreto a compressão 
É definido a resistência média a compressão do concreto, , e a resistência 
característica a compressão, . A resistência característica é um valor tal que existe uma 
probabilidade de 5% de se obter resistências inferiores a mesma. De acordo com a equação da 
23 
 
distribuição normal de probabilidades, se tem (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015): 
 = − 1,645S 
 
Conforme o mesmo autor citado acima, S é o desvio padrão das resistências, dado por: 
 
= ( − )²/( − 1) 
 
Sendo os valores genéricos da resistência obtidos em n corpos de prova de concreto. 
Figura 1 – Densidade de probabilidade da resistência a compressão do concreto. 
 
 Fonte: Araujo (2003, p. 4) 
Conhecendo-se o valor do desvio padrão S, utiliza-se a equação (1.3.1.2) para o 
cálculo da resistência de dosagem em função do especificado no projeto. 
2.1.3.3 Resistência a tração 
 A norma NBR 6118 afirma que a resistência a tração indireta ( , ) e a 
resistência a tração na flexão ( , ) devem ser obtidas por meio de ensaios regulamentados e 
que a resistência a tração direta pode ser considerada como sendo 0,9 , ou 0,7 , , 
porém, em caso de falta de ensaios, o valor médio e característico do pode ser 
determinado pelas seguintes equações (ABNT, 2014, p.23). 
24 
 
 
, = 0,3 .
/ , para de 20MPa a 50 MPa 
 
 
, para de 20MPa a 50 MPa 
, = 2,12 . ln (1 + 0,11 . ) , para de 55MPa a 90Mpa 
, = 0,7 . , 
, = 1,3 . , 
2.1.3.4 Módulo de elasticidade 
Conforme a NBR 6118, o módulo de elasticidade inicial, , obtido aos 28 dias, deve 
ser determinado por meio de ensaios, mas, para casos em que não forem realizados ensaios, a 
Norma permite que estime o valor do módulo de elasticidade inicial através das seguintes 
expressões (ABNT, 2014, p.24): 
= . 5600 . / , para de 20MPa a 50MPa 
= 21,5 .10³ . . /10 + 1,25, para de 55MPa a 90MPa 
Sendo.. 
 = 1,2 para agregados graúdos de basalto e diabásio. 
 = 1,0 para agregados graúdos de granito e gnaisse. 
 = 0,9 para agregados graúdos de calcário. 
 = 0,7 para agregados graúdos de arenito. 
Onde: 
e são dados em megapascal (MPa). 
Ainda segundo a NBR 6118, o módulo de deformação secante pode ser obtido 
segundo o método de ensaio estabelecido na NBR 8522, ou estimado pela expressão: 
 
= . 
25 
 
Onde: 
= 0,8 + 0,2 . /80 ≤ 1,0 
2.2 CARACTERÍSTICAS DAS LAJES DE CONCRETO ARMADO 
 Segundo Campos Filho (2014, p. 1). 
As lajes são elementos estruturais laminares e planos, solicitados 
predominantemente por cargas normais ao seu plano médio. Elas Constituem os 
pisos dos edifícios correntes de concreto armado. Nas estruturas laminares planas, 
predominam duas dimensões, comprimento e largura, sobre a terceira é a espessura. 
De mesma forma que as vigas são representadas pelos seus eixos, as lajes são 
representadas pelo seu plano médio, as lajes são diferenciadas pela sua forma, 
vinculação e relação entre os lados. Geralmente nas estruturas correntes, as lajes são 
retangulares, mas podem ter forma trapeizodal ou em L. 
 
 Segundo Araújo (2003, p.1),“as lajes são os elementos estruturais que tem a 
função básica de receber as cargas de utilização das edificações, aplicadas nos pisos e 
transmiti-las as vigas”. 
 Segundo Rocha (1983, p.11), “para suportar as cargas verticais transmitidas a um 
plano horizontal (piso dos edifícios), empregando-se como material de concreto armado, 
executa-se uma placa desse material monolítico, a qual tem a denominação de laje.” 
2.2.1 Vinculação nas lajes 
 As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação: apoiadas, 
livres ou engastadas. Considera-se apoiada quando a laje é continuamente apoiada sobre vigas 
ou paredes. Livre ocorre quando a borda da laje não possui vinculação ou apoio ao longo de 
um dos lados. Engastada quando a borda da laje tem continuidade além do apoio 
correspondente daquele lado (laje adjacente) (CAMPOS FILHO, 2014). 
2.2.2 Cargas atuantes nas lajes 
Há dois tipos de cargas a ser consideradas no cálculo da estrutura. São elas cargas 
permanentes e cargas acidentais, enquanto as cargas permanentes possuem praticamente o 
mesmo valor durante toda vida útil da construção as cagas variáveis sofre variações durante 
esse período. 
26 
 
Segundo a NBR 6120 (ABNT, 1980, p. 1), “carga permanente é constituída pelo peso 
próprio da estrutura e pelo peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações 
permanentes.”. 
Ainda segundo a NBR 6120 (ABNT, 1980, p. 1), “a carga acidental é toda aquela que 
pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, moveis, materiais 
diversos, veículos etc.).”. 
O quadro 1, abaixo, mostra os valores mínimos das principais cargas verticais a serem 
utilizadas em edifícios e escritórios. 
 
 Quadro 1– valores mínimos para cargas verticais 
 
 Fonte: adaptação da ABNT (1980, p.3) 
2.2.3 Vão efetivo nas lajes 
Conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014, p.95), “quando os apoios puderem ser 
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser 
calculado pela seguinte expressão:” 
= + 1 + 2 
Sendo: 
 o vão efetivo da laje (m) 
a distância entre as faces internas dos apoios (m) 
27 
 
1o menor valor entre /2 e 0,3h, sendo a largura do apoio e h a espessura da laje (m) – 
vão extremo 
2o menor valor entre /2 e 0,3h, sendo a largura do apoio e h a espessura da laje (m) – 
vão intermediário. 
A figura 1 ilustra essa situação para apoio de vão extremo e para apoio de vão 
intermediário. 
 
