Notas de aula - propagação de ondas

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PROPAGAÇÃO DE ONDAS 
Consideremos como exemplo uma onda mecânica em sua forma de propagação transversal que viaje ao 
longo de uma corda tensa. Assumiremos tal corda como “ideal” e a perturbação um pulso ou um trem de 
ondas, que mantém a mesma forma a medida em que se desloca. A Figura 1 apresenta uma forma de onda 
arbitrária em um instante t=0 e pode ser considerada uma imagem instantânea do pulso propagando-se na 
corda. 
Figura 1: Pulso 
 
Pode-se representar esta situação pela expressão y=f(x). Agora, de acordo com a Figura 2, consideremos 
o pulso se propagando no sentido positivo da direção x, com velocidade v. Pode-se observar que em um 
instante t o pulso se moveu de uma distância vt sem alterar a forma de onda. 
Figura 2: Pulso em deslocamento 
 
O posição do pico do pulso varia de acordo com a variação do tempo. Portanto, para um pulso que se 
desloca no sentido positivo do eixo x, sua função y varia de acordo com a posição x e o tempo t, sendo: 
y(x,t) = f(x-vt), onde vt indica uma posição deslocada. O sinal negativo no argumento implica no pulso estar 
se deslocando no sentido positivo do eixo x. Se o pulso viajar para a esquerda a expressão fica y(x,t) = 
f(x+vt). 
Agora, vamos considerar uma forma de onda transversal com perfil senoidal, pois este tipo de onda tem 
aplicações importantes. Suponha que em um instante de tempo t=0 haja um trem de ondas na corda 
determinado pela expressão y(x,0)= ym sen((
2𝜋
𝜆
)x) do tipo apresentado na Figura 3. 
 
 
 
 
Figura 3: Onda senoidal 
 
Já, na Figura 4, a linha mais forte representa a forma de onda citada e a linha mais fraca representa a 
mesma forma de onda se propagando, portanto fica representada pela expressão y(x,t)=ym sen((
2𝜋
𝜆
)(x-vt)). 
O período T é o tempo necessário para que um ponto de coordenada x particular seja submetido a um ciclo 
completo de movimento transversal. Durante esse tempo T a onda percorre uma distância vT, de modo 
que: λ=vT. 
Figura 4: Onda senoidal em propagação 
 
Introduzindo este λ na equação da anterior da onda se propagando, e dois novos termos, o número da 
onda determinado por k = 
2𝜋
𝜆
 e a frequência angular ω = 
2𝜋
𝑇
. 
Consideremos inicialmente a equação de onda de perfil senoidal 𝑦(𝑥, 0) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(
2𝜋
𝜆
)𝑥. 
Considerando a onda em deslocamento modificamos a equação para (𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(
2𝜋
𝜆
)(𝑥 − 𝑣𝑡). 
Sabemos que durante um tempo T a onda percorre um deslocamento vT, portanto substituindo λ=vT na 
equação acima, temos, 
(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛2𝜋(
𝑥
λ
−
𝑡
𝑇
), rearranjando os termos 
 
(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(
2𝜋𝑥
λ
−
2𝜋𝑡
𝑇
) 
 
 
Agora a partir das equações do número de onda, 
k = 
2𝜋
𝜆
 
e da velocidade angular, 
ω = 
2𝜋
𝑇
 
chegamos a equação reduzida de uma onda se propagando no sentido positivo do eixo x: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − ωt). 
Exercícios resolvidos: 
1) Escreva a equação para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x e que 
tenha uma amplitude de 0,010 m, uma frequência de 550 Hz e uma velocidade de 330 
m/s. 
 
A forma da onda progressiva é y(x, t) = ym sen(kx + ωt). Precisamos calcular o número 
de onda angular k e a frequência angular ω: 
 
k = 
2𝜋 
𝜆
 = 
2𝜋𝑓 
𝑣
 = 
2𝜋(550)
30
 = 10, 47 rad/m 
 
ω = kv = (10, 47)(330) = 3455 rad/s 
 
Entao, a onda em questão é y(x, t) = 0, 010 sen(10, 47x + 3455t). 
 
2) Escreva uma expressão que descreva uma onda transversal se propagando numa corda, 
no sentido + x com um comprimento de onda de 10 cm, uma frequência de 400 Hz e 
uma amplitude de 2,0 cm. Qual a velocidade escalar da onda? 
 
Começamos calculando as quantidades k e ω para montar a equação da onda: 
k = 
2𝜋 
𝜆
 = 
2𝜋 
10
 = 0, 20π (rad/cm), 
 
ω = 2πf = 2π(400) = 800π (rad/s) 
 
e y(x, t) = (2,0 cm) sen(0, 20πx − 800πt). 
 
v = λf = (10)(400) = 4000 cm/s. 
Exercícios propostos: 
1) Escreva a equação para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x e que 
tenha uma amplitude de 0,030m, uma frequência de 200 Hz e velocidade de 330 m/s. 
2) A equação de uma onda transversal se propagando numa corda é dada por 
 
Ache a amplitude, frequência, velocidade e o comprimento de onda. 
3) A função de onda de uma onda harmônica numa corda é y(x, t) = 0,001 sen [62,8x + 
314t] (x e y em m e t em s) 
(a) Em que sentido a onda avança e qual a sua velocidade? 
(b) Calcule o comprimento de onda, a frequência e o período da onda.