estatística e matemática financeira com exercícios

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CURSO ON-LINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
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1ª ETAPA) Conheça as questões de hoje. Marque o tempo e tente resolvê-las! 
Obs.: como a aula é demonstrativa, não estabelecerei o Tempo Meta para hoje. 
 
1. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou 
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para 
se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se 
que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de 
R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
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28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de 
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
Σ Xi = 490 e Σ Xi2 – (Σ Xi )2/ 50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente 
(com aproximação de uma casa decimal). 
a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0) 
 
42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
 
48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e que 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx . 
Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média 
amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é 
populacional. 
 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal. 
 
54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de 
cinco produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
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Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 
 
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
 
1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
 
9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, 
respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza 
juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus 
respectivos prazos. 
a) 6 meses d) 7 meses e dez dias 
b) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias 
c) 7 meses 
 
13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do 
seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o 
valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 
a) R$ 400,00 d) R$ 700,00 
b) R$ 800,00 e) R$ 600,00 
c) R$ 500,00 
 
20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao 
período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital 
aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda 
que 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
a) 107,36% d) 130% 
b) 127,1515% e) 148,832% 
c) 128,096% 
 
29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira 
prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 
320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser 
paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao 
mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o 
credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: 
a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 
b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 
c) R$ 2.252,05 
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39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de 
R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de 
quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. 
Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada 
uma das prestações será igual a: 
a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 
b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 
c) R$ 6.230,00 
 
 
2ª ETAPA) Resolução das Questões: 
 
Obs.: Como disse, hoje só resolverei duas questões: a primeira da estatística e a 
primeira de matemática financeira. Vamos a elas! 
 
1. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional desalários anuais iguais ou 
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências. Esta é a principal maneira 
de os dados de uma pesquisa virem apresentados em uma questão de concurso. É 
imprescindível que conheçamos bem a Distribuição de Freqüências e saibamos trabalhar 
com ela. Neste nosso exemplo, temos duas colunas: a coluna das classes, que traz para 
nós intervalos de salários, em milhares de reais (conforme dito acima da tabela)! 
 Se esses salários estão em milhares de reais, onde há na primeira classe (3 ; 6] 
nós vamos entender (3.000 a 6.000). Certo? 
 A segunda coluna é uma de freqüências acumuladas, conforme também dito 
pelo enunciado! Ora, existem quatro tipos de freqüências acumuladas: freqüência 
absoluta acumulada crescente (fac); freqüência absoluta acumulada decrescente (fad); 
freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e freqüência relativa acumulada 
decrescente (Fad). Não se pode começar a resolver uma questão destas, sem antes ter 
certeza de qual das colunas de freqüências foi fornecida. 
 Como diferenciar uma coluna absoluta de uma relativa? A absoluta apresenta 
números de elementos; enquanto que a relativa apresenta percentuais de 
elementos. Daí, para que uma coluna de freqüência seja relativa, deverá ou dizer isso 
expressamente no enunciado, ou trazer um sinal de % no cabeçalho da coluna, ou 
trazer um sinal de % após cada valor daquela coluna. Ou seja, precisamos de alguma 
destas pistas para sabermos que estamos diante de uma coluna de freqüência relativa. 
 
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 Outra dica: se estamos bem lembrados, quando a coluna de freqüências é 
acumulada e é relativa, então ela ou começará ou terminará com 100%. Se terminar 
com 100%, será freqüência relativa acumulada crescente; se começar com 100%, será 
freqüência relativa acumulada decrescente. Não tem erro! 
 Olhando para o valor da freqüência da última classe dessa coluna, vemos que é 
68. Ora, jamais poderíamos estar diante de uma freqüência relativa acumulada! 
 Temos, portanto, uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes! 
Crescentes por quê? Porque seus valores são os seguintes: 12, 30, 50, 60, 65, 68. Ou 
seja, os valores estão crescendo. 
 Sabendo disso, já temos uma nova missão a ser cumprida, imediatamente: 
construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi). Por que isso? Porque a fi é a 
mais importante das colunas de freqüências. Seu conhecimento é fundamental para a 
resolução da grande maioria das questões que derivam de uma distribuição de 
freqüências. A título de exemplo, precisaremos conhecer a fi para cálculo das seguintes 
medidas: média aritmética, moda, mediana, além de todas as medidas de dispersão (as 
quais, por sua vez, dependem do conhecimento da média), medidas de assimetria e 
medidas de curtose. Enfim, para quase tudo! 
 Para se chegar à fi, seguiremos o caminho das pedras, que é o seguinte: 
 
 
 Sentido de ida 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
Sentido de volta 
 
 
 Trabalharemos assim: para passar de uma freqüência simples para uma 
freqüência acumulada,... 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
 
 
 
…estaremos seguindo o sentido de ida do caminho das pedras, cujo 
procedimento será memorizado apenas como: somar com a diagonal. 
 
O sentido de volta consiste em passar de uma freqüência acumulada para uma 
freqüência simples. Da seguinte forma: 
 
 
 
 
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PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 
6
 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
 
 
 O procedimento para, neste caso, chegarmos às freqüências simples é esse: 
próxima freqüência acumulada menos freqüência acumulada anterior. 
 
 Neste nosso exemplo, estaremos exatamente neste sentido de volta, passando da 
fac (freqüência absoluta acumulada crescente) para a fi (freqüência absoluta simples). 
Só relembrando: o apelido da fac é freqüência abaixo de. Podemos até colocar uma 
seta para baixo no cabeçalho da coluna fac. E no sentido da seta, ou seja, de cima para 
baixo, construiremos a fi. Na primeira classe, ambas as colunas têm o mesmo valor! 
Teremos: 
 
Classes de Salário fac ↓ fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 Para o restante da coluna fi, basta seguir o procedimento do sentido de volta do 
caminho das pedras. Teremos: 
 
Classes de Salário fac ↓ fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) 
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) 
(12 ; 15] 60 10 (=60-50) 
(15 ; 18] 65 5 (=65-60) 
(18 ; 21] 68 3 (=68-65) 
 
 Qual o significado da fi? Ela nos diz o número de elementos que pertencem à 
classe correspondente. Neste nosso caso, por exemplo, o valor 18, que é fi da segunda 
classe, indica que 18 empregados da empresa percebem entre R$6.000 e R$9.000, 
incluindo-se neste intervalo o limite inferior (R$6.000) e excluindo-se o limite superior 
(R$9.000). 
 Bem, a questão pergunta: quantas pessoas ganham menos de R$7.000? É isso o 
que se quer saber! 
 Ora, a primeira classe vai até salários de R$6000. Logo, os 12 empregados que 
participam desta classe estarão integralmente incluídos em nossa resposta! 
 Já na segunda classe, que abarca salários de R$6.000 a R$9.000, nem todos os 
18 empregados que ali estão participarão da resposta! Uma vez que queremos o 
número daqueles que ganham até R$7.000. 
 Conclusão: somente uma parte dos elementos da segunda classe integrará o 
resultado! Faremos uma regra de três simples, da seguinte forma: 
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 Amplitude da classe inteira ------- fi da classe inteira 
 Amplitude da classe quebrada ---- X 
 
 Amplitude é sinônimo de tamanho. Já sabíamos disso! E classe quebrada, neste 
caso, é aquela que pega os salários de R$6.000 somente até R$7.000, que é o valor que 
nos interessa! Os limites dessa classe quebrada são, portanto, 6 a 7. 
 Esse X significará justamente o número de elementos da segunda classe que irá 
participar da resposta da questão. Daí, teremos: 
 
 3 ---- 18 
 1 ---- X 
 
 Daí: X = 18/3 X=6 
 
 Abaixo de R$7.000, teremos então as 12 pessoas na primeira classe, e 6 pessoas 
apenas na segunda. Total: 18. 
 Se procurarmos esse valor entre as respostas, não a encontraremos! 
 Será que erramos alguma coisa? Absolutamente! O problema é que foi dito pelo 
enunciado que essa distribuição de freqüências representa uma amostra de 10% da 
população. 
 Assim, qualquer resultado que encontremos com os valores da tabela (amostra), 
representará apenas 10% do resultado relativo à população. E o enunciado foi bem 
claro: pediu-nos um resultado populacional. 
 Ora, população é o todo. E o todo é 100%. 
 Para 10% se transformarem em 100%, temos que multiplicar por 10. 
 Daí, esse resultado amostral que encontramos (18) também terá que ser 
decuplicado! Teremos: 
 
 18x10=180 Resposta da Questão! 
 
 
1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
 
Sol.: Quem diz que questão de prova não se repete comete um grande equívoco. Esta 
questão acima, que foi de 2001, é quase uma réplica de outra que caiu no segundo 
AFRF de 2002, a qualresolveremos também em outra ocasião. 
 Bem, o enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 5. Caso haja 
qualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa 
fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,1% ao dia útil de atraso! 
 O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da 
conta, e esse resultado será cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! 
Por isso essa multa tem o nome de fixa. 
 Teremos, portanto: 
 (2/100) x 1.000 = R$20,00 Multa fixa! 
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 Com isso já temos metade da resposta! Só falta saber o quanto iremos pagar de 
juros simples a mais pelo atraso no pagamento da conta. 
 Agora precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente: 
precisaremos saber quantos foram os dias úteis de atraso. Por quê? Porque a taxa de 
juros simples foi fornecida em termos de dias úteis, e nós sabemos que na matemática 
financeira, teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade. 
 Para contarmos os dias úteis de atraso, eu recomendo neste caso que façamos 
um pequeno e rápido calendário. É fácil de se fazer na prova e não leva quase nenhum 
tempo. Observando que foi dito que o dia 5 é uma segunda-feira, faremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da 
contagem dos dias de atraso. Teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 E quanto ao dia 5? Ele conta como atraso? Claro que não! Se o enunciado falou 
que a conta deveria ser paga até o dia 5, então o primeiro dia de atraso é o próximo! 
Excluindo, pois, também o dia 5 da contagem dos dias úteis de atraso, teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias úteis de atraso no 
pagamento da conta. 
 Como os juros incidentes na operação são do regime simples, significa que a cada 
dia útil de atraso, o valor a ser pago a mais é sempre o mesmo. De modo que só 
precisaremos conhecer os juros por um dia útil de atraso, e multiplicarmos esse valor 
por 10. Teremos: 
 
 Juros por dia útil de atraso: (0,1/100) x 1000 = R$1,00 
 
 Percebamos que, para calcular os juros simples de um único período, só temos 
que multiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos. 
 
 Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: 
 
 Juros por todo o atraso: 10 x R$1,00 = R$10,00 Juros! 
 
 Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores 
da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: 
 
 R$1.000,00 + R$20,00 + R$10,00 = R$1.030,00 Resposta! 
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APRESENTAÇÃO DO CURSO E LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Olá, amigos! Espero que estejam todos bem! 
 Hoje, venho finalmente apresentar-lhes o novo curso online – RESOLUÇÃO DE 
QUESTÕES ESAF DE ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA. Como o nome sugere, o 
curso será de resolução de questões de provas passadas, todas elas elaboradas pela Esaf. No 
total, são cento e vinte questões: sessenta de Estatística e a outras sessenta de Matemática 
Financeira. Consegui fazer uma verdadeira seleção de exercícios, extraindo-os de mais de vinte 
provas diferentes. Cada questão tem sua razão de estar inclusa nesta lista; cada uma se propõe 
a um ensinamento, a uma dica, a uma lembrança. 
 Achei deveras conveniente, como já havia dito em outra ocasião, fazer com que vocês 
conheçam o conteúdo do curso, ou seja, saibam a priori quais serão as questões resolvidas 
durante as aulas. Na relação que se segue, encontram-se três partes: 
 1ª Parte) Questões de Estatística. 
 Nesta, vocês terão questões agrupadas por assunto, na seguinte ordem: 
 - Colunas de freqüências e interpolação linear da ogiva; 
 - Medidas de posição; 
 - Medidas de dispersão; 
 - Momento, assimetria e curtose; 
 - Números índices. 
 2ª Parte) Questões de Matemática Financeira. 
 Também aqui as questões estarão divididas pelos seguintes assuntos: 
 - Juros simples; 
 - Juros simples exatos; 
 - Juros simples ordinários; 
 - Prazo médio & Taxa média; 
 - Desconto simples; 
 - Relação entre Desconto Simples por Dentro & Desconto Simples por Fora; 
 - Taxa Efetiva de Juros; 
 - Equivalência Simples de Capitais; 
 - Juros Compostos – Convenção linear; 
 - Juros Compostos – Taxas Equivalentes; 
 - Desconto Composto; 
 - Equivalência Composta de Capitais; 
 - Equivalência Composta com Convenção Linear; 
 - Rendas Certas e Amortização; 
 - País, Bônus & Cupons; 
 - Fluxo de caixa. 
 3ª Parte) Questões das Provas Passadas do AFRF, de Estatística e de 
Matemática Financeira. 
 Esclareça-se desde logo: as questões que serão resolvidas serão as das duas primeiras 
partes. Esta terceira parte é só para ajudar a quem tiver interesse em resolver integralmente as 
últimas provas do AFRF, e ainda não as tem. 
 O curso será ministrado com uma aula por semana, durante dez semanas. 
 Em cada aula, resolverei doze questões, seis de cada matéria. 
 As questões de cada aula não seguirão a seqüência exata em que se encontram nestas 
listas. Farei algo mais interessante: mesclarei questões de assuntos variados, para tornar cada 
aula um verdadeiro simulado. 
 A missão deste curso é uma só: preparar o candidato ao próximo concurso do AFRF – 
Auditor-Fiscal da Receita Federal. Em que pesem certos boatos em sentido contrário, até onde eu 
sei, estas duas matérias – Matemática Financeira e Estatística – estarão presentes no programa 
do AFRF/2005. Já me perguntaram se eu tenho absoluta certeza disto. Minha resposta é 
sempre a mesma: eu só tenho absoluta certeza de que o bom é preparar-se com antecedência, 
pois não tenho dúvidas de que é melhor correr o risco estudando, do que simplesmente 
torcendo para as matérias não caírem na prova! 
 A respeito do investimento, o curso custará R$120,00 (cento e vinte reais), podendo ser 
dividido em três vezes iguais de R$40,00 (quarenta reais). Ou seja, a taxa de juros cobrada aqui 
(para quem já estudou o assunto) é de zero por cento ao mês! 
 Começaremos o curso no dia 19 de janeiro próximo, uma quarta-feira! O concurso está aí, 
não há tempo a perder! 
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10
 É isso! Um abraço a todos! Fiquem com a relação das questões do nosso curso on-line! 
 
PARTE I - ESTATÍSTICA 
Colunas de Freqüências e Interpolação Linear da Ogiva 
1. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou 
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
 
 
2. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro 
(X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse 
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa 
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de 
X menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 
 
 
 
 
 
3. (AFRF-2002.2) Para asolução da próxima questão utilize o enunciado que se 
segue. 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
freqüências seguinte: 
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11
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 
 
4. (FTE-Piauí-2001) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de 
uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são 
acumuladas. 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 
 
5. (TJ CE – 2002) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo 
salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 
funcionários da empresa X. A próxima questão refere-se a essa tabela. Note que a 
coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que 
a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da 
amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações 
de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 
65% b) 50% c) 80% d) 60% e) 70% 
 
 
6. (Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003) O quadro seguinte apresenta a 
distribuição de frequências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 
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apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que 
corresponde à estimativa do valor x tal que a frequência relativa de observações de X 
menores ou iguais a x seja 80%. 
 
Classes R$ Freqüências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 
 
 
7. (AFRF – 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma 
amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X da distribuição amostral de 
X que não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 
 
 
Medidas de Posição 
 
8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 
165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de 
mulheres no clube é de: 
a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% 
 
9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para 
se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se 
que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de 
R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
f) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
g) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
h) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
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13
i) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
j) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
 
Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüên
cias 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =−
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
 
 
10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 
 
 
11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos 
 
 
Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa 
continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
 
12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 
 
 
13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos 
 
 
Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela de freqüências abaixo. 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
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( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 
14. (AFRF-2000) Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. 
Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com 
base na distribuição de freqüências. 
a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 
 
 
15. (AFRF-2000) Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a 
opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição 
de freqüências. 
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 
 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
 
16. (AFRF-2002) Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
a) 140,10 b) 115,50 c) 120,00 d) 140,00 e) 138,00 
 
 
17. (AFRF-2002) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da 
distribuição de X. 
a) 138,00 b) 140,00 c) 136,67 d) 139,01 e) 140,66 
 
Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do 
tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de 
uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
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15
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
18. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana 
amostral doatributo X. 
a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02 
 
19. (AFRF-2002.2) Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no 
conceito de Czuber. 
a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 
 
(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição 
de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos 
para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. As três próximas questões 
referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em 
quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência 
acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
20. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral 
calculado a partir de dados agrupados. 
a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00 
 
21. (TJ CE 2002 / ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário modal no 
conceito de Czuber. 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 
 
 
Medidas de Dispersão 
 
22. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra 
de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas 
para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, 
o valor do desvio padrão desta amostra é: 
a) 3 b) 9 c) 10 d) 30 
23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa 
eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto 
dos salários após o corte de três zeros na moeda é: 
a) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 
 
24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio 
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 
10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: 
a) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000, 
 
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16
(AFC-94) Para a solução das duas próximas questões considere os dados da tabela 
abaixo, que representa a distribuição de freqüências das notas em uma prova de 
estatística aplicada em três turmas de 100 alunos cada. 
 
Freqüências das Notas na Prova de 
Estatística 
Classes 
de Notas 
TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03 
0 !--- 2 
2 !--- 4 
4 !--- 6 
6 !--- 8 
8 !--- 10 
20 
40 
30 
6 
4 
10 
15 
50 
15 
10 
5 
10 
70 
10 
5 
Total 100 100 100 
 
25. (AFC-94) Assinale a afirmação correta: 
a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) 
b) Média (turma 1) > Média (turma 2) 
c) Média (turma 2) < Média (turma 3) 
d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) 
e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) 
 
26. (AFC-94) A única opção errada é: 
a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3) 
b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3) 
c) média (turma 2) = média (turma 3) 
d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3) 
e) na turma 3: média = mediana = moda 
 
27. (FTE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: 
2,1 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,8 e) 3,1 
 
28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de 
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
Σ Xi = 490 e Σ Xi2 – (Σ Xi )2/ 50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente 
(com aproximação de uma casa decimal). 
a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0) 
 
29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a 
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral 
M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a 
opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. 
a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0% 
 
30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média 
aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi ( Xi – M )2 . 
Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por 
pelo menos 2S. Assinale a opção correta. 
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17
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ 
exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ. 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
 
31. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N 
empregados produziram as estatísticas: 
 
∑
=
==
N
i
RXi
N
X
1
00,300.14$1 e ( ) 00,200.1$1
5,0
1
2
RXXi
N
S
N
i
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−= ∑
=
 
 
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; 
R$16.100,00}. Assinale a opção correta: 
 
a) P é no máximo ½ 
b) P é no máximo 1/1,5 
c) P é no mínimo ½ 
d) P é no máximo 1/2,25 
e) P é no máximo 1/20 
 
32. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. A próxima questão refere-se a esses ensaios. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
16807 1
2 =∑ =i ii fZ , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de 
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. 
a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 
 
33. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão positivo 
b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. 
a) A média amostral de Z coincide com a de W. 
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. 
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. 
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18
d) A média de Z é a/b. 
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. 
 
34. (AFRF-2002/2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. 
a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 
 
35. (AFRF-2002/2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi 
observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: 
Grupo Média Desvio 
padrão 
A 20 4 
B 10 3 
Assinale a opção correta.a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. 
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. 
c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do 
Grupo A. 
d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença 
de desvios padrão pela diferença de médias. 
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos 
grupos. 
 
36. (FTE-PA-2002) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média 
amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente 
de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W. 
a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2% 
 
37. (FISCAL INSS - 2002) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção 
que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. 
a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 
 
38. (FISCAL INSS – 2002). A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada na 
próxima questão e apresenta as freqüências (fi) correspondentes as idades dos 
funcionários (X) de uma escola. Não existem realizações de X coincidentes com as 
extremidades das classes salariais. 
 
Classes de Freqüências 
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19
Idades 
(anos) 
(fi) 
19,5 – 24,5 
24,5 – 29,5 
29,5 – 34,5 
34,5 – 39,5 
39,5 – 44,5 
44,5 – 49,5 
49,5 – 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
Total 
Para o atributo X tem-se 147970.
27
1
=∑ = fiPMi i , onde fi é a freqüência simples da classe 
i e PMi o ponto médio de cada classe da distribuição. 
 Considerando a transformação Z=(X - 27,8)/10 , assinale a opção que dá a 
variância relativa do atributo Z. 
a) 0,42 b) 0,51 c) 0,59 d) 0,65 e) 0,72 
 
39. (TJ CE – 2002) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das 
classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção 
que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados. 
b) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 
 
40. (AFRF–2003) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 
2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. 
a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0% 
 
 
Momento, Assimetria e Curtose 
 
41. (AFTN-94) Indique a opção correta: 
a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que 
o coeficiente de curtose. 
b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no 
intervalo [-3, 3]. 
c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o 
quadrado da variância da distribuição. 
d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão. 
e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. 
 
42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
43. (AFTN-98) Assinale a opção correta. 
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20
a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações 
relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. 
b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as 
observações amostrais são medidas. 
c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada 
observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. 
d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das 
observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios 
padrões e a média mais dois desvios padrões. 
e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose 
excessiva. 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
44. (AFRF-2002) Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que 
corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de 
Pearson. 
a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 
 
45. (AFRF-2002) Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de 
achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de 
curtose é dada pelo quociente 
1090 PP
Qk
−
= 
 
onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 
90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose к para a 
distribuição de X. 
a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 d) 0,242 e) 0,000 
 
46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
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21
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
 
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300 
 
 
47. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado 
forneceram os seguintes sumários: média aritmética=$1,20 , mediana=$0,53 e 
moda=$0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: 
a) A distribuição é assimétrica à direita. 
b) A distribuição é assimétrica à esquerda. 
c) A distribuição é simétrica. 
d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor 
medida de tendência central. 
e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. 
 
 
48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e que 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx . 
Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média 
amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é 
populacional. 
 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal. 
 
 
 
 
49. (FISCAL DO INSS-2002) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um 
atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 
classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classes Freqüências 
4-9 5 
9-14 9 
14-19 10 
19-24 15 
24-29 12 
29-34 6 
34-39 4 
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22
39-44 3 
44-49 2 
 
Sabe-se que o desviopadrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a 
opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, 
na mediana e no desvio padrão. 
a) -0,600 b) 0,191 c) 0,709 d) 0,603 e) -0,610 
 
 
50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente 
de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale 
a opção correta. 
a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à 
média. 
b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação 
à média. 
c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à 
média. 
d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média 
dos cubos das observações. 
e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em 
relação à média. 
 
 
51. (FISCAL DO INSS-2002) Considere a tabela de freqüências seguinte 
correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da 
amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. 
a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0,028 
 
Números Índices 
 
Para efeito das duas próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) Artigos 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
A2 20 25 27 84 120 164 
 
52. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, 
no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. 
a) 100,0; 141,2; 192,5 d) 100,0; 142,3; 193,3 
b) 100,0; 141,4; 192,8 e) 100,0; 142,8; 193,7 
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23
c) 100,0; 141,8; 193,1 
 
53. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, no 
período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. 
a) 100,0; 141,3; 192,3 d) 100,0; 142,0; 193,3 
b) 100,0; 141,6; 192,5 e) 100,0; 142,4; 193,6 
c) 100,0; 141,8; 192,7 
 
54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de 
cinco produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 
 
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
b) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
55. (AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço calculado 
com base no ano de 1984. 
 
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 
Índice 75 88 92 100 110 122 
 
 No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção correta: 
a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 
b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base 
c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base 
d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de 
preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. 
e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 
 
56. (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A 
empresa quer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo 
aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o 
mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o 
aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento 
desejado? 
a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6% 
 
57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado 
anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, 
medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que 
corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. 
a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11% 
 
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24
58. (AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por 
um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da 
moeda dessa economia no mesmo período. 
a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00% 
 
59. (AFRF-2002.2) No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em 
t0+1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o 
relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. 
a) 162,5% b) 130,0% c) 120,0% d) 92,9% e) 156,0% 
 
 
60. (AFRF-2003) Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção 
correta. 
 
Ano S1 S2 S3 
1999 50 75 100 
2000 75 100 150 
2001 100 125 200 
2002 150 175 300 
 
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das series S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE II – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Juros Simples 
 
1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
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25
 
2. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 
cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o 
credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. 
Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. 
a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 
b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 
c) R$ 12.200,00 
 
3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na 
segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 
2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por 
dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor 
do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum 
feriado bancário no período. 
a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 
b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 
c) R$ 2.088,00 
 
Juros Simples Exatos 
 
4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 
12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 
18% ao ano, desprezando os centavos. 
a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 
b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 
c) R$ 715,00 
 
5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de 
fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas 
condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital 
inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. 
a) 4,70% d) 4,88% 
b) 4,75% e) 4,93% 
c) 4,80% 
 
 
 
 
 
Juros Simples Ordinários 
 
6. (AFRF-1998) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do 
mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordináriode 36% ao ano, produzindo um 
montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os 
centavos. 
a) R$ 4.067,00 d) R$3.941,00 
b)R$ 3.986,00 e) R$4.000,00 
c) R$ 3.996,00 
 
Prazo Médio & Taxa Média 
 
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26
7. (AFRF-1998) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram 
aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses 
respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. 
a) Dois meses e vinte e um dias 
b) Dois meses e meio d) Três meses 
c) Três meses e dez dias e) Três meses e nove dias 
 
8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 
4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no 
regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional 
anual de aplicação destes capitais. 
a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 
 
9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, 
respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza 
juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus 
respectivos prazos. 
d) 6 meses d) 7 meses e dez dias 
e) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias 
f) 7 meses 
 
 
Desconto Simples 
 
10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual 
seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. 
a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 
b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 
c) R$ 9.500,00 
 
11. (AFRF-1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta 
duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da 
taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% 
do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua 
conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso 
você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de 
desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: 
a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4% 
 
Relação Desconto Simples por Dentro x Desconto Simples por Fora 
 
12. (FISCAL INSS - 2002) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer 
um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. 
Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional 
simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. 
a) R$ 890,00 d) R$ 981,00 
b) R$ 900,00 e) R$ 1.090,00 
c) R$ 924,96 
 
13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do 
seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o 
valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 
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d) R$ 400,00 d) R$ 700,00 
e) R$ 800,00 e) R$ 600,00 
f) R$ 500,00 
 
Taxa Efetiva de Juros 
 
14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco 
comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta 
este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar 
em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante 
para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três 
meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do 
empréstimo que utilizou em proveito próprio. 
a) 12% ao trimestre 
b) 14% ao trimestre 
c) 15% ao trimestre 
d) 16% ao trimestre 
e) 18% ao trimestre 
 
15. (TCU-AFCE-2000) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 
10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto de 3% 
do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito 
de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro, no momento do 
desconto do título, qual seria o custo do empréstimo, em termos da taxa de juros real 
paga pela empresa? 
a) 3,09% ao mês 
b) 4,00% ao mês 
c) 4,71% ao mês 
d) 4,59% ao mês 
e) 4,50% ao mês 
 
Equivalência Simples de Capitais 
 
16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 
que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de 
cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros 
simples de 0,1% ao dia. 
a) R$ 10.940,00 d) R$ 12.640,00 
b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,00 
c) R$ 12.080,00 
17. (AFRF-1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% 
a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 
1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será 
efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total 
dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de 
trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O 
valor que mais se aproxima do valor financiado é: 
a) $ 816,55 d) $ 970,00 
b) $ 900,00 e) $ 995,00 
c) $ 945,00 
 
Juros Compostos - Convenção Linear 
 
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18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à 
taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a 
convenção linear para cálculo do montante. 
a) 22,5% d) 26,906% 
b) 24% e) 27,05% 
c) 25% 
 
19. (AFRF-2003) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano 
durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante 
considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela 
convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% 
 
20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao 
período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital 
aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda 
que 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
a) 107,36% d) 130% 
b) 127,1515% e) 148,832% 
c) 128,096% 
 
21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez 
dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros 
obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 
50,36% 
 
Juros Compostos – Taxas Equivalentes 
 
22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal 
de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% d) 12,6162% 
b) 12,6825% e) 12,5508% 
c) 12,4864% 
 
23. (FTE-MS-2001) Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com 
capitalização mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em 
porcentagem, aproximada até centésimos? 
a) 26,82% b) 26,53% c) 26,25% d) 25,97% e) 25,44% 
24. (MICT-ACE-1998) O capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com 
capitalização trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 ao fim de um ano. 
Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproximação de uma casa decimal. 
a) 5,0% b) 5,4% c) 20,0% d) 21,6% e) 30,4% 
 
Desconto Composto 
 
25. (AFRF-1998) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, 
vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um 
desconto racional composto e desprezando os centavos. 
a) R$ 9.140,00 d)R$ 9.174,00 
b) R$ 9.126,00 e) R$ 9.151,00 
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c) R$ 9.100,00 
 
26. (AFRF-2002/2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 
quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor 
descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. 
a) R$ 25.860,72 d) R$ 32.325,90 
b) R$ 28.388,72 e) R$ 36.465,18 
c) R$ 30.000,00 
 
27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 
672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca 
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 
b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 
c) R$ 624,47 
 
28. (ATE-MS-2001) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do 
seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um 
desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se 
houver). 
a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 
b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 
c) R$ 4.928,00 
 
 
Equivalência Composta de Capitais 
 
29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira 
prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 
320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser 
paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao 
mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o 
credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: 
a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 
b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 
c) R$ 2.252,05 
 
 
 
30. (AFRF-1996) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros 
compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas 
mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais 
se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes 
dois pagamentos é: 
a) $ 2.012,00 d) $ 2.484,84 
b) $ 2.121,00 e) $ 2.516,16 
c) $ 2.333,33 
 
31. (AFRF-2001) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim 
de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com 
os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento 
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único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos 
sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
a) R$ 63.232,00 d) R$ 62.200,00 
b) R$ 64.000,00 e) R$ 64.513,28 
c) R$ 62.032,00 
 
32. (SEFAZ-PI-2001) Um sítio é posto à venda por R$ 400.000,00 a vista. O 
proprietário aceita financiar este valor por um período total de 12 meses, segundo o 
seguinte esquema de pagamentos: 
a) uma entrada de 20%; mais 
b) uma parcela de R$ 100.000,00 para 4 meses; mais 
c) dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 12 meses, 
ou seja, para o final do período de financiamento. 
Se o financiamento é feito a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, então o valor 
de cada um dos dois pagamentos iguais referidos no item c) deverá ser igual a: 
a) R$ 158.000,00 d) R$ 182.510,00 
b) R$ 165.748,58 e) R$ 190.000,00 
c) R$ 172.432,40 
 
33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% 
ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final 
do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao 
final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 
 
 
Equivalência Composta com Convenção Linear 
 
34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto 
outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os 
dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum 
levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor 
do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto 
mês. 
a) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 
b) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 
c) R$ 33.538,25 
 
 
 
 
35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 
600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois 
compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao 
acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor 
deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% 
ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os 
centavos). 
a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 
b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 
c) R$ 1.584.000,00 
 
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Rendas Certas & Amortização 
 
36. (FISCAL INSS – 2002) Um consumidor compra um bem de consumo durável no 
valor de R$ 15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$ 
1.184,90, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o 
pagamento da décima segunda prestação o consumidor acerta com o financiador o 
refinanciamento do saldo devedor em doze prestações mensais à mesma taxa de juros, 
vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês seguinte. Calcule o valor mais 
próximo da nova prestação mensal. 
a) R$ 504,00 d) R$ 662,00 
b) R$ 561,00 e) R$ 796,00 
c) R$ 625,00 
 
37. (TCU-AFCE-2000) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser 
amortizado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e 
assim sucessivamente, a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do 
financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação. 
a) R$ 9.954,00 d) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.834,38 e) R$ 12.000,00 
c) R$ 10.252,62 
 
38. (FTM-FORTALEZA-1998) Um indivíduo financiou parte da compra de um 
automóvel, em 24 prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, 
ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador 
que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12a 
prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o 
saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os 
centavos. 
a) R$ 4.410,00 d) R$ 5.872,00 
b) R$ 5.000,00 e) R$ 6.462,00 
c) R$ 5.282,00 
 
39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de 
R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de 
quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. 
Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada 
uma das prestações será igual a: 
a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 
b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 
c) R$ 6.230,00 
 
 
40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária 
no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo 
devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a 
pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que 
custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas 
condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se 
aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
a) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 
b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 
c) R$ 1.800,00 
 
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41. (AFRF-2002-2) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 
25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze 
prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue 
financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que 
custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em 
doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal 
do financiamento global. 
a) R$ 1.405,51 d) R$ 1.512,44 
b) R$ 1.418,39 e) R$ 1.550,00 
c) R$ 1.500,00 
 
42. (MDIC-ACE-2002) Uma empresa adquiriu um equipamento no mercado 
internacional com uma parcela de US$ 100,000.00 financiada em dezoito prestações 
semestrais iguais de US$ 8,554.62, vencendo a primeira ao fim do primeiro semestre. 
Junto com o pagamento da décima-segunda prestação a empresa acerta com o 
financiador um pagamento único para quitar o resto da dívida. Calcule o valor mais 
próximo desse pagamento que quita o saldo devedor, à mesma taxa de juros do 
financiamento original. 
a) US$ 33,333.00 d) US$ 48,225.00 
b) US$ 43,420.00 e) US$ 50,000.00 
c) US$ 46,938.00 
 
43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois 
pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no 
valor de R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser 
efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no 
vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma 
repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado 
foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o 
restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de 
juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o de dezembro 
deveria ser igual a: 
a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 
b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 
c) R$ 3.938,48 
 
44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de 
uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor 
de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por 
estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução 
da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da 
anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova 
prestação do financiamento. 
a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00 
b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 
c) R$ 151.342,00 
 
45. (AFRF-2002/1) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar 
mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os 
seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. 
Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes 
sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao 
mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses 
depois, no dia 1o de fevereiro. 
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a) R$ 36.000,00 d) R$ 41.132,00 
b) R$ 38.449,00 e) R$ 44.074,00 
c) R$ 40.000,00 
 
46. (AFRF-2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses 
do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada 
aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos 
meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a 
taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. 
a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 
b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 
c) R$ 82.265,00 
 
47. (AFRF-2002/1) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro 
período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 
a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 
2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros 
compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. 
a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00 
b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00 
c) R$ 29.124,00 
 
48. (AFRF-2001) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar 
mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do 
quinto ao oitavo mês, R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. 
Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao 
fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês 
(despreze os centavos). 
a) R$ 21.708,00 d) R$ 22.663,00 
b) R$ 29.760,00 e) R$ 26.116,00 
c) R$ 35.520,00 
 
49. (AFRF-1998) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma 
entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, 
vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. 
Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda 
certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos 
da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os 
centavos. 
a) R$ 986,00 d) R$ 900,00 
b) R$ 852,00 e) R$ 1.065,00 
c) R$ 923,00 
50. (AFRF-1996) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 
36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do 
pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao 
final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor 
que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: 
a) $ 10.350,00 d) R$ 12.433,33 
b) $ 10.800,00 e) R$ 12.600,00 
c) $ 11.881,00 
 
51. (AFRF-1996) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de 
um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 
14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., 
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capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos 
afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: 
a) $ 70,00 b) $ 76,83 c) $ 86,42 d) $ 88,00 e) $ 95,23 
 
País, Bônus e Cupons 
 
52. (ANALISTA SERPRO – 2001) Um país lançou bônus no mercado internacional 
de valor nominal, cada bônus, de US$ 1.000,00, com dez cupons semestrais no valor 
de US$ 50,00 cada, vencendo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim 
sucessivamente até o décimo semestre, quando o país deve pagar o último cupom 
juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país 
mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de 
juros nominal de 12% ao ano, calcule o deságio sobre o valor nominal ocorrido no 
lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro, etc. 
a) Não houve deságio d) US$ 73,60 por bônus 
b) US$ 52,00 por bônus e) 5,94% 
c) 8,43% 
 
53. (AFRF-2003) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por 
intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de 
cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 
60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor 
nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% 
sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual 
cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, 
etc. 
a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8% 
 
54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de 
uma certa quantidade de bônus no mercado internacionalcom valor nominal de US$ 
1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, 
vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo 
segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor 
nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos 
títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao 
ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo 
custos de intermediação financeira, de registro etc. 
a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 
b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 
c) US$ 930.00 
55. (MDIC-ACE-2002) Um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém 
doze cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence seis 
meses após o lançamento e, junto com o último cupom, o comprador recebe o valor 
nominal do bônus de volta. Abstraindo custos administrativos da operação, calcule o 
deságio sobre o valor nominal com que este bônus é lançado no mercado internacional, 
considerando que compradores desses bônus aplicaram o seu capital nesta operação à 
taxa nominal de 12% ao ano. 
a) 0% b) 5% c) 6% d) 8,384% e) 10,125% 
 
 
Fluxo de Caixa 
 
56. (AFRF-1998) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias 
que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, 
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uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do 
momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre 
momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar 
ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. 
a) R$ 2.511,00 d) R$ 2.646,00 
b) R$ 0,00 e) R$ 2.873,00 
c) R$ 3.617,00 
 
 
57. (FISCAL DO INSS – 2002) Uma empresa possui uma taxa de atratividade mínima 
de 12% ao ano e está considerando uma proposta de investir hoje R$ 20.000.000,00 
para obter receitas previstas de R$ 3.000.000,00 ao fim de cada um dos próximos dez 
anos. Obtenha a decisão da empresa baseada no critério do valor atual do fluxo de caixa 
previsto da empresa. 
a) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é 
negativo. 
b) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é negativo. 
c) A empresa vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. 
d) A empresa não vai investir porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é positivo. 
e) A empresa não se decide porque o valor atual hoje do fluxo de caixa é zero. 
 