 Figura 1 - Vão efetivo das lajes 
 
 Fonte: ABNT (2014, p.90) 
 
2.3 CRITÉRIOS A SEREM SEGUIDOS NO DIMENSIONAMENTO DAS LAJES 
Para realização do dimensionamento das lajes é necessário respeitar e preservar 
algumas considerações previstas na norma vigente (NBR 6118/2014). Abaixo serão listados 
os critérios a ser considerados nessesdimensionamentos. 
2.3.1 Classe de agressividade ambiental 
Conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014), a agressividade do meio ambiente está 
relacionada as ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, 
28 
 
independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da 
retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento da estrutura de concreto armado. A 
classe de agressividade deve ser classificada de acordo com o quadro 2, conforme abaixo. 
Quadro 2– Classes de agressividade ambiental 
 
 Fonte: ABNT (2014, p. 17) 
 
2.3.2 Cobrimento nominal 
O cobrimento mínimo da armadura visa garantir a durabilidade da estrutura de acordo 
com sua classe de agressividade. Essa espessura deve ser indicada em projeto levando as 
considerações previstas na NBR 6118. 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014) se faz necessário seguir alguns requisitos quanto 
a elaboração e determinação do cobrimento mínimo, sendo: "[...]o cobrimento mínimo da 
armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e 
que se constitui num critério de aceitação." 
O cobrimento refere-se a face externa do elemento estrutural até a face da armadura 
mais próxima a ele. O quadro 3 apresenta, de acordo com a NBR6118, os cobrimentos 
29 
 
mínimos conforme a classe de agressividade ambiental. 
Quadro 3 – Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento 
 nominal 
 
 Fonte: ABNT (2014, p. 20) 
2.3.3 Estados limites 
Segundo Carvalho; Figueiredo Filho (2015), os estados limites considerados no 
cálculo das estruturas de concreto são os estados limites últimos e os estados limites de 
serviço. 
A NBR 6118 recomenda que a segurança das estruturas de concreto seja verificada 
para: 
a) estado-limite ultimo da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo 
rígido; 
b) estado-limite ultimo de escoamento da capacidade resistente da estrutura, no seu 
todo ou em parte, devido as solicitações normais e tangenciais, admitindo-se a 
redistribuição de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de 
adaptação plástica na seção 14, e admitindo-se em geral, as verificações separadas 
das solicitações normais e tangenciais; todavia, quando a interação entre elas for 
importante, ela estará explicitamente indicada nesta Norma. 
30 
 
 
 
 
 
De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 55), estados-limites de serviço são 
aqueles relacionados ao conforto do usuário e à durabilidade, aparência e boa utilização das 
estruturas, seja em relação aos usuários, seja em relação as maquinas e aos equipamentos 
suportados pela estruturas.” 
Ainda conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 55), “em construções especiais pode 
ser necessário verificar a segurança em relação a outros estados-limites de serviço não 
definidos nesta Norma.” 
 
2.3.4 Deslocamentos-limites 
 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, p. 76), “deslocamentos –limites são valores práticos 
utilizados para a verificação em serviço do estado-limite de deformações excessivas da 
estrutura. Para os efeitos desta Norma, são classificados nos quatro grupos básicos a seguir 
relacionados:”. 
a) aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou 
efeito visual desagradável.[...] ; 
b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da 
construção; 
c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar 
o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, 
estão a ela ligados; 
d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o 
comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação as 
hipóteses de calculo adotadas. Se o deslocamentos forem relevantes para o 
elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da 
estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado. 
Podemos analisar os deslocamentos limites estabelecidos pela norma 6118 de 
2014 através do quadro 4 a seguir. 
 
 
 
 
31 
 
Quadro 4– Limites para deslocamentos 
 
 
32 
 
Continuação 
 
 Fonte: ABNT (2014, p. 77) 
 
2.3.5 Taxas de armadura mínima e máxima 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 157), para melhorar o desempenho e a 
dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de 
armadura passiva definidos no quadro 5. Essa armadura deve ser constituída 
preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas. 
 
 
33 
 
Quadro 5– Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
 
 Fonte: adaptação da ABNT ( 2014, p. 158) 
De acordo com a NBR 6118:2014 os valores do quadro anterior são definidos pelas formulas 
a seguir: 
=
. ℎ
 
 – taxa de armadura a tração (%) 
– Armadura de tração (cm²) 
 – largura mínima da seção (cm) 
ℎ - espessura da laje (cm) 
Os valores de podem ser tirado do quadro 6, no qual, leva-se em consideração o 
34 
 
tipo de aço e o usado. 
Quadro 6– Valores de 
Aço 
Fck (Mpa) 
20 25 30 35 40 45 50 
CA-50 0,15 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 
CA-60 0,15 0,15 0,15 0,16 0,18 0,19 0,2 
Fonte: adaptação de Araujo (2014) 
 
2.4 TIPOS DE LAJES 
Possui vários tipos de lajes, de acordo com tamanho do vão, carga aplicada e 
método construtivo (maciças, nervuradas, lisas, pré-moldadas e protendidas). O tipo de laje a 
ser escolhida pelo calculista depende muito da concepção arquitetônica, devendo sempre 
respeitar o projeto arquitetônico. Neste tópico será apresentado sobre diversos tipos de lajes, 
porem o trabalho irá focar nos diferentes tipos de cálculo de laje maciça. 
2.4.1 Laje maciça 
 Segundo Araújo (2013, p. 2), "As lajes maciças são placas de espessura uniforma, 
apoiadas ao longo do seu contorno. Os apoios podem ser constituídos por vigas ou alvenarias, 
sendo este o tipo de laje predominantes nos edifícios residenciais, no qual, os vão são 
relativamente pequenos." 
 De acordo com Carvalho; Figueiredo Filho (2015, p. 319) 
Sob o ponto de vista estrutural, lajes são placas de concreto e estas ultimas são 
elementos estruturais de superfície plana (elementos laminares simétricos em relação 
ao seu plano médio), em que a dimensão perpendicular à superfície, usualmente 
chamada espessura, é relativamente pequena comparada às demais (largura e 
comprimento) e sujeitas principalmente a ações normais a seu plano. 
 
