「lista_Exercicios_1」

Prévia do material em texto

3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 1/16
lista_Exercicios_1
 Resolução primeira lista de exercícios
Author: Felipe J. O. Ribeiro (11711EAR012)
 1 - primeira questão
Temos a equação da velocidade: 
Separando as componentes:
Para calcular a aceleração fazemos a derivada total: 
Separando as componentes:
Onde observamos o termo da velocidade local no primeiro termo após a igualdade e os termos convectivos adiante.
=V 4tx −i 2t y +2 j 4xzk
u = 4tx
v = −2t y2
w = 4xz
=A =
Dt
DV
 +∂t
∂V u +∂x
∂V v +∂y
∂V w ∂z
∂V
A =x +∂t
∂u u +∂x
∂u v +∂y
∂u w ∂z
∂u
A =y +∂t
∂v u +∂x
∂v v +∂y
∂v w ∂z
∂v
A =z +∂t
∂w u +∂x
∂w v +∂y
∂w w ∂z
∂w
A =x 4x + u4t + v0 + w0 = 4(x + ut) = 4(x + 4txt) = 4x(1 + 4t )2
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 2/16
O que nos dá o campo de aceleração �nal:
 2 - Segunda questão
Assume-se que só está em função de y.
Temos um campo de velocidade igual a 
Separando as componentes:
Temos um �uido incompressível, logo temos:
Assim, aplicando as componentes:
A =y −4ty + u0 − 2vt +2 w0 = −2t(2y + vt) = −2t(2y − 2t y) =3 −4ty(1 − t )3
A =z 0 + u4z + v0 + w4x = 4(uz + wx) = 4(4txz + 4x z) =2 16xz(t + x)
=A 4x(1 + 4t ) −2 i 4ty(1 − t ) +3 j 16xz(t + x)k
f(y)
=V 4xy +2i f(y) −j zy2k
u = 4xy2
v = f(y)
w = −zy2
∙∇ =V +∂x
∂u
 +∂y
∂v
 =∂z
∂w 0
 (4xy ) +∂x
∂ 2
 +∂y
∂f(y)
 (−zy ) =∂z
∂ 2 0
4y +2 −∂y
∂f(y)
y =2 0
 =∂y
∂f(y) −3y2
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 3/16
Integrando em y em ambos os lados:
Em que é uma constante numérica.
 3 - terceira questão
Assumi-se um escoamento bidimensional, com .
Temos:
Para calcular o vetor aceleração, calculamos a derivada total bidimensional
Separando em componentes:
Substituindo na expressão:
f(y) = −y +3 C
C
w = 0
u = x
L
U o
v = − y
L
U o
=A =
Dt
DV
 +∂t
∂V u +∂x
∂V v ∂y
∂V
A =x +∂t
∂u u +∂x
∂u v ∂y
∂u
A =y +∂t
∂v u +∂x
∂v v ∂y
∂v
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 4/16
Isso nos dá um vetor aceleração igual a 
Podemos ver que é puramente proporcional a x, e o mesmo vale pra . Dessa forma, os vetores sempre apontam na direção da origem, o que descreve um campo
vetorial puramente radial.
Para:
A partir disto temos:
 4 - quarta questão
A =x 0 + u +L
U o 0 = x 
L2
U o
2
A =y 0 + 0 − v =L
U o −y 
L2
U o
2
=A x −
L2
U o
2
i y 
L2
U o
2
j
A x A y
L = 1, 5
∣ (1, 1)∣ =A 25
=A + A x2 y2 25
=( ) + (− )1,52
U o
2
2
1.52
U o
2
2 25
=2 1,54
Uo
4
25
( ) =1,5
U o 4
 2
252
 =1,5
U o ± 4 2
252
U =o ± =
 
4 2
7,5 ±6, 3067
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 5/16
Sabemos que:
Fluido incompressível.
regime permanente(nada em função do tempo), laminar.
bidimensional(w=0).