 
58. (ANALISTA SERPRO – 2001) Considerando o fluxo de caixa a seguir, com a 
duração de dez períodos, calcule o seu valor atual em zero, a uma taxa de juros de 
10% ao período. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
-1000 - 800 300 300 300 300 300 300 300 300 1300 
 
a) 222,44 
b) 228,91 
c) 231,18 
d) 243,33 
e) 250,25 
 
 
 
 
 
59. (AFRF-1996) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a 
resolução da questão 36. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos 
meses ali indicados. 
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA 
 
Meses 
Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 
Um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 
Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 
Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 
quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100 
Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 
 
Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela 
acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: 
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36
a) Fluxo um 
b) Fluxo dois 
c) Fluxo três 
d) Fluxo quatro 
e) Fluxo cinco 
 
 
60. (AFRF-2002-2) Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, 
obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no 
início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. 
 
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200 
 
a) 2.208,87 
b) 2.227,91 
c) 2.248,43 
d) 2.273,33 
e) 2.300,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE III – PROVAS PASSADAS AFRF 
 
ESTATÍSTICA 
I - Prova de Estatística – AFRF 1998: 
 
01. Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual específica 
que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a 
tarefa. Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da distribuição amostral de 
tais observações. 
a) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda. 
b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino. 
c) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica e com 
duas modas nos extremos. 
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37
d) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular. 
e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular. 
 
02. Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma 
amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
 ΣXi=490 e ΣXi2 - (ΣXi)2/50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente 
(com aproximação de uma casa decimal). 
a) 9,0 e 14,0 d) 8,0 e 13,6 
b) 9,5 e 14,0 e) 8,0 e 15,0 
c) 9,0 e 13,6 
 
03. Com base nos dados da questão 12, pode-se afirmar que: 
a) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
b) A distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
c) A distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) A distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
e) Nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
04. Com base nos dados da questão 2, assinale a opção que corresponde ao preço 
modal. 
a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9 
 
05. Assinale a opção correta. 
a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações 
relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa. 
b) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e 
curtose excessiva. 
c) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as 
observações amostrais são medidas. 
d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das 
observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios 
padrões e a média mais dois desvios padrões. 
e) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de 
cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido. 
 
06. A tabela abaixo representa a evolução de preços e quantidades de cinco 
produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
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38
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 
 
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
07. A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço calculado com base no ano 
de 1984. 
 
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 
Índice 75 88 92 100 110 122 
 
No contexto da mudança de base do índice para 1981, assinale a opção correta. 
a) Basta dividir a sériede preços pela média entre 0,75 e 1,00 
b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preço na nova base. 
c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base. 
d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de 
preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. 
e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00. 
 
GABARITO: 1) A 2)C 3)D 4)A 5)E 6)B 7)D 
 
 
 
 
 
 
 
II - Prova de Estatística – AFRF 2001: 
 
Para efeito das questões de número 01, 02 e 03 faça uso da tabela de freqüências 
abaixo. 
 
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa. 
 
Classes de salários Freqüências 
acumuladas 
3 ; 6 12 
6 ; 9 30 
9 ; 12 50 
12 ; 15 60 
15 ; 18 65 
18 ; 21 68 
 
01. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale 
a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na 
distribuição de freqüências. 
a) 9,93 d) 10,00 
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39
b) 15,00 e) 12,50 
c) 13,50 
 
02. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que 
corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de 
freqüências. 
a) 12,50 d) 12,00 
b) 9,60 e) 12,10 
c) 9,00 
 
03. Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir 
de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou 
inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este 
número. 
a) 150 b)120 c)130 d) 160 e)180 
 
04. Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, 
representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M=100 e 
o desvio-padrão S=13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá 
o coeficiente de variação amostral de X. 
a) 3,0% d) 17,3% 
b) 9,3% e) 10,0% 
c) 17,0% 
 
05. Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ..., Xn com média aritmética M e 
variância S2, onde M=(X1+...+Xn)/n e S2=(1/n) Σ(Xi – M)2. Seja θ a proporção 
dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. 
Assinale a opção correta. 
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ 
exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ=5%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn. 
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ=95%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ=30%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ=15%, para qualquer conjunto de dados X1, ..., Xn. 
 
06. Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A empresa quer 
aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo 
aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o 
mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o 
aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento 
desejado? 
a) 25,3% d) 40,0% 
b) 20,5% e) 35,6% 
c) 33,3% 
 
07. Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta 
a seqüência de acréscimos δ1=3%, δ2=2% e δ3=2%, medidos relativamente ao ano 
anterior, a partir do ano t0. Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço 
do período t0+2 em relação ao período t0-1. 
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40
a) 7,00% d) 9,00% 
b) 6,08% e) 6,11% 
c) 7,16% 
 
GABARITO: 1)A 2)B 3)E 4)B 5)A 6)C 7)C 
 
III - Prova de Estatística – AFRF 2002/1: 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
OBS.: As questões 01 a 06 referem-se a esses ensaios. 
 
Classes P (%) 
70 – 90 5 
90 – 110 15 
110 – 130 40 
130 – 150 70 
150 – 170 85 
170 – 190 95 
190 – 210 100 
 
01. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
a) 140,10 d) 140,00 
b) 115,50 e) 138,00 
c) 120,00 
 
02. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de 
X. 
a) 138,00 d) 139,01 
b) 140,00 e) 140,66 
c) 136,67 
 
03. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida 
de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
a) 3/S d) 6/S 
b) 4/S e) 0 
c) 5/S 
 
04. Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% d) 45,0% c) 70% d) 53,4% e) 50,0% 
 
05. Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
ΣZ2.fi=1680, onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de classe 
transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. 
a) 720,00 d) 1200,15 
b) 840,20 e) 560,30 
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41
c) 900,10 
 
06. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral 
medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo 
quociente k = Q / (P90 – P10) , onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e 
P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que 
dá o valor da curtose K para a distribuição de X. 
a) 0,263 d) 0,242 
b) 0,250 e) 0,000 
c) 0,300 
 
07. Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão positivo b≠1. Considere a 
transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. 
a) A média amostral de Z coincide com a de W. 
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. 
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido 
d) A média de Z é a/b 
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. 
 
08. A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índice 
geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda 
dessa economia no mesmo período. 
a) 30,00% d) 35,30% 
b) 23,08% e) 25,00% 
c) 40,10% 
 
GABARITO: 1)E 2)C 3)A 4)A 5)B 6)D 7)C 8)B 
 
 
IV - Prova de Estatística – AFRF 2002/2: 
 
Para solução das questões de números 01 e 06 utilize o enunciado que segue. 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
 
Classes Freqüência (f) 
29,5 --- 39,5 4 
39,5 --- 49,5 8 
49,5 --- 59,5 14 
59,5 --- 69,5 20 
69,5 --- 79,5 26 
79,5 --- 89,5 18 
89,5 --- 99,5 10 
 
1. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. 
a) 71,04 b) 65,2 c) 75,03 d) 68,08 e) 70,02 
 
2. Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na 
população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 
 
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42
3. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de 
Czuber. 
a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 
 
4. Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. 
a) 16,0 b) 17,0c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 
 
5. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) –0,206 c) 0,000 d) –0,095 e) 0,300 
 
6. Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
 
Σ (Xi – M)2.fi = 24.500 e Σ (Xi – M)4.fi = 14.682.500 
 
Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e M a média 
amostral. 
 
Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base 
nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. 
 
a) A distribuição do atributo é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade de 
assimetria com base nos momentos centrados de X. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com 
base nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição é normal. 
 
7. Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos 
de empresas apresentando os resultados seguintes: 
 
Grupo Média Desvio Padrão 
A 20 4 
B 10 3 
 
Assinale a opção correta. 
 
a) No grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. 
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. 
c) A dispersão relativa do grupo B é maior que a dispersão relativa do grupo 
A. 
d) A dispersão relativa de Y entre os grupos A e B é medida pelo quociente da 
diferença de desvios padrão pela diferença de médias. 
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos 
grupos. 
 
8. No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0+1, 20% menor 
do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços 
do bem em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base 
em t0+1. 
a) 162,5% b) 130,0% c) 120,0% d) 92,9% e) 156,0% 
 
GABARITO) 1)A 2)C 3)B 4)E 5)D 6)B 7)C 8)D 
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43
 
V - Prova de Estatística – AFRF 2003: 
 
 
1. As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N empregados 
produziram as estatísticas: 
 
∑
=
==
N
i
RXi
N
X
1
00,300.14$1 e ( ) 00,200.1$1
5,0
1
2
RXXi
N
S
N
i
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−= ∑
=
 
 
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00 ; 
R$16.100,00}. Assinale a opção correta: 
 
a) P é no máximo ½ 
b) P é no máximo 1/1,5 
c) P é no mínimo ½ 
d) P é no máximo 1/2,25 
e) P é no máximo 1/20 
 
 
 
 
 
 
 
As duas próximas questões dizem respeito ao enunciado seguinte: 
 
Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável 
X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
2. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X da distribuição amostral 
de X que não é superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 
 
3. Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentílico 
da amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. 
a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0,028 
 
4. Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta. 
 
Ano S1 S2 S3 
1999 50 75 100 
2000 75 100 150 
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44
2001 100 125 200 
2002 150 175 300 
 
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das series S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos. 
 
5. O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a 
opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. 
a) 12,9% 
b) 50,1% 
c) 7,7% 
d) 31,2% 
e) 10,0% 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
I - Prova de Matemática Financeira – AFRF 1996: 
 
A tabela abaixo contém números elevados a potências específicas que poderão ser 
usados para facilitar seus cálculos na resolução das questões desta prova. Alguns 
resultados podem apresentar diferenças de + ou - 0,01 posto que valores em moeda 
corrente devem ter apenas 2 casas decimais. 
 
(1,04)2 = 1,0816 (1,09)2 = 1,1881 (1,10)2 = 1,2100 (1,20)2 = 1,4400 
(1,04)3 = 1,1248 (1,09)3 = 1,2950 (1,10)3 = 1,3310 (1,20)3 = 1,7280 
(1,04)4 = 1,1698 (1,09)4 = 1,4115 (1,10)4 = 1,4641 (1,20)4 = 2,0736 
(1,04)5 = 1,2166 (1,09)5 = 1,5386 (1,10)5 = 1,6105 (1,20)5 = 2,4883 
(1,04)6 = 1,2653 (1,09)6 = 1,6771 (1,10)6 = 1,7715 (1,20)6 = 2,9859 
(1,04)7 = 1,3159 (1,09)7 = 1,8280 (1,10)7 = 1,9487 (1,20)7 = 3,5831 
(1,04)8 = 1,3685 (1,09)8 = 1,9925 (1,10)8 = 2,1435 (1,20)8 = 4,2998 
(1,04)9 = 1,4233 (1,09)9 = 2,1718 (1,10)9 = 2,3579 (1,20)9 = 5,1597 
(1,04)10 = 1,4802 (1,09)10 = 2,3673 (1,10)10 = 2,5937 (1,20)10 = 6,1917 
 
 
1. Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor 
total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As 
condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em 
duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos 
pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta 
por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O valor 
que mais se aproxima do valor financiado é: 
a) $ 816,55 
b) $ 900,00 
c) $ 945,00 
d) $ 970,00 
e) $ 995,00 
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45
 
2. Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 
meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto 
mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da 
duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor 
desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a 
duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais 
se aproxima da taxa praticada por este banco é: 
a) 5,0% 
b) 5,2% 
c) 4,6% 
d) 4,8% 
e) 5,4% 
 
3. Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este 
financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A 
instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa 
de juros não sofrerá alterações.Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas 
prestações iguais e sucessivas de $ 11.924,00 a serem pagas em 60 e 90 
dias.Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 
10. mês; a segunda ao final do 30. mês; a terceira ao final do 70. mês. 
Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de 
cada uma das novas prestações é: 
a) $ 8.200,00 
b) $ 9.333,33 
c) $ 10.752,31 
d) $ 11.200,00 
e) $ 12.933,60 
 
4. Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A 
taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: 
a) 4,60% 
b) 4,40% 
c) 5,00% 
d) 5,20% 
e) 4,80% 
 
5. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa 
trimestral de: 
a) 60% 
b) 66,6% 
c) 68,9% 
d) 72,8% 
e) 84,4% 
 
Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão 
6. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados. 
TABELA DE FLUXOS DE CAIXA 
Meses 
Fluxos 1 2 3 4 5 6 7 8 
um 1000 1000 500 500 500 500 250 050 
dois 1000 500 500 500 500 500 500 300 
três 1000 1000 1000 500 500 100 150 050 
quatro 1000 1000800 600 400 200 200 100 
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PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 
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cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100 
 
6. Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da 
tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é: 
a) Fluxo um 
b) Fluxo dois 
c) Fluxo três 
d) Fluxo quatro 
e) Fluxo cinco 
 
7. Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e 
paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A 
instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados 
mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o 
valor que mais se aproxima do valor à vista do equipamento adquirido é: 
a) $ 70,00 
b) $ 76,83 
c) $ 86,42 
d) $ 88,00 
e) $ 95,23 
 
8. Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano 
capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do 
primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final 
do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
a) $ 3.250 
b) $ 3.100 
c) $ 3.050 
d) $ 2.975 
e) $ 2.750 
 
9. Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, 
capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 
prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro 
trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se 
aproxima do valor unitário de cada prestação é: 
a) $ 10.350,00 
b) $ 10.800,00 
c) $ 11.881,00 
d) $ 12.433,33 
e) $ 12.600,00 
 
10. Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos 
capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e 
iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se 
aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes 
dois pagamentos é: 
a) $ 2.012,00 
b) $ 2.121,00 
c) $ 2.333,33 
d) $ 2.484,84 
e) $ 2.516,16 
 
 
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II - Prova de Matemática Financeira – AFRF 1998: 
 
1. Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma 
taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de 
R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. 
a) R$ 4.067,00 
b) R$ 3.986,00 
c) R$ 3.996,00 
d) R$ 3.941,00 
e) R$ 4.000,00 
 
2. A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao 
dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, 
desprezando os centavos: 
a) R$ 705,00 
b) R$ 725,00 
c) R$ 715,00 
d) R$ 720,00 
e) R$ 735,00 
 
3. Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros 
simples de 5% ao mês. 
a) 1,0 b) 0,6 c) 60,0 d) 12,0 e) 5,0 
 
4. Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma 
taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo 
médio de aplicação desses capitais. 
a) Dois meses e vinte e um dias 
b) Dois meses e meio 
c) Três meses e dez dias 
d) Três meses 
e) Três meses e nove dias 
 
5. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é 
de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente 
no caso de um desconto racional simples. 
a) R$ 400,00 
b) R$ 800,00 
c) R$ 500,00 
d) R$ 700,00 
e) R$ 600,00 
 
6. Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano 
com capitalização semestral. 
a) 8,20% b) 8,05% c) 8,10% d) 8,00% d) 8,16% 
 
7. O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a 
uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os 
juros obtidos, aproximando o resultado em real. 
a) R$ 331,00 
b) R$ 343,00 
c) R$ 337,00 
d) R$ 342,00 
e) R$ 340,00 
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8. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim 
de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional 
composto e desprezando os centavos. 
a) R$ 9.140,00 
b) R$ 9.126,00 
c) R$ 9.100,00 
d) R$ 9.174,00 
e) R$ 9.151,00 
 
 
 
 
9. Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o 
seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no 
momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois 
ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos 
é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de 
despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. 
a) R$ 2.511,00 
b) R$ 0,00 
c) R$ 3.617,00 
d) R$ 2.646,00 
e) R$ 2.873,00 
 
10. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o 
saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira 
prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este 
sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor 
atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade 
correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. 
a) R$ 986,00 
b) R$ 852,00 
c) R$ 923,00 
d) R$ 900,00 
e) R$ 1.065,00 
 
III - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2001: 
 
1. Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no 
mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao 
mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. 
a) 4,83% ao mês 
b) 3,206% ao mês 
c) 4,4167% ao mês 
d) 4% ao mês 
e) 4,859% ao mês 
 
2. O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do 
vencimento, é de R$800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto 
comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma 
taxa e o mesmo prazo. 
a) R$ 960,00 
b) R$ 666,67 
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c) R$ 973,32 
d) R$ 640,00 
e) R$ 800,00 
 
3. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano 
com capitalização mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,6825% 
c) 12,4864% 
d) 21,6162% 
e) 12,5508% 
 
4. Um título foi descontado por R$840,00, quatro meses antes de seu vencimento. 
Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa 
de 3% ao mês. 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
 
5. Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 
do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, 
R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as 
aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze 
meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os 
centavos). 
a) R$ 21.708,00 
b) R$ 29.760,00 
c) R$ 35.520,00 
d) R$ 22.663,00 
e) R$ 26.116,00 
 
6. Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e 
R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos 
necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao 
fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos 
sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
a) R$ 63.232,00 
b) R$ 64.000,00 
c) R$ 62.032,00 
d) R$ 62.200,00 
e) R$ 64.513,28 
 
7. Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa 
de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidoscomo 
porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
a) 46,11% 
b) 48,00% 
c) 41,85% 
d) 44,69% 
e) 50,36% 
 
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8. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de 
R$210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de 
juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma 
anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra. 
a) R$ 3.155,00 
b) R$ 2.048,00 
c) R$ 1.970,00 
d) R$ 2.530,00 
e) R$ 2.423,00 
 
IV - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2002/1: 
 
1. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à 
taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, 
respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. 
a) quatro meses 
b) quatro meses e cinco dias 
c) três meses e vinte e dois dias 
d) dois meses e vinte dias 
e) oito meses 
 
2. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu 
vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o 
desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. 
a) R$ 9.810,00 
b) R$ 9.521,34 
c) R$ 9.500,00 
d) R$ 9.200,00 
e) R$ 9.000,00 
 
3. Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro 
de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o 
capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao 
dia. 
a) R$ 10.940,00 
b) R$ 11.080,00 
c) R$ 12.080,00 
d) R$ 12.640,00 
e) R$ 12.820,00 
 
4. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro 
períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando 
a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
a) 107,36% 
b) 127,1515% 
c) 128,096% 
d) 130% 
e) 148,832% 
 
5. Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade 
postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 
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200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em 
dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de 
juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de 
dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do 
financiamento. 
a) R$ 136.982,00 
b) R$ 147.375,00 
c) R$ 151.342,00 
d) R$ 165.917,00 
e) R$ 182.435,00 
 
6. Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 
1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses 
seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a 
primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro 
de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor 
mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1o de 
fevereiro. 
a) R$ 36.000,00 
b) R$ 38.449,00 
c) R$ 40.000,00 
d) R$ 41.132,00 
e) R$ 44.074,00 
 
7. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte 
fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada 
pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e 
do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e 
que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. 
a) R$ 33.448,00 
b) R$ 31.168,00 
c) R$ 29.124,00 
d) R$ 27.286,00 
e) R$ 25.628,00 
 
V - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2002/2: 
 
1. Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, 
dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o 
valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de 
atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do 
pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado 
bancário no período. 
a) R$ 2.080,00 
b) R$ 2.084,00 
c) R$ 2.088,00 
d) R$ 2.096,00 
e) R$ 2.100,00 
 
2. Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados 
respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples 
durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes 
capitais. 
a) 4% 
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b) 8% 
c) 12% 
d) 24% 
e) 48% 
 
 
 
 
3. Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma 
pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais 
a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor 
total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 
200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao 
mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento 
global. 
a) R$ 1.405,51 
b) R$ 1.418,39 
c) R$ 1.500,00 
d) R$ 1.512,44 
e) R$ 1.550,00 
 
4. Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa 
quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1,000.00 
cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, 
vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo 
segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor 
nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos 
títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao 
ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo 
custos de intermediação financeira, de registro etc. 
a) US$ 1, 000.00 
b) US$ 953.53 
c) US$ 930.00 
d) US$ 920.57 
e) US$ 860.00 
 
5. Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número 
que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma 
taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. 
 
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200 
 
a) 2.208,87 
b) 2.227,91 
c) 2.248,43 
d) 2.273,33 
e) 2.300,25 
 
6. A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no 
fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não 
poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um 
pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste 
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pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, 
valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos). 
a) R$ 1.440.000,00 
b) R$ 1.577.440,00 
c) R$ 1.584.000,00 
d) R$ 1.728.000,00 
e) R$ 1.733.457,00 
 
7. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes 
do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, 
considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
 
VI - Prova de Matemática Financeira – AFRF 2003: 
 
1. Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a 
juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, 
respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. 
a) 2,9% d) 3,25% 
b) 3% e) 3,5% 
c) 3,138% 
 
2. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e 
meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o 
seu cálculo pela convenção exponencialem relação ao seu cálculo pela convenção 
linear, dado que 1,401,5 =1,656502. 
a) 0,5% d) 1,7% 
b) 1% e) 2,0% 
c) 1,4% 
 
3. Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem 
todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento 
único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento 
considerando juros simples de 4% ao mês. 
a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 
b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 
c) R$ 12.200,00 
 
4. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo 
de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 
2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, 
cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de 
remuneração das aplicações é de 3% ao mês. 
a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 
b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 
c) R$ 82.265,00 
 
5. Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do 
lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, 
sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao 
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fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. 
Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor 
nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual 
cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, 
etc. 
a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8% 
 
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ANEXO – TABELAS FINANCEIRAS 
 
 Na seqüência, apresento-lhes as três tabelas financeiras com as quais trabalharemos em nosso curso. A forma de 
apresentação abaixo é exatamente a que costuma ser fornecida pela Esaf. Juntamente com nosso “Material de Apoio”, as Tabelas 
Financeiras terão que estar sempre ao alcance da mão, uma vez que serão imprescindíveis para resolvermos as questões do Regime 
Composto. 
 
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,120000 1,150000 1,180000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,322500 1,392400 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875 1,643032 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 1,573519 1,749006 1,938777 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 1,762341 2,011357 2,287758 
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 1,973822 2,313061 2,699554 
7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 2,210681 2,660020 3,185474 
8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992562 2,143588 2,475963 3,059023 3,758859 
9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004 2,171893 2,357947 2,773078 3,517876 4,435454 
10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925 2,367363 2,593742 3,105848 4,045558 5,233835 
11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,898298 2,104852 2,331639 2,580426 2,853116 3,478549 4,652391 6,175926 
12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 2,012196 2,252191 2,518170 2,812665 3,138428 3,895975 5,350250 7,287592 
13 1,138093 1,293606 1,468533 1,665073 1,885649 2,132928 2,409845 2,719623 3,065804 3,452271 4,363493 6,152787 8,599359 
14 1,149474 1,319479 1,512589 1,731676 1,979931 2,260903 2,578534 2,937193 3,341727 3,797498 4,887112 7,075706 10,147244
15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800943 2,078928 2,396558 2,759031 3,172169 3,642482 4,177248 5,473565 8,137061 11,973748
16 1,172578 1,372786 1,604706 1,872981 2,182874 2,540351 2,952164 3,425942 3,970306 4,594972 6,130393 9,357621 14,129022
17 1,184304 1,400241 1,652847 1,947900 2,292018 2,692772 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866040 10,761264 16,672246
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375453 19,673251
 
in
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TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
n
n
in )i1.(i
1)i1(a
+
−+
=¬ 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 0,892857 0,869565 0,847457 
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 1,690051 1,625709 1,565642 
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 2,401831 2,283225 2,174273 
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 3,037349 2,854978 2,690062 
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 3,604776 3,352155 3,127171 
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261 4,111407 3,784482 3,497602 
7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 4,563756 4,160420 3,811527 
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819 5,334926 4,967640 4,487321 4,077566 
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 5,328250 4,771584 4,303022 
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657 6,144567 5,650223 5,018768 4,494086 
11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886874 7,498674 7,138964 6,805190 6,495061 5,937699 5,233712 4,656005 
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 6,194374 5,420619 4,793225 
13 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,357650 7,903776 7,486904 7,103356 6,423548 5,583147 4,909512 
14 13,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687 6,628168 5,724475 5,008061 
15 13,865052 12,849263 11,937935 11,118387 10,379658 9,712249 9,107914 8,559478 8,060688 7,606079 6,810864 5,847370 5,091577 
16 14,717874 13,577709 12,561102 11,652295 10,837769 10,105895 9,446648 8,851369 8,312558 7,823708 6,973986 5,954235 5,162354 
17 15,562251 14,291872 13,166118 12,165669 11,274066 10,477259 9,763223 9,121638 8,543631 8,021553 7,119630 6,047161 5,222334 
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 7,249670 6,127966 5,273164 
 
 
 
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TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
i
is
n
in
1)1( −+
=¬ 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000 2,120000 2,150000 2,180000 
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000 3,374400 3,472500 3,572400 
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000 4,779328 4,993375 5,215432 
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710 6,105100 6,352847 6,742381 7,154210 
6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334 7,715610 8,115189 8,753738 9,441967 
7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393837 8,654021 8,922803 9,200434 9,487171 10,089012 11,066799 12,141521 
8 8,285670 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259802 10,636627 11,028474 11,435888 12,299693 13,726819 15,326995 
9 9,368527 9,754628 10,159106 10,58279511,026564 11,491316 11,977989 12,487558 13,021036 13,579477 14,775656 16,785842 19,085855 
10 10,462212 10,949721 11,463879 12,006107 12,577892 13,180795 13,816448 14,486562 15,192930 15,937424 17,548735 20,303718 23,521308 
11 11,566834 12,168715 12,807795 13,486351 14,206787 14,971642 15,783599 16,645487 17,560293 18,531167 20,654583 24,349276 28,755144 
12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 15,917126 16,869941 17,888451 18,977126 20,140720 21,384284 24,133133 29,001667 34,931070 
13 13,809328 14,680331 15,617790 16,626837 17,712983 18,882137 20,140643 21,495296 22,953384 24,522712 28,029109 34,351917 42,218663 
14 14,947421 15,973938 17,086324 18,291911 19,598632 21,012880 22,550488 24,214920 26,019189 27,974983 32,392602 40,504705 50,818022 
15 16,096895 17,293417 18,598914 20,023587 21,578563 23,275970 25,129022 27,152114 29,360916 31,772481 37,279714 47,580411 60,965266 
16 17,257864 18,639285 20,156881 21,824531 23,657492 25,672528 27,888053 30,324283 33,003398 35,949730 42,753280 55,717472 72,939014 
17 18,430443 20,012071 21,761588 23,697512 25,840366 28,212880 30,840217 33,750225 36,973704 40,544703 48,883674 65,075093 87,068036 
18 19,614747 21,412312 23,414435 25,645413 28,132384 30,905652 33,999035 37,450244 41,301338 45,599173 55,749715 75,836357 103,74028 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 
www.pontodosconcursos.com.br – PROF. SÉRGIO CARVALHO 
1
 
AULA 01 
 
 Olá, amigos! 
 É com imensa satisfação que eu os acolho a todos, dando-lhes as boas-vindas a 
esse nosso novo projeto! Uma nova caminhada de dez semanas, ao fim das quais 
espero que possamos sair todos enriquecidos, e mais próximos da nossa almejada 
aprovação! 
 Como já é do conhecimento de vocês, a aula será dividida em duas partes. Na 
primeira delas, apenas apresentarei as doze questões que serão resolvidas nesse dia. 
Ao vê-las, caberá a você tentar resolvê-las por conta própria, sozinho, sem conferir as 
resoluções constantes na segunda parte da aula. 
 O objetivo disto é justamente o de lhe possibilitar uma auto-avaliação. 
 Tendo concluído suas resoluções, então você deverá fazer uma leitura atenciosa 
da segunda parte, conferindo seus acertos e corrigindo eventuais erros que possa ter 
cometido! 
 Como falei na aula de apresentação, tente buscar um local e um horário 
apropriados para tentar resolver estas doze questões, de modo a não ser interrompido 
durante a resolução. 
 Falei também que estabeleceria um tempo meta, que você tomaria por base, para 
saber se está precisando ou não ganhar mais velocidade. Pois bem! O tempo meta 
estabelecido para hoje será o seguinte: 
 
TEMPO META DE HOJE: 50 minutos! 
 
 Hoje, estou sendo (excepcionalmente) muito bonzinho! Vou começar com um 
tempo meta mais folgado um pouco..., somente porque estamos em nossa primeira 
aula. Ok? 
 
 Na seqüência, nossa primeira lista de questões! Quanto terminar de resolver, siga 
para a página cinco. 
 Marque a hora, respire fundo, e pode começar a fazer o teste! Boa sorte! 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
1. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou 
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
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9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para 
se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se 
que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de 
R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de 
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
Σ Xi = 490 e Σ Xi2 – (Σ Xi )2/ 50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente 
(com aproximação de uma casa decimal). 
a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0) 
 
42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
 
48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e que 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx . 
Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média 
amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é 
populacional. 
 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal. 
 
 
 
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54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de 
cinco produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 
 
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
 
1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
 
9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses,respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza 
juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus 
respectivos prazos. 
a) 6 meses d) 7 meses e dez dias 
b) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias 
c) 7 meses 
 
13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do 
seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o 
valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 
a) R$ 400,00 d) R$ 700,00 
b) R$ 800,00 e) R$ 600,00 
c) R$ 500,00 
 
20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao 
período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital 
aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda 
que 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
a) 107,36% d) 130% 
b) 127,1515% e) 148,832% 
c) 128,096% 
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29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira 
prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 
320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser 
paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao 
mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o 
credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: 
a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 
b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 
c) R$ 2.252,05 
 
39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de 
R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de 
quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. 
Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada 
uma das prestações será igual a: 
a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 
b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 
c) R$ 6.230,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2ª ETAPA) Resolução das Questões: 
 
 Olá, novamente! 
 Agora que você já fez sua parte, confira comigo a resolução do teste de hoje. Leia 
com atenção e revise os conceitos que você já conhece. 
 
 
1. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma 
amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando 
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou 
inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. 
a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 
 
Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências. Esta é a principal maneira 
de os dados de uma pesquisa virem apresentados em uma questão de concurso. É 
imprescindível que conheçamos bem a Distribuição de Freqüências e saibamos trabalhar 
com ela. Neste nosso exemplo, temos duas colunas: a coluna das classes, que traz para 
nós intervalos de salários, em milhares de reais (conforme dito acima da tabela)! 
 Se esses salários estão em milhares de reais, onde há na primeira classe (3 ; 6] 
nós vamos entender (3.000 a 6.000). Certo? 
 A segunda coluna é uma de freqüências acumuladas, conforme também dito 
pelo enunciado! Ora, existem quatro tipos de freqüências acumuladas: freqüência 
absoluta acumulada crescente (fac); freqüência absoluta acumulada decrescente (fad); 
freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e freqüência relativa acumulada 
decrescente (Fad). Não se pode começar a resolver uma questão destas, sem antes ter 
certeza de qual das colunas de freqüências foi fornecida. 
 Como diferenciar uma coluna absoluta de uma relativa? A absoluta apresenta 
números de elementos; enquanto que a relativa apresenta percentuais de 
elementos. Daí, para que uma coluna de freqüência seja relativa, deverá ou dizer isso 
expressamente no enunciado, ou trazer um sinal de % no cabeçalho da coluna, ou 
trazer um sinal de % após cada valor daquela coluna. Ou seja, precisamos de alguma 
destas pistas para sabermos que estamos diante de uma coluna de freqüência relativa. 
 
 Outra dica: se estamos bem lembrados, quando a coluna de freqüências é 
acumulada e é relativa, então ela ou começará ou terminará com 100%. Se terminar 
com 100%, será freqüência relativa acumulada crescente; se começar com 100%, será 
freqüência relativa acumulada decrescente. Não tem erro! 
 Olhando para o valor da freqüência da última classe dessa coluna, vemos que é 
68. Ora, jamais poderíamos estar diante de uma freqüência relativa acumulada! 
 Temos, portanto, uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes! 
Crescentes por quê? Porque seus valores são os seguintes: 12, 30, 50, 60, 65, 68. Ou 
seja, os valores estão crescendo. 
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 Sabendo disso, já temos uma nova missão a ser cumprida, imediatamente: 
construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi). Por que isso? Porque a fi é a 
mais importante das colunas de freqüências. Seu conhecimento é fundamental para a 
resolução da grande maioria das questões que derivam de uma distribuição de 
freqüências. 
A título de exemplo, precisaremos conhecer a fi para cálculo das seguintes 
medidas: média aritmética, moda, mediana, além de todas as medidas de dispersão (as 
quais, por sua vez, dependem do conhecimento da média), medidas de assimetria e 
medidas de curtose. Enfim, para quase tudo! 
 Para se chegar à fi, seguiremos o caminho das pedras, que é o seguinte: 
 
 
 Sentido de ida 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
Sentido de volta 
 
 
 Trabalharemos assim: para passar de uma freqüência simples para uma 
freqüência acumulada,... 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
 
…estaremos seguindo o sentido de ida do caminho das pedras, cujo 
procedimento será memorizado apenas como: somar com a diagonal. 
 
