PASSEI DIRETO - MAT PASSO A PASSO - CILINDROS 1

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NÃO FAÇA PIRATARIA DENUNCIE: blog@professortiagomachado.com 
LEI Nº 9.610, DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998 
 
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 1. (Pucsp 2018) Considere um cilindro reto de área la-
teral igual a 64𝜋 𝑐𝑚2 e um cone reto, com volume igual 
a 128𝜋 𝑐𝑚3, cujo raio da base é o dobro do raio da base 
do cilindro. 
 
Sabendo que a altura do cone é 2 𝑐𝑚 menor do que a 
altura do cilindro, e que a altura do cilindro é um número 
inteiro, a área lateral desse cone é 
 
a) 100 𝜋 𝑐𝑚2. 
b) 80𝜋 𝑐𝑚2. 
c) 64𝜋 𝑐𝑚2. 
d) 40𝜋 𝑐𝑚2. 
 
2. (Uece 2018) A medida, em 𝑚2, da área da superfície 
total (área lateral e bases) de um cilindro circular reto tal 
que a medida da altura e a medida do raio da base são 
ambas iguais a 2 𝑚 é 
 
a) 14 𝜋. 
b) 12 𝜋. 
c) 16 𝜋. 
d) 10 𝜋. 
 
3. (Famema 2017) Um cilindro circular reto 𝐴, com raio 
da base igual a 6 𝑐𝑚 e altura 𝐻, possui a mesma área 
lateral que um cilindro circular reto 𝐵, com raio da base 
𝑟 e altura ℎ, conforme mostram as figuras. 
 
 
 
Sabendo que 
ℎ
𝐻
= 1,2 e que o volume do cilindro 𝐵 é 
240𝜋 𝑐𝑚3, é correto afirmar que a diferença entre os vo-
lumes dos cilindros é 
 
a) 50 𝜋 𝑐𝑚3. 
b) 42 𝜋 𝑐𝑚3. 
c) 45 𝜋 𝑐𝑚3. 
d) 48 𝜋 𝑐𝑚3. 
e) 37 𝜋 𝑐𝑚3. 
 
4. (Upf 2017) Um tonel está com 30% da sua capaci-
dade preenchida por um certo combustível. Sabendo 
que esse tonel tem diâmetro de 60 𝑐𝑚 e altura de 
600
𝜋
 𝑐𝑚, a quantidade de combustível contida 
nesse tonel, em litros, é 
 
 
 
 
a) 1,62 
b) 16,2 
c) 162 
d) 180 
e) 162.000 
 
5. (Pucsp 2017) O volume de um cilindro de 
8 𝑐𝑚 de altura equivale a 75% do volume de 
uma esfera com 8 𝑐𝑚 de diâmetro. A área late-
ral do cilindro, em 𝑐𝑚2, é 
 
a) 42√2𝜋 
b) 36√3𝜋 
c) 32√2𝜋 
d) 24√3𝜋 
 
6. (Uemg 2017) Observe as figuras. 
 
 
 
 
 
Nas figuras acima, tem-se um cilindro circular 
equilátero (𝑆1), circunscrevendo um cone (𝑆2), 
e um cilindro circular oblíquo (𝑆3). A razão de-
terminada pelo volume de 𝑆3 com a superfície 
total de 𝑆2 é 
 
a) 
√5−1
4
 𝑐𝑚. 
b) √5 − 1 𝑐𝑚. 
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c) 
√5+16
4
 𝑐𝑚. 
d) √5 + 16 𝑐𝑚. 
 
7. (Imed 2016) Um reservatório de água tem o formato 
de um cilindro reto de volume igual a 54𝜋 𝑚3. Supondo 
que esse cilindro está inscrito em um cubo de aresta 
igual ao dobro do raio, o volume desse cubo, em 𝑚3, é 
igual a: 
 
a) 108. 
b) 144. 
c) 216. 
d) 225. 
e) 343. 
 
8. (Eear 2016) Um cilindro de 18 𝑐𝑚 de altura e raio da 
base igual a 5 𝑐𝑚 contém água até a metade de sua 
altura. Por algum motivo, houve necessidade de despe-
jar essa água em outro cilindro com 40 𝑐𝑚 de altura, 
cujo raio da base mede 4 𝑐𝑚. 
 
