ESTO001_CircuitoseFotonica_A06 (1)

Prévia do material em texto

ESTO001 - Circuitos Elétricos e Fotônica
Capacitor e Circuito RC ;
Indutor e Circuito RL 
Fundação Universidade Federal do ABC – UFABC
Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas – CECS
Prof. Dr. Anderson Leonardo Sanches
anderson.sanches@ufabc.edu.br
2020 Santo André - SP 1
Capacitor e Circuito RC 
2020 Santo André - SP 2
❑ Conceito de elemento 
armazenador de energia eletrostática
❑Relação tensão/corrente, potência 
e energia
❑Associação de capacitores
❑Circuito RC livre 
Capacitância
2020 Santo André - SP 3
❑ Capacitor: bipolo passivo que armazena energia em seu 
campo elétrico 
❑ Propriedade: Capacitância C
❑ Duas placas condutoras separadas por um 
isolante (ou dielétrico – di = oposição)
Dielétrico com 
permissividade ε=εr.ε0
Placas metálicas 
com área A
q Cv=
A
C
d
=
F, mF, F, pF
ε0= 8,85.10
-12 F/m
r = constante dielétrica
Permissividade do dielétrico 
2020 Santo André - SP 4
E
V
d
=
Campo elétrico criado 
pela tensão aplicada
Campo elétrico devido aos 
dipolos induzidos no isolante
dipolos
Material polarizado
'
arE EE= −
Menor que Ear devido à inserção 
do dielétrico
Carga adicional pode ser 
acumulada nas placas
V/m
q A
C
V d


= = 
Capacitor
2020 Santo André - SP 5
Características do Capacitor
2020 Santo André - SP 6
❑ Corresponde a um circuito aberto para corrente contínua
(dv/dt = 0 → i=0 )
❑ Sua tensão não pode variar abruptamente
❑Energia armazenada no capacitor sob forma 
eletrostática (só depende da tensão)
2
2
1
vCw =
Associação de Capacitores - Paralelo
2020 Santo André - SP 7
Neq CCCC +++= ...21
1 2 ...t NQ Q Q Q= + + +
Associação de Capacitores - Série
2020 Santo André - SP 8
Neq CCCC
1
...
111
21
+++=
1 2 ...t NQ Q Q Q= = = =
Exemplo 1
2020 Santo André - SP 9
A corrente através de um capacitor de 100 F é: 
i(t) = 50 sen(120πt) [mA,s]. 
Calcule a tensão v(t) através do capacitor em t =1 ms e t = 5 ms.
Considere que o capacitor está descarregado em t=0, isto é: v(0) =0.
Resp.: v(1)=0,093V; v(5)=1,74V 
Exemplo 2
2020 Santo André - SP 10
Um capacitor de 1mF inicialmente descarregado, é atravessado pela corrente 
indicada na figura. 
Calcule a tensão no capacitor e a energia armazenada no mesmo em t = 2 ms e t = 
5 ms. 
Resp.: v(2)=0,1V; w(2)=5J
v(5)=0,4V; w(5)=80J
Exemplo 3
2020 Santo André - SP 11
Determinar a capacitância equivalente do circuito da figura abaixo. 
Resp.: Ceq= 40F
F
Exemplo 4
2020 Santo André - SP 12
Determinar as tensões v1, v2, v3 e v4 nos terminais dos capacitores da figura 
abaixo.
Resp.: v1=30V; v2=30V; v3=10V; v4=20V
Circuito RC
2020 Santo André - SP 13
Aplicação da 1ª. Lei de Kirchhoff →
equação diferencial de primeira ordem
Respostas exponenciais
0R Ci i+ =
( ) ( )
0
v t dv t
C
R dt
+ =
Energia inicial 
no capacitor: 
2
0
1
2
w Cv=
Resposta Livre do Circuito RC
2020 Santo André - SP 14
❑ A constante de tempo  do circuito é o tempo requerido 
para que a resposta decaia de um fator de 1/e ou 
36,8% de seu valor inicial
❑ v decai mais rápido para  menor e mais lentamente 
para  maior.
Constante de Tempo  = RC
Resposta Livre do Circuito RC
2020 Santo André - SP 15
❑Todas as respostas do circuito terão o mesmo 
comportamento exponencial, com a mesma 
constante de tempo.
❑A energia inicialmente armazenada no campo 
elétrico do capacitor é dissipada totalmente em 
forma de calor (Efeito Joule) no resistor.
❑O capacitor “atua” como gerador, pois a tensão 
e a corrente estarão fisicamente no mesmo 
sentido.
❑Todas as respostas tenderão a zero para t→.
Resolução do Circuito RC Livre
2020 Santo André - SP 16
−= /0)(
teVtv CR=onde
1. Determinar a tensão inicial no 
capacitor v(0) = V0
2. Determinar a constante de tempo do 
circuito  = Req.Ceq
(o circuito poderá ser composto por 
vários resistores e vários capacitores 
que poderão ser associados num 
único Req e num único Ceq)
3. Calcular as outras respostas de 
interesse a partir de v(t)
Resolução do Circuito RC Livre
2020 Santo André - SP 17
−= /0)(
teVtv CR=onde
1. Determinar a tensão inicial no 
capacitor v(0) = V0
2. Determinar a constante de tempo do 
circuito  = Req.Ceq
(o circuito poderá ser composto por 
vários resistores e vários capacitores 
que poderão ser associados num 
único Req e num único Ceq)
3. Calcular as outras respostas de 
interesse a partir de v(t)
Exemplo 5
2020 Santo André - SP 18
Determine as tensões vC, vx, e a corrente io para t ≥ 0, no circuito da figura, 
supondo que vC(0) = 30 V.
Resp.: [V,s] 
0,25( ) 30 tCv t e
−=
0,25( ) 10 txv t e
−=
0,25
0 ( ) 2,5
ti t e−= − [A,s] 
[V,s] 
Exemplo 6
2020 Santo André - SP 19
A chave no circuito da figura estava fechada há muito tempo e abre em t=0, 
deixando livre o circuito RC. Determine a tensão v(t) para t ≥ 0.
Resp.: [V,s]
2( ) 8 tv t e−=
Indutor e Circuito RL
2020 Santo André - SP 20
❑Conceito de elemento armazenador de 
energia magnética
❑Relação tensão/corrente, potência e 
energia
❑Associação de indutores
❑Circuito RL livre 
Indutância
2020 Santo André - SP 21
comprimento l
área transversal A
Material do núcleo permeabilidade 
magnética μ=μr.μ0
Número de espiras N
❑ Indutor: bipolo passivo que armazena energia em seu 
campo magnético
❑Propriedade: Indutância L
❑ Bobina de fio condutor de várias espiras
l
AN
L