O sentido de volta consiste em passar de uma freqüência acumulada para uma 
freqüência simples. Da seguinte forma: 
 
 fac 
 
 
 fi fad Fac 
 
 Fi 
 Fad 
 
 
 O procedimento para, neste caso, chegarmos às freqüências simples é esse: 
próxima freqüência acumulada menos freqüência acumulada anterior. 
 
 Neste nosso exemplo, estaremos exatamente neste sentido de volta, passando da 
fac (freqüência absoluta acumulada crescente) para a fi (freqüência absoluta simples). 
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Só relembrando: o apelido da fac é freqüência abaixo de. Podemos até colocar uma 
seta para baixo no cabeçalho da coluna fac. E no sentido da seta, ou seja, de cima para 
baixo, construiremos a fi. Na primeira classe, ambas as colunas têm o mesmo valor! 
Teremos: 
 
Classes de Salário fac ↓ fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 Para o restante da coluna fi, basta seguir o procedimento do sentido de volta do 
caminho das pedras. Teremos: 
 
Classes de Salário fac ↓ fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) 
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) 
(12 ; 15] 60 10 (=60-50) 
(15 ; 18] 65 5 (=65-60) 
(18 ; 21] 68 3 (=68-65) 
 
 Qual o significado da fi? Ela nos diz o número de elementos que pertencem à 
classe correspondente. Neste nosso caso, por exemplo, o valor 18, que é fi dasegunda 
classe, indica que 18 empregados da empresa percebem entre R$6.000 e R$9.000, 
incluindo-se neste intervalo o limite inferior (R$6.000) e excluindo-se o limite superior 
(R$9.000). 
 Bem, a questão pergunta: quantas pessoas ganham menos de R$7.000? É isso o 
que se quer saber! 
 Ora, a primeira classe vai até salários de R$6000. Logo, os 12 empregados que 
participam desta classe estarão integralmente incluídos em nossa resposta! 
 Já na segunda classe, que abarca salários de R$6.000 a R$9.000, nem todos os 
18 empregados que ali estão participarão da resposta! Uma vez que queremos o 
número daqueles que ganham até R$7.000. 
 Conclusão: somente uma parte dos elementos da segunda classe integrará o 
resultado! Faremos uma regra de três simples, da seguinte forma: 
 
 
 Amplitude da classe inteira ------- fi da classe inteira 
 Amplitude da classe quebrada ---- X 
 
 Amplitude é sinônimo de tamanho. Já sabíamos disso! E classe quebrada, neste 
caso, é aquela que pega os salários de R$6.000 somente até R$7.000, que é o valor que 
nos interessa! Os limites dessa classe quebrada são, portanto, 6 a 7. 
 Esse X significará justamente o número de elementos da segunda classe que irá 
participar da resposta da questão. Daí, teremos: 
 
 3 ---- 18 
 1 ---- X 
 
 
 Daí: X = 18/3 X=6 
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 Abaixo de R$7.000, teremos então as 12 pessoas na primeira classe, e 6 pessoas 
apenas na segunda. Total: 18. 
 Se procurarmos esse valor entre as respostas, não a encontraremos! 
 Será que erramos alguma coisa? Absolutamente! O problema é que foi dito pelo 
enunciado que essa distribuição de freqüências representa uma amostra de 10% da 
população. 
 Assim, qualquer resultado que encontremos com os valores da tabela (amostra), 
representará apenas 10% do resultado relativo à população. E o enunciado foi bem 
claro: pediu-nos um resultado populacional. 
 Ora, população é o todo. E o todo é 100%. 
 Para 10% se transformarem em 100%, temos que multiplicar por 10. 
 Daí, esse resultado amostral que encontramos (18) também terá que ser 
decuplicado! Teremos: 
 
 18x10=180 Resposta da Questão! 
 
 
9. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para 
se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se 
que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de 
R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
f) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
g) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
h) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
i) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
j) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
Sol.: Para resolver esta questão, utilizaremos uma propriedade da média, que eu 
costumo chamar de A Média das Médias. 
 Trata-se da seguinte situação: o enunciado apresenta dados referentes a dois 
grupos distintos. Neste caso, o grupo dos homens e o das mulheres. Para cada um 
deles, fornece o número de elementos que participam de cada conjunto (o n) e qual é a 
sua média. 
 Daí, a pergunta seria: se juntássemos todos os elementos, dos dois conjuntos, 
em um único novo conjunto, qual seria a nova média? Ou seja, qual seria a média 
global? 
 Essa questão é fácil, pois se resolve pela aplicação direta da fórmula abaixo: 
 
( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX
+
+
= 
 
 Onde NA e NB representam o número de elementos dos dois grupos originais e 
AX e BX as suas médias. Dito isto, os dados fornecidos pela nossa questão são os 
seguintes: 
 Média Global dos salários = GLOBALX =1.200,00 
 Média dos salários dos Homens = AX =1.300,00 
 Média dos salários das Mulheres = BX = 1.100,00 
 
 Os números de elementos de cada grupo não foram fornecidos! Vamos trabalhar 
com NA e NB. Teremos que: 
 
 
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( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX
+
+
= 
( ) ( )
( )BA
BA
NN
xNN
+
+
=
110013001200 
 
Daí, multiplicando cruzando, teremos: 
 
 1200.NA + 1200NB = 1300NA+1100NB E: 100.NA = 100.NB 
 
Finalmente: NA = NB 
 
 Ou seja: o número de homens é igual ao de mulheres! Resposta! 
 
 
28. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de 
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
Σ Xi = 490 e Σ Xi2 – (Σ Xi )2/ 50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente 
(com aproximação de uma casa decimal). 
a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0) 
 
Sol.: Os dados aqui foram apresentados sob a forma de um rol. Não é muito comum 
que isso ocorra! Normalmente, a Esaf prefere trabalhar com a Distribuição de 
Freqüências. Este enunciado pede duas coisas: a mediana e a variância amostral. 
 A Mediana é aquele elemento que está exatamente no meio do conjunto, 
dividindo-o em duas partes iguais. 
Atentaremos para o fato de o conjunto ter um número par ou um número ímpar 
de elementos. Caso seja um número ímpar, haverá apenas um elemento que ocupara a 
posição central do conjunto. Esta será determinada pelo cálculo seguinte: 
 Posição central para n ímpar=(n+1)/2 
Onde n é o número de elementos do conjunto! 
No caso da nossa questão, n é igual a 50. Ou seja, o conjunto tem um número 
par de elementos. Significa que haverá dois deles ocupando as duas posições centrais. 
Estas, por sua vez, serão determinadas da seguinte forma: 
 1ª Posição central para n par=(n/2) 
 2ª Posição central para n par=a vizinha posterior à primeira! 
 
Como temos que n=50, então as duas posições centrais serão: 
 (50/2) = 25ª posição; e 
 a vizinha posterior= 26ª posição. 
Descobertas as duas posições centrais, teremos que descobrir quais são os dois 
elementos que as ocupam (para isso usaremos apenas um dedo!) e então somaremos 
estes dois elementos e dividiremos o resultado por dois. 
Em outras palavras, faremos a média dos elementos que ocupam os elementos 
centrais do conjunto, e determinaremos o valor da Mediana! 
Teremos: 
 Senão, vejamos: 
 
 
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 25ª posição! 26ª posição! 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
 
 Daí, fazendo a média destes elementos: (9+9)/2= 9,0 Md=9,0 
 
 Nem precisava ter feito esse cálculo, uma vez que os dois valores centrais são 
iguais! A Mediana já é o próprio elemento que se repete! 
 Essa primeira resposta foi mais tranqüila! Já quanto à segunda, teríamos que 
conhecer e estarmos bem lembrados das fórmulas para cálculo da variância. 
 Para dados apresentados sob forma de rol, a variância será dada por: 
 
 
( )
n
XX
S i∑ −=
2
2 ou também por 
( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−= ∑∑ n
Xi
Xi
n
S
2
22 1 
 
 Isto quando estivermos trabalhando com elementos de um conjunto que 
representem toda a População! Caso contrário, ou seja, caso estejamos trabalhando 
apenas com dados de uma Amostra, as fórmulas acima se modificarão, recebendo um 
fator de correção de Bessel, que consiste apenas no acréscimo de um menos um no 
denominador. Teremos, portanto, que: 
 
 
( )
1
2
2
−
−
= ∑
n
XX
S i ou também por 
( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= ∑∑ n
Xi
Xi
n
S
2
22
1
1
 
 
 Será, pois, uma destas últimas fórmulas que utilizaremos em nossa resolução,uma vez que a questão pediu o cálculo da variância amostral, e amostral refere-se à 
amostra! 
 Ora, qual das duas fórmulas empregar? Saibamos que qualquer das duas nos fará 
chegar ao mesmo resultado! Faremos, então, nossa escolha com base nos dados 
fornecidos pelo enunciado! Vejamos o que nos forneceu a questão: 
 
 
( )
∑ ∑ =− 00,66850
2
2 XiXi 
 
 Será que essa informação se encaixa em alguma das nossas fórmulas? Sim! E 
como uma luva! Percebamos que esses dados são exatamente o que está dentro do 
colchete da equação maior. Claro! Uma vez que n=50, nossa fórmula assim: 
 
( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= ∑∑ 501
1
2
22 XiXi
n
S 
 
 Conhecendo o valor do colchete (668), e sabendo que (n-1)=49, teremos: 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧=
49
6682S Daí: S2=13,6 
 
 
 
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 Juntando os dois resultados, teremos: 
 
 Md=9,0 e S2=13,6 Resposta! 
 
 
42. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos 
de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Pode-se afirmar que: 
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. 
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva. 
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica. 
d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-populações com 
assimetria negativa. 
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços. 
 
Sol.: Aqui uma questão mais fácil. Se olharmos as três primeiras opções de resposta, 
veremos que elas trazem as três situações possíveis de assimetria de um conjunto. A 
opção A fala em assimetria negativa; a B fala em assimetria positiva; enquanto que a 
opção C, em distribuição simétrica! Ora, qualquer distribuição de freqüências estará 
inserida em uma – e somente uma – destas três situações. Não existe uma quarta 
possibilidade! 
 Assim, concluímos de pronto que a resposta da questão está entre uma das três 
primeiras opções. 
 Resta-nos lembrar do seguinte: existe uma relação entre as três medidas de 
tendência central (Média, Moda e Mediana) e a situação de simetria ou assimetria de um 
conjunto. 
 As três figuras abaixo ilustram exatamente qual é esta relação. Teremos: 
 
 
Figura 01 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 02 
 
 
 
 Média < Mediana < Moda 
 
 
 
Figura 03 
 
 
 
 Média=Mediana=Moda 
 
 
 Traduzindo: se a média for maior que a mediana, e esta por sua vez for maior 
que moda, estaremos diante de uma distribuição assimétrica à direita, ou de assimetria 
positiva (figura 01). 
Caso a média seja menor que a mediana, e esta menor que a moda, a 
distribuição será assimétrica à esquerda, ou de assimetria negativa (figura 02). 
Por fim, se as três medidas – Média, Moda e Mediana – forem iguais, a 
distribuição será dita simétrica ou de assimetria nula. 
Em outras palavras: basta conhecermos o valor de duas medidas de tendência 
central (média e moda; ou média e mediana; ou moda e mediana) e já teremos 
condição de afirmar se o conjunto é simétrico ou se é assimétrico à direita ou à 
esquerda! 
Neste nosso caso, já sabemos pela questão anterior, que o valor da Mediana é 
Md=9,0. Pronto! Basta calcularmos a média do conjunto é chegaremos à resposta! E 
média de um rol é sempre dado por: 
 
 
n
Xi
X ∑= 
 
 Onde o numerador (∑Xi) é a soma dos elementos do conjunto e o denominador 
(n) é o número de elementos do conjunto. Foi dito no enunciado que ∑Xi=490. Logo: 
 
 8,9
50
490
=== ∑
n
Xi
X 
 
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 Ou seja, descobrimos que para esse conjunto a Média (9,8) é maior que a 
Mediana (9,0). Daí, caímos no caso da figura 01, de sorte que estamos diante de um 
conjunto assimétrico e de assimetria positiva! Resposta! 
 
 
48. (AFRF-2002.2) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que 
500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e que 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx . 
Nessas expressões os xi representam os pontos médios das classes e x a média 
amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é 
populacional. 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base 
nos momentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal. 
 
Sol.: Curtose é uma medida estatística que indica o grau de achatamento da curva de 
freqüências. Existem três situações de curtose de um conjunto. As seguintes: 
 
 
 CURVA LEPTOCÚRTICA 
 
 
 
 CURVA MESOCÚRTICA 
 
 
 
 CURVA PLATICÚRTICA 
 
 
 
 
 É fácil memorizar: a do meio, por exemplo, começa com meso, que significa 
meio. Logo, mesocúrtica é o mesmo curtose média; nem de mais, e nem de menos! 
 A mais achatada (em verde) parece um prato virado para baixo. Ou não? Sim! 
Daí, lembraremos: prato leva a plati, e plati leva a platicúrtica. 
 A curva azul, a mais alta de todas, nem é plati e nem é meso. Será lepto. Isso 
mesmo: leptocúrtica! 
 Como saber a situação de curtose de um conjunto? 
 Há duas maneiras. Cada maneira é uma fórmula diferente. 
 
 i) Coeficiente Percentílico de Curtose: 
( )
( )192
13
DD
QQC
−
−
= 
 
 Esta fórmula acima faz uso de quatro medidas separatrizes: o primeiro quartil 
(Q1), o terceiro quartil (Q3), o primeiro decil (D1) e o nono decil (D9). 
 
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 ii) Coeficiente Momento de Assimetria: 
( )
( ) 22
4
4
4
.
.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Onde m4 é o momento de quarta ordem centrado na média, e S4 é o desvio-
padrão elevado à quarta potência, que é o mesmo do quadrado da variância! 
 
 Este enunciado especificou que deveríamos trabalhar com a fórmula que usa os 
momentos centrados, ou seja, o coeficiente momento! Mesmo que não tivesse dito 
nada, saberíamos que seria ela a ser utilizada, em função dos dados fornecidos pela 
questão. 
Reparemos que estes dados adicionais 500.24)(7 1
2 =−∑ =i ii fxx e 
500.682.14)(7 1
4 =−∑ =i ii fxx correspondem exatamente aos numeradores da nossa 
equação. Daí, teremos: 
 
( )
( ) ( )
0245,0
500.24
500.682.14
.
.
222
4
4
4 ==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Agora resta o principal: analisar esse resultado. Sempre que estivermos usando 
essa fórmula acima – o índice momento de curtose – interpretaremos o resultado da 
conta da seguinte forma: 
 
 Se C > 3 → Distribuição Leptocúrtica; 
 Se C = 3 → Distribuição Mesocúrtica; 
 Se C < 3 → Distribuição Platicúrtica. 
 
 Daí, como 0,024 é menor que 3, nossa conclusão é a de que estamos diante de 
uma distribuição platicúrtica Resposta! 
 
 
54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de 
cinco produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 
 
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Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
b)415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
Sol.: Questão de números índices! Das antigas...! Nunca mais caiu nada parecido! Mas 
como a Esaf adora fazer sempre um flash-back (é o novo!), o melhor mesmo é ficar 
atento! 
 Esta questão trabalha com os índices (ditos complexos) de Laspeyres e de 
Paasche. São, na verdade, fórmulas que trabalham com valores de preços de produtos 
e as respectivas quantidades vendidas em diferentes épocas. No caso da tabela acima, 
temos cinco produtos (A, B, C, D e E), e seus preços correspondentes e quantidades 
vendidas nos anos de 1960, 1970 e 1979. Ainda foi dito, na linha superior da tabela, 
que o ano de 1960 é o ano-base, para efeito de aplicação da fórmula. 
 
 Temos que saber que os valores referentes ao ano-base (preço no ano-base e 
quantidade vendida no ano-base) recebem a seguinte nomenclatura: po e qo. E também 
que a cada vez que estivermos aplicando a fórmula do índice, estaremos sempre 
trabalhando com duas épocas distintas – dois anos diferentes – um dos quais será 
justamente o ano-base (símbolos po e qo). O outro ano, por sua vez, será dito ano-dado, 
e seus valores de preço e quantidade serão designados por pn e qn. 
 Daí, haverá dois distintos índices de Laspeyres e dois de Paasche. São os 
seguintes: 
 
 Índice de Preço de Paasche: 
∑
∑=
no
nn
qp
qp
Pa
.
.
 x 100 
 
 Índice de Quantidade de Paasche: 
∑
∑=
no
nn
pq
pq
Pa
.
.
 x 100 
 
 Índice de Preço de Laspeyres: 
∑
∑=
oo
on
qp
qp
La
.
.
 x 100 
 
 Índice de Quantidade de Laspeyres: 
∑
∑=
oo
on
pq
pq
La
.
.
 x 100 
 
 
Vamos aprender um jeito de memorizar estas quatro fórmulas! 
 
1º Passo) As quatro fórmulas começam com somatório sobre somatório! 
 
 Preço de Paasche: 
∑
∑=
..........
..........
Pa 
 
 Quantidade de Paasche: 
∑
∑=
...........
...........
Pa 
 
 Preço de Laspeyres: 
∑
∑=
...........
...........
La 
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 Quantidade de Laspeyres: 
∑
∑=
...........
...........
La 
 
2º Passo) Índice de preço começa com preço, enquanto índice de quantidade começa 
com quantidade! Teremos: 
 
 Preço de Paasche: 
∑
∑=
qp
qp
Pa
.
.
 
 
 Quantidade de Paasche: 
∑
∑=
pq
pq
Pa
.
.
 
 
 Preço de Laspeyres: 
∑
∑=
qp
qp
La
.
.
 
 
 Quantidade de Laspeyres: 
∑
∑=
pq
pq
La
.
.
 
 
3ºPasso) Agora, “amarraremos” as quatro fórmulas, dando um “nó” (n,o) na 
vertical! 
 
Ficaremos com: 
 
 Preço de Paasche: 
∑
∑=
qp
qp
Pa
o
n
.
.
 
 
 
 
 Quantidade de Paasche: 
∑
∑=
pq
pq
Pa
o
n
.
.
 
 
 
 Preço de Laspeyres: 
∑
∑=
qp
qp
La
o
n
.
.
 
 
 
 Quantidade de Laspeyres: 
∑
∑=
pq
pq
La
o
n
.
.
 
 
 
4º Passo) Agora só nos resta complementar os dois preços ou quantidades que estão 
faltando em cada fórmula com os índices (o) ou (n). Saibamos que, para cada uma 
destas fórmulas, os índices que estão faltando são iguais, ou seja, estão faltando ou 
dois (o) ou dois (n). Aí, iremos nos lembrar do “bizú do pão-de-ló”. (Essa teoria, se é 
que podemos chamar assim, não existe em livro nenhum...é mais uma das minhas 
invenções malucas!) 
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Do bizú do pão-de-ló, nós só vamos aproveitar o “ló”. O “ló” traz o “L” de 
Laspeyres e o “o” do índice “o”. Daí, lembraremos da frase: “Laspeyres é ló!” E se 
Laspeyres é ló, então os dois índices que estão faltando para concluirmos as fórmulas 
de Laspeyres são ambos o próprio “o”. Teremos: 
 
 Preço de Laspeyres: 
∑
∑=
oo
on
qp
qp
La
.
.
 (“Laspeyres é ló”!) 
 
 
 Quantidade de Laspeyres: 
∑
∑=
oo
on
pq
pq
La
.
.
 (“Laspeyres é ló”!) 
 
 
 
E quanto ao Paasche? Ora, Paasche não é ló! Então, concluímos que “Paasche é 
n”! Teremos: 
 
 Preço de Paasche: 
∑
∑=
no
nn
qp
qp
Pa
.
.
 (“Paasche é n”!) 
 
 
 Quantidade de Paasche: 
∑
∑=
no
nn
pq
pq
Pa
.
.
 (“Paasche é n”!) 
 
 
 Por último, é só multiplicar por cem! 
 
 Voltando ao nosso enunciado, vemos que ele pede que calculemos o índice de 
Laspeyres do ano 1979 tendo por base o de 1960. Ou seja, o ano-base é 1960, e o ano-
dado é o de 1979. Mas não foi dito expressamente, em momento algum, se esse índice 
seria de preço ou de quantidade! 
 E nem precisaria, uma vez que somos bons observadores! 
 Só teríamos que dar uma olhada nos dados fornecidos pela questão. Reparemos 
na última linha da tabela que nos foi fornecida, teremos o seguinte: 
 ∑po.qo=9009,7 e ∑p1.qo=14358,3 e ∑p2.qo=37262,0 
 
 Nestes três dados, temos preço antes de quantidade. Conclusão: teremos que 
achar o valor do índice de preço de Laspeyres! 
 Teremos: 
 
136,4
7,009.9
262.37
.
.
===
∑
∑
oo
on
qp
qp
La x 100 = 413,6 Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
 
Sol.: Quem diz que questão de prova não se repete comete um grande equívoco. Esta 
questão acima, que foi de 2001, é quase uma réplica de outra que caiu no segundo 
AFRF de 2002, a qual resolveremos também em outra ocasião. 
 Bem, o enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 5. Caso haja 
qualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa 
fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,1% ao dia útil de atraso! 
 O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da 
conta, e esse resultado será cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! 
Por isso essa multa tem o nome de fixa. 
 
 Teremos, portanto: 
 (2/100) x 1.000 = R$20,00 Multa fixa! 
 
 Com isso já temos metade da resposta! Só falta saber o quanto iremos pagar de 
juros simples a mais pelo atraso no pagamento da conta. 
 Agora precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente: 
precisaremos saber quantos foram os dias úteis de atraso. Por quê? Porque a taxa de 
juros simples foi fornecida em termos de dias úteis, e nós sabemos que na matemática 
financeira, teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade. 
 Para contarmos os dias úteis de atraso, eu recomendo neste caso que façamos 
um pequeno e rápido calendário. É fácil de se fazer na prova e não leva quase nenhum 
tempo. Observando que foi dito que o dia 5 é uma segunda-feira, faremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da 
contagem dos dias de atraso. Teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 E quanto ao dia 5? Ele conta como atraso? Claro que não! Se o enunciado falou 
que a conta deveria ser paga até o dia 5, então o primeiro dia de atraso é o próximo! 
Excluindo, pois, também o dia 5 da contagem dos dias úteis de atraso, teremos: 
 
 
 
 
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SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
05 06 07 08 09 10 11 
12 13 14 15 16 17 18 
19 
 
 Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias úteis de atraso no 
pagamento da conta. 
 Como os juros incidentes na operação são do regime simples, significa que a cada 
dia útil de atraso, o valor a ser pago a mais é sempre o mesmo. De modo que só 
precisaremos conhecer os juros por um dia útil de atraso, e multiplicarmos esse valor 
por 10. Teremos: 
 
 Juros por dia útil de atraso:(0,1/100) x 1000 = R$1,00 
 
 Percebamos que, para calcular os juros simples de um único período, só temos 
que multiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos. 
 Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: 
 
 Juros por todo o atraso: 10 x R$1,00 = R$10,00 Juros! 
 
 Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores 
da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: 
 
 R$1.000,00 + R$20,00 + R$10,00 = R$1.030,00 Resposta! 
 
 
9. (FTM-FORTALEZA-1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, 
respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza 
juros; à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus 
respectivos prazos. 
d) 6 meses d) 7 meses e dez dias 
e) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias 
f) 7 meses 
 
Sol.: Esta questão é facílima. Sua beleza, todavia, consiste em traduzir o enunciado. 
Digo isto porque a maioria das outras questões semelhantes a esta costuma 
simplesmente pedir: calcule o prazo médio! Esta aqui, não: pediu a mesma coisa, só 
que com outras palavras. 
Ora, o prazo médio é justamente um prazo comum, em que a soma dos capitais 
(aplicados a uma mesma taxa) produziria os mesmos juros que aqueles produzidos pela 
soma dos juros dos capitais individuais (em seus respectivos prazos). 
Ihhhhhh... façamos uma nova tentativa: se eu somar os valores dos capitais 
envolvidos na questão, e colocar esta soma em uma nova data, que será o prazo médio, 
os juros produzidos por esta soma serão iguais à soma dos juros anteriores produzidos 
por cada capital individualmente. 
Para quem ainda não ficou muito claro, um consolo: a questão não vai nos pedir 
para explicar nada! Vai querer somente que façamos o cálculo do prazo médio. Em 
outras palavras: trata-se de uma questão de aplicação direta de fórmula! 
Daí, nossa obrigação é conhecê-la. É a seguinte: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3.32.21.1
3.3.32.2.21.1.1
iCiCiC
niCniCniCPM
++
++
= 
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 Antes de aplicarmos a fórmula, uma observação importante: a única exigência a 
ser cumprida, antes de lançarmos os dados do enunciado na equação é que as taxas 
estejam entre si na mesma unidade, e os prazos estejam entre si na mesma 
unidade! Por exemplo, se as taxas originais sejam todas taxas anuais (..%aa) e os 
prazos originais estejam todos expressos em meses, então, nesta situação, já 
poderíamos jogar os dados na fórmula! Sim! Mesmo tendo taxas mensais e prazos 
anuais! Isso porque as taxas, entre si, estão na mesma unidade. E os prazos, entre si, 
estão na mesma unidade. Entendido? Pois bem! Nosso enunciado diz que os três prazos 
originais estão em meses. Disse ainda que as taxas são iguais, portanto, possuem 
obviamente a mesma unidade! 
 Em suma: já podemos fazer nossas contas. Teremos: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )iii
iiiPM
.6000.10000.8000
9..60005..100008..8000
++
++
= 
Daí, podemos dividir todas as parcelas do numerador e todas as parcelas do 
denominador por “i”, que é nosso fator comum, de forma que teremos apenas: 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )6000100008000
9600051000088000
++
++
=
xxxPM 
 
 E: 0,7
24000
168000
24000
540005000064000
==
++
=PM 
 Mas 7,0 o quê? Ora, vejamos qual é a unidade dos prazos originais? Todos em 
meses! Daí: 
 PM=7,0 meses Resposta! 
 
 
13. (AFRF-1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do 
seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o 
valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 
d) R$ 400,00 d) R$ 700,00 
e) R$ 800,00 e) R$ 600,00 
f) R$ 500,00 
 
Sol.: Esta foi uma das mais tranqüilas questões presentes na prova do Fiscal da Receita 
de 1998. Aqui, o enunciado começou falando de elementos de uma operação de 
Desconto Simples Comercial (por Fora). Disse o valor do Desconto por fora 
(Df=600,00), disse o tempo de antecipação (n=4m) e disse a taxa (i=5% a.m.). Na 
segunda frase, ele pede que calculemos o Desconto Racional Simples “correspondente”. 
Por essa palavra “correspondente” entenderemos que serão mantidas as mesmas 
condições do Desconto por Fora, ou seja, a mesma taxa e o mesmo tempo de 
antecipação. 
 O que precisamos saber é que existe uma fórmula que se encaixa perfeitamente 
neste tipo de enunciado. Ela nos dá a relação entre os valores dos descontos simples 
por dentro e por fora. 
Teremos: 
Df = Dd (1 + i.n) 
 
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 Aqui, taxa (i) e Tempo (n) já estão na mesma unidade. A taxa é mensal (5% ao 
mês) e o tempo de antecipação está em meses (4 m). Resta aplicar a fórmula, 
lembrando de usar a notação unitária da taxa. Teremos: 
 
Df = Dd (1 + i.n) 600 = Dd (1 + 0,05x4) Dd = 600 / 1,20 
 
Daí: Dd = 500,00 Resposta! 
 
 
20. (AFRF-2002/1) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao 
período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital 
aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda 
que 
1,204 =2,0736; 
1,204,5 =2,271515 e 
1,205 =2,48832. 
a) 107,36% d) 130% 
b) 127,1515% e) 148,832% 
c) 128,096% 
 
Sol.: Essa questão nos traz um ensinamento importantíssimo, e que valerá para toda e 
qualquer situação semelhante. É o seguinte: muitas questões de estatística vão pedir 
que se calcule o valor de um elemento como porcentagem de outro elemento. 
 Neste caso, por exemplo, queremos o cálculo dos juros como porcentagem do 
capital. Este último será o nosso elemento de referência. E para este elemento de 
referência atribuiremos o valor 100 (cem)! É este o artifício! 
 Sabendo disso, os dados de nossa questão são os seguintes: 
 
 C=100 (artifício) 
 i=20% ao período (juros compostos!) 
 n=4 períodos e meio 
 J=? (como porcentagem do Capital) 
 
 Ocorre que a questão quer que trabalhemos os Juros Compostos por um método 
chamado de Convenção Linear. 
 Se resolve em dois passos. No primeiro, trabalharemos com a fórmula 
convencional dos Juros Compostos, só que considerando apenas a primeira parte do 
tempo, ou seja, 4 períodos. 
 Quando a questão chama a unidade de tempo de período, significa que pode ser 
qualquer um: mês, ano etc. Ou podemos deixar com esse nome mesmo: período! 
 Vamos ao primeiro passo da resolução. 
 
 1º Passo) M = C (1 + i)n 
 
 Daí: M = 100.(1 +0,20)4 
 
 Observemos que o valor do parênteses acima foi um dado adicional da questão! 
Temos, pois, que: (1,20)4=2,0736 
 
 Daí: M=100x2,0736 M=207,36 
 
 
 
 
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 Esse é o resultado apenas do primeiro passo! Agora seguiremos adiante, 
lembrando-nos de que, na Convenção Linear, o Montante do primeiro passo transforma-
se no Capital do segundo. Além disso, trabalharemos agora apenas com a segunda 
parte do tempo: aquela que não foi utilizada no primeiro passo. Nossos dados agora são 
os seguintes: 
 
 C=207,36 (antigo montante!) 
 i=20% ao período 
 n=0,5 período 
 M=? 
 
 Só nos resta lembrar de uma informação crucial: o segundo passo da Convenção 
Linear é uma aplicação de Juros Simples! Daí, teremos: 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J 
 
 (i.n) 
 
Trabalharemos com a seguinte equação: 
 
ni
MC
.100100 +
= 
 
 Somente lembrando que, para aplicarmos a fórmula acima, teremos que ter taxa 
e tempo na mesma unidade. Já estão? Sim, já estão! Daí: 
 
 
ni
MC
.100100 +
= 
5,020100100
36,207
x
M
+
= M=228,096 
 
 Reparemos no seguinte: o montantedo segundo passo é o montante final da 
operação. E o que foi pedido mesmo de nós? Juros! Ora, juros é a diferença entre 
montante e capital. Daí, teremos: 
 
 J=M-C J=228,096 – 100 J=128,096 
 
 Como usamos o artifício de chamar Capital de 100, diremos que: 
 
 J=128,096 % do Capital Resposta! 
 
 Outra maneira mais rápida de resolver os Juros Compostos por meio da 
Convenção Linear é mediante aplicação direta da fórmula abaixo: 
 
( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= 
 
 Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e 
 K é parte quebrada! 
 
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 Por exemplo, se temos que a aplicação durou 4,5 meses (como nesta nossa 
questão), então n=4 e k=0,5. 
 Daí, teríamos que: 
 
 ( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= ( ) ( )5,020,01.20,01.100 4 xM ++= M=228,36 
 
 Uma vez que J=M-C , então: J=228,36 – 100 J=128,36 
 
Como adotamos que C=100 , então: 
 
J=128,36% do Capital Resposta! 
 
Como vêem, fica bem mais prática a resolução pela fórmula, embora esta seja 
um mero retrato do método explicado na primeira solução. Senão, vejamos: o primeiro 
parênteses da fórmula diz respeito à operação no Regime Composto (juros compostos), 
enquanto o segundo parênteses diz respeito à operação no Regime Simples (juros 
simples). 
A última observação acerca da fórmula acima é que, em ambos os parênteses, a 
taxa será expressa em termos unitários! E só! Próxima. 
 
 
29. (SEFAZ-PI-2001) José tem uma dívida a ser paga em três prestações. A primeira 
prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao final do terceiro mês; a segunda é de R$ 
320,00 e deve ser paga ao término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser 
paga ao final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5% ao 
mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final 
do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa de juros contratada de 5%. Se o 
credor aceitar a proposta, então José pagará nesta única prestação o valor de: 
a) R$ 1.214,91 d) R$ 2.352,25 
b) R$ 2.114,05 e) R$ 2.414,91 
c) R$ 2.252,05 
 
Sol.: Questãozinha clássica de Equivalência de Capitais. O sujeito assume uma forma 
original de pagamento de uma dívida qualquer, e depois deseja alterar, substituir, 
modificar aquela forma inicial de pagamento por uma outra maneira de quitar a dívida. 
 Para que ninguém saia perdendo – nem o credor, nem o devedor – será preciso 
que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira! 
 Daí o nome Equivalência de Capitais. 
 Desenhemos a questão: 
 X 
 
 980, 
 
 420, 
 320, 
 
 
 
 3m 7m 9m 12m 
 (I) (I) (I) (II) 
 
 Designamos por (I) as parcelas da primeira forma de pagamento e por (II) a 
única parcela da nova forma de quitação da dívida. 
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 Se estamos bem lembrados, resolver a Equivalência de Capitais é seguir uma 
receita de bolo! Haverá os passos preliminares e os passos efetivos. Sigamos os passos 
conforme descritos na seqüência abaixo: 
 
 Passos Preliminares: 
 1º) Desenhar a questão! Já o fizemos. 
 
 2º) Definir quem será primeira (I) e quem será segunda (II) forma de 
pagamento! Também já o fizemos. 
 
 3º) Colocar taxa (i) e tempos na mesma unidade. A taxa é mensal (5% a.m.) e 
os tempos das parcelas estão todos em meses. Ou seja, esse passo já veio feito para 
nós! 
 
 4º) Definir qual o regime da operação. Aqui ficou fácil, vez que o enunciado nos 
falou expressamente que a taxa é de juros compostos! Sendo assim, estamos diante de 
uma questão de Equivalência Composta de Capitais. Destarte, será resolvida por meio 
de operações de Desconto Composto por Dentro! E será sempre assim. Ou seja: 
equivalência composta só se resolve por desconto composto por dentro! 
 
 5º) Definir onde ficará a nossa Data Focal. Escolheremos, neste caso, a data 12 
meses. Lembramos que na Equivalência Composta esse escolha é livre. Todavia, a 
escolha da data focal que está mais à direita do desenho nos será útil, vez que 
estaremos trocando divisões por produtos, conforme veremos adiante. 
 
 Passos Efetivos: 
 
1º) Levar para a Data Focal (um a um) os valores da primeira forma de pagamento. 
 
 Comecemos pela parcela R$980,00 que está na data 3 meses. Teremos: 
 
 E 
 
 980, 
 
 
 
 
 
 
 3m 12m 
 (Data Focal) 
 
 Como fazer esse transporte? Por meio da operação de desconto definida no 
quarto passo preliminar, ou seja, pelo Desconto Composto por Dentro. Teremos, pois: 
 
 E = 980.(1+0,05)9 
 
 O valor do parênteses acima (que aprendemos no primeiro curso a chamar de 
parênteses famoso!) pode ser encontrado com o auxílio da Tabela Financeira! Faremos: 
 
 
 
 
 
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TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 
7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 
8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992562 2,143588 
9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004 2,171893 2,357947 
10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925 2,367363 2,593742 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 
 
 
Daí: E = 980.(1+0,05)9 E=980x1,551328 E=1.520,30 
 
Esse valor fica guardado para o final da questão! 
 