 Há duas classificações principais para lajes maciças, as lajes armada em cruz 
(armadura nas duas direções) e as lajes armadas em uma direção. Para as lajes serem armadas 
em cruz a relação entre o vão maior e o vão menor não é superior a 2, assim, os momentos 
fletores nas duas direções são consideráveis e devem ser calculados. Para as lajes serem 
armadas em uma direção deverá ter uma relação entre maior e menor vão superior a 2, neste 
35 
 
caso sendo desprezado os momentos no maior vão, bastando apenas adotar uma armadura de 
distribuição nesse sentido (ARAUJO, 2003). 
 Há um melhor aproveitamento das vigas que contornam as lajes armadas em cruz, 
pois elas distribuem igualmente seus esforços nas vigas de contorno. Há uma economia de 
formas quando se é utilizado lajes maciças se os pavimentos se repetem varias vezes, pois se 
utiliza o mesmo jogo de formas e escoramentos em todos os pavimentos (CARVALHO; 
FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
 A figura 3 ilustra um pavimento de laje maciça apoiadas em vigas. 
 
 
Figura 2– Laje Maciça 
 
 Fonte: FUSCO (1995, p. 237) 
2.4.1.1 Prescrição normativa 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 74), as lajes maciças devem respeitar os 
seguintes limites mínimos para sua espessura: 
a) 7cm para cobertura não em balanço; 
b) 8cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso maior que 30kN; 
f) 15 cm para lajes com protensãoapoiadas em vigas, com o mínimo de para lajes 
de pisos biapoiadas e para lajes de pisos continuas; 
36 
 
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelos, fora do capitel 
2.4.1.2 Vantagens e desvantagens das lajes maciças 
As lajes maciças apresentam como principal vantagem a simplicidade da 
execução e a grande rigidez a deslocamentos verticais. Por ser o sistema estrutural mais 
tradicional, a laje maciça é bastante utilizada por projetistas, principalmente quando o vão a 
ser vencido é pequeno ou médio (CARVALHO; PINHEIRO, 2013). 
Segundo Albuquerque (1999), os limites impostos, apresentam uma grande 
quantidade de vigas, diminuindo a produtividade da construção e consome muito concreto, 
aço e formas, são algumas das desvantagens da laje maciça. 
2.4.2 Laje nervurada 
Conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 97) as “Lajes nervuradas são moldadas 
no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos está 
localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte.”. 
Segundo Albuquerque (1999, p. 24), “O fato de as armaduras serem responsáveis 
pelos esforços resistente de tração permite que a zona tracionada seja discretizada em formas 
de nervuras, não comprometendo a zona comprimida, que será resistida pela mesa de 
concreto.”. 
Segundo Araújo (2003), "Para reduzir o peso próprio da estrutura, pode-se adotar 
a solução em lajes nervuradas. Nessas lajes, a zona de tração é constituída por nervuras entre 
as quais podem ser colocados materiais inertes, de forma a tornar plana a superfície externa.". 
 De acordo com Fusco (1995, p.263), as lajes nervuradas podem ser calculadas 
como se fossem lajes convencionais, desde que observem as seguintes restrições: 
a) a distancia livre entre as nervuras não deve ultrapassar 100cm e, para se evitar a 
armadura de cisalhamento das nervuras, não deve ultrapassar 50cm; 
b) a espessura das nervuras deve ter no mínimo 4cm; 
c) a espessura da mesa (capa) não deve ser inferior a 4cm nem a 1/15 da distancia 
livre entre as nervuras. 
2.4.2.1 Classificação das lajes nervuradas 
As lajes nervuradas são classificadas quanto ao posicionamento da mesa de concreto e 
também quanto a disposição das nervuras. Tem três classificações de acordo com a nervura, 
37 
 
ela pode ser normal, invertida ou dupla. As normais são aquelas nas quais existe uma mesa 
superior de concreto, e as nervuras são inferiores (CARVALHO; PINHEIRO, 2013). 
A figura 4 representa uma laje nervurada com mesa superior. 
 
Figura 3– Laje nervurada com mesa superior de concreto 
 
 Fonte: Carvalho; Pinheiro (2013, p.18) 
 
 As lajes nervuradas invertidas possuem uma mesa inferior de concreto, com 
nervuras superiores. Essas lajes têm utilização restrita, sendo recomendada apenas para lajes 
em balanço, por ser de difícil execução (CARVALHO; PINHEIRO, 2013). 
 A figura 5 representa uma laje nervurada invertida. 
 
Figura 4– Laje nervurada invertida 
 
 Fonte: Carvalho; Pinheiro (2013, p.19) 
As lajes nervuradas dupla possuem nervuras situadas entre duas mesas de concreto, 
uma superior e outra inferior. Este tipo de laje está praticamente em desuso, e possui uma 
execução difícil e trabalhosa (CARVALHO; PINHEIRO, 2013). 
38 
 
 
A figura 6 representa uma laje nervurada dupla. 
 
 
Figura 5– Laje nervurada dupla 
 
 Fonte: Carvalho; Pinheiro (2013, p.19) 
 
2.4.2.2 Prescrição normativa 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, p. 74) os valores mínimos de espessura a serem 
considerados são: 
a) a espessura da mesa, quando não existirem tubulações horizontais embutidas, 
deve ser maior ou igual a 1/15 da distancia entre as faces das nervuras ( ) e não 
menor que 4cm; 
b) o valor mínimo absoluto da mesa deve ser 5cm, quando existirem tubulações 
embutidas de diâmetro menor ou igual a 10mm. Para tubulações com diâmetro Ø 
maior que 10mm, a mesa deve ter a espessura mínima de 4cm + Ø, ou 4cm + 2Ø 
no caso de cruzamento destas tubulações; 
c) a espessura da nervura não pode ser inferior a 5cm e 
d) nervuras com espessura menor que 8cm não pode conter armadura de 
compressão. 
 