 
 
 
 
Considerando 𝜋 = 3, o valor que mais se aproxima da 
altura atingida pela água no segundo cilindro é 
 
a) 14 𝑐𝑚 
b) 16 𝑐𝑚 
c) 20 𝑐𝑚 
d) 24 𝑐𝑚 
 
9. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a pre-
sença de silos para armazenamento e secagem da pro-
dução de grãos, no formato de um cilindro reto, sobre-
posta por um cone, e dimensões indicadas na figura. O 
silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em cami-
nhões de carga cuja capacidade é de 20 𝑚3. Uma re-
gião possui um silo cheio e apenas um caminhão para 
transportar os grãos para a usina de beneficiamento. 
 
 
 
 
 
Utilize 3 como aproximação para 𝜋. 
 
O número mínimo de viagens que o caminhão 
precisará fazer para transportar todo o volume 
de grãos armazenados no silo é 
 
a) 6. 
b) 16. 
c) 17. 
d) 18. 
e) 21. 
 
10. (Pucrj 2015) O volume do sólido gerado 
pela rotação de um quadrado de lado 3𝑐𝑚 em 
torno de um dos seus lados é, em 𝑐𝑚3: 
 
a) 3𝜋 
b) 6𝜋 
c) 9𝜋 
d) 18𝜋 
e) 27𝜋 
 
11. (Enem PPL 2015) Uma fábrica brasileira de 
exportação de peixes vende para o exterior 
atum em conserva, em dois tipos de latas cilín-
dricas: uma de altura igual a 4 𝑐𝑚 e raio 6 𝑐𝑚, e 
outra de altura desconhecida e raio de 3 𝑐𝑚, 
respectivamente, conforme figura. Sabe-se que 
a medida do volume da lata que possui raio 
maior, 𝑉1, é 1,6 vezes a medida do volume da 
lata que possui raio menor, 𝑉2. 
 
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A medida da altura desconhecida vale 
 
a) 8 𝑐𝑚. 
b) 10 𝑐𝑚. 
c) 16 𝑐𝑚. 
d) 20 𝑐𝑚. 
e) 40 𝑐𝑚. 
 
12. (Cefet MG 2015) Na figura a seguir, ABCD é um re-
tângulo inscrito em um setor circular de raio 𝑅 com 𝐴𝐵 =
2
3
 𝑅 . 
 
 
 
 
 
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação 
desse retângulo em torno de um eixo que contenha o 
segmento 𝐴𝐷, em função de 𝑅, é igual a 
 
a) 
√5𝜋𝑅3
3
. 
b) 
8𝜋𝑅3
9
. 
c) 
4√5𝜋𝑅3
27
. 
d) 
10𝜋𝑅3
49
. 
e) 
5√5𝜋𝑅3
54
. 
 
13. (Unifor 2014) Um posto de combustível inaugurado 
recentemente em Fortaleza usa tanque subter-
râneo que tem a forma de um cilindro circular 
reto na posição vertical como mostra a figura 
abaixo. O tanque está completamente cheio 
com 42𝑚3 de gasolina e 30𝑚3 de álcool. Consi-
derando que a altura do tanque é de 12 metros, 
a altura da camada de gasolina é: 
 
 
 
 
a) 6𝑚 
b) 7𝑚 
c) 8𝑚 
d) 9𝑚 
e) 10𝑚 
 
14. (Unifor 2014) Parte do líquido de um cilindro 
circular reto que está cheio é transferido para 
dois cones circulares retos idênticos de mesmo 
raio e mesma altura do cilindro. Sabendo-se 
que os cones ficaram totalmente cheios e que o 
nível da água que ficou no cilindro é de 3𝑚, a 
altura do cilindro é de: 
 
a) 5𝑚 
b) 6𝑚 
c) 8𝑚 
d) 9𝑚 
e) 12𝑚 
 
15. (Uea 2014) As figuras mostram um cilindro 
reto 𝐴, de raio da base 𝑟, altura ℎ e volume 𝑉𝐴, e 
um cilindro reto 𝐵, de raio da base 2𝑟, altura 2ℎ 
e volume 𝑉𝐵, cujas superfícies laterais são re-
tângulos, de áreas 𝑆𝐴 e 𝑆𝐵. 
 