 Prosseguindo, trabalharemos agora a parcela R$320,00 e teremos: 
 
 F 
 
 
 
 
 320, 
 
 
 
 7m 12m 
 (Data Focal) 
 
 Daí, pelo Desconto Composto por Dentro, teremos que: 
 
 F = 320.(1+0,05)5 
 
 Por meio da Tabela Financeira, encontraremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i n 
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TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 
... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... 
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 
 
 
 
Daí: F = 320.(1+0,05)5 F=320x1,276281 F=408,41 
 
 Por fim, trabalhando agora com a última parcela da primeira obrigação, teremos: 
 
 G 
 
 
 
 420, 
 
 
 
 
 9m 12m 
 (Data Focal) 
 
 Usando novamente o desconto composto por dentro, teremos que: 
 
 G = 420.(1+0,05)3 
 
 Usando a Tabela Financeira, teremos: 
 
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 
 
 
Daí: G = 420.(1+0,05)5 G=420x1,157625 G=486,20 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 27
 
 Com isso, encerramos o primeiro passo efetivo de resolução. O segundo passo 
consiste em transportar para a Data Focal os valores da segunda forma de pagamento. 
Ora, só temos uma parcela de segunda forma de pagamento, e que já se encontra 
exatamente onde queremos, ou seja, sobre a data focal. 
 Assim, o segundo passo efetivo já está feito, sem precisarmos mover uma palha! 
 O terceiro e derradeiro passo de nossa resolução, consiste unicamente na 
aplicação da chamada Equação de Equivalência de Capitais. Teremos que: 
 
∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Onde a primeira parte da equação representa a soma dos valores da primeira 
forma de pagamento depois de levados para a data focal, e a segunda parte da equação 
será a soma dos valores da segunda forma de pagamento, também depois de levados 
para a data focal. 
Daí, teremos que: E + F + G = X 
 
 1.520,30 + 408,41 + 486,20 = X 
 
 X = 2.414,91 Resposta! 
 
 
39. (SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de 
R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de 
quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. 
Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada 
uma das prestações será igual a: 
a) R$ 5.856,23 d) R$ 6.540,00 
b) R$ 5.992,83 e) R$ 7.200,00 
c) R$ 6.230,00 
 
Sol.: Uma boa forma de identificar o assunto de que trata a questão acima é 
justamente fazer o desenho do que é proposto pelo enunciado. Então, temos um valor 
de R$50.000,00 que deverá ser pago em 12 parcelas iguais e consecutivas, só que a 
primeira delas distante 4 meses do dia de hoje. Teremos: 
 
 50.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P 
 
 Uma forma muito prática de resolver essa questão é a seguinte: imaginemos que 
existissem parcelas nesse período de carência, ou seja, nesse intervalo que vai do valor 
R$50.000 até a primeira parcela (a do quarto mês). Imaginando isso, nosso desenho 
seria o seguinte: 
 
 
 
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 50.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P 
 
 Estão destacadas em verde as três parcelas fictícias! A primeira começando 
sempre ao final do primeiro período. 
 Para que servem essas parcelas? Servem, obviamente, para amortizar o valor da 
dívida (R$50.000,00). Estamos, pois, diante de questão de Amortização. 
 
 A fórmula da Amortização é a seguinte: T = P . An¬i 
 
 Onde T é o valor a ser amortizado; P é o valor das parcelas que irão amortizar o 
valor P; n é o número de parcelas de amortização; e i é a taxa composta da operação! 
 
 Porém, quando estamos diante de situação semelhante a esta, em que a primeira 
parcela de amortização localiza-se numa data futura, que não coincide com o final do 
primeiro período, usaremos esse artifício de imaginar parcelas fictícias (a primeira das 
quais localizada ao final do primeiro período), e aplicaremos a seguinte variação de 
nossa fórmula: 
 
T = P . { (Atodas¬i) – (AF¬i) } 
 
 
 Onde todas representa o número total de parcelas, somadas as reais e as 
fictícias; e F representa tão-somente o número de parcelas fictícias! 
 Pronto! Só isso! Daí, teremos que: 
 
 50.000 = P {(A15¬ 4%) – (A3¬ 4%)} 
 
 Consultando os fatores de amortização na Tabela Financeira do An¬i, 
encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 29
 
TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS 
n
n
in )i1.(i
1)i1(a
+
−+
=¬ 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 
2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865 
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787 
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261 
7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419 
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819 5,334926 
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657 6,144567 
11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886874 7,498674 7,138964 6,805190 6,495061 
12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692 
13 12,133740 11,348374 10,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,357650 7,903776 7,486904 7,103356 
14 13,003703 12,106249 11,296073 10,563123 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687 
15 13,865052 12,849263 11,937935 11,118387 10,379658 9,712249 9,107914 8,559478 8,060688 7,606079 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 16,398268 14,992031 13,753513 12,659297 11,689587 10,827604 10,059087 9,371887 8,755625 8,201412 
 
Daí, teremos: 
 
 50.000 = P {(A15¬ 4%) – (A3¬ 4%)} 
 
 50.000 = P {11,118387 – 2,775091} 50.000 = P . 8,3432 
 
 Finalmente, chegaremos a: P=50.000/8,3432 P=5.992,83 Resposta! 
 
 
 É isso! Encerramos assim nosso primeiro encontro. 
 Espero que todos tenham se saído bem, e aguardo no fórum o retorno de vocês 
acerca do tempo meta de hoje, se foi muito curto ou se foi (como eu imagino que tenha 
sido) muito complacente. Ok? 
 Um abraço forte a todos. Fiquem com Deus e até breve! 
 
 
 
 
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CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA FINANCEIRA EM EXERCÍCIOS 1
AULA 02 
 
 Olá, amigos! 
 Tem alguém aí? Tem mesmo? 
 Estou perguntando só porque passou-se a primeira semana, e ninguém deu 
notícia sobrecomo se saíram com o tempo meta da aula de inauguração do curso. 
Espero que esse silêncio signifique que foi tudo bem! Que o tempo sobrou! 
 Começarei este dia de hoje fazendo uma correção da aula passada. Alguns alunos 
viram o erro, e me avisaram pelo fórum. Diz respeito à questão de número 48, de 
Estatística. Uma questão de Curtose, que caiu na prova do AFRF-2002/2. Está na página 
13 da aula anterior. 
 Bem, naquela resolução, eu fiz uma breve explanação acerca da Curtose. Fiz até 
o desenho que ilustra o que vem a ser uma distribuição leptocúrtica, mesocúrtica ou 
platicúrtica. E depois falei a respeito das duas distintas maneiras de se calcular o índice 
de Curtose de um conjunto. Falei da fórmula do coeficiente percentílico de Curtose, no 
final da página 13; e no começo da página 14, cometi o deslize de chamar a segunda 
fórmula de Coeficiente Momento de Assimetria. Que assimetria que nada! O índice é de 
Curtose! Ou seja, o correto seria (lá no início da página 14), Coeficiente Momento de 
Curtose! As fórmulas estão ambas corretas. 
 Mas isso não foi tudo. Acerca das explicações, fora a ressalva acima da troca da 
palavra curtose por assimetria, foi tudo como deveria ter sido. O problema de fato 
surgiu na hora de eu aplicar a fórmula do índice momento de curtose, com os dados 
fornecidos pelo enunciado. 
 O que fiz foi o seguinte: 
( )
( ) ( )
0245,0
500.24
500.682.14
.
.
222
4
4
4 ==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Observem que eu esqueci, imperdoavelmente (mesmo assim espero que me 
perdoem!), de colocar os valores de n que aparecem na fórmula, tanto no numerador 
quanto no denominador. Repararam? 
 Esse n, conforme já sabemos, significa o número total de elementos do conjunto, 
e neste caso valia 100 (cem), pois havia esse dado sido informado no cabeçalho desta 
prova. Eu esqueci de mencionar isso, e esqueci de aplicar esse dado na fórmula. 
 Por sorte que esse meu esquecimento acabou por não influenciar a resposta da 
questão! (Até errando eu acerto!) Mas, fazendo os devidos acertos, teremos que a conta 
será a seguinte: 
 
( )
( )
45,2
100
500.24
100
500.682.14
.
.
222
4
4
4 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
∑
∑
n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Observem que no denominador (fórmula do S4) o n terá que ser elevado ao 
quadrado. E este n2 seria cortado com o n do numerador (fórmula do m4), de modo que 
aquela resposta errada que encontrei na resolução da questão na aula passada teria, na 
verdade, de ser multiplicado por 100. 
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(Vocês estão lembrados que, na hora de dividir uma fração por outra, repetimos a 
primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda, não é isso?). Pois bem! Correção 
feita. 
 Só mais um detalhe. Se estamos usando a fórmula do coeficiente momento de 
curtose, então o valor padrão para efeito de interpretação do resultado é 3 (três). Daí, 
na hora de fazer essas contas, no momento em que encontrarmos dois vírgula qualquer 
coisa, nem precisaremos dar continuidade a esta conta! Claro, pois se é menor que três, 
então a distribuição é platicúrtica! 
 
 É hora de passarmos ao nosso simulado. 
 Da mesma forma que semana passada, apresento-lhes as doze questões de hoje, 
as quais tentaremos resolver (sem olhar as resoluções da segunda parte da aula), no 
seguinte tempo meta: 
 
 TEMPO META DE HOJE: 40 minutos! 
 
 Novamente, marque a hora e comece o teste! Boa sorte! 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de 
X menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 
 
(AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
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Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a 
opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na 
distribuição de freqüências. 
a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 
 
 
23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa 
eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto 
dos salários após o corte de três zeros na moeda é: 
a) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 
 
 
44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de 
assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 
 
 
50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente 
de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale 
a opção correta. 
a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à 
média. 
b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação 
à média. 
c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à 
média. 
d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média 
dos cubos das observações. 
e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à 
média. 
 
 
57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado 
anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, 
medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que 
corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. 
a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11% 
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3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na 
segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 
2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por 
dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor 
do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum 
feriado bancário no período. 
a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 
b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 
c) R$ 2.088,00 
 
 
8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 
4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no 
regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional 
anual de aplicação destes capitais. 
a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 
 
 
16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 
que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de 
cem diase mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros 
simples de 0,1% ao dia. 
a) R$ 10.940,00 d) R$ 12.640,00 
b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,00 
c) R$ 12.080,00 
 
 
21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez 
dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros 
obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 
 
 
33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% 
ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final 
do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao 
final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 
 
 
43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois 
pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no 
valor de R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser 
efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no 
vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma 
repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado 
foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o 
restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de 
juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o de dezembro 
deveria ser igual a: 
a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 
b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 
c) R$ 3.938,48 
 
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2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 
 
 
14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de 
X menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 
 
Sol.: A questão nos trouxe uma distribuição de freqüências, com duas colunas: a das 
classes e uma outra, a qual chamou de P, acompanhada de um sinal de percentagem 
(%). Ora, esse sinal % é o indicativo, é a pista que precisamos para saber que se trata 
de uma coluna de freqüência relativa – F. 
 E se estamos bem lembrados, existem três tipos de freqüências relativas: a 
freqüência relativa simples (Fi), a freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e a 
freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). 
 As duas freqüências relativas acumuladas irão começar ou terminar com 100%. É 
esse nosso caso? Sim! Esta coluna terminou com 100%. Daí, sabemos que é uma 
coluna de freqüência relativa acumulada. Ora, para saber se é crescente ou 
decrescente, basta acompanhar os valores desta coluna. Eles crescem ou decrescem? 
Aumentam ou diminuem? Aumentam. Conclusão final: temos uma coluna de freqüência 
relativa acumulada crescente – Fac. 
 Podemos até reescrever a tabela, da seguinte forma: 
 
Classes Fac 
70-90 5% 
90-110 15% 
110-130 40% 
130-150 70% 
150-170 85% 
170-190 95% 
190-210 100% 
 
 O enunciado nos pede, com outras palavras, para indicarmos qual o percentual de 
elementos do conjunto que apresenta valor (dentro das classes) abaixo de 145. 
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 Analisemos a tabela acima. Vejamos a primeira classe. O que podemos dizer 
sobre ela? 
Ora, a classe vai até o limite de 90, e a freqüência relativa acumulada crescente é 
5%. Então, podemos dizer que até esse limite 90, já acumulamos 5% dos elementos do 
conjunto! Entendemos com isso que 5% dos elementos do conjunto tem valor abaixo de 
90. Compreendido? 
 Daí, afirmaremos que 5% é a Fac associada a esse limite 90. Certo? 
 Para a segunda classe, cujo limite superior é 110, temos Fac de 15%. Isso nos 
leva a concluir que já acumulamos 15% dos elementos do conjunto até esse limite 110. 
Ou seja, 15% dos elementos do conjunto estão abaixo do limite 110. Podemos, pois, 
dizer que 15% é a Fac associada a esse limite 110. Certo? 
 E assim por diante! 
 Teremos: 40% é a Fac associada ao limite 130; 
 70% é a Fac associada ao limite 150; 
 85% é a Fac associada ao limite 170; 
 95% é a Fac associada ao limite 190; 
 O que pergunta a questão? Qual o percentual de elementos do conjunto que 
estão abaixo do limite 145. É isso! Observando as classes da nossa distribuição de 
freqüências, tentemos localizar esse valor 145. Façamos isso. 
 Ora, vemos que 145 não aparece nem como limite inferior, nem como limite 
superior de nenhuma das classes. Ao contrário, é um valor inserido na quarta classe. 
Vejamos: 
Classes Fac 
70-90 5% 
90-110 15% 
110-130 40% 
130-150 70% 
150-170 85% 
170-190 95% 
190-210 100% 
 
 O que fazer agora? Traremos aqui para o lado de fora da tabela aquela classe 
dentro da qual se encontra o limite 145 que nos interessa. Faremos o seguinte desenho: 
 
 130 150 
 
 
 
 Agora, na parte de baixo do desenho, colocaremos a Fac associada a cada limite 
da classe, ou seja, ao limite inferior (130) e ao limite superior (150). Ora, já sabemos 
quem são essas Fac associadas! Teremos, portanto: 
 
 130 150 
 
 
 40% 70% 
 
 Agora o desenho já está quase pronto! Para completá-lo, retornaremos à 
pergunta da questão. O que temos na pergunta? Temos o limite 145, que fica dentro da 
classe. Ora, como os limites da classe ficam na parte de cima do desenho, então 145 
também ficará lá. Teremos: 
 
 
 
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 130 145 150 
 
 
 40% 70% 
 Queremos saber o percentual acima ou abaixo de 145? Abaixo. Logo: 
 
 
 130 145 150 
 
 
 40% 70% 
 
 Pronto! Agora podemos matar a questão, fazendo uma regra-de-três simples com 
os seguintes valores: 
 
 20 
 
 
 15 
 
 130 145 150 
 
 
 40% 70% 
 
 X 
 
 
 30% 
 
 Daí, conhecendo esses quatro valores destacados em azul e vermelho, 
formaremos uma regra-de-três simples para descobrir o valor do X. Teremos: 
 
. 20 . = . 15 . Daí: X=22,5% 
 30% X 
 
 Agora só nos resta compor o resultado! Até a classe anterior já estavam 
acumulados 40% dos elementos do conjunto. Avançando na quarta classe, até 
chegarmos ao limite 145, acumulamos mais 22,5% dos elementos. 
 Daí, concluímos que o percentual de elementos do conjunto abaixo do limite 145 
será: 
 40% + 22,5% = 62,5% Resposta! 
 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
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Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a 
opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na 
distribuição de freqüências. 
a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 
 
Sol.: A questão pede o cálculo da média (aritmética). Como o conjunto está 
apresentado na forma de uma distribuição de freqüências, então encontraremos a 
média pelo método da variável transformada, cujos passossão os seguintes: 
 
1º Passo) verificar se já dispomos da coluna da freqüência absoluta simples (fi). Se já a 
tivermos, passamos ao passo seguinte. Caso contrário, será preciso construí-la. 
 Ora, a tabela fornecida nos traz a coluna das classes e uma coluna de freqüências 
absolutas acumuladas crescentes (fac). Descobrimos isso porque não há nenhum sinal 
indicativo de que fosse uma coluna de freqüência relativa. Ou seja, nenhum sinal de %, 
nem no cabeçalho da coluna, nem ao longo dela. É acumulada porque isso está dito 
sobre a tabela. E é crescente porque os valores da coluna estão sempre aumentando 
(12, 30, 50, ...). 
 Em suma: precisamos construir a coluna da freqüência absoluta simples – fi. Na 
primeira classe (a mais de cima) estas duas freqüências – fi e fac – são iguais. Logo: 
 
Classes de Salário fac fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 E o restante da coluna do fi? Qual o comando de construção? É uma subtração: 
próxima fac menos fac anterior. Daí, teremos: 
 
Classes de Salário fac fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) 
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) 
(12 ; 15] 60 10 (=60-50) 
(15 ; 18] 65 5 (=65-60) 
(18 ; 21] 68 3 (=68-65) 
 
2º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos: 
 
Classes de Salário fac fi PM 
( 3 ; 6] 12 12 4,5 
( 6 ; 9] 30 18 7,5 
( 9 ; 12] 50 20 10,5 
(12 ; 15] 60 10 13,5 
(15 ; 18] 65 5 16,5 
(18 ; 21] 68 3 19,5 
 
 Estamos, obviamente, recordados de que o Ponto Médio de uma classe é aquele 
ponto que está exatamente no meio daquela classe! O próprio nome sugere isso! Caso 
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não consigamos enxergar facilmente quem é o PM de uma classe, só teríamos que 
somar o limite inferior da classe, mais o limite superior, e dividir esse resultado por 
dois. Ou seja: PM=(linf + lsup) / 2 
 Ainda existe um facilitador: se as classe são todas de mesma amplitude (como 
ocorre nesta tabela, em que h=3), basta encontrarmos o valor do primeiro ponto médio 
(o PM da primeira classe) e sair somando esse valor com o da amplitude (h). Lembrados 
disso? Pois bem, adiante! 
 
3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável, aceitando a seguinte 
sugestão: (Ponto Médio menos 1º Ponto Médio) / amplitude da classe. Ou seja, 
construiremos a seguinte coluna: 
 
Classes de Salário fac fi PM ( ) YiPM =−
3
5,4
 
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 
( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 
( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 
(12 ; 15] 60 10 13,5 3 
(15 ; 18] 65 5 16,5 4 
(18 ; 21] 68 3 19,5 5 
 
 Analisemos o que foi feito: tomamos os Pontos Médios originais, ou seja, os 
Pontos Médios relativos à variável original e os transformamos por meio de duas 
operações: 1ª operação) subtraímos de 4,5 (que é o valor do primeiro ponto médio!); e 
2ª operação) dividimos por 3 (que é o valor da amplitude da classe!). 
 Com isso, deixamos de trabalhar com a variável original (os salários da primeira 
coluna) e passamos a trabalhar com uma chamada variável transformada! 
 Outra curiosidade é que, caso sigamos a sugestão de transformação da variável 
que foi aqui adotada [(PM menos 1º PM)/amplitude da classe] teremos que essa coluna 
será sempre formada pelos valores zero, um, dois, três, ... 
 Viram isso? Será sempre assim, desde que as classe tenham mesma amplitude! 
 
4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e fazer seu somatório. Teremos: 
 
Classes de Salário fac Fi PM ( ) YiPM =−
3
5,4
 
Yi.fi 
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0 
( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 18 
( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 40 
(12 ; 15] 60 10 13,5 3 30 
(15 ; 18] 65 5 16,5 4 20 
(18 ; 21] 68 3 19,5 5 15 
 68 123 
 
5º Passo) Calcular o valor da Média da Variável Transformada Y: 
 
 Ora, para fazer isso, aplicaremos a fórmula do cálculo da média para uma 
distribuição de freqüências. É a seguinte: 
 
n
Yifi
Y ∑= . 
 Daí, teremos: 
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n
Yifi
Y ∑= . 81,1
68
123
==Y 
 
6º Passo) Aplicarmos, à coluna de transformação, as propriedades da Média, para soma, 
subtração, produto e divisão. 
 Ou seja, se estamos trabalhando com Média Aritmética, só precisamos nos 
lembrar de uma frase: a média é influenciada pelas quatro operações. 
 Sabendo disso, faremos: 
 
( ) YPM =−
3
5,4
 
( ) YX =−
3
5,4
 
( ) YX =−
3
5,4
 
 
 Ou seja, onde há X passa a haver X e onde há Y passa a haver Y . Simplesmente 
isso! Daí, verificamos que o valor de Y já é nosso conhecido. Foi calculado no passo 
anterior. Logo, isolaremos o X e o calcularemos. É o próximo passo! Teremos: 
 
( ) YX =−
3
5,4
 
( ) 81,1
3
5,4
=
−X
 X -4,5=5,43 X =9,93 Resposta! 
 
 
23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa 
eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto 
dos salários após o corte de três zeros na moeda é: 
b) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 
 
Sol.: Uma questão mais fácil, mas que envolve o conhecimento de propriedades da 
Variância. 
 O enunciado forneceu a variância original do conjunto: S2=1,1627x1010 
 Essa variância representa salários, ou seja, dinheiro. 
 Após, disse que os salários, que são os elementos do conjunto, sofreram um corte 
de três zeros na moeda! 
 Essa é a informação crucial do enunciado. Sofrer um corte de três zeros na 
moeda representa qual tipo de operação? Soma, subtração, produto ou divisão? 
 Imagine um salário de R$1000 (mil reais). Para sofrer um corte de três zeros, 
passaria a R$1 (um real). Ora para mil se transformarem em um, houve obviamente 
uma divisão! Por quanto? Por mil. 
 Conclusão: cortar três zeros de um salário corresponde à operação de dividir por 
mil. 
 O que precisamos saber agora é qual será o reflexo dessa divisão no tocante à 
Variância. Aí entra a propriedade: se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos 
de um conjunto original por uma constante, a nova Variância será a variância original 
multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da mesma constante! 
 É isso que reza a propriedade. 
 Se a constante usada na divisão foi 1000 (=103), então a nova variância será a 
variância original dividida pelo quadrado de mil, ou seja, por (103)2 = 106. 
 Daí: 
 
 Nova Variância = (1,1627x1010)/106 = 1,1627x104 Resposta! 
 
 Só para não perder a viagem, relembremos a propriedade da variância para soma 
e subtração. Ocorre alguma coisa com a variância de um conjunto, caso todos os 
elementos deste sejam somados (ou subtraídos) por uma constante? Não! 
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CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA FINANCEIRA EM EXERCÍCIOS 11
Absolutamente nada! Uma vez que a Variância é uma medida de dispersão, de modo 
que não será influenciada por operações de soma e subtração. 
 Próxima! 
 
44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de 
assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 
 
Sol.: A questão pede o cálculo da Assimetria do conjunto, determinada pelo primeiro 
coeficiente de assimetria de Pearson. 
 Se não lembrássemos da fórmula, na hora de resolver essa questão na prova, 
nem seguiríamos adiante...! Conhecer a fórmula é, pois, fundamental! Teremos que: 
 
( )
S
MoXA −= 1º Coeficiente de Pearson! 
 
 Se verificarmos as opções deresposta desta questão, elas já trazem o S (desvio-
padrão) no denominador. Ou seja, não será preciso calcular aqui o valor deste S. 
Precisaremos, portanto, para chegar à resposta, calcular as medidas que compõem o 
numerador da fórmula, quais sejam, Média e Moda. 
 
 Comecemos pelo cálculo da média: 
 
1º Passo) Fazer todo o trabalho preliminar necessário para construção da coluna de 
freqüência absoluta simples – fi. Esse trabalho já é nosso conhecido! Teremos o 
seguinte: 
 
Classes Fac Fi fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 n=200 
 
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 Observe que constatamos que n (número de elementos do conjunto) é igual a 
200 quando lemos, no enunciado, que foram examinados 200 itens... Certo? Pois bem! 
Agora, passemos aos passos seguintes para cálculo da média. 
 
 
2º Passo) Construção da coluna dos pontos médios. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi PM 
70-90 5% 5% 10 80 
90-110 15% 10% 20 100 
110-130 40% 25% 50 120 
130-150 70% 30% 60 140 
150-170 85% 15% 30 160 
170-190 95% 10% 20 180 
190-210 100% 5% 10 200 
 n=200 
 
3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. 
 Para isso, seguiremos a sugestão explicada na segunda questão que resolvemos 
hoje: PM menos primeiro PM, dividido pela amplitude da classe. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =−
20
80
 
70-90 5% 5% 10 80 0 
90-110 15% 10% 20 100 1 
110-130 40% 25% 50 120 2 
130-150 70% 30% 60 140 3 
150-170 85% 15% 30 160 4 
170-190 95% 10% 20 180 5 
190-210 100% 5% 10 200 6 
 n=200 
 
4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e somar esta coluna. Teremos: 
 
Classes Fac Fi Fi PM ( ) YiPM =−
20
80
 
fi.Yi 
70-90 5% 5% 10 80 0 0 
90-110 15% 10% 20 100 1 20 
110-130 40% 25% 50 120 2 100 
130-150 70% 30% 60 140 3 180 
150-170 85% 15% 30 160 4 120 
170-190 95% 10% 20 180 5 100 
190-210 100% 5% 10 200 6 60 
 n=200 580 
 
5º Passo) Calcular a Média a variável transformada Y. Teremos: 
 
n
Yifi
Y ∑= . 9,2
200
580
==Y 
 
6º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a 
Média da variável original. 
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CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA FINANCEIRA EM EXERCÍCIOS 13
 Já aprendemos que a média é influenciada pelas quatro operações. Daí, teremos 
que: 
 
( ) YiPM =−
20
80
 
( ) YX =−
20
80
 X -80=2,9x20 X =58+80 X =138,00 
 Agora, passemos ao cálculo da Moda! 
 Para se calcular a Moda de uma distribuição de freqüências, temos antes de mais 
nada que conhecer a fórmula. É a seguinte: 
 
 h
pa
alMo .
)(
inf ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∆+∆
∆
+= 
 
 Esta fórmula corresponde à Moda de Czuber, onde ∆a significa diferença anterior 
e ∆p significa diferença posterior. Diferença de quem em relação a quem? 
 
 ∆a = Diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a 
freqüência simples da classe anterior; 
 ∆p = Diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a 
freqüência simples da classe posterior; 
 
E este limite inferior que inicia a fórmula? É o limite inferior da classe modal. 
E essa amplitude (h)? É a amplitude da classe modal. 
Ou seja, os valores que irão compor a nossa equação referem-se a uma 
determinada classe da distribuição de freqüências, chamada classe modal. 
Daí, saber qual das classes da tabela é a classe modal será nosso primeiro 
trabalho. E é facílimo! A classe modal será sempre aquela que tem maior freqüência 
absoluta simples (maior fi). Só isso! Teremos, portanto, que a classe modal será a 
quarta classe. Vejamos: 
 
Classes Fac Fi fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 n=200 
 
Sabendo disso, teremos: 
 ∆a=60-50=10 
 ∆p=60-30=30 
 linf=130 
 h=20 
 
Lançando os dados na fórmula, encontraremos que: 
 
 h
pa
alMo .
)(
inf ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∆+∆
∆
+= 20.
)3010(
10130 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+=Mo Mo=135,00 
 
 Agora, retornando ao nosso objetivo, que é o cálculo do primeiro coeficiente de 
assimetria de Pearson, teremos que: 
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( )
S
MoXA −= ( )
SS
A 3135138 =−= A=3/S Resposta! 
 
 
50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente 
de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale 
a opção correta. 
a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à 
média. 
b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação 
à média. 
c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à 
média. 
d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média 
dos cubos das observações. 
e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em 
relação à média. 
 
Sol.: Essa questão foi mais fácil um pouco. Desde que, é claro, você conhecesse o 
conceito de momento central de ordem três. 
 Isso porque não foi exigido aqui cálculo de nada! O enunciado só queria mesmo 
saber se o candidato conhecia aquele conceito. 
 Os momentos estatísticos são utilizados para cálculos de assimetria, e também 
para cálculos de curtose. 
 No caso da assimetria, faz-se uso deste terceiro momento central, ou ainda, 
terceiro momento centrado na média aritmética, cuja fórmula é a seguinte: 
 
 
( )
n
XXi∑ −=
3
3µ 
 
 Agora restava apenas procurar a opção de resposta que traduzisse a equação 
acima. A opção “e” faz isso perfeitamente. 
 Olhando para a fórmula, vemos que o numerador corresponde ao cubo dos 
desvios em relação à média. E o denominador é n, que significa número de elementos 
do conjunto. Daí, dividir por n seria encontrar uma média. 
 Logo, o terceiro momento central se traduz como a média dos cubos dos 
desvios em relação à média aritmética. Resposta! 
 
 
 
57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado 
anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, 
medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que 
corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. 
a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11% 
 
Sol.: A questão é de Números Índices, e nos fala acerca de preços sujeitos a uma tal de 
propriedade circular. 
 Esta tal propriedade circular será entendida da seguinte forma: 
 
P0,1 x P1,2 x P2,3 x ... x Pn-1, n = P0,n 
 
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 Em lugar de P (preço) poderia haver Q ou V, caso estivéssemos trabalhando com 
quantidades. 
 Se, em uma questão qualquer, dispusermos dos dados relativos a variações de 
preço (ou de quantidade) de um bem, em diversos anos consecutivos, poderemos 
trabalhar com o uso desta propriedade! 
 
Nesta questão, anotemos as variações apresentadas pelo enunciado: 
 
 Variações de preço: δ1=3% ; δ2=2% ; δ3=2% 
 
 Ora, temos que: 
 
Po,n = 100 + variação de preço 
 
Daí, o segredo agora é ter atenção! O enunciado falou que os acréscimos são 
medidos em relação ao ano anterior, a partir do ano t0. Logo, o ano anterior a t0 é a 
ano t0-1! Daí, a primeira variação (o primeiro δ) será exatamente a do ano t0 em relação 
ao ano t0-1! 
 
Teremos, portanto, os seguintes relativos de preço: 
 %103%3%1000,10 =+=− ttp 
 %102%2%10010,0 =+=+ttp 
 %102%2%10020,10 =+=++ ttp 
 
Daí, aplicando a propriedade circular, teremos que o relativo de preço em t0+2 com 
relação a t0-1 será o seguinte: 
 
Pt0-1,t0+2=(1,03)x(1,02)x(1,02) = 1,0716 = 107,16% 
 
Daí, restaria fazer: Variação de Preço = Pt0-1,t0+2 - 100% 
 
Daí: Variação de Preço = 7,16% Resposta! 
 
Uma outra forma de resolver esta questão, talvez até mais simples, consistia 
apenas em adotar o valor 100 para o primeiro preço(o preço em t0-1). Daí, faríamos as 
variações descritas no enunciado, até chegarmos ao preço do ano desejado, que é o 
t0+2. Vejamos: 
 
 Pt0-1=100 
 
A primeira variação será de 3%. Ora, 3% de 100 é 100x0,03=3. Daí, passaríamos 
a: 
 Pt0=103 
 
O próximo delta é 2%. Daí, calcularemos 2% de 103. Chegaremos a: 
103x0,02=2,06. Somando este valor ao último preço, teremos: 103+2,06=105,06. Daí: 
 
 Pt0+1=105,06 
Finalmente, a última variação foi de 2%. Calculando 2% de 105,06, teremos: 
105,06x0,02=2,1012. Daí, somando este valor ao último preço encontrado, chegaremos 
a: 
 Pt0+2=107,16 
 
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Pronto! Como a questão quer saber a variação do preço de Pt0+2 em relação a 
Pt0-1, só teremos agora que subtrair! 
 
Daí, teremos: 107,16-100=7,16 E poderemos colocar o sinal de %, uma vez 
que a referência é 100. 
 
Teremos, finalmente: 7,16% Resposta!! 
3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na 
segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 
2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por 
dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor 
do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum 
feriado bancário no período. 
a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 
b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 
c) R$ 2.088,00 
 
Sol.: Esta questão é para calar a boca de quem fala que não vale a pena resolver 
questões de provas passadas...! Quem acompanhou a nossa aula passada, vai ver que 
este enunciado é quase uma réplica de uma questão que resolvemos na Aula 01. 
 Existe uma conta, no valor de R$2.000 (dois mil) a ser paga na segunda-feira, dia 
08. Caso haja atraso no pagamento, o devedor incorrerá em dois encargos: uma multa 
fixa de 2% sobre o valor da conta; e juros simples, calculados à taxa de 0,2% ao dia 
útil de atraso. 
 Daí, o enunciado diz que a conta só foi paga no dia 22 do mesmo mês. 
 Iniciemos com o cálculo da Multa Fixa, que independe do número de dias de 
atraso: 
 Multa Fixa = (2/100) x 2000 = R$40,00 
 
 Agora, para calcularmos os juros simples, precisaremos, obviamente, contar os 
dias úteis de atraso. Faremos um pequeno calendário: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
08 09 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 
22 
 
 Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da 
contagem dos dias de atraso. Teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
08 09 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 
22 
 
 Sabemos ainda que o dia 08 não é dia de atraso! Se a conta fosse paga até o 
último minuto do horário bancário do dia 08, então não haveria nenhum encargo 
adicional. O dia 08, portanto, está fora da contagem dos dias de atraso. Teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
08 09 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 
22 
 
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Contamos, portanto, dez dias úteis de atraso! 
Conforme aprendemos na última aula, para cada dia de atraso, o valor dos juros 
a ser pago será de: 
 
 Juros por dia útil de atraso: (0,2/100) x 2000 = R$4,00 
 
 Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: 
 Juros por todo o atraso: 10 x R$4,00 = R$40,00 Juros! 
 
 Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores 
da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: 
 
 R$2.000,00 + R$40,00 + R$40,00 = R$2.080,00 Resposta! 
 
 
8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 
4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no 
regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional 
anual de aplicação destes capitais. 
a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 
 
Sol.: Questão de Taxa Média. Via de regra, questão de aplicação direta da fórmula. Ou 
seja, que se resolve em pouco tempo! Neste enunciado, surgiu um detalhe importante, 
mas nada complicado. 
 Vejamos: as taxas originalmente fornecidas estão todas na mesma unidade. São 
taxas mensais. Daí, aplicando-se a fórmula da Taxa Média, encontraremos como 
resultado também uma taxa mensal. 
 O perigo é alguém não prestar atenção no que a questão está pedindo! 
 O que a questão quer como resposta é uma taxa anual. Ou seja, a taxa mensal 
que será encontrada pela aplicação da fórmula terá, em seguida, que ser alterada para 
a unidade anual. Para se fazer essa alteração, uma vez que estamos trabalhando no 
regime simples, será feito, obviamente, pelo conceito de Taxas Proporcionais. 
 Até o enunciado foi camarada, ao usar as palavras taxa média proporcional 
anual. Foi para ninguém errar! 
 A fórmula da Taxa Média é a seguinte: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3.32.21.1
3.3.32.2.21.1.1
nCnCnC
niCniCniCTM
++
++
= 
 
 Uma vez que as taxas originais estão na mesma unidade, e os prazos das quatro 
aplicações são iguais, já podemos lançar os dados na equação acima. Teremos: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3.32.21.1
3.3.32.2.21.1.1
nCnCnC
niCniCniCTM
++
++
= 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )nnnn
nxnxnxnxTM
.4000.3000.6000.7000
.24000.43000.36000.67000
+++
+++
= 
 
 Percebamos que as parcelas do numerador têm um fator comum, que é o tempo 
“n”. O mesmo ocorre com as parcelas do denominador. Daí, colocando “n” em 
evidência, em cima e em baixo, o “n” será cortado, desaparecendo da fórmula! 
Vejamos: 
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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )nnnn
nxnxnxnxTM
.4000.3000.6000.7000
.24000.43000.36000.67000
+++
+++
= 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) n
nxxxxTM
]4000300060007000[
]24000430003600067000[
+++
+++
= = 4
20000
80000
= % ao mês! 
 