Ainda conforme a NBR 6118 (ABNT, p. 75) é necessário seguir algumas 
condições: 
a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65cm, pode 
ser dispensada a verificação da flexa na mesa, e para a verificação do 
cisalhamento na região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de 
lajes; 
b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65cm e 110cm, exige-se 
a verificação da flexão na mesa, e as nervuradas devem ser verificadas ao 
cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o 
espaçamento entre eixos de nervuras for até 90cm e largura média das nervuras 
39 
 
for maior que 12cm e 
c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110cm, 
a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada em grelha de vigas, 
respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. 
2.4.2.3 Vantagens e desvantagens das lajes nervuradas 
As lajes nervuradas possuem algumas vantagens com relação aos outros tipos de 
lajes. Algumas dessas vantagens, de acordo com Carvalho; Pinheiro (2013), são: 
a) a distancia entre pilares pode atingir a ordem de dez metros, dependendo do 
carregamento atuante, liberando espaços, o que é muito vantajoso em 
estacionamentos, por exemplo, onde a existência de muitos pilares iria dificultar 
as manobras dos veículos, alem de ocupar regiões que serviriam para vigas; 
b) com relação à sua execução, podem ser construídas com a mesma tecnologia das 
lajes maciças; 
c) podem ser utilizadas em diversos locais, como edificações residenciais, 
comerciais, hospitalares, educacionais, alem de estacionamento; 
d) são adequadas ao sistema de lajes sem vigas; 
e) diminuem o peso próprio e aliviam as fundações, consumindo menos concreto e 
aço que sistemas similares; 
f) podem suportar cargas mais elevadas que as lajes maciças convencionais, já que 
aliam grande altura a pequeno peso próprio. 
 
As principais desvantagens do uso desse tipo de laje são: dificuldade de passar 
tubulações, dificuldade de respeitar o pé direito imposto pelo projeto arquitetônico e 
necessidade de mão de obra qualificada para não aumentar os custos e diminuir 
produtividade. 
 
2.4.3 Laje pré-moldada 
No projeto de casas, sobrados e pequenos edifícios, tem sido cada vez mais 
empregado esse tipo de laje, pois resultam em pavimentos mais simples, econômicos e em 
boas soluções para pequenos e médios vãos. As lajes pré-moldadas mais comuns são as dos 
tipos “trilho” e “treliça”, chamadas, doravante, de lajes pré-moldadas ou simplesmente de 
lajes trilho e lajes treliça (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
De acordo com a NBR 14859 define-se as lajes pré-moldadas de concreto armado, 
“com seção de concreto usualmente formando um “T” invertido, com armadura passiva 
totalmente englobada pelo concreto da vigota. ” (Figura 6). 
 
40 
 
Figura 6– Laje pré moldada com vigotas de concreto armado 
 
 Fonte: NBR 14859 
 
Ainda de acordo com a NBR 14859 define-se as lajes prémoldadas treliçadas, "com 
seção de concreto formando uma placa, com armadura treliçada, parcialmente englobada pelo 
concreto da vigota. Quando necessário, devera sem complementada com armadura passiva 
inferior de tração totalmente englobada pelo concreto da nervura." (Figura 7) 
 
Figura 7– Laje pré-moldada com vigotas treliçadas 
 
 Fonte: NBR 14859 
 
2.4.3.1 Vantagens e desvantagens das Lajes pré-moldadas 
São duas as principais vantagens desse tipo de laje, uma é que não gasta forma e a 
outra é que gasta pouco escoramento. Como desvantagens podem ser destacadas a dificuldade 
na execução das instalações prediais e os valores dos deslocamentos transversais, bem 
maiores que os das lajes maciças (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). 
41 
 
2.4.4 Lajes protendidas 
Segundo Emerick (2002),O uso da solução em concreto protendido para lajes de edifícios tem crescido nos 
últimos anos no Brasil. Fenômeno esse que se deve em grande parte a utilização do 
sistema de pretensão não-aderente com a entrada da monocordoalha engraxada 
plastificada no mercado brasileiro. O concreto protendido vem encontrando uma 
aplicação cada vez maior em estruturas de edifícios devido a necessidade de vencer 
vãos livre de grandes dimensões com elementos de altura reduzida. 
2.4.4.1 Vantagens das Lajes protendidas 
De acordo com Emerick (2002), a utilização do sistema de protensão com pós 
tração trás algumas vantagens com relação aos sistemas convencionais de concreto armado: 
 a) maior liberdade arquitetônica devido a possibilidade de vencer grandes vãos ou 
vãos fortemente carregados mantendo um grande esbeltez na laje; 
b) maior área útil do pavimento devido a menor quantidade de pilares; 
 c) Reduçao nas espessuras das lajes acarretando uma significativa diminuição na 
altura total dos prédios e conseqüentemente um menor peso toda da estrutura 
minimizando os custos nas fundações; 
d) Maior velocidade na desforma e retirada de escoramentos; 
e) Redução e até eliminação de flechas e fissuração nas lajes e 
f) Maior resistência ao puncionamento, em lajes lisas ou cogumelo, obtida pela 
colocação adequada dos cabos de protensao nas regiões próximas aos pilares. 
 
2.5 MÉTODOS DE CÁLCULOS DE LAJES MACIÇAS 
Neste trabalho serão apresentados três métodos distintos de cálculo para lajes 
maciças, são eles: Cálculo pelo processo elástico através de Czerny, cálculo pelo método de 
Libanio (adaptação do método de bares) e cálculo pelo método de Marcus. 
 
Antes de entrar nos métodos de cálculo apresentaremos o pré-dimensionamento 
das lajes maciças que serão usados para ambos os métodos. 
Segundo Bastos (2005) para o cálculo do pré-dimensionamento temos: 
42 
 
 
ℎ ≅ (2,5 − 0,1 ) ∗ ( ) 
Onde: 
h = espessura da laje; 
n = número de bordas engastadas da laje; 
l* = o menor dos dois valores 0,7. , sendo ≤ . 
Ou ainda pela expressão: 
ℎ = , com ≤ . 
 