=
2
H, mH, H
μ0=4π.10
-7 H/m
Indutância
2020 Santo André - SP 22
Linhas de campo magnético
Materiais Magnéticos → compostos 
por domínios magnéticos
desmagnetizado
magnetizado
aumento do fluxo magnético
Atravessam todas as 
substâncias e o vácuo!
extB
Indutância
2020 Santo André - SP 23
0
Características do Indutor
2020 Santo André - SP 24
❑ Corresponde a um curto circuito para corrente contínua
(di/dt = 0 → v=0 )
❑ Sua corrente não pode variar abruptamente
❑ Energia armazenada no indutor sob forma magnética 
(só depende da corrente)
2
2
1
iLw =
Associação de Indutores - Série
2020 Santo André - SP 25
Neq LLLL +++= ...21
Associação de Indutores - Paralelo
2020 Santo André - SP 26
Neq LLLL
1
...
111
21
+++=
Bipolos Elementares Passivos
2020 Santo André - SP 27
27
Exemplo 7
2020 Santo André - SP 28
A tensão nos terminais de um indutor de 2H é dada por:
v(t) = 10(1-t) [V,s] 
Determine a corrente que flui no indutor em t=4s, assumindo que i(0) = 2A e 
calcule a energia que foi armazenada no elemento no intervalo 0 < t < 4 s.
Resp.: i(4) = -18A; W=320J
Exemplo 8
2020 Santo André - SP 29
Determine os valores de vC e iL nas condições de corrente contínua do circuito 
abaixo.
Calcule as energias armazenadas no indutor e no capacitor. 
Resp.: vC = 3V; iL=3A;
WC= 9J; WL=1,125J
Exemplo 9
2020 Santo André - SP 30
Determine o valor da indutância equivalente do circuito em escada da figura 
abaixo.
Resp.: Leq=25mH
Circuitos RL
2020 Santo André - SP 31
Energia 
inicialmente 
armazenad
a no 
indutor:
2
0
1
2
w Li=
0R Lv v+ =
( )
( ) 0
di t
Ri t L
dt
+ =
Aplicação da 
2ª. Lei de 
Kirchhoff →
equação 
diferencial de 
primeira ordem
Resposta Livre do Circuito RL
2020 Santo André - SP 32
−= /0)(
teIti
R
L
=Constante de 
tempo:
Tangente em t=0
Circuito RL – Aspectos Físicos
2020 Santo André - SP 33
Resolução do Circuito RL Livre
2020 Santo André - SP 34
1. Determinar a corrente inicial no indutor
i(0) = I0
2. Determinar a constante de tempo do 
circuito  = Leq/Req
(o circuito poderá ser composto por 
vários resistores e vários indutores
que poderão ser associados num 
único Req e num único Leq)
3. Calcular as outras respostas de 
interesse a partir de i(t)
/
0)(
teIti −=
R
L
=onde 
Exemplo 10
2020 Santo André - SP 35
No circuito da figura, determine i(t) e vx(t) para t>0, supondo i(0) = 5A.
Resp.: [A,s] 
23( ) 5 ti t e−=
23( ) 15 txvt e
−= − [V,s] 
Exemplo 11
2020 Santo André - SP 36
No circuito da figura, a chave estava fechada há muito tempo e abre em t=0. 
Determine i0(t) para t>0.
Resp.: [A,s] 3
0 ( ) 1,41
ti t e−=