 Agora dê uma olhada nas opções de resposta! Olha lá quem é a opção “a”! 
Coincidência? Absolutamente! A Esaf põe propositadamente os 4% na primeira opção de 
resposta, para pegar os mais apressados. Por isso, nada de precipitação! Quando acabar 
as contas, vale a pena voltar e reler o enunciado, para confirmar o que é mesmo o que 
a questão está pedindo. 
 Aplicando agora o conceito de taxas proporcionais, faremos: 
 
 4% ao mês x 12 = 48% ao ano Resposta! 
 
 
16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 
que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de 
cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros 
simples de 0,1% ao dia. 
a) R$ 10.940,00 d) R$ 12.640,00 
b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,00 
c) R$ 12.080,00 
 
Sol.: Questão de Equivalência de Capitais! Questão de receita de bolo, ou seja, basta 
seguir o passo-a-passo. Como já sabemos, temos os passos preliminares e os passos 
efetivos. Vamos a eles. 
 
Passos Preliminares: 
Vamos fazer tudo de uma vez: desenhar a questão; definir quem é primeira e segunda 
obrigação; colocar taxa e tempos na mesma unidade; definir se o regime é simples ou é 
composto; definir a data focal. Tudo feito, teremos o seguinte: 
 
 X 
 
 4.620, 
 4000, 
 3.960, 
 
 
 
 
 
 -20d 0 50d 100d 
 (II) (I) (II) (II) 
 (DF) 
 
 A equivalência é no regime simples, e como foi expresso no enunciado que a taxa 
da operação é uma taxa de juros, concluímos que as operações de desconto que 
realizaremos serão operações de desconto racional – desconto por dentro! 
 Taxa e tempos já estão na mesma unidade (dias!). 
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 Uma observação importante quanto a escolha dessa data focal. A regra que 
aprendemos é a seguinte: se a questão é de equivalência simples, então quem manda 
na data focal é o enunciado! Ou seja, seja qual for a data focal que a questão indicar, 
estaremos obrigados a adotá-la. E se o enunciadoda equivalência simples silenciar 
quanto à data focal, valerá a convenção de adotar a data zero! 
 Agora, atenção! Lendo e relendo o enunciado acima, você certamente não 
encontrará, em momento nenhum, qualquer alusão à data focal. E a questão é de 
equivalência simples! Só que há uma explicação a ser feita: sempre que o enunciado 
trouxer um texto, pedindo que se calcule um valor na data tal, que seja equivalente a 
outras parcelas em datas distintas, então aquela data tal será a data focal. 
 Por exemplo, se a questão diz: indique o capital hoje, que é equivalente ao capital 
de R$4.620 na data 50 dias, ao capital R$3960 na data cem dias e ao capital R$4000 há 
vinte dias... então pronto! Já está definido: a data focal é justamente aquele hoje! 
 Entendido? Passemos agora aos passos efetivos de resolução. 
 
1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. 
 Ora, este passo já está feito! Claro! Se há somente uma parcela de primeira 
obrigação, que a parcela X, e que já está sobre a data focal, então esta parcela não 
precisará ser levada para lugar nenhum! Passemos logo ao passo seguinte: 
 
2º Passo) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação. 
 
Comecemos pela parcela R$4000, na data -20d. Esse sinal de menos, 
obviamente, só tem efeitos didáticos! Só quer indicar que a parcela seria devida vinte 
dias antes do dia de hoje. Só lembrando: faremos, nesta questão, operações de 
desconto simples por dentro! 
 
 E 
 4000, 
 
 
 
 
 
 
 -20d 0 
 (DF) 
 
Teremos: 
201,0100100
4000
x
E
+
= E=4.080,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Agora, levaremos para a data focal a parcela que está na data 50 dias. Teremos: 
 
 4.620, 
 
 F 
 
 
 
 
 
 0 50d 
 (DF) 
 
 
Teremos: 
501,0100
4620
100 x
F
+
= F=4.400,00 
 
 Por fim, resta a parcela de R$3.960 que está na data 100 dias. 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 3.960, 
 
 G 
 
 
 
 0 100d 
 (DF) 
 
Teremos: 
1001,0100
3960
100 x
G
+
= G=3.600,00 
 
 Finalmente, passemos ao terceiro e último passo da nossa resolução, que consiste 
na aplicação da equação de equivalência. 
 
3º Passo) ∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Teremos: X=4.080+4.400+3.600 Daí: X=12.080, Resposta! 
 
 
21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez 
dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros 
obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
b) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 
 
Sol.: Já temos obrigação de resolver essa questão em pouco tempo, sobretudo depois 
da aula passada, em que aprendemos a utilizar uma equação para trabalhar questões 
de convenção linear! Lembrados? 
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 Aqui, mais uma vez, o enunciado pede que calculemos o valor de um elemento 
(juros) como porcentagem de um outro elemento (capital). Como artifício, adotaremos 
para esse último, que é o nosso elemento de referência, o valor cem. Daí, nossos 
dados são os seguintes: 
 
 C=100,00 
 i=6% ao mês 
 n=6meses e 10dias 
 J=? 
 
 Ora, sabemos que temos que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade! E 
sendo o tempo quebrado em duas unidades (meses e dias, neste caso) temos que ter 
ambas na mesma unidade da taxa. Logo, diremos que 10 dias é o mesmo que um 
terço de mês. Daí: 
 
 n=6 meses + (1/3) mês 
 
 Ok! Estamos prontos para aplicar a fórmula. Teremos: 
 
( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= 
 
 Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e K é parte quebrada! 
Daí, teremos: 
 
 ( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= M=100.(1+0,06)6.(1+0,06x
3
1
) M=144,69 
 
 Encontramos o montante da operação, mas não é isso o que está sendo 
solicitado! A questão quer os Juros. E este se calcula pela diferença entre montante e 
capital. Daí, teremos: 
 
 J=M – C J=144,69-100 J=44,69 
 
 Como o enunciado pede os juros como porcentagem do capital, e pelo fato de 
termos adotado o capital como valendo 100, basta acrescer o símbolo de porcentagem 
aos juros. Teremos: 
 
 J=44,69% do Capital Resposta! 
 
 
33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% 
ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final 
do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao 
final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 
 
Sol.: Esta questão expressa uma das formas de apresentação da questão de 
equivalência de capitais. O entendimento é muito fácil: se eu pego uma quantia de 
dinheiro emprestada de alguém no dia de hoje, obviamente que terei que devolver no 
futuro. Logicamente que o valor a ser devolvido no futuro terá de ser maior que aquele 
que foi tomado emprestado! 
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 Daí, o raciocínio é o seguinte: as parcelas que servirão de devolução do 
empréstimo têm que ser equivalentes ao valor que foi pegue emprestado! Aqui, neste 
enunciado, empréstimo fica como sinônimo de financiamento. 
 Em suma: se eu chamar o que peguei hoje de primeira obrigação, a segunda 
obrigação recairá para a parcela (ou as parcelas) de devolução. 
 Resta fazermos o desenho da questão, e deixar prontos, de uma feita, todos os 
passos preliminares. Teremos: 
 
 10.000, 
 
 6000, 
 X 
 3000, 
 
 
 
 0 1m 2m 3m 
 (I) (II) (II) (II) 
 
 Ora, é bastante claro que se eu peguei dez mil emprestados hoje, e depois paguei 
seis mil um mês depois e mais três mil no segundo mês, é evidente que ainda não 
liquidei a minha dívida! Resta aquela parcela X, na data três meses. 
 Ainda nos passos preliminares, precisamos saber se estamos trabalhando no 
regime simples ou no composto. 
 
 
 Daí, ficou fácil, uma vez que o enunciado apresentou uma taxa nominal, qual 
seja, 120% ao ano capitalizados mensalmente. A questão ainda foi camarada e colocou 
entre parênteses que essa taxa significa regime composto. Não precisava fazer isso! Já 
era nossa obrigação saber disso. 
 Ora, se o regime é o composto, então a equivalência é a composta. E assim 
sendo, as operações de desconto que realizaremos para resolver a questão serão todas 
de desconto composto por dentro (desconto racional)! 
 Antes de mais nada, transformemos nossa taxa nominal em taxa efetiva, por 
meio do conceito de taxas proporcionais. Teremos: 
 
 120% ao ano, c/ capitalização mensal = (120/12) = 10% ao mês 
 
 Agora temos taxa e tempos na mesma unidade! 
 Resta escolher uma data focal. 
 Vale o lembrete: se a equivalência é no regime composto, a escolha da data focal 
é livre! Qualquer uma serve, e a resposta é sempre a mesma. A título de sugestão, é 
bom escolher por data focal aquela que fica mais à direita do desenho! Por quê? Porque 
fazendo assim, estaremos evitando divisões! Estaremos trocando contas de dividir por 
contas de multiplicar. Particularmente, prefiro multiplicar a dividir. E vocês? 
 Nesta questão temos ainda outro motivo para escolher a data três meses como 
sendo a nossa data focal. Além de ser a data mais à direita do desenho, é também 
aquela em que está o valor X, que é por quem estamos procurando! 
 Decidido: a data focal será a data três meses. 
 Passemos ao primeiro passo efetivo de resolução, que consiste em levar para a 
data focal, uma a uma, as parcelas da primeira obrigação! 
 
1º Passo) Só temos uma parcelade primeira obrigação. É o valor do financiamento. Do 
empréstimo! Teremos: 
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 E 
 
 10.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 3m 
 DF 
 
 O desconto é composto e é por dentro. Daí, teremos: 
 
 E=10000.(1+0,10)3 E=10000x1,331 E=13.310,00 
 
 Acabou o primeiro passo. Não há mais ninguém que seja primeira obrigação. 
Passemos ao segundo passo, que consiste em levar para a data focal as parcelas da 
segunda obrigação. 
 
2º Passo) Começando com a parcela de seis mil, na data um mês. Teremos: 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 6000, 
 
 
 
 
 
 1m 3m 
 DF 
 
 Estou certo que todos já perceberam, desde a operação anterior, que o desconto 
composto por dentro é a mesmíssima operação do juros compostos, aqui que estamos 
projetando uma parcela para uma data futura. 
 Prosseguindo, novamente usando o desconto composto racional, teremos: 
 
 F=6000.(1+0,10)2 F=6000x1,21 F=7.260,00 
 
 
Ainda no segundo passo, trabalharemos agora com a parcela de R$3000, que 
está na data dois meses. Teremos: 
 
 
 
 
 
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CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA FINANCEIRA EM EXERCÍCIOS 24
 
 G 
 3000, 
 
 
 
 2m 3m 
 DF 
 
 G=3000.(1+0,10)1 G=3000x1,1 G=3.300,00 
 
 A pergunta agora é a seguinte: terminou o segundo passo? Para responder isso, 
basta dar uma olhada no desenho completo da questão. Ainda há alguma parcela que 
seja segunda obrigação? Sim! Há ainda a parcela X que servirá para liquidar o 
pagamento do empréstimo (financiamento). 
 Pois bem! Mas ocorre que o segundo passo nos manda levar essa parcela X para 
a data focal. Daí, concluímos que não precisaremos fazer isso: já está feito! A parcela X, 
que é parcela de segunda obrigação, já está onde queremos que esteja: sobre a data 
focal. Não precisará ser transportada para lugar nenhum! 
 E quanto vale o X na data focal? Ora, vale ele próprio! 
 Daí, dizemos que nosso segundo passo está concluído. Passemos ao terceiro e 
último, que consiste em aplicar a equação de equivalência de capitais. 
 
3º Passo) Teremos: 
 
∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Já sabemos o que representam a primeira e a segunda partes da equação acima. 
Passemos aos valores: E = F + G + X 
 
 13.310 = 7.260 + 3.300 + X X=2.750,00 Resposta! 
 
 
 
43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois 
pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no 
valor de R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser 
efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no 
vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma 
repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado 
foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o 
restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de 
juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o de dezembro 
deveria ser igual a: 
a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 
b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 
c) R$ 3.938,48 
Sol.: Mais uma questão de equivalência. Havia uma forma original de pagamento de 
uma dívida. Por um motivo qualquer, pretende-se agora alterar essa forma 
originalmente contratada por uma outra maneira de se pagar a mesma dívida. É preciso 
que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira. 
 O desenho da questão, acompanhado dos passos preliminares, será o seguinte: 
 
 
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CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA FINANCEIRA EM EXERCÍCIOS 25
 5.000, 
 4500, 
 3500, 
 X 
 
 
 
 
 0 3m 6m 9m 
 (I) (II) (I) (II) 
 
 Percebamos que, se chamarmos o dia 01/março de data zero; daí, 01/junho virou 
três meses; 01/setembro virou seis meses; e 01/dezembro virou nove meses. Foi 
exatamente isso o que fizemos. 
 O enunciado falou que a taxa é de juros compostos! Daí, estamos na equivalência 
composta de capitais. Operações, portanto, de desconto composto por dentro. 
 Falta escolher a data focal. A escolha é nossa, já que o regime é o composto. Se 
seguirmos a sugestão aprendida na questão anterior, adotaremos a data focal nove 
meses. Pode ser? Claro! Pelos mesmos dois motivos: é a data mais à direita do desenho 
(trocamos divisões por multiplicações!) e é a data em que está o X da questão! 
 Passemos aos três passos efetivos de resolução. 
 
1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira forma de pagamento (primeira 
obrigação). Começando pela parcela $3.500 que está na data zero. Teremos: 
 
 E 
 
 3500, 
 
 
 
 
 
 0 9m 
 DF 
 
Daí: E=3500.(1+0,05)9 E=3500x1,551328 E=5.429,65 
 
 O valor do parênteses famoso acima (1+0,05)9 será encontrado com auxílio da 
Tabela Financeira! 
 
 
 
 Ainda não acabou o primeiro passo. Trabalharemos agora com a parcela de 
R$4.500, que está na data seis meses. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSOS ON-LINE – ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA FINANCEIRA EM EXERCÍCIOS 26
 F 
 
 4500, 
 
 
 
 
 
 
 6m 9m 
 DF 
 
Daí: F=4500.(1+0,05)3 F=4500x1,157625 F=5.209,31 
 
 
Nova consulta à Tabela Financeira do parênteses famoso, para chegarmos ao 
valor F. 
Fim do primeiro passo. Passemos ao segundo, e levemos para a data focal os 
valores da segunda forma de pagamento (segunda obrigação). 
 
2º Passo) Começando com a parcela R$5000, na data 3 meses. Teremos: 
 
 G 
 
 5.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 3m 9m 
 DF 
 
 Daí: G=5000.(1+0,05)6 G=5000x1,340096 G=6.700,47 
 
 Terminou o segundo passo? Sim, uma vez que a outra parcela de segunda 
obrigação, que é a parcela X, já está sobre a data focal. E quanto vale esse X na data 
focal? Ele próprio! 
 Passemos ao terceiro passo efetivo de nossa resolução.3º Passo) Teremos: ∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
 E + F = G + X 
 
 5.429,65 + 5.209,31 = 6.700,47 + X X=3.938,49 Resposta! 
É isso! 
Encerramos nossa aula, e eu espero que todos estejam se saindo bem com as 
questões e que esse curso esteja se prestando bem a seu propósito! 
Um abraço a todos e fiquem com Deus! 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 1
AULA 03 
 
 Olá, amigos! 
 Chegamos à nossa terceira aula, com mais um simulado. 
 Pouco (quase nenhum!) retorno tenho tido em relação a como vocês têm se saído 
na resolução das aulas passadas. Vou imaginar que estão se saindo bem! 
 Quanto ao tempo meta, estou pensando se não seria o caso de eu deixá-lo de 
lado... Talvez (não tenho certeza disso) alguns estejam se sentindo desestimulados, por 
não estar conseguindo cumprir a resolução no tempo estabelecido... 
 Não sei. O objetivo era justamente o contrário! 
 Uma coisa eu quero que todos tenham em mente: o tempo médio para se 
resolver uma questão do AFRF é algo em torno de quatro minutos. Não mais que isso! 
Significa dizer que há questões mais fáceis na prova, as quais temos obrigação de 
resolver em pouco tempo. Leia-se: em menos de quatro minutos. Daí, na hora de 
resolver a questão demorada, poderemos usar os quatro minutos e mais aqueles que 
sobraram da questão mais fácil. É assim que funciona. 
 Nestes nossos simulados semanais, eu mesclei questões com diferentes níveis de 
dificuldade, exatamente como faz a elaboradora da prova. De sorte que, se alguém 
achar uma questão muito fácil, deve tentar tirar vantagem disso e ganhar o máximo de 
tempo possível. 
 Então, se temos em nossas aulas doze questões, um tempo razoável de resolução 
seria algo em torno de 48 minutos (4x12). Podemos arredondar para 50 minutos e fica 
tudo em casa. Ok? 
 Se vocês concordarem, passará a ser este – 50 minutos – o nosso tempo meta 
doravante. Quem conseguir fazer em menos tempo, ótimo! Quem não conseguir, deve 
continuar tentando. 
 E para quem pensa que não conseguirá nunca, nada de desânimo. Eu, quando 
comecei a estudar, às vezes levava um dia inteiro brigando com uma única questão. Até 
que fui descobrindo o caminho das pedras, e as coisas foram clareando mais e mais. 
Treino. Não tem outro segredo. 
 É isso! Chega de lero-lero. Seguem as doze questões de hoje. 
 Marque o tempo, respire e comece a resolver. Boa sorte! 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
3. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa 
amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 2
8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 
165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de 
mulheres no clube é de: 
a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% 
 
 
15. (AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde 
ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. 
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 
 
 
24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio 
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 
10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: 
a) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000, 
 
 
29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a 
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral 
M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a 
opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. 
a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0% 
 
 
46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 3
4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 
12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 
18% ao ano, desprezando os centavos. 
a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 
b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 
c) R$ 715,00 
 
10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual 
seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. 
a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 
b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 
c) R$ 9.500,00 
 
18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à 
taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a 
convenção linear para cálculo do montante. 
a) 22,5% d) 26,906% 
b) 24% e) 27,05% 
c) 25% 
 
34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto 
outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os 
dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum 
levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor 
do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto 
mês. 
a) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 
b) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 
c) R$ 33.538,25 
 
40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária 
no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo 
devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a 
pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que 
custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas 
condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se 
aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
a) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 
b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 
c) R$ 1.800,00 
 
54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de 
uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 
1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, 
vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo 
segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor 
nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos 
títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao 
ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo 
custos de intermediação financeira, de registro etc. 
a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 
b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 
c) US$ 930.00 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 4
 
2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntosas resoluções de hoje! 
 
 
3. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa 
amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população 
com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900 
Sol.: Embora o enunciado não tenha falado expressamente, teremos que aplicar aqui a 
tal interpolação linear da ogiva, para chegarmos à resposta. Esta técnica, como já vimos 
em aula pretérita, consiste meramente em fazermos uma regra-de-três simples, a fim 
de descobrirmos qual a participação daquelas classes que entram somente parcialmente 
no resultado. 
 Analisemos juntos: o enunciado pede que encontremos o número de elementos 
do conjunto com valores maiores que 50,5 e menores que 95,5. Ora, dentro deste 
intervalo solicitado (50,5 a 95,5) teremos que: 
 a primeira classe não participa da resposta (valores abaixo de 50,5); 
 a segunda classe não participa da resposta (valores abaixo de 50,5); 
 a terceira classe, sim, entra na resposta, só que parcialmente! 
 a quarta, quinta e sexta classes entram integralmente na resposta! 
 a sétima (e última) classe também entrará só parcialmente no resultado. 
Sabendo disso, tomaremos aqui as duas classes que integram apenas 
parcialmente o resultado (a terceira e a sétima) e faremos, portanto, duas regras-de-
três, uma para cada classe, a fim de descobrirmos com quantos elementos do conjunto 
essas classes irão compor a nossa resposta procurada. 
Recordando a aula passada, em que trabalhamos uma questão semelhante a 
essa, sabemos que será preciso, antes da regra-de-três, conhecermos a coluna da 
freqüência absoluta acumulada crescente – fac. Teremos: 
 
Classes Freqüência 
(f) 
fac 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 5
Para formar a regra-de-três (espero que estejamos lembrados da aula passada!), 
formaremos um desenho da classe que participa somente parcialmente do resultado, 
colocando na parte de cima do desenho os limites da classe. Assim: 
 
 linf lsup 
 
 
 E na parte de baixo do desenho, as freqüências acumuladas crescentes 
associadas a cada um desses dois limites. Na aula passada, trabalhamos uma questão 
em que essas freqüências acumuladas crescentes eram freqüências relativas, pois lá 
estávamos trabalhando com percentuais de elementos. 
 Aqui, usaremos a freqüência absoluta acumulada crescente, uma vez que 
estamos tratando de número de elementos (e não de porcentagens!). Teremos: 
 
 linf lsup 
 
 fac fac 
 
Enfim, completando o desenho, colocamos aquele valor, dentro da classe, que é 
fornecido pelo enunciado, acima ou abaixo do qual se deseja conhecer a freqüência 
associada. 
Daí, trabalhando a regra-de-três para a terceira classe, teremos: 
 10 
 
 
 9 
 
 49,5 50,5 59,5 
 
 
 12 26 
 
 X 
 
 
 14 
 Daí: 
. 10 . = . 9 . Daí: X=12,6 
 14 X 
 
 Agora, construindo a regra-de-três da última classe, teremos: 
 10 
 
 
 6 
 
 89,5 95,5 99,5 
 
 
 90 100 
 
 X 
 
 
 10 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 6
 Daí: 
. 10 . = . 6 . Daí: X=6 
 10 X 
 
Agora, finalmente, já podemos compor o nosso resultado. Teremos: 
 
 Terceira Classe: 12,6 
 Quarta Classe: 20,0 
 Quinta Classe: 26,0 
 Sexta Classe: 18,0 
 Sétima Classe: 6,0 
 Total: 82,6 
 
Procurando entre as opções de resposta, não encontraremos esse valor 82,6. Mas 
isso já era esperado. E por quê? Porque o este resultado diz respeito à tabela do 
enunciado, a qual, por sua vez, representa uma amostra! Daí, 82,6 é um resultado 
amostral. 
Relendo a questão, vemos que é pedido um resultado referente à população! Um 
resultado populacional. 
Daí, precisamos saber a relação que há entre esta amostra e a população 
respectiva. Foi dito isso no enunciado: uma amostra de cem, extraída de uma população 
de mil indivíduos. Ora, ficou evidenciado que a amostra representa 10% (dez por cento) 
da população. Conclusão: o resultado amostral que encontramos terá que ser 
multiplicado por dez, para chegarmos ao resultado populacional. 
Claro! Vejamos: 
 
Amostra População 
 10% ----- x 10 ------- 100% 
 
 Daí, faremos: 
 
 Resultado Amostral Resultado Populacional 
 82,6 --------x10 ------- 826 
 
 826 Resposta da Questão! 
 
 
8. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 
165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de 
mulheres no clube é de: 
b) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% 
 
Sol.: Trabalharemos com a propriedade da média das médias! Uma propriedade muito 
simples, que usaremos quando o enunciado nos falar em dois grupos menores (no caso, 
homens e mulheres), e quiser alguma informação relacionada ao número de elementos 
de cada um desses grupos, ou à sua média. Já trabalhamos uma questão semelhante na 
aula um. 
 A rigor, essa propriedade consiste numa mera aplicação da fórmula seguinte: 
 
( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX
+
+
= 
 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 7
 Onde NA e NB representam o número de elementos dos dois grupos originais e 
AX e BX as suas médias. Os dados fornecidos pela nossa questão são os seguintes: 
 Média Global das alturas = GLOBALX =165 cm 
 Média das alturas dos Homens = AX =172 cm 
 Média das alturas das Mulheres = BX = 162 cm 
 
 Teremos, portanto, que: 
 
( ) ( )
( )BA
BBAA
GLOBAL
NN
xNXxNXX
+
+
= 
( ) ( )
( )BA
BA
NN
xNN
+
+
=
162172165 
 
Daí, multiplicando cruzando, teremos: 
 
 165.NA + 165.NB = 172.NA+162.NB E: 7.NA = 3.NB 
 
Como a questão pergunta a porcentagem de mulheres, teremos: 
3
7
=
HOMENS
MULHRES
N
N
 
 
 Ou seja, mulheres e homens estão numa proporção de sete para três. Se 
considerarmos o conjunto inteiro com cem pessoas, seguindo a proporção encontrada, 
teríamos que 70 seriam mulheres, enquanto que 30 seriam homens. 
 
 Conclusão: a proporção de mulheres do clube é de 70% Resposta! 
 
 
15. (AFRF-2000) 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde 
ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. 
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 
 
Sol.: Para cálculo da Mediana de uma distribuição de freqüências, trabalharemos de 
modo semelhante ao questão anterior! Só precisamos nos lembrar do próprio conceito 
da Mediana: é aquele elemento que divide o conjunto em duas partes iguais. 
 Daí, no primeiro momento, calcularemos o valor de n (número de elementos do 
conjunto) e da fração (n/2). 
 Antes de mais nada, contudo, precisamos descobrir que tipo de coluna de 
freqüência foi essa fornecida na tabela acima. Está dito que são freqüências 
acumuladas. Relativas elas não são, pois não há o sinal de porcentagem (%) em lugar 
nenhum! Então, são absolutas. Crescentes ou decrescentes? 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICAFINANCEIRA 8
Aí basta examinar os valores da coluna. Estão crescendo? Sim. Conclusão: 
estamos diante de uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes – fac. 
 Sabemos bem que o n de um conjunto pode ser encontrado somando os valores 
da coluna de freqüência absoluta simples – fi. Mas também sabemos que o n será 
sempre a fac da última classe! Vejamos: 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68=n 
 
 Daí, diremos que: n=68 e (n/2)=34 
 
 Feito isso, como próximo passo, compararemos os valores das fac com este 
resultado (n/2), começando pela primeira fac e fazendo a seguinte pergunta: “Esta fac 
é maior ou igual a (n/2)?” 
 Enquanto a resposta for não, seguiremos para a fac seguinte, e repetiremos a 
pergunta. Até que a resposta seja sim. Daí, procuraremos a classe correspondente, e 
diremos que esta será nossa classe mediana. Façamos isso agora: 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
 
( 3 ; 6] 12 12 é ≥ 34? Não! (pra frente!) 
( 6 ; 9] 30 30 é ≥ 34? Não! (pra frente!) 
( 9 ; 12] 50 50 é ≥ 34? SIM! 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 Daí, a Classe Mediana é a terceira classe (9 a 12). 
 
 Agora, como próximo passo, desenharemos a classe mediana, colocando na parte 
de cima os limites desta classe, e na parte de baixo as freqüências absolutas 
acumuladas crescentes (fac) associadas a estes limites. Daquela forma que já havíamos 
falado na questão passada: 
 
 linf lsup 
 
 fac fac 
 
 Daí, teremos: 
 
 9 12 
 
 30 50 
 
 
 
 
 
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 Agora, o que nos interessa? Interessa-nos saber qual será o valor, dentro dos 
limites dessa classe mediana, que ocupa a posição 34. Percebamos que esta posição 
será indicada exatamente pela fac. Em outras palavras: qual será o valor dentro da 
classe mediana que está associado à fac 34? Este valor será a Mediana! 
 Teremos, pois, que: 
 3 
 
 
 X 
 
 9 Md 12 
 
 
 30 34 50 
 
 4 
 
 
 20 
 
 Daí, fazendo uma regra-de-três simples, teremos que: 
 
. 3 . = . X . Daí: X=0,6 
 20 4 
 
Agora, apenas olhando para o desenho acima, vemos que a Mediana será a soma 
do limite inferior da classe mediana com o valor do X que acabamos de encontrar. 
Teremos, pois, que: 
 
 Md=9+0,6 Md=9,6 Resposta! 
 
24. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio 
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 
10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: 
b) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000, 
 
Sol.: Questão simples, mas que exige o conhecimento de uma das propriedades do 
desvio-padrão. 
 Inicialmente, teremos que tentar traduzir matematicamente a operação trazida 
pelo enunciado: o que significa receber um aumento de 10%? Como poderemos traduzir 
essa frase numa operação matemática? Aumentar um valor em 10% significa somar? 
Ou multiplicar? Ou subtrair? Ou dividir? 
 Ora, aumentar um valor qualquer em 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,10. 
 Somente isso! 
 Se o aumento fosse de 15? Multiplicaríamos por 0,15. 
 Se fosse de 30%? Multiplicaríamos por 0,30. 
 Se fosse de 8%? Por 0,08. 
 E assim por diante! 
 
 Daí, o conjunto apresentava um desvio-padrão original de 10.000. Só que aí, 
todos os elementos desse conjunto sofreram um aumento de 10%, ou seja, todos os 
elementos foram multiplicados pela constante 1,10. 
 O que ocorre com o novo desvio-padrão? 
 Segundo reza a propriedade, será ele também multiplicado pela mesma 
constante. 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 10
 Daí: 
 (Novo S) = (Antigo S) x 0,10 = 10000 x 0,10 = 11.000 Resposta! 
 
 Caso a questão tivesse dito que todos os funcionários ganharam um abono 
salarial de R$200,00, então a história já seria diferente! Ganhar um abono é somar! Não 
é verdade? E se os elementos do conjunto original fossem todos somados a uma 
constante, o que ocorreria com o valor do desvio-padrão? Nada! Uma vez que o desvio-
padrão não sofre influência de operações de soma ou subtração! 
 Adiante. 
 
 
29. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a 
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral 
M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a 
opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. 
a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0% 
 
Sol.: Essa questão é campeã de e-mails. Simples, porém interessante. 
 Pra começo de conversa, temos que saber o que está sendo requerido pelo 
enunciado. É o coeficiente de variação. O conceito desta medida é o seguinte: 
X
SCV = 
 Ou seja: desvio-padrão sobre a média. 
 O curioso foi que a questão trouxe uma transformação da variável original. Essa 
transformação consiste em duas operações realizadas com os elementos da variável X: 
uma subtração por 200 e uma posterior divisão por 5. Podemos dar um nome à nova 
variável transformada. Podemos chamá-la variável Y. 
 
Daí, teremos: 
( )
5
200−
=
XY 
 É recomendado, neste caso, fazermos o desenho da transformação da variável, 
que nada mais é que um espelho das operações acima descritas. Teremos: 
 
 
 1º)-200 2º)÷5 
 
 
 X Y 
 
 Este caminho em azul é o nosso caminho de ida. É aquele que nos conduz da 
variável original X para a variável transformada Y. As operações que compõem o 
caminho de ida são justamente aquelas trazidas na própria equação de transformação 
da variável, fornecida pelo enunciado. 
 
Agora, completemos o desenho acima, construindo o caminho de volta, que é um 
mero retorno, da variável transformada Y para a variável original X. Para isso, basta 
invertermos as operações do caminho de ida. Onde havia divisão, será produto; onde 
havia subtração, passaremos a ter uma soma. E a ordem das operações também 
inverte: onde começou em cima, terminará em baixo, e vice-versa. 
 
Teremos: 
 
 
 
 
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 1º)-200 2º)÷5 
 
 
 X Y 
 
 
 2º)+200 1º)x5 
 
 Feito isto, tomaremos do enunciado os dados que foram fornecidos. Vemos então 
que a questão nos deu os valores da Média e do Desvio-Padrão da variável 
transformada! E quem é a nossa variável transformada? É a Y. Daí, teremos: 100=Y e 
Sy=13. 
 Ora, o que nos interessa descobrir é o valor do CV da variável X. Para isso, 
teremos que conhecer os valores da Média e do Desvio-Padrão desta variável original. 
Colocando no desenho acima os valores conhecidos, teremos: 
 
 1º)-200 2º)÷5 
 
 
 X Y 100=Y e Sy=13 
 
 
 2º)+200 1º)x5 
 
 
 Trabalhemos primeiramente com a média 100=Y . Partindo do lado do Y, com o 
valor Y , e percorrendo as operações do caminho de volta (em vermelho!), chegaremos 
ao valor da média da variável X. 
 Só precisaremos nos lembrar das propriedades da média. E aqui fica muito fácil, 
uma vez que a média é influenciada pelas quatro operações matemáticas (soma, 
subtração, produto e divisão). Ou seja, trabalhando com a média, efetuaremos toda e 
qualquer operação que apareça no caminho de volta. Teremos: 
 
 1ª operação) 100 x 5 = 500 
 
 2ª operação) 500 + 200 = 700 Daí: X =700 
 
 Agora, resta-nos trabalhar com o desvio-padrão! Partiremos do lado do Y, com 
o valor Sy=13, e percorreremos novamente o caminho de volta (em vermelho), para 
chegarmos ao desvio-padrão da variável original, ou seja, para chegarmos ao Sx. 
 Só que agora teremos de nos lembrar das propriedades do desvio-padrão. 
Teremos: 
 
 1ª operação) 13 x 5 = 65 
 
 2ª operação) Não será realizada! Daí: Sx=65E agora, alguém me diga por que não fizemos a segunda operação acima! Muito 
simples: porque o desvio-padrão não sofre influência de operações de soma ou 
subtração! É o que nos ensina a propriedade. 
 
 Pois bem! Agora que já dispomos dos dois valores relativos à variável original X, 
ou seja, agora que sabemos sua média e seu desvio-padrão, só nos falta aplicar a 
fórmula do Coeficiente de Variação. 
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Teremos: 
 
 093,00928,0
700
65
≅===
X
SCV CV=9,3% Resposta! 
 
Só a título de lembrança: o coeficiente de variação é também chamado de 
Dispersão Relativa, e será sempre uma medida adimensional. Ok? Próxima! 
 
 
46. (AFRF-2002.2) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências 
seguinte: 
Classes Freqüência 
(f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 d) -0,095 e) 0,300 
 
Sol.: Coeficiente quartílico de assimetria é uma fórmula na qual só aparecem Quartis. 
Daí, o nome quartílico. Esse nome já ajuda a relembrar a fórmula, que é a seguinte: 
 
 
13
213 .2
QQ
QQQA
−
−+
= 
 
 Onde: Q1 é o primeiro quartil; 
 Q2 é o segundo quartil; e 
 Q3 é o terceiro quartil. 
 
 Só recordando, Q2 (segundo quartil) é sinônimo de Mediana. Pois bem! Questão 
braçal. Teremos, contudo, que treinar bastante em casa, para não perdermos muito 
tempo na hora de fazer uma questão assim na prova. 
 Antes de começarmos os cálculos dos Quartis, construamos logo a coluna da 
freqüência absoluta acumulada crescente. 
 
Teremos: 
 
Classes fi fac 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
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 Agora, sim: comecemos pelo primeiro quartil (Q1). 
 
 Temos que n=100 e a fração do Q1 será sempre (n/4). Daí: (n/4)=25. 
 