2.5.1 Cálculo pelo processo elástico através de CZERNY 
 
O cálculo pelo processo elástico se fundamenta na teoria da elasticidade, para o 
trabalho será admitido que o material das lajes seja homogêneo, isótropo e com 
comportamento linear. O método é o que fornece a melhor distribuição das armaduras. Pelo 
processo elástico, utilizam-se as tabelas desenvolvidas por Czerny para a determinação dos 
momentos positivos em lajes simplesmente apoiadas, e negativos aonde há engaste nos 
bordos. As lajes ainda podem ser armadas em uma ou duas direções com alguns critérios de 
cálculos como citado no texto de Campos Filho (2014), 
 
As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única 
direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária. Já as lajes armadas em 
duas direções, podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com 
elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson v = 0,2 para o material elástico 
linear.(CAMPOS FILHO, 2014) 
 
No processo elástico baseado nas tabelas de Czerny, considera lajes retangulares 
sendo que o lado menor será sempre lx, sendo o maior lado ly. 
Quando a razão entre ly e lx for maior ou igual a dois, então a laje será armada em 
uma direção, e armada nas duas direções ou em cruz, quando a razão resultante for menor ou 
igual a dois. Assim temos: 
 Laje armada em cruz, quando ≤ 2 conforme fig. (8); 
43 
 
 Laje armada em uma direção, quando ≥ 2 conforme fig. (9); 
 
 Figura 8– Laje armada em cruz. 
 
 Fonte: Campos Filho (2014). 
 
 Figura 9– Laje armada em uma direção. 
 
 Fonte: Campos Filho (2014). 
 
2.5.1.1 Cálculo dos momentos 
 As tabelas de Czerny se diferenciam entre si de acordo com o tipo de vínculo 
existente nos bordos das lajes. As lajes a serem calculadas possuem todos os lados 
simplesmente apoiados, logo a tabela a ser utilizada é a tipo 1 (Quadro 7). Os diferentes tipos 
de tabela para o cálculo dos momentos no método de Czerny, estão no anexo A. 
 
44 
 
 
Quadro 7– Tabela tipo 1 de Czerny. 
 
 Fonte: Campos Filho (2014) 
 
Czerny, em suas tabelas, determinou coeficientes para o cálculo dos momentos 
nas lajes. 
 
As equações a serem utilizadas para a obtenção dos momentos são as seguintes: 
=
. ²
; 
=
. ²
; 
Sendo: 
lx = menor vão; 
mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; 
my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly; 
e = são coeficientes tabelados; 
2.5.2 Cálculo pelo método de Libânio (adaptação do método de Bares) 
Neste método as lajes têm os esforços de flexão e as flechas determinadas 
45 
 
segundo a Teoria das Placas, com base na teoria matemática da elasticidade. 
 
2.5.2.1 Pré-dimensionamento 
O pré-dimensionamento pelo método de Libânio é idêntico ao método de Czerny já 
apresentado anteriormente. 
2.5.2.2 Classificação 
No processo baseado nas tabelas de Libânio, assim como pelo método de Czerny, 
considera lajes retangulares sendo o menor lado lx e o maior ly. 
A classificação quanto a direção da armadura pode ser laje armada em uma direção ou 
laje armada em duas direções seguindo a equação = . Será adotado laje armada em duas 
direções se a razão entre ly e lx for menor que 2 e armada em uma direção caso a relação 
resulte em valor maior que 2. 
2.5.2.3 Cálculo dos momentos 
Os cálculos dos momentos serão obtidos por meio de tabelas, as tabelas 
empregadas nesse trabalho, foram baseadas nas de Bares (1972), com coeficiente de Poisson 
igual a 0,15. 
Segundo Bastos (2005) o emprego dessas tabelas é utilizado de forma, que 
obteremos valores de coeficientes tabelados. Os coeficientes tabelados , ′ , , ′ são 
adimensionais , sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões: 
 
= .
.
100
 
 
′ = ′ .
.
100
 
46 
 
= .
.
100
 
 
′ = ′ .
.
100
 
 
, ′ → çã ã 
, ′ → çã ã 
 
 
O fator de multiplicação depende de e é o mesmo para todos os casos. 
 
As tabelas de Libanio se diferenciam entre si de acordo com o tipo de vínculo 
existente nos bordos das lajes. As lajes a serem calculadas no presente trabalho terão todos os 
lados apoiados, logo a tabela a ser utilizada é a tipo 1. Os diferentes tipos de tabela para o 
cálculo dos momentos no método de Libanio, estão no anexo B 
Para o presente trabalho utilizamos o quadro 8 a seguir para calculo de lajes 
simplesmente apoiadas. 
47 
 
Quadro 8– Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores 
 
 Fonte: Bastos (2005, p. 108) 
 
2.5.3 Cálculo pelo método de Marcus 
Segundo (Araújo, 2003) “o método de Marcus é uma adaptação da denominada 
teoria das grelhas para o cálculo de placas. O método é destinado ao cálculo de lajes 
retangulares, sendo um método simplificado muito utilizado no projeto de lajes de concreto 
armado.” 
Considera-se, para exemplificar, a laje simplesmente apoiada nos quatro lados. A laje 
é submetida a uma carga uniformemente distribuída por unidade de área. (Figura 10) 
48 
 
 
Figura 10– Laje simplesmente apoiada nos quatro lados 
 
 Fonte:Araujo (2003). 
 
A carga total é dividida nas parcelas e , que correspondem às direções x e y, 
respectivamente, de tal forma que as flechas e no centro de cada faixa em um mesmo 
ponto sejam iguais (ARAUJO, 2003, p.67): 
= + 
 
=
5
384 .
 
 
=
5
384 .
 
 
= 
 
 
49 
 
Onde: 
 = módulo de elasticidade longitudinal do concreto 
 = momento de inércia da faixa de largura unitária 
Substituindo a equação e na equação = ,utilizando a equação do e definido a 
relação entre vãos como = / , pode-se escrever: 
= ; = 
 = ; = 1 − 
Utilizando a equação do e , é possível definir os momentos máximos nas direções 
x e y da seguinteforma: 
 = ; = 
 = ; = 
 
 Através desses cálculos obtemos o momento fletor positivo através das teorias das 
grelhas, no qual são maiores que o correto. Isso ocorre porque, na teoria das grelhas , a rigidez 
a torção da laje é desprezada. Então esse efeito de rigidez foi introduzido no método de 
Marcus, consequentemente, haverá uma redução nos momentos fletores (ARAUJO, 2003, p. 
70). 
Com isso os momentos fletores corrigidos, e , são dados por: 
= ; = 
Os coeficientes e dependem das condições de contorno e da relação entre os vãos da 
laje: 
= 1 − ; = 1 − 
Os coeficientes e dependem das condições de apoio nas duas direções e valem: 
50 
 
a) faixabiapoiada: = 8 
b) faixa engastada e apoiada: = 14,22 
c) faixabiengastada: = 24 
Os cálculos mostrados anteriormente podem-se se expandir para outros casos de 
condições de contorno. Os possíveis casos são mostrados na figura 11 e a sua formulação 
respectiva pode ser encontrada no quadro 9. 
 