Função corrente = 
Podemos seguir a de�nição da função corrente para obter as velocidades:
O que nos dá o campo vetorial de velocidades em coordenadas polares de:
ψ = (V r sin θ)(r − )
r
a2
v =r =r
1
∂θ
∂ψ
 (V r sin θ −
r
1
∂θ
∂ 2 V sin θa )2
v =r (V r cos θ −r
1 2 V a cos θ) =2 (r −
r
V cos θ 2 a )2
v =θ − =∂r
∂ψ − (V r sin θ −∂r
∂ 2 V sin θa )2
v =θ −2V r sin θ
=V (r −
r
V cos θ 2 a ) −2 u r̂ 2V r sin θ u θ̂
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 6/16
 5 - quinta questão
Sabemos que:
Escoamento em regime permanente (laminar).
Escoamento incompressível.
Regime bidimensional ( ).
Para achar a função corrente, podemos usar sua de�nição formal:
w = 0
=V V 
h
y i
ψ(x, 0) = 0
u = ∂y
∂ψ
v = − ∂x
∂ψ
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 7/16
Dessa forma, temos:
Isso nos permite dizer que:
I : 
II : 
Comparando as equações chegamos à conclusão de que:
Em que C é uma constante. Nesse momento podemos aplicar . Que resulta em:
Assim, a função corrente pode ser de�nida como:
Vemos que ela só aumenta com o aumento de o que indica um �uido que corre para a direita ( positivo). Outra observação interessante é que a função não varia em , o
que aponta que todas as linhas de corrente estão na horizontal.
Para o cálculo da função de potência, podemos partir também de sua de�nição formal bidimensional:
Dessa forma, aplicando o que sabemos:
 =∂y
∂ψ
V 
h
y
 =∂x
∂ψ 0
ψ(x, y) = V +2h
y2 f(x)
ψ(x, y) = 0 + f(y)
ψ(y) = V +2h
y
2
C
ψ(x, 0) = 0
ψ(0) = V +2h
02 C = 0 → C = 0
ψ(y) = V 2h
y2
y x x
u = ∂x
∂ϕ
v = ∂y
∂ϕ
 =∂x
∂ϕ V 
h
y
 =∂y
∂ϕ 0
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 8/16
Com isso, podemos concluir:
Com isso podemos ver que que equação de Laplace é verdadeira para esse caso :
Isso nos diz que o escoamento é irrotacional.
 6 - sexta questão
A partir da equação potencial, podemos achar as equações da velocidade fazendo derivadas parciais:
Dessa forma, podemos achar a função de corrente a partir de sua de�nição formal:
 =∂x2
∂ ϕ2 0
 =∂y2
∂ ϕ2 0
 +∂x2
∂ ϕ2
 =∂y2
∂ ϕ2 0
 =∂x
∂ϕ u = y + 2x
 =∂y
∂ϕ
v = x − 2y
 =∂y
∂ψ
u = y + 2x
 =∂x
∂ψ −v = 2y − x
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 9/16
Assim, integrando ambos, podemos obter:
Derivando ambas de forma cruzada obtemos:
O que resulta em:
Que quando integrados nos dá:
Assim, nossa função de corrente pode ser desenvolvida:
O que faz sentido, temos também :
Para acharmos a equação de linha de corrente que passa pelo ponto basta acharmos o valor da função para esse ponto:
ψ(x, y) = +2
y2 2xy + f(x)
ψ(x, y) = 2xy − +2
x2 g(y)
 =∂x
∂ψ 2y + f(x) =′ 2y − x
 =∂y
∂ψ 2x + g(y) =′ y + 2x
f(x) =′ −x
g(y) =′ y
f(x) = − +2
x2 C 1
g(y) = +2
y2
C 2
ψ(x, y) = +2
y2 2xy − +2
x2 C 1
ψ(x, y) = 2xy − +2
x
2
 +2
y
2
C 2
C =1 C =2 C
ψ(x, y) = 2xy − +2
x
2
 +2
y2
C
(2, 1)
ψ(2, 1) = 2 ∗ 2 ∗ 1 − +2
22
 +2
12 C
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 10/16
Assim, a equação dessa linha de corrente é igual a:
Creio que não haja informações o su�ciente para descrever .