 
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Nesse caso, é correto afirmar que 
𝑆𝐴
𝑆𝐵
 e 
𝑉𝐴
𝑉𝐵
 valem, respec-
tivamente, 
 
a) 
1
4
 e 
1
8
 
b) 
1
2
 e 
1
6
 
c) 
1
4
 e 
1
6
 
d) 
1
2
 e 
1
2
 
e) 
1
2
 e 
1
4
 
 
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 Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Considerando 𝑟 o raio da base do cilindro, ℎ a altura do 
cilindro e que a área lateral do cilindro é 64𝜋, temos: 
2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ = 64 ⋅ 𝜋 ⇒ 𝜋 ⋅ ℎ = 32 (Equação 1). 
 
Considerando, agora, que 2𝑟 é o raio da base do cone, 
ℎ − 2 sua altura e o volume é 128𝜋 𝑐𝑚3, podemos es-
crever que: 
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ (2𝑟)2 ⋅ (ℎ − 2) = 128 ⋅ 𝜋 ⇒ 𝑟2 ⋅ (ℎ − 2) = 96 
(Equação 2) 
 
Das equações 1 e 2, temos: 
𝑟2 ⋅ (ℎ − 2) = 96 ⇒ 
𝑟 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ − 2 ⋅ 𝑟2 = 96 ⇒ 
32𝑟 − 2𝑟2 = 96 ⇒ 
𝑟2 − 16𝑟 + 48 = 0 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos 
𝑟 = 12 ou 𝑟 = 4. 
𝑟 = 12 ⇒ ℎ =
32
12
 (não inteiro) 
𝑟 = 4 ⇒ ℎ =
32
4
= 8 (inteiro) 
 
Calculando, agora, a geratriz do cone. 
𝑔2 = (2𝑟)2 + (ℎ − 2)2 ⇒ 𝑔2 = 82 + 62 ⇒ 𝑔 = 10 𝑐𝑚. 
 
Logo sua área lateral será dada por: 
𝐴𝐿 = 𝜋 ⋅ 2𝑟 ⋅ 𝑔 = 𝜋 ⋅ 8 ⋅ 10 = 80𝜋𝑐𝑚
2 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Calculando: 
ℎ = 2𝑚 
𝑅 = 2𝑚 
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2𝜋 ⋅ 2
2 = 8𝜋
𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8𝜋
⟩ ⇒ 𝑆 = 16𝜋 𝑚2 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Como os cilindros possuem a mesma área lateral po-
demos escrever que: 
2 ⋅ 𝜋 ⋅ 6 ⋅ 𝐻 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ ⇒ 6 =
ℎ
𝐻
⋅ 𝑟 ⇒ 6 = 1,2 ⋅ 𝑟 ⇒ 𝑟
= 5 𝑐𝑚 
ℎ
𝐻
= 1,2 ⇒ ℎ = 1,2 ⋅ 𝐻 
 
O volume do cilindro 𝐵 é 240𝜋 𝑐𝑚3, logo: 
𝜋 ⋅ 52 ⋅ ℎ = 240 ⋅ 𝜋 ⇒ ℎ = 9,6 𝑐𝑚 𝑒 𝐻 = 8 𝑐𝑚 
 
Portanto, a diferença entre os volumes será 
dada por: 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝜋 ⋅ 6
2 ⋅ 8 − 240 ⋅ 𝜋 = 48 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑐𝑚3 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
O volume do tonel será dado por: 
𝑉 =
30
100
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ ℎ, onde 𝑟 é a medida do raio 
do tonel e ℎ a medida de sua altura. 
𝑉 =
30
100
⋅ 𝜋 ⋅ 302 ⋅
600
𝜋
= 162000 𝑐𝑚3 = 162 𝐿 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Calculando: 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅
2 ⋅ ℎ = 8𝜋𝑅2 
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋𝑅𝑒
3 =
4
3
𝜋 ⋅ 43 =
256
3
𝜋 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 0,75 ⋅ 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 → 8𝜋𝑅
2 = 0,75 ⋅
256
3
𝜋
→ 𝑅2 = 8 → 𝑅 = 2√2 
𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑅 ⋅ ℎ = 2𝜋 ⋅ 2√2 ⋅ 8 = 32√2𝜋 𝑐𝑚
2 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Desde que a superfície total de 𝑆2 é igual a 𝜋 ⋅
4 ⋅ (4√5 + 4) = 16𝜋(√5 + 1) 𝑐𝑚2 e o volume 
de 𝑆3 é 𝜋 ⋅ (2√2)
2 ⋅ 16 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 3 0° = 64𝜋 𝑐𝑚3, te-
mos 
64𝜋
16𝜋(√5+1)
=
4
√5+1
⋅
√5−1
√5−1
= (√5 − 1)𝑐𝑚. 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
O cilindro está inscrito no cubo, portanto: 
I. 𝐿𝑐𝑢𝑏𝑜 = ℎ𝑐𝑖𝑙 = 2𝑅𝑐𝑖𝑙 
 