 Próximo passo: comparar os valores da fac com esse valor 25, fazendo aquela 
pergunta já nossa conhecida: “esta fac é maior ou igual a (n/4)?” 
 Teremos: 
 
Classes fi fac 
29,5-39,5 4 4 4 é ≥ 25? Não! (pra frente!) 
39,5-49,5 8 12 12 é ≥ 25? Não! (pra frente!) 
49,5-59,5 14 26 26 é ≥ 25? SIM! 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 Daí, a terceira classe (49,5 a 59,5) é a classe do primeiro quartil. Vamos agora 
desenhá-la e preparar a regra-de-três que nos dirá o valor de Q1. Teremos: 
 
 10 
 
 
 X 
 
 49,5 Q1 59,5 
 
 
 12 25 26 
 
 13 
 
 
 14 
 
 Daí, aplicando a regra-de-três, chegaremos ao seguinte: 
 
 
1314
10 X
= X=130/14 X=9,28 
 
Daí, para chegarmos ao primeiro quartil, somaremos o limite inferior da classe 
mais o valor do X encontrado. Teremos: 
 
 Q1=49,5+9,38 Q1=58,78 
 
 Passemos ao segundo quartil (Q2). 
 A fração do Q2 é a mesma fração da Mediana, uma vez que ambos são, na 
verdade, a mesma coisa: (n/2) 
 Teremos que, se n=100, então (n/2)=50. 
 Comparemos agora os valores da fac com esse valor de (n/2), fazendo a 
pergunta de praxe: 
 
 
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Classes fi fac 
29,5-39,5 4 4 4 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
39,5-49,5 8 12 12 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
49,5-59,5 14 26 26 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
59,5-69,5 20 46 46 é ≥ 50? Não! (pra frente!) 
69,5-79,5 26 72 72 é ≥ 50? Sim! 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 
 Descobrimos quem é a classe do Q2. Façamos agora o desenho da classe e 
preparemos a regra-de-três. Teremos: 
 
 10 
 
 
 X 
 
 69,5 Q2 79,5 
 
 
 46 50 72 
 
 4 
 
 
 26 
 
 Daí, aplicando a regra-de-três, chegaremos ao seguinte: 
 
 
426
10 X
= X=40/26 X=1,54 
 
Daí, teremos que Q2 será:. Teremos: 
 
 Q2=69,5+1,54 Q2=71,04 
 
 Agora, o Q3, terceiro quartil. A fração do Q3 é (3n/4). Sendo n=100, teremos 
que (3n/4)=75. Daí, comparando as fac com esse valor 75, teremos: 
 
Classes Fi fac 
29,5-39,5 4 4 4 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
39,5-49,5 8 12 12 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
49,5-59,5 14 26 26 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
59,5-69,5 20 46 46 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
69,5-79,5 26 72 72 é ≥ 75? Não! (pra frente!) 
79,5-89,5 18 90 90 é ≥ 75? Sim! 
89,5-99,5 10 100 
 
 O desenho auxiliar para determinação do Q3 será o seguinte: 
 
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15
 10 
 
 
 X 
 
 79,5 Q3 89,5 
 
 
 72 75 90 
 
 3 
 
 
 18 
 
 Nossa regra-de-três ficará, portanto: 
 
 
318
10 X
= X=30/18 X=1,67 
 
Daí, teremos que Q3 será: 
 
 Q3=79,5+1,67 Q3=81,17 
 
 Uma vez de posse dos valores de Q1, Q2 (=Md) e Q3, resta-nos aplicar tais 
valores na fórmula do coeficiente quartílico de assimetria. Teremos: 
 
Q1=58,78 Q2=71,04 Q3=81,17 
 
 
13
213 .2
QQ
QQQA
−
−+
= 095,0
39,22
13,2
78,5817,81
04,71278,5817,81
−=
−
=
−
−+
=
xA Resposta! 
 
 
 
 
4. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 
12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 
18% ao ano, desprezando os centavos. 
d) R$ 705,00 d) R$ 720,00 
e) R$ 725,00 e) R$ 735,00 
f) R$ 715,00 
 
Sol.: Mais uma questão de Juros Exatos! Relembrando: quando o enunciado falar neste 
tipo de juros simples, trabalharemos com a unidade dia. Tanto na taxa, quanto no 
tempo, já que taxa e tempo têm que estar sempre na mesma unidade! 
 E o mais importante: na contagem dos dias, consideraremos o nosso calendário 
convencional, de 365 dias (ou 366, caso o ano seja bissexto). 
 Primeiro passo: fazer a contagem dos dias. 
 
 Teremos: 
 
 
 
 
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meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Abril 30 
Maio 31 
Junho 30 
Julho 31 
Agosto 31 
Setembro 30 
 
 Agora, temos que saber quantos dias de cada um desses foram efetivamente 
utilizados na operação. Os meses que nem são o primeiro e nem o último foram 
integralmente utilizados. Quanto ao último mês é só repetir a data em que terminou a 
operação. Já no tocante ao primeiro mês, faremos uma subtração: número de dias do 
mês menos dia do início da operação. Fazendo isso tudo, teremos: 
 
Meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Dias utilizados 
na operação 
Abril 30 18 (=30-12) 
Maio 31 31 
Junho 30 30 
Julho 31 31 
Agosto 31 31 
Setembro 30 5 (último dia) 
 Total n=146 dias 
 
 Já temos o tempo em dias. Precisamos agora transformar a taxa também para a 
unidade diária. O enunciado nos deu uma taxa anual. Daí, usando o conceito de taxas 
proporcionais, teremos que: 
 
 18% ao ano = (18/365)% ao dia 
 
 Percebamos que a divisão acima é por 365, já que os juros são exatos! 
 
 Pronto, agora só resta aplicar o esquema ilustrativo para resolução de operações 
de juros simples. Teremos: 
 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J(i.n) 
 
 
 Lançando os dados na equação, teremos: 
 
 
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ni
JC
.100
= 
146.
365
18100
10000
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
J
 
2,7
100 J= 
 
 J = 720,00 Resposta! 
 
 
10. (AFRF-2002/1) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual 
seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. 
a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 
b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 
c) R$ 9.500,00 
 
Sol.: Questão de resolução quase imediata! Estamos no regime simples, e o enunciado 
vem falar de uma relação entre os valores do desconto por fora e do desconto por 
dentro. Sempre que isso ocorrer, já podemos colocar no papel a fórmula seguinte: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
100
.1. nidd df 
 
 Esta fórmula, só lembrando, fornece a relação entre os dois tipos de desconto 
simples – por dentro e por fora – considerando mantidas a mesma taxa e o mesmo 
tempo de antecipação. 
 Tudo o que precisamos é que taxa e tempo estejam na mesma unidade. Estão? 
Sim. Daí, basta lançar os dados na equação. Teremos: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
100
.1. nidd df ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
100
331.9810 xdd dd=(9810/1,09) dd=9000, Resposta! 
 
 Parece brincadeira, mas questões exatamente como essa acima caíram em 
praticamente todas as últimas provas do auditor-fiscal da Receita. Se repetirem a dose, 
temos que resolvê-la sem demorar muito, para deixar mais tempo para questões mais 
difíceis. 
 
 
18. (FISCAL INSS – 2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à 
taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a 
convenção linear para cálculo do montante. 
a) 22,5% d) 26,906% 
b) 24% e) 27,05% 
c) 25% 
 
Sol.: Questões de convenção linear têm sido uma constante nas provas da Esaf. Já 
sabemos bem do que se trata. É uma operação de juros compostos, que será resolvida 
por este método alternativo. Quando iremos resolver os juros compostos pela 
convenção linear? Quando o enunciado assim o determinar! Ou, excepcionalmente, 
quando não houver outra saída senão utilizá-lo! Mas essa é uma situação extremamente 
excepcional. Veremos neste curso uma questão assim. 
 
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 Na aula um, aprendemos como resolver esta operação. Faremos isso aplicando a 
fórmula abaixo: 
( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= 
 
 Antes de mais nada, vamos trabalhar com a taxa e o tempo, tornando-os 
compatíveis. Aliás, sabemos que na convenção linear o tempo será descrito em duas 
distintas unidades, sendo que a unidade maior será a mesma unidade da taxa. 
 Temos que a taxa é semestral (i=10% a.s.) e o tempo é de 15 meses. 
 Daí, teremos que transformar esses 15 meses em duas unidades, de modo que a 
maior delas seja exatamente o semestre. 
 Ora, um semestre tem seis meses; dois semestres têm doze. Para quinze, faltam 
três. Ou seja: 15 meses = 2 semestres e 3 meses = 2 semestres + 0,5 semestre. 
 Pronto. Conseguimos nosso objetivo. Agora já podemos lançar os dados na 
equação. Antes disso, só uma observação: o enunciado pede o cálculo dos juros como 
porcentagem do capital. Daí, já aprendemos isso, chamaremos o elemento de 
referência, neste caso o Capital, de 100. Teremos: 
 
 ( ) ( )5,010,01.10,01.100 2 xM ++= M=127,05 
 
 A questão pede os juros. Sabemos que os juros são a diferença entre o Montante 
e o Capital. Daí: 
 J = M – C J = 127,05 – 100 J=27,05 
 
 Como atribuímos o valor 100 ao Capital, então basta acrescentarmos o sinal de 
porcentagem (%) aos juros! Teremos: 
 
 J=27,05% do Capital Resposta! 
 
 
34. (ANALISTA SERPRO-2001) A quantia de R$ 10.000,00 é devida hoje, enquanto 
outra dívida no valor de R$ 20.000,00 vence no fim de um mês. Na medida em que os 
dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor comum 
levou ao acerto de um pagamento único no fim de três meses e meio. Calcule o valor 
do pagamento único considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês, valendo a convenção linear para cálculo do montante dentro do quarto 
mês. 
d) R$ 33.400,00 d) R$ 33.651,00 
e) R$ 33.531,80 e) R$ 34.000,00 
f) R$ 33.538,25 
 
Sol.: Questão típica da Esaf, uma vez que reúne dois assuntos num só: equivalência 
composta de capitais e convenção linear! Comecemos pelo desenho da questão. 
Teremos: 
 X 
 20.000, 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 1m 3,5m 
 (I) (I) (II) 
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 O regime é o composto, uma vez que o enunciado falou expressamente que a 
taxa é de juros compostos. Logo, as operações que faremos aqui serão de desconto 
composto por dentro. 
 Qual será a nossa data focal? Pode ser qualquer uma, como já sabemos, pois na 
equivalência composta a escolha da data focal é livre! Todavia, a título de sugestão, 
adotaremos como data focal a mais à direita do desenho. Assim,trocaremos divisões por 
produtos. Não é verdade? 
 Os passos preliminares de resolução já foram todos feitos. Agora, passemos aos 
passos efetivos. Teremos: 
 
1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. Começando pela 
parcela R$10.000 que está na data zero. Teremos: 
 E 
 
 
 
 10.000, 
 
 
 
 0 3,5m 
 
 Daí, percebemos que a operação de desconto composto por dentro é a mesma 
que a de juros compostos. E que o tempo desta operação acima é quebrado, ou seja, 
não é um número inteiro! Daí, teremos que usar a fórmula da convenção linear, como o 
próprio enunciado nos manda fazer. Daí, teremos que: 
 
 ( ) ( )5,004,01.04,01.10000 3 xE ++= E=11.473,61 
 
 Agora, trabalhando com a parcela de R$20.000, teremos: 
 
 F 
 20.000, 
 
 
 
 
 
 
 1m 3,5m 
 
 Atentemos para o fato de que a distância entre os 20.000 e a data focal agora 
será de dois meses e meio. Novamente, vamos aplicar a fórmula da convenção linear, 
porque assim foi determinado pelo enunciado. Teremos: 
 
 ( ) ( )5,004,01.04,01.20000 2 xF ++= F=22.064,64 
 
 O segundo passo da questão seria transportar para a data focal as parcelas da 
segunda obrigação. Ora, a única é o próprio X que já está localizada na data focal. Ou 
seja, o segundo passo já está feito. 
 
 Como terceiro passo, aplicaremos a equação de equivalência de capitais, de modo 
que teremos que: 
 
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∑ (I)DF = ∑ (II)DF E + F = X 
 
Daí: X = 11.473,61 + 22.064,64 X=33.538,25 Resposta! 
 
 
40. (ANALISTA SERPRO – 2001) Na compra de um carro em uma concessionária 
no valor de R$ 22.000,00 uma pessoa dá uma entrada de 20% e financia o saldo 
devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 3% ao mês. Considerando que a 
pessoa consegue financiar junto com o carro, 100% do valor de um seguro total que 
custa R$ 2.208,00 e uma taxa de abertura de crédito de R$ 100,00, nas mesmas 
condições, isto é, em doze meses e a 3% ao mês, indique o valor que mais se 
aproxima da prestação mensal do financiamento global. 
b) R$ 1.511,23 d) R$ 1.923,44 
b) R$ 1.715,00 e) R$ 2.000,00 
c) R$ 1.800,00 
 
Sol.: Questão muito parecida com outra que caiu em prova de AFRF, confirmando a tese 
de que as questões, vez por outra, se repetem ou se assemelham bastante! 
 O segredo desta questão é descobrir qual será o valor total a ser amortizado nas 
parcelas mensais. Ou seja, saber qual será o valor total a ser diluído nas parcelas! 
 Ora, o carro custa R$22.000,00. Só que vai ser dada uma entrada de 20%. 
Quanto é 20% de vinte e dois mil? 
 
 00,400.4000.22100
20
=x = Entrada! 
 
 Se o bem à vista custava R$22.000 e eu pago R$4.400 de entrada, vai ficar 
faltando pagar somente a diferença. Teremos: 
 
 22.000 – 4.400 = 17.600,00 (= o que resta pagar do carro!) 
 
 Se a questão não dissesse mais nada, já teríamos o valor a ser amortizado nas 
parcelas. Só que ela disse: há mais dois valores que serão igualmente diluídos nas 
prestações. São os seguintes: seguro de R$2.208 e taxa de abertura de crédito de 
R$100. Somando esses encargos adicionais, teremos: 2.208 + 100 = 2.308,00 
 E adicionando este valor ao do restante do carro que resta pagar, teremos que o 
valor total a ser amortizado será de: 17.600 + 2.308 = 19.908,00 
 Finalmente, aplicando a equação da amortização, teremos que: 
 
 T = P . An¬i 19.908 = P . A12¬3% P=19.908/ A12¬3% 
 
 Consultando a Tabela Financeira do fator de amortização, encontraremos que: 
A12¬3% = 9,954004. Daí, teremos, finalmente, que: 
 
 P = 19.908 / 9,954004 P=1.999,99≈ 2.000,00 Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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54. (AFRF-2002/2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de 
uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 
1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, 
vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo 
segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor 
nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos 
títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao 
ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo 
custos de intermediação financeira, de registro etc. 
a) US$ 1, 000.00 d) US$ 920.57 
b) US$ 953.53 e) US$ 860.00 
c) US$ 930.00 
 
Sol.: Esta questão sozinha dá um tratado..., mas vou tentar explicar da forma mais 
simplificada possível. 
Suponhamos que não se trata de um país, mas de uma pessoa. Ora, essa pessoa 
fez hoje um empréstimo. Obviamente que se pegou uma quantia emprestada hoje, terá 
que devolvê-la no futuro. Também sabemos que, se estamos numa questão de 
matemática financeira, o dinheiro nunca fica parado, de sorte que o que vai ser 
devolvido no futuro terá de ser uma quantia maior do que a que foi emprestada. (Caso 
contrário, estaríamos tratando de empréstimo de mãe, e as mães, como é fato cediço, 
não participam das questões de matemática financeira!). 
Pois bem! A forma de devolução deste empréstimo será feita de um modo muito 
peculiar: várias parcelas de mesmo valor e pagas em períodos de tempo iguais (mesma 
periodicidade) e, no final, um último pagamento em um valor próximo do que foi 
tomado emprestado. (Próximo ou até mesmo igual!). Vejamos ilustrada essa situação: 
 
 
 X Y 
 
 
 P P P P P P P 
 
 . . . 
 
 
Onde o traço em azul X é o valor do empréstimo, feito hoje (data zero), e as 
parcelas em vermelho são as de devolução. 
Observemos que na última data da devolução, a parcela menor vem 
acompanhada de outra (Y), num valor que pode ser igual ou bem próximo do valor do 
empréstimo! 
Pelo desenho acima, vemos que o número de parcelas P pode ser qualquer um. 
 
Agora vamos traçar o paralelo entre a situação acima e a apresentada pelo 
enunciado. 
Não temos mais uma pessoa, temos um país. Mas a coisa continua simples. Só 
temos que nos adaptar à linguagem da questão: 
 o valor do empréstimo X, na data zero, passa a ser o preço de lançamento do 
bônus. É o que está sendo solicitado pelo enunciado. 
 as parcelas P serão os nossos cupons. Neste enunciado, os cupons são doze e 
são semestrais. Todos no valor de U$60,00 (sessenta dólares). 
 o valor Y em vermelho, na última data do desenho, será o valor nominal do 
título. Neste caso, o título é um bônus, logo temos o valor nominal do bônus. 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA & MATEMÁTICA FINANCEIRA 22
 
Em suma: o país pegou um valor emprestado. A este valor corresponde o preço 
de lançamento de um determinado título. Normalmente esse título será um bônus. Daí, 
se pegou emprestado vai ter que devolver. Para isso, usará diversas parcelas iguais e 
periódicas, ditas cupons. E além dos cupons e na data do último deles, haverá uma 
última parcela de devolução, que é o valor nominal do título. Este título, como vimos, 
será normalmente um bônus. 
Está feito! 
Equivalência composta de capitais! O que eu peguei emprestado (data zero) tem 
que ser equivalente ao que eu vou devolver no futuro! Regime composto e as operações 
serão de desconto composto por dentro, como já é do nosso conhecimento. Só isso! 
Então agora vamos desenhar o enunciado, exatamente como foi fornecido. 
Teremos: 
 
 X 1.000,00 
 
 
 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 
 
 
 
 
Qual o nosso objetivo? Transportar todos os valores em vermelho (cupons e valor 
nominal do título) para a data zero! 
Por que dissemos que o regime dessa questão é o composto? Por causa da taxa 
fornecida pelo enunciado. Ele disse: taxa de juros nominal de 14% ao ano. Ora, taxa 
nominal é sempre taxa composta! Mas nos lembramos que uma taxa nominal é aquela 
acompanhada das palavras com capitalização...! Não é mesmo? E aqui, neste caso, em 
que foi dito apenas taxa nominal de 14% ao ano, e não foi dito qual o período de 
capitalização? O que faremos? 
Neste caso, basta olhar para a periodicidade das parcelas trazidas no desenho da 
questão. São parcelas o quê? Semestrais. Logo, a leitura desta taxa nominal será a 
seguinte: taxa de 14% ao ano, com capitalização semestral. 
Também aprendemos que as taxas nominais têm que ser transformadas em taxas 
efetivas! E que o tempo da taxa efetiva é sempre o mesmo tempo da capitalização. 
Ademais, para efetuar essa alteração (taxa nominal para taxa efetiva), faremos uso do 
conceito de taxas proporcionais. 
Logo, nossa taxa efetiva será: 
 14% ao c/ capitalização semestral = (14/2) =7% ao semestre! 
 
Agora, sim! Trabalhemos primeiramente com os doze cupons semestrais. Temos 
aí parcelas de mesmo valor, em intervalos de tempo iguais, e uma taxa no regime 
composto. Com essas três características, podemos trabalhar numa operação de 
Amortização, trazendo todos esses cupons para a data zero (um período antes da 
primeira parcela)! Teremos: 
 
 T=P.An¬i T=60 . A12¬7% T=60x7,942686 T=476,56 
 
 Este valor T representa todos os doze cupons de U$60,00. 
 Resta agora levar para a data zero o valor do bônus de 1000 dólares! Faremos 
isso, conforme aprendemos, por meio de uma operação de desconto composto por 
dentro. 
 
 
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Teremos que: 
 
 1000=E.(1+0,07)12 E=1000/(1+0,07)12 
 
Daí: E=1000/(1+0,07)12 E=1000/2,252191 E=444,01 
 
 Observemos que fizemos duas consultas, a duas tabelas financeiras distintas: 
trabalhando com os cupons, consultamos a tabela do fator de amortização An¬i . E no 
segundo momento, trabalhando com o valor nominal do título, consultamos a tabela do 
parênteses famoso (1+i)n. 
 Neste nosso curso, eu estou supondo que todos já saibamos efetuar estas 
consultas! Estou supondo certo, não estou? 
 Agora sim: estamos prontos para compor o resultado final da nossa questão: 
 Resultado do nível dos cupons de 60: US$ 476,56 
 Resultado do bônus de 1000: US$444,01 
 
 Daí: X=476,56+444,01 X=920,57 Resposta! 
 
 
É isso! 
Se me dão licença para uma notícia familiar, é o seguinte: no dia de nossa 
próxima aula, minha filha Maria Clara já terá nascido! Falta muito pouco para ela vir ao 
mundo! A expectativa é grande! 
Fico por aqui.Um abraço forte a todos e fiquem com Deus! 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 1
AULA 04 
 
 Meus queridos amigos! 
 Começo a aula de hoje com uma notícia particular, mas que não posso deixar de 
partilhar com vocês: vou entrar para o Livro dos Recordes! É verdade! Isso porque 
desde segunda-feira, dia 7 de março, que sou, sem sombra de dúvidas, o homem mais 
feliz do mundo! 
 Nasceu nossa primogênita, a Maria Clara. Saudável e cheia de energia! Além do 
que, é a menininha mais linda do mundo! (Me desculpem os papais e mamães que me 
lêem agora...) 
 A felicidade é completa e indescritível! 
 É um up grade de felicidade, como me disse o meu amigo prof. João Antônio. 
 Minha esposa Sílvia e eu somos gratos a Deus, por nos ter dado esse presente 
maravilhoso, que desde já se tornou nosso maior tesouro! 
 No momento em que digito estas palavras, já estamos na madrugada da quarta-
feira, 9. Esta aula vai ao ar ainda hoje pela manhã (daqui a pouco!), e eu não queria 
perder a oportunidade de lhes transmitir essa notícia. 
 
-- x --- x --- x --- x --- x – 
 
 Hoje faremos nosso quarto simulado. 
 A expectativa pelo edital do AFRF continua grande, e o momento é de estudar 
bastante! E de resolver exercícios! 
 Esta semana recebi no fórum a sugestão de fornecer um resumão com as 
fórmulas de matemática financeira e estatística. A idéia é boa. Só peço que me 
perdoem, mas vai ficar este resumão para a próxima aula. Ok? 
 Seguem, portanto, as questões de hoje. Tentem resolvê-las naquele tempo de 
cinqüenta minutos, de modo a conseguir manter uma média aproximada de 4 
minutos/questão. Quem não estiver conseguindo esse tempo, nada de desanimar! O 
negócio é insistir e os resultados logo se mostrarão. 
 Marque o tempo e pode começar! 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
4. (FTE-Piauí-2001) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de 
uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são 
acumuladas. 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 
 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 2
Para efeito das quatro próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüên
cias 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =−
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
 
 
10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 
 
 
11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos 
 
 
Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa 
continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
 
12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 
 
 
13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos 
 
30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média 
aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi ( Xi – M )2 . 
Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por 
pelo menos 2S. Assinale a opção correta. 
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas 
sabe-se que 0,25 ≥ θ. 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 3
5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de 
fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas 
condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital 
inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. 
a) 4,70% d) 4,88% 
b) 4,75% e) 4,93% 
c) 4,80% 
 
14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco 
comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta 
este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar 
em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante 
para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três 
meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do 
empréstimo que utilizou em proveito próprio. 
a) 12% ao trimestre 
b) 14% ao trimestre 
c) 15% ao trimestre 
d) 16% ao trimestre 
e) 18% ao trimestre 
 
22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal 
de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% d) 12,6162% 
b) 12,6825% e) 12,5508% 
c) 12,4864% 
 
27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 
672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca 
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 
b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 
c) R$ 624,47 
 
35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 
600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois 
compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao 
acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor 
deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% 
ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os 
centavos). 
a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 
b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 
c) R$ 1.584.000,00 
 
 
44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de 
uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor 
de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por 
estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução 
da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da 
anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova 
prestação do financiamento. 
a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 4
b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 
c) R$ 151.342,00 
 
 
2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntos as resoluçõesde hoje! 
 
 
4. (FTE-Piauí-2001) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de 
uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são 
acumuladas. 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é 
ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa 
estimativa. 
a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 
 
Sol.: Vocês já devem ter percebido que muito temos nos utilizado de regras-de-três 
simples para resolver diversas questões de Estatística. Não é verdade? Estas tais 
regras-de-três têm sido úteis, e bastante práticas, na ocasião de resolvermos questões 
para cálculo das Medidas Separatrizes (Mediana, Quartil, Decil, Centil) e na Interpolação 
Linear da Ogiva (que é este caso!). 
 Como saber que uma questão é de Interpolação Linear da Ogiva? Basta ver a 
pergunta do enunciado! Se é fornecida uma Distribuição de Freqüências, e a questão 
pede que encontremos o número (ou a porcentagem) de elementos do conjunto que 
está abaixo (ou acima) de um determinado limite, e este limite está inserido em uma 
das classes da distribuição (não coincidindo nem com o limite inferior, e nem com o 
limite superior de qualquer das classes), então pronto! 
 Por exemplo, se esta nossa questão, cuja tabela fala em salários anuais, 
perguntasse: “quantas pessoas ganham salários anuais abaixo de R$10.000?” Ora, 
iríamos procurar, entre as classes, onde estaria esse valor R$10.000. E perceberíamos, 
então, que ele está inserido na quarta classe (entre R$9.500 e R$11.000), mas não 
coincide nem com o limite inferior (R$9.500) e nem com o limite superior (R$11.000). 
 Daí, fica patente: teremos que usar a tal interpolação linear da ogiva! 
 Tomando essa hipótese que eu criei, salários abaixo de R$10.000, teremos que as 
três primeiras classe participam integralmente do resultado. Concordam? Uma vez que 
essas classes contemplam salários de até R$9.500,00. Viram isso? Pois bem! Mas aí 
chega a quarta classe (R$9.500 a R$11.000), e percebemos que esta classe participará 
apenas parcialmente do resultado, uma vez que somente parte dela contempla salários 
abaixo de R$10.000! 
 Daí a necessidade de criarmos uma regra-de-três, para descobrirmos qual será a 
participação desta quarta classe na resposta! É só isso que é a interpolação da ogiva. 
Essa regra-de-três, como já tivemos oportunidade de ver em aulas passadas, será feita 
usando essa classe que terá participação parcial na resposta. Na parte de cima do 
desenho, colocaremos os limites da classe. Assim: 
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 linf lsup 
 
 
 
 Para completar o desenho, trabalharemos agora com as freqüências acumuladas 
crescentes associadas a cada um destes limites. Estas freqüências acumuladas 
crescentes serão absolutas (fac), caso estejamos trabalhando com número de 
elementos, ou serão relativas (Fac), caso estejamos trabalhando com percentual de 
elementos! 
 Como saber qual é a freqüência acumulada crescente associada a cada limite da 
classe? É bem fácil: associada ao limite inferior da classe será a fac (ou Fac) da classe 
anterior! E associada ao limite superior da classe será a fac (ou Fac) da própria classe. 
Sempre assim! 
 O desenho completo seria: 
 
 linf lsup 
 
 
 fac fac 
 (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE) 
 
 Ou, caso estejamos trabalhando com valores percentuais: 
 
 linf lsup 
 
 
 Fac Fac 
 (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE) 
 
 No caso desse exemplo que eu estou criando (percebam que eu ainda não 
comecei a resolver a primeira questão do simulado de hoje!), estamos trabalhando com 
número de elementos (e não percentuais!), e estamos trabalhando com a quarta classe 
(9.500 a 11.000), de sorte que teríamos o seguinte: 
 
 9500 11000 
 
 
 52 74 
 
 Observem que essas fac associadas aos limites da classe representam as 
posições que aqueles limites ocupam no conjunto. Ou seja, com base no desenho 
acima, diremos que já foram acumuladas 52 posições até o limite 9500. Ou ainda, 52 
pessoas têm salário até 9.500 (abaixo de 9.500). E 74 pessoas têm salário até 11.000. 
 Daí, para tornar o desenho completo de fato, temos que ver o que a questão 
pergunta! Se for fornecido um valor inserido na classe, esse valor ficará na parte de 
cima do desenho, e encontraremos a fac associada a este valor. É o caso desse 
exemplo. A questão perguntaria: quantas pessoas ganham abaixo de 10.000? Faríamos: 
 
 9500 10000 11000 
 
 
 52 74 
 
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 Interessa-nos os salários abaixo ou acima de R$10.000? Abaixo. Logo, 
destacaremos esse pedaço da classe que é o de nosso interesse. Assim: 
 
 
 9500 10000 11000 
 
 
 52 74 
 
 
 
 De resto, faríamos algumas subtrações, para chegarmos aos valores que iriam 
compor a regra-de-três, da seguinte forma: 
 
 1500 (=11000-9500) 
 
 
 500 (=10000-9500) 
 
 9500 10000 11000 
 
 
 52 74 
 
 X 
 
 
 22 (=74-52) 
 
 O objetivo agora é descobrir o X do desenho acima. A regra-de-três é feita 
assim: temos dois valores em azul (1500 e 22). Um em cima e um embaixo. Eles 
serão numerador e denominador do primeiro traço da regra-de-três. Teremos: 
 
......
......
22
1500
= 
 
 Temos também dois valores em vermelho, referentes apenas à parte da classe 
que é de nosso interesse (salários abaixo de R$10.000). Há um deles em cima (500) e 
outro embaixo (X). São os valores que complementarão nossa regra-de-três, que ficará 
assim: 
X
500
22
1500
= 
 
 Pronto! Calculando esse X, teremos que ele será justamente a participação da 
quarta classe no nosso resultado. Teremos: 
 
 X=(22x500)/1500 X=22/3 X=7,33 
 
 Depois disso, finalmente, restaria compor o resultado, lembrando que as três 
primeiras classes (como vimos) participam integralmente da resposta, acumulando (as 
três juntas) 52 elementos e a quarta classe participa com 7,33 elementos, como 
acabamos de calcular. Daí, nossa resposta seria: 
 
52+7,33=59,33 Resposta! 
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 Bem! Esse é o primeiro formato da questão de Interpolação da Ogiva. Existe 
outro, que é exatamente o apresentado na nossa primeira questão de hoje, a qual 
passamos a resolver. 
 O que o enunciado está perguntando agora é qual o nível salarial, ou seja, qual o 
salário não ultrapassado por 79% da população. Em outras palavras: qual é o valor, 
inserido em alguma das classes da tabela, associada à posição 79%? 
 Percebamos que o enunciado veio nos falar em valores percentuais, de modo que 
trabalharemos com freqüências relativas acumuladas crescentes (e não com 
freqüências absolutas)! 
 O que temos que fazer, na verdade, é saber com qual das classes iremos 
trabalhar para criar a nossa regra-de-três. Para isso, voltemos a olhar para a tabela: 
 
Classes de Salário Freqüências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
 Temos que foram fornecidas duas colunas: a das classes, e a das freqüências 
absolutas acumuladas crescentes (fac). Ora, sabemos que a fac termina sempre com o 
n (número de elementos do conjunto). Daí, concluímos que n=100. 
 Vimos que teremos que trabalhar com freqüências relativas. Ocorre que se 
n=100 os valores das freqüências absolutas e relativas são os mesmos! Só teremos 
que acrescentar o sinal de percentual (%) na coluna das relativas. Claro!Daí, teremos: 
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 O que pede mesmo a questão? Pede o valor do salário, ou seja, o valor na coluna 
das classes, que corresponde à Fac de 79%. Fica fácil, olhando para a tabela acima, 
afirmar que até a quarta classe já se acumularam 74% dos elementos. Não é verdade? 
Veja: 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 Mas 74% é pouco! Queremos 79%! Daí, concluímos que teremos que avançar na 
próxima classe! Todavia, se avançarmos toda a classe seguinte, chegaremos já a 89%. 
Veja: 
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Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 Ou seja, avançando toda a quinta classe, passaríamos dos 79% desejados pela 
questão! Conclusão: o valor salarial questionado pelo enunciado, e que corresponde aos 
79% dos elementos do conjunto, está inserido na quinta classe da tabela (11.000 a 
12.500). Daí, é com esta classe que trabalharemos para formar nossa regra-de-três. 
 Uma vez que estamos falando em valores percentuais, o desenho que irá nos 
auxiliar a formar a regra-de-três será o seguinte: 
 
 linf lsup 
 
 
 Fac Fac 
 (DA CLASSE ANTERIOR) (DESTA PRÓPRIA CLASSE) 
 
 Substituindo os valores, teremos: 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 89% 
 
 Precisamos complementar o desenho! O que conhecemos? O valor salarial (entre 
os limites da classe) ou o percentual que indica a posição que aquele ocupa? 
Conhecemos o percentual. E é de 79%. Este valor, portanto, fica na parte de baixo do 
desenho. Teremos: 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 79% 89% 
 
 A quem estamos procurando? Ao limite não ultrapassado por 79%. Portanto, 
destacando esse pedaço da classe que nos interessa, teremos: 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 79% 89% 
 
 
 Agora resta descobrir os valores que formarão nossa regra-de-três. 
 
Teremos: 
 
 
 
 
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 1500 
 
 
 X 
 
 11000 12500 
 
 
 74% 79% 89% 
 
 5% 
 
 
 15% 
Daí, nossa regra-de-três será a seguinte: 
 
%5%15
1500 X
= E: X=500 
 
 Finalmente, somando esse valor X ao limite inferior da classe, chegaremos à 
resposta da questão. Teremos: 
 
 11.000 + X = 11.000 + 500 = 11.500 Resposta! 
 
 Esta questão tem um atalho? Sim! E com esse atalho, dispensaremos qualquer 
cálculo e chegaremos à resposta de imediato! 
 Em que consiste esse atalho? Consiste apenas em olharmos para as opções de 
resposta! Vamos fazer isso? Aí estão elas: 
 
a)10.000, b) 9.500, c) 12.500, d) 11.000, e) 11.500, 
 
 Ora, procuramos pelo valor, dentro das classes, associado a essa freqüência 
relativa acumulada de 79%. Daí, vejamos a tabela: 
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
 Primeiro, descobrimos que a resposta terá que ser um valor inserido na quinta 
classe (11.000 a 12.500). 
Logo, poderia a resposta ser a opção a (10.000)? Não, uma vez que essa 
resposta está fora do intervalo da quinta classe. 
A mesma coisa ocorre com a opção b (9.500). Também está fora da quinta 
classe e, portanto, fora das chances de ser a resposta correta! 
E quanto à opção c (12.500)? Ora esse valor 12.500 é justamente o limite 
superior da quinta classe, ao qual está associada a freqüência 89%. 
Senão, vejamos: 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 10
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
Interessam-nos 79%, e não 89%. Logo, esta opção está descartada. 
 
No tocante à opção d, teremos que o valor 11.000 é o próprio limite inferior da 
quinta classe, associado, portanto, à freqüência 74%. Vejamos na tabela: 
 
 
 
Classes de Salário Fac 
(5.000-6.500) 12% 
(6.500-8.000) 28% 
(8.000-9.500) 52% 
(9.500-11.000) 74% 
(11.000-12.500) 89% 
(12.500-14.000) 97% 
(14.000-15.500) 100% 
 
Não queremos 74%, queremos 79%. Resta, pois, descartada esta opção. 
 
Ora, se a resposta não pode ser nenhuma das quatro primeiras opções (a, b, c, 
d), significa que já sabemos qual será ela! A opção restante! 
 
Portanto, letra e, 11.500 Resposta! 
 
 
Para efeito das quatro próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüências 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =−
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
 
10. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e) 39,0 anos 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 11
Sol.: Essa foi uma das primeiras ocasiões em que a Esaf trabalhou com o conhecimento 
de variáveis transformadas. Dê uma olhadinha na quarta coluna da tabela acima, logo 
após a dos Pontos Médios. Que tipo de coluna é essa? Ora, trata-se de uma coluna de 
transformação da variável original. Antes dela, tínhamos os Pontos Médios referentes à 
variável original. Até que então tomando esses Pontos Médios originais, fizemos com 
eles duas operações: subtraímos de 37 e depois dividimos por 5. 
 Com isso, passamos a trabalhar com os chamados Pontos Médios Transformados, 
que já não mais se referem à variável original, mas a uma variável transformada! 
 Quando a questão já trouxer pronta essa coluna de transformação da variável, 
então a aceitaremos da forma como foi fornecida. 
 Aqui estamos em busca da Média Aritmética. 
 Já sabemos que faremos uso do método da variável transformada para 
determinação da Média. 
 Os passos desse procedimento, os quais já são nossos conhecidos, são os 
seguintes: 
1º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios! 
 Já foi feito pelo enunciado! 
 