Figura 11– condições de contorno lajes retangulares 
 
 Fonte: Araujo (2003, p. 72) 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
Quadro 9 – Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores 
 
 Fonte: Araújo (2003, p. 73) 
 
2.6 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS PARA TODOS OS MÉTODOS DE 
CÁLCULO MANUAL 
 Nos três cálculos manuais de lajes será utilizado a tabela do Kc/Ks para o cálculo 
da armadura nas duas direções. 
 Para a área de armadura é considerada a seção retangular com a base da laje de 
100cm sendo então bw = 100, e H=espessura total da laje, dx altura útil da armadura na 
direção principal e dy altura útil da armadura na direção secundária como mostra a figura 12. 
 
 
 
52 
 
 
 
Figura 12– Altura útil. 
 
 Fonte: Santos (2001). 
 
Sendo assim: 
= − . −
∅
2
 
= − . −
∅
2
− ∅ 
Sendo: 
c = cobrimento determinado pela NBR 6118:2014 de acordo com a classe de agressividade 
ambiental; 
∅ = diâmetro da armadura na direção x; 
∅ = diâmetro da armadura na direção y. 
 
 Conhecidos os momentos fletores característicos ( ), passa-se a determinação 
das armaduras. Esse dimensionamento é feito utilizando as Tabelas Gerais. 
Inicialmente, determina-se o momento fletor de cálculo, em kN.cm/m: 
 
= . , com = 1,4 
 
53 
 
Em seguida calcula-se o valor do coeficiente : 
 
=
.
, = 100 
 
Conhecidos o do concreto, o aço de , obtém-se, no quadro 10, o valor de . 
 
Quadro 10– Tabela Kc/Ks para cálculo do As 
 
 Fonte: Bastos (2005) 
54 
 
Calcula-se, então, a área da armadura necessária: 
 
=
.
→ =
.
 
 
2.7 ÁREA DE AÇO MÍNIMA 
Se faz necessário, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014, o cálculo da área de 
aço mínima para cada espessura e tamanho de laje. 
Depois de calculadas as armaduras para o eixo x e y, será feito a verificação 
quanto à área mínima de aço. 
, = 0,15%. . 
 
2.8 FLECHAS 
Semelhante as vigas, o estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF), 
definido pela ABNT NBR 6118:2014como o estado em que as deformações atingem os 
limites estabelecidos para a utilização normal, deve ser também verificado no caso das lajes 
de concreto. É recomendado que sejam usados os critérios, considerando a possibilidade de 
fissuração (estádio II). 
A verificação dos valores limites estabelecidos para a deformação da estrutura, 
deve ser realizada levando em consideração a presença da armadura, a existência de fissuras 
no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo. 
A deformação da estrutura depende também do processo construtivo, assim como 
das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à 
tração) no momento de sua efetiva solicitação. 
 
 
55 
 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 74) a avaliação da flecha nas lajes é feita 
de maneira aproximada, onde 
 
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço 
como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao 
longo do elemento estrutural possam ter as deformações específicas 
determinadas no estádio I, desde que os esforços não superem aqueles que 
dão início à fissuração, e no estádio II, em caso contrário. Deve ser utilizado 
no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs, sendo obrigatória a 
consideração do efeito da fluência. 
 
2.8.1 Verificação do Estádio 
De acordo com NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 124) a definição se haverá ou não 
fissuração na laje e a separação em estádio I e estádio II, é verificada através do momento de 
fissuração, que é obtido pela seguinte equação: 
=
. .
 
 
sendo: α − 1,5 para seções retangulares; 
= 0,3. com em Mpa. 
=
. ℎ
12
 
=
ℎ
2
 
onde: 
−distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada; 
−momento de inércia da seção bruta de concreto; 
−resistência à tração direta do concreto, com o quantil apropriado a cada verificação 
particular 
 
A verificação da existência de fissuras será feita comparando o maior momento 
positivo, em serviço, para combinação rara ( , = , ). 
Se , < , , não há fissuras e será usado estádio I. 
56 
 
Se , > , , haverá fissura e será usado estádio II. 
Para o momento fletor na laje, a ser comparado com o momento fletor de 
fissuração, deve ser considerada a combinação rara que trata das combinações de serviço, 
classificadas em quase permanentes, frequentes e raras. 
O cálculo da ação de serviço é feito segundo a equação: 
, = + . 
onde: 
−ações permanentes características; 
−fator de redução de combinação frequente para ELS (ver Tabela 11.2 da NBR 6118/14); 
−ações variáveis características. 
2.8.2 Flecha Imediata 
 
A flecha imediata pode ser obtida por meio das Tabelas de Pinheiro (1993), pela 
expressão: 
=
100
.
12
.
.
.
 
onde, 
−flecha imediata; 
−valor do carregamento na laje considerando a combinação quase permanente; 
−menor vão; 
−largura unitária da laje; 
−coeficiente tabelado em função de (Quadro 11); 
−rigidez da laje à flexão: 
Se , < , , → = ( ) quando houver fissuração 
Se , > , ,→ = . quando não há fissuração 
 
57 
 
Quadro 11– Tabela com coeficiente α para calculo da flecha 
 
Fonte: Bastos (2005) 
 
 
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 24) o e são calculados da seguinte 
forma: 
 (Módulo de Elasticidade Secante) 
= . (MPa) = 0,8 + 0,2. ≤ 1,0 
 