 7 - sétima questão
O que sabemos:
Regime permanente implica em escoamento laminar.
Bidimensional implica em .
Sendo incompressível, a equação da continuidade é nula.
ψ(2, 1) = 2 ∗ 2 ∗ 1 − +2
22
 +2
12 C = 4 − 2 + 0, 5 = 2, 5
2xy − +2
x2
 =2
y
2
2, 5 − C
C
w = 0
u = V cosα
v = V sinα
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 11/16
Para achar a função de corrente podemos usar da de�nição formal:
Assim, temos:
Integrando ambos:
Derivando de forma cruzada:
E integrando:
Substituindo nas funções de corrente:
Vemos que a solução faz sentido, e que . Isso nos dá uma função de corrente como segue:
u = ∂y
∂ψ
v = − ∂x
∂ψ
 =∂y
∂ψ V cosα
 =∂x
∂ψ −V sinα
ψ(x, y) = yV cosα + f(x)
ψ(x, y) = −xV sinα + g(y)
 =∂x
∂ψ
f(x) =′ −V sinα
 =∂y
∂ψ
g(y) =′ V cosα
f(x) = −V x sinα + C 1
g(y) = V y cosα + C 2
ψ(x, y) = yV cosα − V x sinα + C1
ψ(x, y) = −xV sinα + V y cosα + C 2
C =1 C =2 C
ψ(x, y) = V (y cosα − x sinα) + C
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 12/16
 8 - oitava questão
 
Sabemos:
 na parede.
 longe da parede é um valor positivo.
Considera-se o escoamento bidimensional ( ).
Considera-se o �uido Newtoniano e incompressível.
Considerando o comportamento do �uido com a função corrente, como podemos ver nesse recorte do livro do White:
ψ(x, y) = 0
ψ(x, y) = 0
w = 0
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 13/16
A função corrente aumenta em uma linha perpendicular ao �uido que caminha com o sentido do �uido para a direita. Com isso, podemos fazer uma análise grá�ca na imagem
da questão:
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 14/16
Podemos ver que a extremidade da bolha encosta na parede, o que torna o valor de sua função corrente igual a zero. Dessa forma, a bolha �ca cercada por um contorna de
valor de função corrente igual a zero. Também podemos ver com uma das setas que o valor da função corrente diminui dentro da bolha ao se aproximar do seu centro,
tornando todos os valores ali dentro negativos uma vez que teriam de ser menoresque zero. O centro dessa bolha passa a ser o ponto onde ocorre a mínima função corrente
em todo o escoamento da imagem. A seta invertida na parte inferior da bolha também nos indica que a função corrente aumenta do centro dela em direção da parede.
 9 - nona questão
Temos um escoamento turbulento de comportamento estatisticamente permanente.
O escoamento é bidimensional ( ).w = 0
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 15/16
O escoamento é compressível.
O bloco na imagem é um quadrado de tamanho 1.
Linhas de corrente disponíveis para análise.
Fluido é ar a temperatura ambiente ( ).
Podemos desenhar as linhas de velocidade ao observarmos mais uma vez o princípio das linhas de corrente a seguir:
Observamos que a linha de corrente de valor igual a é a menor de todas, assim, a velocidade roda em torno de seu centro no sentido horário segundo a convenção das linhas
de corrente. Isso nos permite fazer a estimativa da direção da velocidade nos dois pontos:
ρ = 1.18kg/m2
ψ(x, y)[kg/ms]
1
3/18/2021 「lista_Exercicios_1」
127.0.0.1:8326/page/1 16/16
Para estimar a velocidade do vento no Ponto assumimos um escoamento regular entre as duas linhas de corrente. A diferença entre as linhas nos fornece o �uxo de massa
dividido pela distância entre as linhas:
B
V =B ρWδ
ṁ