2º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. 
 Também já foi feito pela questão. 
 Caso não o tivesse sido, faríamos nós esse trabalho. E a título de sugestão, 
utilizaríamos as seguintes operações para construir essa coluna de transformação: 
 
h
PMPM o1−
 
 
 Ou seja, faríamos: Ponto Médio subtraído do valor do primeiro ponto médio, e 
tudo isso dividido pela amplitude da classe. Caso a questão não tivesse trazido a coluna 
de transformação já pronta, a que seria construída por nós seria a seguinte: 
 
5
22−PM
 
 
 Uma vez que 22 é o primeiro ponto médio (o da primeira classe) e 5 é a 
amplitude da classe. 
 Mas tudo bem! A questão já trouxe uma coluna de transformação, de sorte que a 
aceitaremos de pronto e sem reclamar! Repare que o Ponto Médio Transformado foi 
chamado pela questão de di. Poderia ser dado qualquer nome a esse ponto médio 
transformado! Quis a questão chamá-lo di. Tudo bem! 
 
3º Passo) Construir a coluna fi.di e descobrir qual é o somatório desta coluna. 
 Olha que beleza: a questão já fez isso! Trata-se da quinta coluna da tabela,logo 
após a coluna de transformação da variável. Teremos que ∑fi.di=16. 
 
4º Passo) Calcular a Média da Variável Transformada di , mediante aplicação da fórmula 
abaixo: 
n
difi
di ∑= . 
 
 Observemos que o valor do numerador já é nosso conhecido (16). E o n também 
foi dado da questão (n=100). Daí: 
16,0
100
16
==di 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 12
 
5º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a 
Média da variável original. 
 Sabemos que a média é influenciada pelas quatro operações. Daí, teremos que: 
 
diPM =−
5
37
 
( ) diX =−
5
37
 X -37=5x0,16 X =0,8+37 
 
 X =37,8 Resposta! 
 
Ou seja, essa questão já veio quase toda pronta! Questão feita para ser resolvida 
rapidamente! Próxima! 
 
11. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/90. 
a) 35,49 anos b) 35,73 anos c) 35,91 anos d) 37,26 anos e)38,01 anos 
Sol.: Para cálculo da Mediana, usaremos aquela regra-de-três da qual tratamos na 
primeira questão de hoje! Os passos para determinação da Mediana são, pois, os 
seguintes: 
 
1º Passo) Descobrir quem é o n (número de elementos do conjunto) e calcular a fração 
(n/2). Sabemos que n=100. Logo (n/2)=50. 
 
2º Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac). 
Teremos: 
Classes de Idades 
(anos) 
fi fac 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
2 
11 
34 
63 
81 
93 
100 
Total n=100 
 
3º Passo) Comparar o valor da fração (n/2) com os valores da coluna da fac que 
acabamos de construir. Essa comparação se fará mediante aquela pergunta de praxe 
que já conhecemos tão bem: “esta fac é maior ou igual a (n/2)?”. Começaremos a 
pergunta com a fac da primeira classe. Enquanto a resposta for “não”, passaremos 
para a fac da classe seguinte. Quando a resposta for “sim”, pararemos, procuraremos 
a classe correspondente e diremos que esta será a classe mediana! 
 Teremos: 
 
Classes de Idades 
(anos) 
fi fac 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
2 
11 
34 
63 
81 
93 
100 
 2 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 
 11 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 
 34 é ≥ a 50? Não! (pra frente!) 
 63 é ≥ a 50? SIM! (achamos a 
Classe Mediana!) 
Total n=100 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 13
4º Passo) Preparar o desenho auxiliar para feitura da regra-de-três. Esse desenho tem 
por base a classe mediana. Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites dessa 
classe; na parte de baixo, as freqüências acumuladas associadas a cada um desses 
limites. Teremos: 
 
 34,5 39,5 
 
 
 34 63 
 
 E agora qual é o valor que está faltando para complementar o desenho acima? 
Ora, estamos buscando a Mediana. Logo, o valor que falta é justamente a fração da 
mediana, ou seja, (n/2), que é igual a 50. Este valor (50) indica que a Mediana ocupa 
a qüinquagésima posição no conjunto! E as posições dos elementos ficam, no desenho, 
indicados na parte de baixo! Teremos, portanto, que: 
 
 34,5 39,5 
 
 
 34 63 
 
 Daí: 
 
 5 
 
 
 X 
 
 34,5 Md 39,5 
 
 
 34 50 63 
 
 16 
 
 
 29 
 
 Nossa regra-de-três será, pois, a seguinte: 
 
1629
5 X
= E: X=2,76 
 
 Finalmente, somando esse valor X ao limite inferior da classe, chegaremos à 
Mediana. Teremos: 
 
 34,5 + 2,76 = 37,26 Resposta! 
 
 
 Ok? Vamos pensar um pouquinho...! Vejamos que as duas questões acima 
foram trabalhadas para o mesmo conjunto, no caso, a mesma distribuição de 
freqüências. Primeiro, encontramos que a Média do conjunto é X =37,8. Depois 
encontramos que a Mediana é Md=37,26. 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 14
 Caso a próxima questão da prova viesse a perguntar acerca da situação de 
assimetria do conjunto. Ou seja, se quisesse saber se a distribuição é simétrica ou 
assimétrica à direita (assimetria positiva) ou assimétrica à esquerda (assimetria 
negativa). Será que já teríamos condição de responder a isso? 
 Claro que sim! E sem maiores esforços. Só teríamos que nos lembrar do 
desenho de uma distribuição assimétrica à esquerda, e de uma assimétrica à direita! E 
daí, uma vez que a Média tem valor maior que a Mediana, o desenho de assimetria para 
esta situação será o seguinte: 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 Conclusão: esta distribuição é assimétrica à direita, ou de assimetria positiva! 
 Para responder às duas próximas questões, que são facílimas, teremos que estar 
atentos ao que nos diz o enunciado que se segue: 
 
Para efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal da 
empresa continua o mesmo em 1º/1/96. 
 
12. (AFTN-96) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 37,4 anos b) 39,0 anos c) 43,4 anos d) 43,8 anos e) 44,6 anos 
 
Sol.: Ora, meus amigos! Vamos dar uma breve olhada no texto que havia sobre a 
tabela das questões anteriores. Vejamos: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Freqüências 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(PM) 
diPM =−
5
37
 
di.fi di2.fi di3.fi di4.fi 
19,5 !--- 24,5 
24,5 !--- 29,5 
29,5 !--- 34,5 
34,5 !--- 39,5 
39,5 !--- 44,5 
44,5 !--- 49,5 
49,5 !--- 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
--- 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
--- 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
--- 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
--- 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
--- 
18 
192 
567 
Total n=100 16 206 154 1106 
 
 Repararam na data? 
 Estávamos em 1º de janeiro de 1990! 
 Naquela data, as idades dos funcionários estava representada na tabela acima. 
 Só que agora, o enunciado propõe que estamos no dia 1º de janeiro de 1996. E 
diz ainda que o quadro de pessoal da empresa permanece o mesmo, ou seja, nenhum 
dos funcionários que trabalhava lá em 1990 saiu de lá, e ninguém mais entrou! 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 15
 Pois bem! O que ocorre com a idade de uma pessoa, quando se passam seis 
anos? Ora, aquela idade será somada a seis, obviamente! 
 Daí, matamos a charada: a nova situação, na data 1º/jan/1996, corresponde a 
pegarmos todos os elementos do conjunto original (idades em 1º/jan/1990) e a todos 
eles adicionarmos a constante 6. 
 E o que pede essa questão? Pede justamente o valor da nova média das idades, 
nesta nova data 1º/jan/1996. 
 Ora, havíamos calculado a Média das idades em 1990. Deu 37,8 anos. E agora? 
 Agora recordaremos a propriedade da média, que reza que se somarmos todos os 
elementos do conjunto com uma constante, a nova Média será a média original também 
somada a essa mesma constante. 
 Daí, meramente com o uso desta propriedade, diremos que nova média será: 
 
 X NOVA = X ORIGINAL + 6 X NOVA = 37,8 + 6 X NOVA = 43,8 Resposta! 
 
 Questão de resolução imediata, caso nos lembrássemos das propriedades da 
Média. Só posso dizer que, no estilo de prova da Esaf de hoje, conhecer todas as 
propriedades é algo imprescindível! 
 
13. (AFTN-96) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários 
em 1º/1/96. 
a) 35,49 anos b) 36,44 anos c) 41,49 anos d) 41,91 anos e) 43,26 anos 
 
Sol.: Esta questão é um retrato da anterior. Aquela propriedade da soma que usamos 
para a Média também se aplica, tal e qual, para a Mediana! 
 Sabemos que qualquer distribuição de freqüências pode ser representada por 
uma curva. É a dita curva de freqüências. Vejamos a curva abaixo, e suponhamos que 
ela é o retrato de um conjunto:Pois bem! Se somarmos cada elemento do conjunto a uma constante, o efeito 
disso será um deslocamento na curva. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Muda, portanto, a posição da curva! Daí, Média, Moda e Mediana, que são 
Medidas de Posição, serão igualmente influenciadas pela operação de soma! 
 Conclusão: a mesma propriedade da Média da soma (e da subtração) são 
identicamente válidas para a Moda e para a Mediana. 
 Daí, como havíamos calculado a Mediana das idades para a data 1º de janeiro de 
1990 (Md=37,26), em 1º de janeiro de 1996 todas essas idades estarão somadas à 
constante 6. Logo, pela propriedade, a nova Mediana será a anterior também somada à 
mesma constante. Teremos: 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 16
 
 MdNOVA = MdORIGINAL + 6 MdNOVA = 37,26 + 6 
 
 MdNOVA = 43,26 Resposta! 
 
 
30. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média 
aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi ( Xi – M )2 . 
Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por 
pelo menos 2S. Assinale a opção correta. 
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ 
exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ. 
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade 
tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. 
 
Sol.: Esta é das boas! Envolve um teorema de nome complicado, mas de fácil 
compreensão. É o Teorema de Tchebichev. Quanto ao nome desse sujeito, eu não dou 
garantia absoluta de estar certa a escrita, mesmo porque já o vi escrito de três formas 
diferentes em livros por aí...! Mas, tudo bem! O importante é conhecer o Teorema e 
como ele funciona. 
 O Teorema de Tcheb (vamos chamá-lo assim, já que vamos ter mesmo que ficar 
íntimos dessa teoria...) trata acerca de uma relação entre a Média ( X ) e o Desvio-
Padrão (S) de um conjunto. Aprende-se esse Teorema de uma forma quase que 
meramente visual. Vejamos o desenho abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta curva é representativa de uma distribuição qualquer. Certo? Daí, 
suponhamos que a Média esteja aí mais ou menos pelo meio da curva. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 17
 
 O que a questão vai fazer? Vai fornecer o valor desta Média, e vai fornecer o valor 
do Desvio-Padrão (S). 
 E vai fornecer dois limites, os quais definirão um intervalo qualquer. 
 
 Depois disso, a questão vai poder fazer uma destas duas perguntas: 
 
 1ª) Qual a proporção máxima de elementos fora deste limite? 
 ou 
 2ª) Qual a proporção mínima de elementos dentro deste limite? 
 
 Vou criar um exemplo, para entendermos melhor. 
 Suponha que eu diga que para um conjunto qualquer, o valor da média é igual a 
100 (cem) e o desvio-padrão é igual a 10 (dez). Ok? 
 Daí, eu estabeleço um intervalo, que vai de 70 a 130. 
 E pergunto: qual a proporção máxima de elementos do conjunto que está fora 
desse intervalo? 
 Desenhando a questão, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Quem for bom observador já percebeu que esses limites (70 e 130) guardam uma 
relação entre o valor da média e o desvio-padrão do conjunto. É verdade isso? Claro. 
Atentem que de 70 a 130 nós temos ( X -3S) a ( X +3S). 
 Uma relação assim será sempre observada. Não necessariamente somando e 
subtraindo de 3S. Pode ser de 2S, ou de apenas S, ou de 1,5S, ou de 0,5S. Não 
importa! O que importa é que a distância entre a média e o limite superior desse 
intervalo será a mesma entre a média e o limite inferior. Chamando essa distância de D, 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 D D 
 
 Até aqui, tudo bem? Pois agora vem a pergunta. E pode ser qualquer uma entre 
as seguintes: 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 18
 1ª) Qual a proporção máxima dos elementos do conjunto fora do intervalo 70 
a 130? 
 Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Repetindo: qual a proporção máxima dos elementos que estão fora dos limites do 
intervalo, ou seja, nestas duas áreas destacadas (à esquerda do 70 e à direita do 130)? 
 
 2ª) Qual a proporção mínima dos elementos do conjunto dentro do intervalo 
70 a 130? 
 Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 Entendido? 
 As perguntas serão sempre assim: proporção máxima fora do intervalo ou 
proporção mínima dentro do intervalo. 
 E o intervalo, já sabemos, traz uma relação entre a média e uma fração ou um 
múltiplo do desvio-padrão. 
 Sabendo disso, vamos aprender agora como responder a estas duas possíveis 
perguntas. 
 Para responder à primeira pergunta, relativa à proporção máxima fora do 
intervalo, faremos os seguintes passos: 
 
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo 
e a média do conjunto. 
 
Repetindo um desenho já feito, esse valor D será o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 19
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 100 130 
 
 D D 
 
No caso desse exemplo, teríamos D=30. 
 
2º Passo) Calcularemos o valor da fração (D/Desvio-Padrão), a qual chamaremos de K. 
 Ou seja: 
K=
S
D
 
 
 Com os dados do nosso exemplo, encontraremos que: K=(30/10)=3,0 
 
3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tcheb. 
 
PMÁXIMA= 2
1
K
 
 
 Teremos, pois, que: 
 
 PMÁXIMA= 1111,09
1
3
1
2 == =11,11% 
 
 Ou seja: 11,11% é a proporção máxima dos elementos do conjunto que estão 
fora daquele intervalo (70 a 130). 
 Uma vez conhecedores da PMÁXIMA fora do intervalo estabelecido, sem maiores 
problemas chegaremos à pmínima dos elementos dentro do mesmo intervalo. 
 Basta fazer o seguinte: 
 
 pmínima = 1 – PMÁXIMA 
 
 Para o mesmo exemplo, teríamos que: 
 
 pmínima = 1 – PMÁXIMA pmínima=1-0,1111=0,8889=88,89% 
 
 
 Passemos, finalmente, à nossa questão do simulado! 
 O enunciado nos fala que para um dado conjunto o valor da média vale M e a 
variância vale S2. Ora, sabemos que variância é o quadrado do Desvio-Padrão. Logo, se 
variância é S2, então o Desvio-Padrão será apenas S (a raiz quadrada da variância). 
 Fala também acerca de uma proporção θ, que é a proporção dos elementos do 
conjunto que diferem da Média M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Quando se diz 
“em valor absoluto” queremos dizer uma diferença para mais e para menos. 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 20
 Nosso intervalo está, pois, estabelecido: (Média-2S a Média+2S). Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M-2S M M+2S 
 
 Pois bem! O que a questão quer saber? A proporção dos elementos que diferem 
da média por pelo menos 2S. Esse pelo menos significa no mínimo. E no mínimo vai 
significar além de 2S. Ou seja: queremos saber a proporção dos elementos que estão 
fora do intervalo (M-2S a M+2S). 
 Essa proporção fora do intervalo será uma proporção máxima ou uma proporção 
mínima? Máxima, conforme já aprendemos! 
 Seria mínima casofosse a proporção dos elementos dentro do intervalo. 
 Sabendo disso tudo, só nos resta seguir os passos aprendidos acima. Teremos: 
 
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo 
e a média do conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M-2S M M+2S 
 
 D D 
 
 Daí, encontramos que a distância D=2S. 
 
2º Passo) Calcular a fração K. Teremos: 
 
 K=
S
D
 k=(2S/S) k=2 
 
3º Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos: 
 
 PMÁXIMA= 2
1
K
 PMÁXIMA=(1/4)=0,25 
 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 21
Ora, a questão chamou esta proporção de θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, 
é porque seu valor será menor ou igual a 0,25. Esta é a nossa resposta. Vejamos o que 
diz a opção a: 
 
“Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ 
exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ” 
 
 É exatamente o que encontramos! 
 Opção a Resposta! 
 
 
5. (FTM-FORTALEZA-1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de 
fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas 
condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital 
inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. 
a) 4,70% d) 4,88% 
b) 4,75% e) 4,93% 
c) 4,80% 
 
Sol.: Estamos diante de um enunciado inequívoco! A questão fala expressamente que 
trabalharemos com os juros simples exatos! Agora, reparemos no que a questão está 
pedindo: o valor dos juros como porcentagem do capital. 
 Neste caso, já conhecemos o artifício a ser utilizado: adotaremos o valor 100 
(cem) para o capital. Daí, qualquer resultado que encontrarmos para os juros, bastará 
acrescentarmos o sinal de porcentagem (%) e pronto, já será nossa resposta! 
 Iniciemos pela contagem dos dias, lembrando que nos juros exatos, esta 
contagem considerará o nosso ano calendário convencional, de 365 dias (ou 366, se for 
ano bissexto). 
 Os meses nos quais se deu a aplicação foram de fevereiro a abril. Logo, teremos: 
 
meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Fevereiro 28 
Março 31 
Abril 30 
 
 Agora, passamos a contar quantos dias de cada um desses foram efetivamente 
utilizados na operação. Já aprendemos a fazer isso resolvendo questão semelhante 
(questão 04 da aula 03). Teremos: 
 
Meses n˚ de dias 
(de acordo com o 
calendário 
convencional) 
Dias utilizados 
na operação 
Fevereiro 28 18 (=28-10) 
Março 31 31 
Abril 30 24 
 Total n=73 dias 
 
 Dispondo do tempo em dias, resta-nos agora transformar a taxa também para a 
unidade diária. O enunciado nos deu uma taxa anual. Daí, usando o conceito de taxas 
proporcionais, teremos que: 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 22
 
 24% ao ano = (24/365)% ao dia 
 
 Dividimos por 365, conforme já sabemos, porque estamos trabalhando com os 
juros exatos! 
 
 Daí, aplicaremos o esquema ilustrativo para resolução de operações de juros 
simples. Teremos: 
 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J 
 
 (i.n) 
 
 Lançando os dados na equação, teremos: 
 
ni
JC
.100
= 
73.
365
24100
100
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
J
 
8,4
1 J= J=4,8 
 
Daí, finalmente: J = 4,8% Resposta! 
 
 
14. (FISCAL INSS – 2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco 
comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta 
este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar 
em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante 
para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três 
meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do 
empréstimo que utilizou em proveito próprio. 
a) 12% ao trimestre 
b) 14% ao trimestre 
c) 15% ao trimestre 
d) 16% ao trimestre 
e) 18% ao trimestre 
 
Sol.: Esta questão é interessante, embora verse acerca de um assunto não previsto no 
programa do AFRF, que é o de taxa efetiva de juros. Essa taxa efetiva, embora o nome 
seja o mesmo, não se confunde com aquela taxa efetiva que é o resultado da 
transformação de uma taxa nominal. 
 Esse presente tipo de questão vai, em suma, definir um valor inicial, um prazo e 
um valor final. O valor final, obviamente, será maior que o valor inicial, para que assim 
se verifique a existência de uma operação de juros. Daí, o enunciado vai perguntar qual 
foi a taxa desta operação. 
 Tudo o que precisamos fazer é constatar quem serão esses dois valores: o que 
inicia e o que encerra a operação de juros. E é justamente nesse ponto que a questão 
tenta dificultar as coisas. Só tenta... senão vejamos: 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 23
 É dito sobre uma pessoa que faz um empréstimo de R$10.000 em um banco. Ora, 
a data de qualquer empréstimo é sempre o dia de hoje (data zero). Diz-se ainda que 
três meses após, a pessoa terá que devolver o que pegou, acrescido de 15% de juros. 
 Quanto vale 15% de 10.000? Essa é fácil: vale R$1.500,00 
Assim, até esse momento, nosso entendimento é o seguinte: vou pegar R$10.000 
hoje e, daqui a três meses, vou devolver R$1.500,00 a mais, a título de juros. 
Só que a questão não pára por aí... (seria bom demais!) 
Ela prossegue dizendo que a pessoa não vai poder levar os R$10.000 para casa 
hoje. Não! Só vai poder levar 75% do empréstimo. 
Quanto vale 75% de 10.000? Essa também é fácil: vale R$7.500,00. 
E por que só vai poder levar R$7.500 para casa? Porque com o restante 
(R$2.500) será feita (por força contratual) uma aplicação no próprio banco, a qual 
renderá, ao final daqueles mesmos três meses, a quantia de R$150,00. 
Feita esta análise, constatamos que os valores que realmente estarão no início e 
no final aplicação serão os seguintes: 
 
 (7500+1500-150) 
 7500 
 
 
 
 
 
 Vamos entender esse valor que encerra a operação. Temos que ter em mente que 
isso é um empréstimo. Esse valor final representa, pois, o quanto terei que devolver ao 
credor. Daí, 7500 é o quanto levei para casa na data zero; R$1500 é o quanto eu 
pagarei de juros no trimestre (isso foi dito pelo enunciado!). E quanto ao valor R$150, 
que está sendo subtraído? Por que está sendo subtraído ao invés de somado? Ora, 
simplesmente porque é um valor que não terei que devolver. Ao contrário: ele é que me 
será repassado ao final do trimestre, por conta de uma aplicação que fiz com parte do 
empréstimo. Daí, funcionará como capital o valor R$7500, e como montante R$8.850. 
 O tempo de aplicação é de três meses (um trimestre), e o regime é o simples! 
 Se conhecemos o valor do montante e do capital, resta que também sabemos o 
valor dos juros. Basta fazer a diferença. Teremos: J=M-C J=1.350,00. 
 Trabalhando os juros simples com os valores do Capital e dos Juros, teremos que: 
 
 
ni
JC
.100
= 
i.1
1350
100
7500
= 
7500
1001350xi = 
 
 i=18% ao trimestre Resposta! 
 
 
22. (AFRF-2001) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal 
de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% d) 12,6162% 
b) 12,6825% e) 12,5508% 
c) 12,4864% 
 
Sol.: Essa é aquela questão para relaxar... mas sempre com muita atenção, 
naturalmente! Ela já caiu milhares de vezes em provas passadas e recentes da Esaf, e 
há sempre uma possibilidade de retornar. 
 Trata-se de um enunciado em que se trabalha, exclusivamente, com os conceitos 
de taxa. 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS –MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 24
O ponto de partida dessa resolução será sempre a taxa nominal. Daí, nosso 
primeiro trabalho é localizá-la (caso exista!) na leitura. Tem taxa nominal aí? Sim! 12% 
ao ano com capitalização mensal. 
Ora, já sabemos de longa data que a taxa nominal deve sempre ser, de pronto, 
transformada em taxa efetiva. Sabemos também que essa transformação se faz por 
meio do conceito de taxas proporcionais e que o tempo da taxa efetiva é sempre o 
mesmo tempo da capitalização. 
Daí, nossa missão é transformar 12% ao ano em uma taxa mensal, mediante o 
conceito de taxas proporcionais. Teremos: 
 12% ao ano, c/ capitalização mensal = (12/12) = 1% ao mês (=Taxa Efetiva). 
 
Cumprida essa primeira etapa, vamos ver o que pede a questão. Está sendo 
solicitada uma taxa de juros anual. O que temos até aqui é uma taxa mensal (1% ao 
mês). Daí, precisaremos realizar nova conversão da taxa. 
Só que agora não mais estamos com uma taxa nominal, e sim efetiva, de sorte 
que esta segunda alteração se fará por meio do conceito de taxas equivalentes. 
Este se traduz pela seguinte fórmula: 1 + I = (1 + i)n. 
Vamos passar uma taxa ao mês (i) para uma taxa ao ano (I). Quantos meses 
cabem em um ano? Doze. Logo, n=12. Lançando os dados na fórmula, teremos: 
 1+I=(1+0,01)12 
Consultando a Tabela Financeira, para determinação do parênteses acima, 
acharemos que: 
 1+I=1,126825 
Daí: 
 I=1,126825 – 1 I=0,126825 I=12,6825% ao ano Resposta! 
 
 Em suma, esse tipo de enunciado será sempre trabalhado da maneira abaixo 
ilustrada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Próxima! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa 
Nominal 
Taxa 
Efetiva 
Taxa Efetiva em 
Outra unidade 
Taxas 
Proporcionais 
Taxas 
Equivalentes 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 25
27. (MDIC-ACE-2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 
672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca 
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 d) R$ 643,32 
b) R$ 620,15 e) R$ 672,00 
c) R$ 624,47 
 
Sol.: Essa questão é bem diferente! Ela começa fornecendo elementos de uma operação 
de desconto simples por fora (comercial). Diz que o valor do desconto por fora é 
Df=672,00; que o tempo de antecipação é de n=4 meses; e que a taxa da operação é 
i=3% ao mês (isso é dito na última frase do enunciado). 
 Trabalhemos esta operação de Desconto Simples Comercial, para ver se 
descobrimos quem é o valor Nominal. Lembrando do esquema ilustrativo para resolução 
de operações de desconto comercial simples, teremos: 
 
 N 
 A 
 
 (100-i.n) (100) 
 
 Df 
 
 (i.n) 
 
 Daí, teremos que: 
 
ni
DfN
.100
= 
43
672
100 x
N
= Daí: N=67.200/12 N=5.600,00 
 
 Agora passemos à segunda parte do enunciado, o qual diz respeito a uma 
operação de desconto composto racional (por dentro). Já temos os seguintes dados: 
 N=5.600,00 
 n=4 meses 
 i=3% ao mês (taxa composta!) 
 Dd=? 
 
 Ora, sabemos que o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
Daí, descobrimos que se calcularmos o valor atual para esta operação, chegaremos ao 
resultado pretendido, uma vez que já sabemos quem é o valor nominal. 
 
 Aplicando a equação do desconto composto racional, teremos que: 
 N=A.(1 + i)n A=N/(1+i)n A=5.600/(1+0,03)4 
 
 Daí: A=5.600/1,125508 A=4.975,53 
 
 Mas a questão não quer saber quem é o Valor Atual. Quer, sim, conhecer o valor 
do desconto. Daí, teremos: 
 
 D=N-A D=5.600-4.975,53 D=624,47 Resposta! 
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35. (AFRF-2002/2) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 
600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois 
compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao 
acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor 
deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% 
ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os 
centavos). 
a) R$ 1.440.000,00 d) R$ 1.728.000,00 
b) R$ 1.577.440,00 e) R$ 1.733.457,00 
c) R$ 1.584.000,00 
Sol.: É bem fácil a compreensão deste enunciado. Logo na primeira frase, ele começa 
falando acerca de duas parcelas que têm que ser pagas em datas definidas. Logo em 
seguida, veio com aquela história de “liseira”, de que “os compromissos não poderiam 
ser honrados...” e que aquela forma original de pagamento vai ser alterada. Ora, só até 
aqui, nós já temos elementos suficientes para afirmar: trata-se de uma questão de 
equivalência de capitais! 
Precisamos saber agora se é equivalência simples ou composta! E isso, o que irá 
nos dizer é o restante da leitura do enunciado. Então foi dito o seguinte: 
“...considerando...uma taxa de juros compostos...”. Pronto! Sabemos que o regime é o 
composto, de modo que estamos diante de uma questão de Equivalência Composta de 
Capitais. E se é uma questão de Equivalência Composta, sabemos que será resolvida 
por meio de operações de desconto composto por dentro. Não é assim? É assim! 
Percebamos que o enunciado não precisaria ter dito mais nada! Mas disse. Veio 
então com uma história de que teríamos que trabalhar a questão, utilizando uma tal de 
convenção exponencial. 
Já sabemos que uma questão de juros compostos pode ser resolvida de duas 
formas: pela convenção exponencial ou pela convenção linear. Estamos lembrados 
disso? E sabemos que a convenção exponencial consiste na própria aplicação da 
fórmula fundamental dos juros compostos, qual seja: M=C.(1+i)n. 
Ora, dissemos acima que esta nossa presente questão, por ser de Equivalência 
Composta, será resolvida por operações de desconto composto por dentro! E onde entra 
aí essa tal de convenção exponencial? 
É do nosso conhecimento que operações de juros compostos e de desconto 
composto por dentro são operações correspondentes! Se compararmos as fórmulas de 
ambas, veremos que se trata, a rigor, da mesma fórmula. Vejamos: 
 M=C.(1+i)n (Juros Compostos) 
 N=A.(1+i)n (Desconto Composto) 
Dito isto, passemos aos passos preliminares de nossa resolução de equivalência 
composta. Teremos: 
 
# Passos Preliminares de Resolução: 
 Primeiro Passo: “Desenhar” a questão! 
 
Para esse enunciado, teremos: 
 X 
 600.000, 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1a 2,5a 
 
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 Segundo Passo: Definir os valores de Primeira e de Segunda Obrigação, 
designando-os, respectivamente, por (I) e (II). 
 
 Teremos que: 
 
 X 
 600.000, 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
0 1a 2,5a 
 (I) (I) (II) 
 
 
 Terceiro Passo: Colocar taxa e tempos na mesma unidade. 
 
 Este passo já veio feito! A taxa fornecida é anual e os tempos também já estão 
nesta mesma unidade! Adiante! 
 
 Quarto Passo: Descobrir o regime e a modalidade do Desconto! 
 
 Isso tudo já foi descoberto! Já sabemos que a Equivalência aqui é a composta, de 
modo que trabalharemos com o desconto composto por dentro! 
 
 Quinto Passo: Definir a localização da Data Focal. 
 
 Qualquer uma serve? Sim, qualquer uma! Só que haverá uma delas que nos será 
mais conveniente. Neste caso, por dois motivos, seria bem interessante escolhermos a 
data focal 2,5 anos. Primeiro motivo: é a data do valor X, que pretendemos encontrar; 
segundo motivo: é a data mais à direita do nosso desenho, de modo que estaremos 
fugindodas divisões! 
 
Então,nosso desenho completo da questão será o seguinte: 
 X 
 600.000, 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1a 2,5a 
 (I) (I) (II) 
 (DF) 
 
 Passemos à resolução efetiva! 
 
 
 
 
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# Passos Efetivos de Resolução da Equivalência Composta: 
 
 Primeiro Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Primeira 
Obrigação! 
 
Comecemos com a parcela de 500.000, que se encontra na data zero. Teremos o 
seguinte: 
 E 
 
 
 500.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 2,5a 
 (I) (DF) 
 
 E=500000.(1+0,20)2,5 
 
 
 Percebamos, de antemão, que aplicando a fórmula acima, estaremos obedecendo 
à ordem do enunciado, de trabalhar a questão utilizando a convenção exponencial, 
uma vez que esta equação do desconto composto por dentro corresponde à fórmula 
fundamental dos juros compostos! 
 Ocorre que aqui nos deparamos com um problema! Reparemos bem nesse 
parêntese famoso. Repararam? Quanto é o valor do expoente? Ora, é um valor 
“quebrado”: 2,5. Existe tabela financeira para encontrarmos parêntese famoso com 
expoente que não seja inteiro? Não! E calculadora? Tem calculadora na hora da prova? 
Também não! E aí? O que faremos agora? 
 Resta uma saída! Uma vez que descobrimos que o enunciado nos pede uma 
solução que não há como ser trabalhada, pensaremos na outra maneira que existe para 
fazermos uma operação de juros compostos! Qual é? Pela convenção linear! Então é 
isso que faremos! Trabalharemos essa operação de juros compostos acima, pela 
convenção linear! 
 Se bem estamos recordados, a convenção linear se resolve em dois passos. No 
primeiro passo, aplicando os juros compostos e usando apenas a parte inteira do tempo. 
Teremos: 
 
 1º Passo da Convenção Linear: 
 
 M=500000.(1+0,20)2 M=500000.(1+0,20)2 M=500000x1,44 
 
 E: M=720.000,00 
 
 No segundo passo da convenção linear, quem era montante passará a ser capital. 
E aplicaremos agora os juros simples, trabalhando apenas com a segunda parte do 
tempo, aquela que ainda não foi utilizada! 
Nossos dados para esse segundo passo serão: 
 C=720.000,00 
 i=20% ao ano (juros simples) 
 n=0,5 ano 
 M=? 
 
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CURSO ONLINE DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA FINANCEIRA & ESTATÍSTICA 29
 Como já temos taxa e tempo na mesma unidade, aplicando a equação dos juros 
simples para Capital e Montante, teremos que: 
 
ni
MC
.100100 +
= Daí: 
5,020100100
720000
x
M
+
= 
 
 E: 
10100
7200
+
=
M
 Daí: M=7200x110 E: M=792.000,00 
 
Este Montante M é o nosso valor E. Ou seja: E=792.000,00 
 
Dando seqüência à nossa resolução de Equivalência Composta, ainda dentro do 
primeiro passo, trabalharemos agora com a parcela de R$600.000,00, na data 1 ano. 
Teremos: 
 F 
 600.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a 2,5a 
 (I) (DF) 
 
 
 F=600000.(1+0,20)1,5 
 
Novamente aqui encontramos um parêntese famoso com expoente quebrado! E 
mais uma vez nos vemos impossibilitados de encontrar o valor do F de pronto, uma vez 
que não encontraremos auxílio na Tabela Financeira, e nem dispomos de calculadora. 
Conclusão: não teremos, de novo, como calcular o F pela convenção exponencial. 
Teremos que recorrer à convenção linear! 
No primeiro passo da convenção linear, faremos: 
 
 M=600000.(1+0,20)1 M=600000.(1+0,20)1 M=600000x1,20 
 
 E: M=720.000,00 
 
 No segundo passo da convenção linear, montante vira capital, e faremos uma 
aplicação de juros simples, usando apenas a parte remanescente do tempo, aquela 
parte que ainda não foi utilizada. Nossos dados para esse segundo passo são os 
seguintes: 
 C=720.000,00 
 i=0,20% ao ano (juros simples) 
 n=0,5 ano 
 M=? 
 
 Se repararmos bem, esses dados acima são exatamente os mesmos dados do 
segundo passo da convenção linear que havíamos feito para a outra parcela (a de 
R$500.000,00). Ou seja, sopa no mel! Nem sequer vamos perder tempo fazendo essas 
contas deste segundo passo, uma vez que já sabemos que o Montante será o seguinte: 
 
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 M=792.000,00. 
 
 Este montante corresponde exatamente ao valor F. Daí, encontramos que: 
 
 F=792.000,00 
 
 Com isso, terminamos o nosso primeiro passo da questão de Equivalência 
Composta. Passemos ao segundo passo: 
 
 Segundo Passo: “Transportar” para a Data Focal os valores da Segunda 
Obrigação! 
 
 Ora, esse passo já está pronto! Ou seja, o valor de X, que é a única parcela da 
segunda obrigação, está localizada exatamente sobre a data focal, não tendo 
necessidade de ser transportada para lugar nenhum! 
 Concluindo: o valor do X na data focal é ele próprio! 
 
 Terceiro Passo: Aplicar a Equação de Equivalência! 
 
 Chegada a hora dos finalmentes, aplicaremos a equação de equivalência. 
 
∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Daí, teremos: 
 
792.000+792.000=X Daí: X=1.584.000,00 
 
 Mas ATENÇÃO agora! Quando se pensa que já terminou a questão – mesmo 
porque após ter feito tudo isso encontrou-se uma das opções de resposta (a opção C) – 
vem a grande “casca de banana”. 
 Percebamos que o enunciado nos pediu para calcular aquele valor X, só que 
trabalhando as operações pela convenção exponencial, e nós encontramos o X 
utilizando operações de convenção linear. Logo, a resposta que encontramos acima 
(R$1.584.000,00) não é a resposta certa! 
 Daí, vamos ter que nos lembrar do que aprendemos sobre os resultados 
encontrados, numa mesma operação, pelo método da convenção linear e pelo da 
convenção exponencial. E a regra é a seguinte: para uma mesma operação de juros 
compostos, o resultado encontrado pela convenção linear é ligeiramente maior 
que o resultado encontrado pela convenção exponencial! 
 Como achamos, pela convenção linear, o resultado final R$1.584.000,00, resta 
que o resultado final pela convenção exponencial será ligeiramente menor que 
R$1.584.000,00. 
 Procurando entre as opções de resposta, aquela que satisfaz essa nossa 
conclusão é justamente a opção B) R$1.577.440,00. 
Daí: X=1.577.440,00 Resposta da Questão! 
 
 
 
 
 
 
 
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44. (AFRF-2002/1) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de 
uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor 
de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por 
estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução 
da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da 
anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova 
prestação do financiamento. 
a) R$ 136.982,00 d) R$ 165.917,00 
b) R$ 147.375,00 e) R$ 182.435,00 
c) R$ 151.342,00 
 
Sol.: Uma questão muito bonita! E fácil também! Existe uma situação original: um valor 
inicial, que será financiado (leia-se: pago em parcelas). O enunciado diz que serão vinte 
prestações semestrais e de mesmo valor, que irão formar uma anuidade postecipada! 
 Vamos por partes: quando a questão falar em anuidade, iremos traduzir que 
essas parcelas tanto podem fazer parte de uma operação de Rendas Certas, quanto de 
uma de Amortização. Em suma: se o enunciado trouxer essa palavra anuidade, já 
saberemos automaticamente que estamos no Regime Composto! Nem precisa ser dito 
isso expressamente! 
 Ok? Anuidade = Regime Composto! 
 E essa outra palavra: postecipada? O que significa isso? Quando estivermos 
diante de uma série de parcelas, e o enunciado disser que se trata de aplicações 
postecipadas, estará apenas informando que a primeira dessas parcelas será 
desenhada no final do primeiro período! Só isso! 
 Portanto, se são parcelas mensais e postecipadas, a primeiraparcela estará ao 
final do primeiro mês; se são parcelas trimestrais e postecipadas, a primeira parcela 
estará ao final do primeiro trimestre; se são parcelas semestrais (como é o nosso caso 
nessa questão!) e postecipadas, a primeira parcela estará ao final do primeiro semestre! 
E assim por diante. 
 Contrapondo-se à palavra postecipada haverá uma outra palavra chave: 
antecipada! Então, se estivermos numa situação em que há várias parcelas de mesmo 
valor, e o enunciado disser que se trata de aplicações antecipadas, estará com isso 
dizendo que a primeira parcela deverá ser desenhada no início do primeiro período! 
 Ou seja, se forem parcelas mensais e antecipadas, a primeira parcela estará no 
início do primeiro mês; se forem parcelas bimestrais e antecipadas, a primeira parcela 
surgirá no início do primeiro bimestre; e assim por diante! 
 Entendido? Essas palavras – Antecipada e Postecipada – irão apenas nos 
informar onde estará localizada a primeira parcela da série, de modo que: 
 Parcelas Antecipadas: primeira parcela no início do primeiro período; 
 Parcelas Postecipadas: primeira parcela ao final do primeiro período. 
 E se forem parcelas diferidas? O que significa esse nome? Significa que as 
parcelas nem são antecipadas e nem são postecipadas! Ou seja, no caso de as parcelas 
serem diferidas, teremos a situação em que a primeira parcela estará localizada em 
data posterior ao primeiro período. Leia-se: a primeira parcela estará do segundo 
período em diante, conforme disponha o enunciado. 
 São importantes essas palavras que aprendemos acima? Sim, naturalmente! E 
por um único motivo: por meio delas, saberemos como desenhar a questão da forma 
correta. E se desenharmos corretamente, então não há como errarmos! Voltemos ao 
nosso enunciado. 
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 A situação original é essa: são vinte parcelas semestrais e postecipadas, no valor 
de R$200.000 cada uma. Desenhemos: 
 X 
 
 
 
 
 
 200.000 200.000 200.000 200.000 
 
 Esta é a situação original. Reparemos que as parcelas são postecipadas, 
conforme nos disse o enunciado! Ocorre que logo após expor a situação original, passa-
se a falar em uma mudança. E esta ocorrerá, conforme visto na leitura, 
“imediatamente após o pagamento da décima prestação”. 
 Ora, quantas prestações foram pagas antes que houvesse a mudança? Foram 
pagas dez prestações! Certo? Pois bem! Se foram pagas dez prestações, quantas 
faltariam ainda serem pagas, tendo por base a nossa situação original? Quantas? Dez, 
naturalmente! Se eram vinte parcelas, e já pagamos dez, restam dez a serem pagas! 
Vamos, portanto, redesenhar a questão, para saber exatamente o valor que resta ainda 
ser pago. Teremos: 
 
 
 
 200.000 200.000 
 Pronto! São essas dez últimas prestações que restam ser pagas! Mas o quanto 
elas representam? Qual é o total que corresponde a essas dez prestações? Para 
responder a isso, teremos que fazer uma operação de Amortização. Teremos: 
 T 
 
 
 
 
 
 
 
 200.000 200.000 
 Teremos que: 
 T=P.An¬i T=200000 . A10¬15% 
 Observemos que nesta situação original (antes da mudança), o valor da taxa da 
operação era de 15% ao semestre! Com o auxílio da Tabela Financeira da Amortização, 
encontraremos que: 
 Daí: T=200000 x 5,018768 T=1.003.753,60 
 Ou seja, esse valor que acabamos de achar representa justamente o quanto 
ainda teria que ser pago, se fosse mantida aquela situação original. 
 Ocorre que houve mudanças! Quais: 
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 1ª) O número restante de parcelas foi ampliado: em vez de pagar somente mais 
dez parcelas, pagaremos quinze! 
 2ª) O valor da taxa da operação passou de 15% agora para 12% ao semestre! 
 Ou seja, um aumento no número de parcelas e uma redução na taxa. Tomando 
por base a nossa nova situação, desenhemos mais uma vez a questão. Teremos: 
 1.003.753,60 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P P P P 
 
 Nossos dados nessa nova situação são os seguintes: 
 T=1.003.753,60 (valor que será amortizado) 
 n=15 (número de parcelas) 
 i=12% ao semestre (taxa reduzida pela negociação!) 
 P=? 
 
 Aplicando diretamente a fórmula da Amortização, teremos o seguinte: 
 T=P.An¬i 1.003.753,60=P . A15¬12% 
 Daí: P=1.003.753,60/ A15¬12% 
 
 Novamente usando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: 
 
 Daí: P=1.003.753,60/ 6,810864 
 
 E: P=147.375, Resposta! 
 
 
 
É isso! 
Antes de me despedir, quero dizer que sei que estou devendo algumas respostas 
no fórum. São somente algumas poucas, mas irei respondê-las nos próximos dias. Ok? 
Espero, sinceramente, que vocês estejam usufruindo bem destas nossas aulas! 
Acredito, honestamente, que o reflexo delas será sentido na hora do vamos ver, 
lá na frente da prova! 
Fico por aqui. Vou para perto da Clarinha. Fiquem com Deus e até a próxima! 
 
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1
AULA 05 
 
 Olá, amigos! 
 Sem mais delongas, seguem as questões do simulado de hoje! 
 Marque o tempo e comece a resolver. 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
5. (TJ CE – 2002) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo 
salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 
funcionários da empresa X. A próxima questão refere-se a essa tabela. Note que a 
coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que 
a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da 
amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações 
de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 
a) 65% b) 50% c) 80% d) 60% e) 70% 
 
 
32. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. A próxima questão refere-se a esses ensaios. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
16807 1
2 =∑ =i ii fZ , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de 
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. 
a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 
 
 
 
 
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2
41. (AFTN-94) Indique a opção correta: 
a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que 
o coeficiente de curtose. 
b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no 
intervalo [-3, 3]. 
c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o 
quadrado da variância da distribuição. 
d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão. 
e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. 
 
Para efeito das duas próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) Artigos 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
A2 20 25 27 84 120 164 
 
52. (AFTN-1996)Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, 
no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. 
a) 100,0; 141,2; 192,5 d) 100,0; 142,3; 193,3 
b) 100,0; 141,4; 192,8 e) 100,0; 142,8; 193,7 
c) 100,0; 141,8; 193,1 
 
53. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, no 
período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. 
a) 100,0; 141,3; 192,3 d) 100,0; 142,0; 193,3 
b) 100,0; 141,6; 192,5 e) 100,0; 142,4; 193,6 
c) 100,0; 141,8; 192,7 
 
56. (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A 
empresa quer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo 
aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o 
mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o 
aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento 
desejado? 
a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6% 
 
 
6. (AFRF-1998) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do 
mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um 
montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os 
centavos. 
a) R$ 4.067,00 d) R$3.941,00 
b)R$ 3.986,00 e) R$4.000,00 
c) R$ 3.996,00 
 
11. (AFRF-1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta 
duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da 
taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% 
do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua 
conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso 
você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de 
desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: 
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3
a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4% 
 
24. (MICT-ACE-1998) O capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com 
capitalização trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 ao fim de um ano. 
Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproximação de uma casa decimal. 
a) 5,0% b) 5,4% c) 20,0% d) 21,6% e) 30,4% 
 
30. (AFRF-1996) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros 
compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas 
mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais 
se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes 
dois pagamentos é: 
a) $ 2.012,00 d) $ 2.484,84 
b) $ 2.121,00 e) $ 2.516,16 
c) $ 2.333,33 
 
38. (FTM-FORTALEZA-1998) Um indivíduo financiou parte da compra de um 
automóvel, em 24 prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, 
ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador 
que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12a 
prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o 
saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os 
centavos. 
a) R$ 4.410,00 d) R$ 5.872,00 
b) R$ 5.000,00 e) R$ 6.462,00 
c) R$ 5.282,00 
 
45. (AFRF-2002/1) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar 
mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os 
seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. 
Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes 
sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao 
mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses 
depois, no dia 1o de fevereiro. 
a) R$ 36.000,00 d) R$ 41.132,00 
b) R$ 38.449,00 e) R$ 44.074,00 
c) R$ 40.000,00 
 
 
2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 
 
5. (TJ CE – 2002) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo 
salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 
funcionários da empresa X. A próxima questão refere-se a essa tabela. Note que a 
coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que 
a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da 
amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
 
 
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4
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações 
de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 
65% b) 50% c) 80% d) 60% e) 70% 
 
Sol.: Ô beleza... é o tipo da questão que já não tem mais nenhum segredo para nós! 
 Antes de mais nada, vamos descobrir qual foi esta coluna de freqüências 
fornecida na tabela. Diz o enunciado que se trata do “percentual da freqüência 
acumulada”. Ou seja, já disse tudo: estamos diante da coluna da freqüência relativa 
acumulada crescente – Fac. 
 Daí, caso queiramos, podemos reescrever a tabela com a nomenclatura de nosso 
costume. Teremos: 
Classes Fac 
4 – 8 20% 
8 – 12 60% 
12 – 16 80% 
16 – 20 98% 
20 – 24 100% 
 
 Agora a pergunta da questão: qual o percentual de indivíduos desse conjunto que 
ganham abaixo de 14 salários mínimos? 
 Essa nós vamos matar no olho, seguindo direto pelo atalho! 
 Vejamos que 14 salários mínimos é um valor inserido na terceira classe. Para ser 
mais preciso, é exatamente o ponto médio da terceira classe, dividindo-a ao meio! 
 Observemos ainda que, até a classe anterior (8 a 12 salários mínimos), já 
havíamos acumulado 60% dos indivíduos do conjunto! E avançando a terceira classe 
(12 a 16 salários mínimos), chegamos a acumular 80% dos indivíduos. 
 Ou seja, participam desta terceira classe 20% dos elementos do conjunto 
(20%=80%-60%). Daí, pensaremos que, se a classe inteira (12 a 16) contém 20% dos 
indivíduos, resta que metade da classe (12 a 14) contém a metade de 20%, que é 10%. 
 Com isso, descobrimos que a participação da terceira classe na resposta é de 
10%. Como até a classe anterior já tínhamos acumulado 60% dos elementos, somando 
mais 10% da terceira classe chegaremos à resposta: 
 60% + 10% = 70% Resposta! 
 
 Alguém vai dizer: professor, e se eu não estiver em um bom dia na hora de fazer 
a prova, e não estiver enxergando atalho coisa nenhuma? Como é que eu faria do jeito 
convencional? Pela regra-de-três que já aprendemos a fazer! 
 Primeiro teríamos que descobrir que a classe que participa apenas parcialmente 
do resultado é a terceira classe. Isso não é lá tão difícil (ao contrário!), uma vez que 14 
salários mínimos é um valor inserido naquela terceira classe. Daí, faríamos o desenho 
que nos ajudará a compor a regra-de-três, que é o seguinte: 
 
 
 
 
 
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5
 4 (=16-12) 
 
 
 2 (=14-12) 
 
 12 14 16 
 
 
 60% 80% 
 
 X 
 
 
 20% (=80%-60%) 
 
Daí, compondo nossa regra-de-três, teremos: 
 
X
2
%20
4
= 
 
E, finalmente: 
 X=(20%x2)/4 X=40%/4 X=10% 
 
 Estes 10% correspondem à participação da terceira classe no resultado! 
Somando, pois, os 10% desta terceira classe aos 60% acumulados nas duas primeiras 
classes, chegamos aos 70% Resposta! 
 
 
32. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna Prepresenta a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. A próxima questão refere-se a esses ensaios. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
16807 1
2 =∑ =i ii fZ , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de 
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. 
a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 
 
Sol.: Essa questão é das boas! Envolve uma transformação da variável original. Esta 
transformação foi fornecida pelo próprio enunciado, e está expressa pela seguinte 
conta: Z=(X-140)/10. 
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6
 A variável original é a Xi, e está sendo transformada na Zi por meio de duas 
operações: uma subtração por 140 e depois uma divisão por 10. 
 Pois bem! O que nos pede a questão? Que encontremos a variância amostral. 
 Reparemos que quando se trata de variância, faz toda diferença se estamos 
trabalhando com uma amostra ou com uma população! 
 Caso estejamos calculando a variância de um conjunto que representa a 
população, então as fórmulas que poderemos usar são as duas seguintes: 
 
 
n
fiXPM
S ∑ −= .)(
2
2 ou 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...1 
 
 Agora, caso estivéssemos trabalhando com um conjunto que representasse uma 
amostra, então as fórmulas acima receberiam um fator de correção, que consiste no 
acréscimo de “menos um” no denominador. Trata-se do fator de correção de Bessel. 
 Nossas fórmulas para cálculo da variância amostral, portanto, são as seguintes: 
 
 
1
.)( 22
−
−
= ∑
n
fiXPM
S ou 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Como a questão nos pede a variância amostral, lançaremos mão do uso de uma 
das duas fórmulas acima. Como decidir por uma delas? Ora, ambas nos fazem chegar 
ao mesmo resultado, porém haverá sempre uma que será mais conveniente para nossa 
resolução, de acordo com os dados adicionais fornecidos pelo enunciado! 
 Neste caso, o dado adicional foi o seguinte: 16807 1
2 =∑ =i ii fZ 
 
 Onde Zi é o ponto médio transformado, ou seja, o ponto médio da variável Z. 
 
 Dica: sempre que a questão trouxer em seu enunciado uma transformação da 
variável, é interessante que nós façamos de pronto um desenho que a represente. 
Trata-se do desenho de transformação da variável. 
 Teremos: 
 
 1ª)-140 2ª)÷10 
 
 
X Z 
 
 
 2ª)+140 1ª)x10 
 
 
 Observemos que as operações do caminho de cima nos conduzem da variável 
original X para a variável transformada Z. E as operações que realizam esse trabalho 
(em azul) são aquelas presentes no próprio enunciado da questão (X-140/10). 
 Já o caminho de baixo (a volta) é aquele que nos faz retornar à variável original 
X, partindo da variável transformada Z. As operações que formam esse caminho são as 
inversas das do caminho de cima. Onde havia subtração, agora há soma; divisão, agora 
há um produto! 
 Atentem para o fato de que também a seqüência das operações do caminho de 
cima são invertidas: onde acaba lá em cima, começa aqui em baixo! Viram? 
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7
 Pois bem! Por que fizemos esse desenho? 
 Porque, via de regra, quando a questão nos fornece uma transformação da 
variável (nosso caso), ela irá nos dar subsídios para calcularmos alguma coisa (média, 
desvio-padrão, variância etc) referente à variável transformada! 
 Daí, calcularemos essa medida estatística para a transformada, e depois, 
seguindo o caminho de baixo, e lembrando-nos das propriedades daquela medida, 
retornaremos para o lado da variável original e chegaremos à resposta da questão! 
 É exatamente o que vai ocorrer aqui. 
 Voltemos ao dado adicional trazido pelo enunciado: 16807 1
2 =∑ =i ii fZ 
 Comparemos esse dado com as duas fórmulas passíveis de serem usadas: 
 
 
1
.)( 22
−
−
= ∑
n
fiXPM
S ou 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Pronto! Já temos condição de afirmar que a fórmula boa para essa resolução é a 
fórmula desenvolvida! A maior! Para ficar melhor de enxergar, troquemos PM (Ponto 
Médio) por Zi (que é o ponto médio da variável Z), e teremos: 
 
 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑∑ n
Zifi
Zifi
n
S
2
22 ...
1
1
 
 
 Viram? Daquele colchete, já conhecemos o valor da primeira parcela, que é igual 
a 1680. Sabemos também que para essa distribuição de freqüências, n=200, conforme 
dito na segunda linha do enunciado (...foram examinados 200 itens...). 
 Daí, até agora, substituindo os valores conhecidos na fórmula, teremos: 
 
 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑
200
.
1680.
1200
1
2
2 ZifiS 
 
 Em suma: só nos resta descobrir o valor do numerador da segunda parcela do 
colchete, ou seja, o valor de (∑fi.Zi)2. 
 Vamos trabalhar as colunas de freqüência da nossa distribuição. A coluna P(%) 
representa neste caso, conforme já é do nosso conhecimento, a freqüência relativa 
acumulada crescente (Fac). Daí, construiremos primeiro a coluna da Freqüência 
Relativa Simples (Fi) e depois a da freqüência absoluta simples (fi). 
 Esse trabalho com as colunas de freqüência é algo cujo conhecimento é 
imprescindível para nós! E estou contando que todos nós já saibamos fazer isso! O 
resultado deste trabalho será o seguinte: 
 
Classes Fac Fi Fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 n=200 
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8
 Do que precisamos mesmo? Da parcela (∑fi.Zi)2. Ora, a coluna fi já é nossa 
conhecida! Resta, pois, encontrarmos quem é o Zi. Sabemos que Zi=(Xi-140)/10, e 
que este Xi representa o Ponto Médio da variável original. Daí, precisamos logo 
construir a coluna do Xi. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
70-90 5% 5% 10 80 
90-110 15% 10% 20 100 
110-130 40% 25% 50 120 
130-150 70% 30% 60 140 
150-170 85% 15% 30 160 
170-190 95% 10% 20 180 
190-210 100% 5% 10 200 
 n=200 
 
 Agora, sim: nosso próximo passo é construir a coluna do Zi. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
Zi= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
10
140Xi
 
70-90 5% 5% 10 80 -6 
90-110 15% 10% 20 100 -4 
110-130 40% 25% 50 120 -2 
130-150 70% 30% 60 140 0 
150-170 85% 15% 30 160 2 
170-190 95% 10% 20 180 4 
190-210 100% 5% 10 200 6 
 n=200 
 
 Voltemos agora para nosso objetivo: (∑fi.Zi)2. Próximo passo? Construir a coluna 
(fi.Zi), e somar seus valores. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi Xi 
Zi= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
10
140Xi
 
fi.Zi 
70-90 5% 5% 10 80 -6 -60 
90-110 15% 10% 20 100 -4 -80 
110-130 40% 25% 50 120 -2 -100 
130-150 70% 30% 60 140 0 0 
150-170 85% 15% 30 160 2 60 
170-190 95% 10% 20 180 4 80 
190-210 100% 5% 10 200 6 60 
 n=200 (∑fi.Zi)=-40 
 
 Quase lá! O que queremos? (∑fi.Zi)2. Daí, teremos: (-40)2=1600. Agora só 
precisamos completar a fórmula e fazer as contas. Ficaremos com: 
 
 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑
200
.
1680.
1200
1
2
2 ZifiSz ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
200
16001680.
199
12Sz 
199
16722 =Sz 
 
 E: SZ2=8,4020 
 
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9
 Bem que esta poderia ser nossa resposta! Só que ainda não é! Claro que não! O 
que encontramos foi a variância da variável transformada! E o que a questão pede é 
a variância da variável original. 
 É aí que entra aquele tal desenho de transformação da variável. 
 O resultado que temos até aqui (8,4020) está do lado da variável Z. Teremos: 
 
 1ª)-140 2ª)÷10 
 
 
 X ZSz2=8,4020 
 
 
 2ª)+140 1ª)x10 
 
 Para chegarmos à variância do lado de cá, ou seja, da variável original X, teremos 
que percorrer o caminho de baixo, lembrando das propriedades da variância. 
 Variância é influenciada por produto ou divisão? Sim! Multiplicaremos (ou 
dividiremos) a variância pelo quadrado da constante! 
 Logo, se a primeira operação do caminho de baixo é uma multiplicação por dez, 
então faremos com a variância um produto pelo quadrado de dez, ou seja, 
multiplicaremos por 100 (cem). 
 Já no tocante à segunda operação do caminho de baixo, lembraremos que a 
variância não é influenciada por operações de soma ou subtração. Ou seja, a segunda 
operação (soma com 140) não será realizada! Teremos: 
 
 1ª operação) 8,4020 x 100 = 840,20 
 
 2ª operação) Não realizaremos! 
 
 Daí: Variância da Variável Original = Sx2=840,20 Resposta! 
 
 
41. (AFTN-94) Indique a opção correta: 
a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do 
que o coeficiente de curtose. 
b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no 
intervalo [-3, 3]. 
c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes 
o quadrado da variância da distribuição. 
d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal 
padrão. 
e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo. 
 
Sol.: Questão teórica! Analisemos item por item. 
 
Item a) Falso! E a razão é bem simples: não há qualquer relação entre a situação de 
assimetria e a situação de curtose de um conjunto. Só isso! 
 
Item b) Falso! Aqui o elaborador talvez tenha tentado provocar alguma confusão nos 
candidatos, com esse valor 3. Sabemos que a assimetria pode ser negativa ou positiva, 
mas não há essa limitação entre -3 e 3. Ok? 
 
Item c) Falso! Traduzindo o que este item afirma: C=3[(S2)2]=3.S4 
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10
 Totalmente equivocado. Sabemos que a Curtose de um conjunto pode ser 
calculada por dois métodos: 
 Coeficiente Percentílico de Curtose: C=[Q3-Q1]/[2(D9-D1)] 
 Coeficiente Momento de Curtose: C=m4/S4 
 
Item d) Correto! Quando estivermos trabalhando com o Coeficiente Momento de 
Curtose, o valor de referência para a Distribuição Mesocúrtica, ou de Curtose 
intermediária, é exatamente 3. E essa distribuição mesocúrtica é dita curva normal. 
 
Item e) Falso! Mesmo comentário do item a. Não há relação entre relação entre 
assimetria e curtose. 
 
 
Para efeito das duas próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) Artigos 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
A2 20 25 27 84 120 164 
 
52. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, 
no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. 
a) 100,0; 141,2; 192,5 d) 100,0; 142,3; 193,3 
b) 100,0; 141,4; 192,8 e) 100,0; 142,8; 193,7 
c) 100,0; 141,8; 193,1 
 
Sol.: Já falamos bem acerca destes índices de Paasche e de Laspeyres na nossa aula 
primeira. Estamos lembrados? 
 O que faremos aqui é aplicar diretamente a fórmula do índice solicitado, e este foi 
o de Preços de Laspeyres! Aqui, quem for bom observador já reparou que só 
aplicaremos a fórmula uma única vez! Claro! Para o ano de 1995, em relação ao ano de 
1993 (que é o base!). Por que isso? Porque os cinco valores, nas cinco opções de 
resposta, são todos diferentes: 192,5; 192,8; 193,1; 193,3; 193,7. 
 Daí, teremos: 
 
( ) ( )
( ) ( ) 931,12376
4588
20841258
2016412109
.
.
==
+
+
==
∑
∑
xx
xx
qp
qp
La
oo
on 
 
Multiplicando esse resultado por 100, chegaremos à resposta! 
 
Portanto: La=193,1 Item C Resposta! 
 
 
53. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, no 
período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. 
a) 100,0; 141,3; 192,3 d) 100,0; 142,0; 193,3 
b) 100,0; 141,6; 192,5 e) 100,0; 142,4; 193,6 
c) 100,0; 141,8; 192,7 
 
Sol.: Nesta questão, da mesma forma que na anterior, só precisaremos aplicar a 
fórmula do índice uma única vez! Basta olharmos com cuidado para as opções de 
resposta e veremos que os segundos valores de cada opção são todos distintos. 
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11
Os terceiros valores também! Daí, podemos escolher, entre fazer o cálculo do ano 
94 em relação a 93, ou do ano 95 em relação a 93. Fica a gosto do freguês! 
 Aplicaremos aqui o preço de Paasche de 1994 em relação a 1993. Teremos: 
 
( ) ( )
( ) ( ) 420,12854
4053
25841358
251201381
.
.
==
+
+
==
∑
∑
xx
xx
qp
qp
Pa
no
nn 
 
Multiplicando este valor por 100, chegaremos à resposta! 
 
Daí: 1,42x100=142,0 Pa=142,0 Item D Resposta! 
 
 
56. (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A 
empresa quer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo 
aumentando o preço do produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o 
mercado absorva o aumento de oferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o 
aumento de preço necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento 
desejado? 
a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6% 
 
Sol.: Uma questãozinha que se resolve só pela álgebra! Só precisamos saber que 
faturamento é quantidade vezes preço! Ou seja: 
 
Faturamento = Quantidade x Preço 
 
 Como o enunciado vem falar em aumentos percentuais, um ótimo artifício seria 
estabelecer os valores inicias de preço e quantidade como sendo iguais a 100. Daí, 
teríamos: 
10.000 (faturamento) = 100 (quantidade) x 100 (preço) 
 
 Daí, a questão quer aumentar o faturamento em 60% e a quantidade em 20%. 
Teríamos, portanto: 
 
16.000 (fat.) = 120 (q) x preço 
 
 Daí: preço = 16.000 / 120 E: preço=133,3 
 
 Ora, se partimos de um preço igual a 100, e passamos a 133,3 , concluímos que 
o aumento foi apenas dessa diferença. Ou seja: 
 
 Aumento do preço = 133,3 – 100 = 33,3 
 
 E como o valor de referência é igual a 100, podemos colocar o sinal de % no 
resultado. Teremos: 
 
 Aumento do preço = 33,3% Resposta! 
 
 
 
 
 
 
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6. (AFRF-1998) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do 
mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um 
montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os 
centavos. 
a) R$ 4.067,00 d) R$3.941,00 
b)R$ 3.986,00 e) R$4.000,00 
c) R$ 3.996,00 
 
Sol.: Aqui temos que estar atentos aos conceitos. Eu próprio já mudei de opinião 
algumas vezes, tendo em vista as diferentes orientações de alguns autores. Todavia, no 
final das contas, convenci-me de que para a Esaf, juros simples ordinários são a 
mesma coisa que juros simples comerciais. Ou seja, aquele que considera que todos 
os meses do ano têm 30 dias e, portanto, o ano inteiro tem 360 dias. 
 A idéia que se contrapõe à de Juros comerciais ou ordinários é a de juros 
exatos. Este, por sua vez, considera o ano convencional, tal qual está nos calendários, 
com 365 dias, ou 366, caso bissexto. 
 Daí, se este enunciado fala em juros simples ordinários, estamos diante de uma 
questão convencional e corriqueira de juros simples! 
 Vamos passar à contagem dos dias, para sabermos quanto tempo durou esta 
operação. O início de tudo se deu no dia 5 de maio, e terminou em 25 de novembro do 
mesmo ano. Daí, do dia 5 de maio ao dia 5 de junho, terá se passado um mês; até o dia 
5 de julho, dois meses; até o dia 5 de agosto, três meses; até 5 de setembro, quatro 
meses; até 5 de outubro, cinco meses; até 5 de novembro, seis meses. 
 Daí, estamos agora no dia 5 de novembro. Até chegarmos ao dia 25 de 
novembro, teremos que avançar mais vinte dias (25-5=20). 
 Em suma: nossa operação durará precisamente 6 meses e20 dias. 
 Anotando os dados da questão, teremos: 
 C=? 
 n=6m20d 
 i=36% ao ano 
 M=4.800,00 
 
 Precisamos, antes de aplicarmos a equação, colocar taxa e tempo na mesma 
unidade. Neste caso, será conveniente para nós trabalharmos na unidade diária! 
Trabalharemos com tudo em dias! Teremos, portanto, que: 
 
 i=(36/360)% ao dia=(1/10)% a.d. 
 n=200 dias 
 
 Agora, sim! A fórmula que usaremos é extraída do esquema ilustrativo dos Juros 
Simples. Relembrando: 
 
 
 M 
 C 
 
 (100) (100+i.n) 
 
 J 
 
 (i.n) 
 
 Lançando os dados na equação, teremos: 
 
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ni
MC
.100100 +
= 
200.
10
1100
4800
100
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
=
C
 
120
480000
=C C=4.000,00 Resposta! 
 
 
11. (AFRF-1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta 
duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da 
taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% 
do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua 
conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso 
você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $105,00. A taxa de 
desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: 
a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4% 
 
Sol.: Essa questão trata de desconto simples. 
 Está dito que o valor de face de um título é de R$150,00. Nenhuma dúvida: valor 
de face é o mesmo que valor nominal. E este título vence daqui a três meses. Ou 
seja, daqui a três meses ele valerá aqueles R$150,00. 
 O que houve de novo aqui é que o banco em que vamos descontar a duplicata faz 
uma retenção de 15% do valor nominal. Calculemos logo essa quantia: 
(15/100)x150,00=R$22,50. 
 Esse valor (R$22,50) não será recebido por nós. Não integrará o valor líquido que 
receberemos pelo título. Ficará retido, conforme nos diz o enunciado. 
 A questão diz ainda que receberemos líquido, hoje, a quantia de R$105,00. 
Ora, o valor de face do título (o valor nominal) vai ser reduzido nesta operação de 
duas formas: 1ª) por meio do desconto por fora; e 2ª) pela retenção dos R$22,50. 
 Se está sendo perguntado o valor da taxa da operação de desconto por fora, 
então teremos que desconsiderar aquela retenção de R$22,50, e trabalhar apenas com 
a primeira forma de redução do valor nominal. E para fazermos isso, teremos que 
somar o valor líquido (R$105,00) com o valor retido de R$22,50. Teremos: 
105+22,50=R$127,50. 
 Pronto! Esse será nosso valor atual. 
 Daí, já temos como descobrir o valor da taxa da operação de desconto! Teremos 
o seguinte: 
 N=150,00 
 A=127,50 
 n=3m 
 i=? 
 
 127,50 150,00 
 
 100-i.n 100 
 
 0 3m 
 
 
Daí: 
i.3100
50,127
100
150
−
= 150.(100-3i)=127,50x100 15000-450i=12750 
 
E: 450.i=2250 i=5% ao mês Resposta! 
 
 
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24. (MICT-ACE-1998) O capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com 
capitalização trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 ao fim de um ano. 
Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproximação de uma casa decimal. 
a) 5,0% b) 5,4% c) 20,0% d) 21,6% e) 30,4% 
 
Sol.: O enunciado nos fala em juros compostos com capitalização trimestral. Ou seja, 
fala-nos em uma taxa nominal. Não trabalhamos as contas com taxas nominais. Disso 
já sabemos! Trabalhamos, sim, com taxas efetivas. Daí, considerando que o período da 
capitalização é o trimestre, concluímos que nossa taxa efetiva será também trimestral. 
 Temos que descobrir qual é o seu valor. 
 Aplicaremos a fórmula fundamental dos juros compostos. Teremos: 
 
 M=C.(1+i)n 
 
 Para lançar os valores na equação acima, temos que ter taxa e tempo na mesma 
unidade (exigência universal da matemática financeira!) 
 Daí, como a taxa que buscamos agora é trimestral, teremos que trabalhar com o 
tempo também em trimestres. Ficou fácil dizer que 1 ano = 4 trimestres. 
 Daí, teremos: 
 
 M=C.(1+i)n 60.775,31=50.000x(1+i)4 
 
 E: (1+i)4= (60.775,31/50.000) (1+i)4= 1,2155062 
 
 Consultando a Tabela Financeira do parênteses famoso, encontraremos 
diretamente o valor da taxa trimestral. Teremos: 
 
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n 
 
 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 
 
A taxa que encontramos foi de 5%. 
 Agora reparemos na maldade da elaboradora. Qual é a primeira opção de 
resposta? É exatamente 5%. 
 Mas esta não é resposta que queremos! 
 Claro que não. 5% ao trimestre, a taxa que encontramos, é uma taxa efetiva. 
 A questão pediu uma taxa nominal anual. 
 Aprendemos que para transformar uma taxa nominal em efetiva (ou vice-versa), 
usaremos o conceito de taxas proporcionais. 
 Daí, diremos que: 5% a.t. = (5x4) = 20% ao ano Resposta! 
 
 
 
 
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30. (AFRF-1996) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros 
compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas 
mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais 
se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes 
dois pagamentos é: 
a) $ 2.012,00 d) $ 2.484,84 
b) $ 2.121,00 e) $ 2.516,16 
c) $ 2.333,33 
 
Sol.: Questão de equivalência de capitais! Há duas parcelas, nas datas 13 e 14 meses, 
que serão substituídas por uma única, na data 15 meses. 
 Só isso! É preciso que a nova parcela (em 15 meses) seja equivalente às outras 
duas (13 e 14 meses). 
 O enunciado nos informa que a taxa da operação é de juros compostos, 
capitalizados mensalmente. Assim, estamos diante de uma questão de Equivalência 
Composta de Capitais! 
 Desenhando a questão, teremos: 
 X 
 1000 1000 
 
 
 
 13m 14m 15m 
 
 Obedecendo aos passos necessários para resolver uma questão de equivalência, 
escolheremos como data focal a data 15 meses. 
 Daí, todos os demais passos preliminares já foram realizados. 
 Sabendo que a questão é de equivalência composta, as operações que 
efetuaremos serão de desconto composto por dentro (que equivalem às de juros 
compostos, caso estejamos transportando valores para uma data futura!). 
 O que temos que fazer agora é justamente isso: transportar para a data focal as 
duas parcelas de R$1000. 
 Teremos: 
 
 E=1000.(1+0,04)2 E=1000x1,0816 E=1.081,60 
 
 F=1000.(1+0,04)1 F=1000x1,04 F=1.040,00 
 
 O segundo passo efetivo da nossa resolução seria transportar para a data focal os 
valores da segunda obrigação. Ora, só temos aqui a parcela X, a qual já se encontra 
sobre a data focal. Ou seja, o segundo passo já está feito! 
 
 O arremate de toda questão de equivalência de capitais