58 
 
 (Módulo de Elasticidade Inicial) 
= . 5600 para concretos C20 a C50; 
− 1,2 á 
− 1,0 
− 0,9 á 
− 0,7 . 
De acordo com NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 126) para uma avaliação aproximada 
da flecha imediata é utilizada a expressão a seguir: 
( ) =
,
+ 1 −
,
≤ 
−momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II, calculado com: 
Para o cálculo do momento de inércia no estádio II é necessário conhecer a posição da 
linha neutra que pode ser obtida a partir da equação: 
+
2
. −
2
= 0 
= → módulo de elasticidade do aço de armadura passiva 
→parâmetro em função da natureza do agregado que influência o módulo de elasticidade 
 
O momento de inércia no estádio II será: 
=
12
+
2
+ ( − ) 
 
≤ 
 
59 
 
 
2.8.3 Flecha Diferida no Tempo 
A flecha diferida no tempo é aquela que leva em conta o fato do carregamento atuar na 
estrutura ao longo do tempo, causando a sua deformação lenta ou fluência. 
 
=
∆
1 + 50 ′
 
onde: 
−
′
 
′ − área da armadura comprimida se existir; 
− largura da seção transversal; 
− altura útil; 
−coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabelaxx ou ser calculado 
pelas expressões seguintes: 
Δ = ( ) − ( ) 
( ) = 2 para (t)>70 meses 
 
Fonte: NBR 6118 (2014, p. 127) 
sendo: = tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
=idade, em meses, relativa a data de aplicação da carga de longa duração. 
 
60 
 
2.8.4 Flecha Total 
De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 127) o valor da flecha total deve ser 
obtido multiplicandoa flecha imediata por (1+ ). 
 
= 1 + 
 
As deformações devem ser verificadas para cargas de curta e longa duração, sendo 
para curta duração limitadas a: 
 
≤
500
 
 
Já para longa duração: 
≤
300
 
 
2.9 SOFTWARE EBERICK V10 
 O software foi desenvolvido com o objetivo de agilizar os lançamentos e 
detalhamentos estruturais. Através de diferentes níveis criados dentro do programa, é possível 
colocar a arquitetura de cada pavimento e efetuar o lançamento estrutural. O Eberick tem uma 
plataforma de fácil manuseio facilitando os lançamentos. Através da figura 13 podemos ver a 
parte do programa onde é realizado o lançamento da estrutura. 
61 
 
Figura 13– apresentação do Eberick v10 
 
 Fonte: elaborado pelos autores, 2017. 
 
O lançamento das lajes é realizado através da definição da espessura da laje e 
simplesmente clicando no interior de um contorno de vigas. As lajes podem ser consideradas 
apoiadas nas vigas do contorno, engastadas na laje adjacente ou ainda ter seus lados definidos 
como bordo livre, atendendo a maior parte das necessidades do projeto. 
 No Eberick estão disponíveis duas formas de cálculo para as lajes, uma delas 
dimensionando a laje pelos esforços máximos, considerando sempre uma mesma armadura ao 
longo de toda a laje, e outra considerando regiões de esforços, sendo que o programa passa a 
considerar regiões diferenciadas de armadura, reforçando a laje onde necessário. Com isso, 
em muitos casos é possível obter economia de armadura, reduzindo o custo da estrutura. 
 No dimensionamento das lajes, o Eberick também considera a atuação combinada 
dos momentos fletores e torsores (momentos Wood&Armer), cuja abordagem permite, por 
exemplo, detalhar a laje contemplando os esforços volventes em cantos de lajes, permitindo 
uma análise mais refinada das lajes do projeto. Em lajes com formatos irregulares, o efeito 
pode ser ainda mais pronunciado e a consideração dos momentos Wood&Armer ainda mais 
importante. 
62 
 
 Para análise das lajes o programa utiliza um modelo de grelha 3D formada pelo 
painel de vigas e lajes. O comportamento de grelha é mais preciso do que os modelos 
simplificados, pois permite uma melhor interação entre as deformações dos apoios das lajes 
em função da rigidez das vigas, o que proporciona uma melhor distribuição dos esforços. 
 
63 
 
3 CÁLCULOS MANUAIS E LANÇAMENTO NO SOFTWARE EBERICK 
Neste capitulo serão apresentados os calculo manuais e também o lançamento do 
Eberick para laje maciça com as espessuras pré determinada. 
 Para todos os métodos de cálculo manual serão utilizados os dados a seguir: 
Carga acidental = 1,5 KN/m² 
Carga de revestimento = 1,5 KN/m² 
Cobrimento = 2,5 cm 
 No presente trabalho calcularemos as lajes, nos diferentes métodos com 
espessuras de 9, 10, 11 e 12 cm respectivamente, portanto não necessitará ser feito o cálculo 
de pré-dimensionamento. 
3.1 CÁLCULO MANUAL PELO MÉTODO DE CZERNY 
 Calculam-se inicialmente os momentos positivos das lajes. Devido às lajes em 
nosso modelo estarem simplesmente apoiadas nos bordos, não irá gerar momentos negativos 
nas mesmas. A figura 14 representa o modelo estrutural adotado. 
Figura 14– representação dos momentos positivos com lajes biapoiadas 
 
Fonte: elaborado pelos autores 
Seguindo o roteiro descrito no capítulo 2 segue o cálculo: 
 
=
5,054
5,054
= 1,00 
64 
 
 
Com o resultado desta relação obtemos na tabela de Czerny para lajes Tipo 1 os 
valores de , . 
Para iniciar os cálculos, utiliza-se a carga total referente ao peso próprio, carga de 
revestimento e carga acidental: 
= (ℎ. 25 / )+ carga de revestimento + carga acidental 
= 2,25 + 1,5 + 1,5 = 5,25 / ² 
 
3.1.1 Cálculo dos momentos positivos na laje 
= . 
=
5,25.5,054²
22,7
= 5,91 . 
= 591 . 
= 591 . 
=
.
=
5,25.5,054²
22,7
= 5,91 . 
= 591 . 
= 0,591 . / 
3.1.2 Cálculo da área de aço 
= = 591 / ² 
= 591.1,4 = 827,4 . 
= ℎ − . −
∅8,0
2
 
65 
 
= 9 − 2,5 −
0,8
2
= 6,1 
= ℎ − . −
∅8,0
2
− ∅8,0 
= 9 − 2,5 −
0,8
2
− 0,8 = 5,3 
 
→Cálculo na direção x 
=
. ²
 
=
100.6,1²
827,4
= 4,50 
Tem-se o valor tabelado de . 
= 0,024 
Calcula-se então a área de armadura necessária: 
=
.
 