II. O volume do cilindro é dado por: 
𝑉𝑐𝑖𝑙 = 𝜋𝑅
2ℎ𝑐𝑖𝑙 ⇒ 𝑉𝑐𝑖𝑙 = 𝜋𝑅
2 × (2𝑅) ⇒ 54𝜋
= 2𝜋𝑅3 ⇒ 𝑅 = 3 
 
III. Volume do cubo 
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝐿
3 ⇒ 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 6
3 ⇒ 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 216𝑚
3 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Calculando, inicialmente, o volume do líquido 
(𝑉𝐿): 
𝑉𝐿 = 𝜋 ⋅ 5
2 ⋅ 9 = 225𝜋 𝑐𝑚3 
 
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• pág. 6 
 Determinando a altura 𝑥 que este líquido ocupará no 
segundo cilindro: 
225𝜋 = 𝜋 ⋅ 42 ⋅ 𝑥 ⇒ 𝑥 =
225
16
⇒ 𝑥 ≈ 14 𝑐𝑚 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
O volume do silo é dado por 
 
𝜋 ⋅ 32 ⋅ 12 +
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 32 ⋅ 3 ≅ 324 + 27 ≅ 351 𝑚3. 
 
Portanto, se 𝑛 é o número de viagens que o caminhão 
precisará fazer para transportar todo o volume de 
grãos armazenados no silo, então 
 
𝑛 ≥
351
20
= 17,55. 
 
A resposta é 18. 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
 
 
O volume V do cilindro resultante será dado por: 
𝑉 = 𝜋 ⋅ 32 ⋅ 3 = 27𝜋 cm3 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Fazendo os cálculos: 
𝑉1 = 𝜋 ⋅ 6
2 ⋅ 4 
𝑉2 = 𝜋 ⋅ 3
2 ⋅ 𝑥 
𝑉1 = 1,6 ⋅ 𝑉2 
𝜋 ⋅ 62 ⋅ 4 = 1,6 ⋅ 𝜋 ⋅ 32 ⋅ 𝑥 
144 = 14,4𝑥 
𝑥 = 10 𝑐𝑚 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Desde que 𝐴𝐶 = 𝑅, segue do triângulo retân-
gulo 𝐴𝐵𝐶, pelo Teorema de Pitágoras, que 
 
𝐴𝐶
2
= 𝐴𝐵
2
+ 𝐵𝐶
2
⇔ 𝑅2 = (
2
3
⋅ 𝑅)
2
+ 𝐵𝐶
2
 
  ⇒ 𝐵𝐶 =
√5
3
⋅ 𝑅. 
 
Portanto, o volume do cilindro gerado é dado 
por 
 
𝜋 ⋅ (
2
3
⋅ 𝑅)
2
⋅
√5
3
⋅ 𝑅 =
4√5𝜋𝑅3
27
. 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Seja ℎ a altura da camada de gasolina. Assim, 
como a altura de cada líquido é proporcional 
ao volume, temos 
 
ℎ
12
=
42
42+30
⇔ ℎ = 7 𝑚. 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Sejam 𝑟 e ℎ, respectivamente, o raio e a altura 
do cilindro. Tem-se que 
 
𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ (ℎ − 3) = 2 ⋅
𝜋
3
⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ ⇔ ℎ −
2ℎ
3
= 3 
   ⇔ ℎ = 9 𝑚. 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
𝑆𝐴
𝑆𝐵
=
2𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ
2𝜋 ⋅ 2𝑟 ⋅ 2ℎ
=
1
4
 
 
𝑉𝐴
𝑉𝐵
=
𝜋⋅𝑟2⋅ℎ
𝜋⋅(2𝑟)2⋅2ℎ
=
1
8
 
 
 
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