=
0,024.827,4
6,1
= 3,25 / 
→ Cálculo na direção y 
=
. ²
 
=
100.5,3²
827,4
= 3,90 
Tem-se o valor tabelado de . 
= 0,025 
Calcula-se então a área de armadura necessária: 
66 
 
=
.
 
=
0,025.827,4
5,3
= 3,90 / 
3.1.3 Área de aço mínima 
Logo para a laje com 9cm de espessura temos: 
 
, =
0,15
100
. 100.9 = 1,35 ² 
 
3.1.4 Cálculo da flecha 
A flecha é obtida a partir do cálculo da deformação da laje sendo limitada para que 
não exceda o valor máximo permitido por norma. Segue abaixo cálculo da flecha para laje de 
9cm. 
Da tabela tipo 1 do cálculo da flecha temos: 
= 4,76 
Verificação a fissuração: 
, = , = 567,00 . 
=
. .
 
α = 1,5 para seções retangulares 
=
. ℎ
12
=
100. 9
12
= 6075 
=
ℎ
2
=
9
2
= 4,5 
= 0,3. = 0,3. 30 = 2,90 = 0,29 / ² 
67 
 
=
1,5.0,29.6075
4,5
= 587,25 . 
 
, > , , = . , não há fissuração. 
 
Para o cálculo da flecha se considera a carga de ação de serviço como pode ser visto a 
seguir: 
, = + . 
, = 3,75 + 0,3.1,5 = 4,2 / ² 
O módulo de elasticidade multiplicado pelo momento de inércia fornece a rigidez a 
flexão da laje: 
= . 
= . 
= . 5600 = 1.5600√30 = 30672,46 
= 0,8 + 0,2.
80
= 0,8 + 0,2.
30
80
= 0,875 
= . = 30672,46.0,875 = 26838,40 
=
. ℎ
12
=
100. 9
12
= 6075 
= 26838,40.6075.
1
10
= 16304331,23 . ² 
A flecha imediata na laje será: 
=
100
.
12
.
.
.
 
=
4,76
12
.
0,00042. 505,4
16304331,23
= 0,67 
68 
 
A flecha diferida no tempo será: 
Δ = 2,00 − 0,68 = 1,32 
A flecha total na laje será: 
= 1 + = 0,67. (1 + 1,32) = 1,55 
Verificação a deformação limite: 
≤
300
=
500
300
= 1,67 → 
 
3.1.5 Resultados das lajes pelo método de CZERNY 
Como já foi mostrado o procedimento de cálculo para laje de 9cm será adotado como 
padrão neste trabalho a apresentação dos resultados de todas as lajes por meio de quadros. 
A seguir tem-se os resultados das lajes de 9cm até 12cm calculadas pelo método de 
Czerny e as flechas calculadas segundo a NBR6118 : 2014. 
 
Quadro 12– Resultados de cálculo das lajes pelo método de CZERNY 
Método Manual por CZERNY 
Lajes Momentos(KN.cm) 
As 
(cm²/m) 
d' 
(cm) 
Asmin 
(cm²/m) 
Flecha Total 
(cm) 
9cm 
mx = 591 Asx = 3,25 6,1 1,35 
1,55 my = 591 Asy = 3,90 5,3 1,35 
10cm 
mx = 620 Asx = 2,93 7,1 1,5 
1,20 my = 620 Asy = 3,44 6,3 1,5 
11cm 
mx = 650 Asx = 2,69 8,1 1,65 
0,96 my = 650 Asy = 3,29 7,3 1,65 
12 
cm 
mx = 680 Asx = 2,51 9,1 1,9 
0,78 my = 680 Asy = 2,75 8,3 1,9 
Fonte: elaborado pelos autores 
 
 
 
69 
 
3.2 CÁLCULO MANUAL PELO MÉTODO DE LIBANO 
Seguindo o roteiro pelo método de Libânio segue os cálculos: 
 
= =
5,054
5,054
= 1,00 
 
= 1,00 ≤ 2,00 → çõ . 
Com o resultado desta relação obtemos na tabela de Libânio para lajes Tipo 1 os valores de 
 . 
= 4,23 
= 4,23 
Para iniciar o cálculo, utiliza-se a carga total referente ao peso próprio, carga de revestimento 
e carga acidental: 
= (ℎ. 25 / )+ carga de revestimento + carga acidental 
= 2,25 + 1,5 + 1,5 = 5,25 / ² 
3.2.1 Cálculo dos momentos na laje 
= .
.
100
 
= 4,23.
5,25. (5,054 )
100
= 5,67 / ² = 567 / ² 
= .
.
100
 
= 4,23.
5,25. (5,054 )
100
= 5,67 / ² = 567 / ² 
70 
 
3.2.2 Cálculo das armaduras 
= = 567 / ² 
= 1,4.567 = 793,8 / ² 
= ℎ − . −
∅8,0
2
 
= 9 − 2,5 −
0,8
2
= 6,1 
= ℎ − . −
∅8,0
2
− ∅8,0 
= 9 − 2,5 −
0,8
2
− 0,8 = 5,3 
→Cálculo na direção x 
=
. ²
 
=
100.6,1²
793,8
= 4,687 
Tem-se o valor tabelado de . 
= 0,025 
Calcula-se então a área de armadura necessária: 
=
.
 
=
0,025.793,8
6,1
= 3,25 / 
→ Cálculo na direção y 
=
. ²
 
=
100.5,3²
793,8
= 3,539 
71 
 
Tem-se o valor tabelado de . 
= 0,025 
Calcula-se então a área de armadura necessária: 
=
.
 
=
0,025.793,8
5,3
= 3,74