Lista 1 Cálculo 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS ARAPIRACA
Cálculo 2
Lista 1 MATEMÁTICA 16/03/2020
1. Calcule as integrais abaixo.
(a)
∫
ex
1 + e2x
dx
(b)
∫ 1
−1
senx
1 + x2
dx
(c)
∫
x√
1− x
dx
(d)
∫
dx
cos2x
√
tgx− 1
(e)
∫ 2
0
x2 + 2
x+ 1
dx
(f)
∫ √√3−1
0
2x dx
x4 + 2x2 + 2
(g)
∫
ln(x+ 1)
x+ 1
dx
(h)
∫
e2x dx
2 + e2x
.
(i)
∫
x dx
x4 + a4
.
(j)
∫ π/2
π/6
(
x+
2
sen2 x
)
dx.
(k)
∫ π/2
0
esen
2 xsen(2x) dx.
(l)
∫
tg(x) ln(cosx) dx.
(m)
∫
x3 cos(x4 + 2)dx.
(n)
∫ π/4
0
(1 + tg x)3sec2x dx.
(o)
∫ π/4
0
1 + sen2x
cos2x
dx.
(p)
∫ 1/√3
0
t2 − 1
t4 − 1
dt.
(q)
∫
x2
√
2 + x dx.
(r)
∫ 2
0
(x− 1)e(x−1)2dx.
(s)
∫ 1
0
3xex
2
dx.
(t)
∫ 1
0
x2
(x+ 1)2
dx.
(u)
∫ π/6
0
cosx sen5 xdx.
(v)
∫ π/6
0
cos3 x dx.
(w)
∫ π
−π
senx
x4 + x2 + 1
dx.
(x)
∫
lnx2
x
dx.
2. Se f for cont́ınua e
∫ 9
0
f(x) dx = 4, calcule
∫ 3
0
xf(x2) dx.
3. Se a e b forem números positivos, mostre que∫ 1
0
xa(1− x)b dx =
∫ 1
0
xb(1− x)a dx.
1
4. Se f for cont́ınua em [0, π], demonstre que∫ π
0
xf(senx) dx =
π
2
∫ π
0
f(senx) dx.
SUGESTÃO: Use a substituição t = π − x.
5. Calcule
∫ π
0
x senx
1 + cos2x
dx.
SUGESTÃO: Use o exerćıcio anterior.
6. Se f é cont́ınua, mostre que∫ π/2
0
f(cosx) dx =
∫ π/2
0
f(senx) dx.
7. Calcule
∫ π/2
0
cos2 x dx e
∫ π/2
0
sen2 x dx
SUGESTÃO: Use o exerćıcio anterior.
8. Encontre o valor mı́nimo da área da região sob a curva y = x+ 1/x de
x = a até x = a+ 1, 5, para toda a > 0.
9. Se
∫ 4
0
e(x−2)
4
dx = k, encontre o valor de
∫ 4
0
xe(x−2)
4
dx.
10. Encontre o intervalo [a, b] para o qual o valor da integral∫ b
a
(2 + x− x2) dx é um máximo.
11. Encontre a área da região limitada pelas curvas y =
√
x, y = x2 e
x = 2.
12. Encontre a área da região limitada pelas curvas y =
√
x e y = x2.
13. Calcule a área da região R, onde R está situada entre o eixo x, o gráfico
de y = x2 − x, com 0 ≤ x ≤ 2.
14. Calcule a área da região R, onde R = {(x, y);x2 + 1 ≤ y ≤ x+ 1}.
15. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = 1/x, y = x2, y = 0
e x = e.
16. Calcule a área da regiãoR, ondeR = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1 e
√
x ≤ y ≤ 3}.
2
17. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x, y = x3, com
−1 ≤ x ≤ 1.
18. Calcule a área da região R, onde
R = {(x, y);x > 0 e 1
x2
≤ y ≤ 5− 4x2}.
19. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = 0
da região limitada pelas curvas y = x2 e y = x+ 2.
20. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x = 6
da região limitada pelas curvas y2 = 4x e x = 4.
21. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x = 0
da região limitada pelas curvas y = x3, y = 0 e x = 2.
22. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = 0
da região limitada pela curva y = senx, com x ∈ [0, 2π].
23. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x = 0
da região limitada pela curva y = 4(x− 2)2 e y = x2 − 4x+ 7
24. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y = 0
da região limitada pela curva x = 1 + y2, x = 0, y = 1 e y = 2
RESPOSTAS
1. (a) arctg(ex) + C
(b) 0
(c) −2
3
(x+ 2)
√
1− x+ C
(d) 2
√
tgx− 1 + C
(e) 3 ln 3
(f) π/12
(g)
1
2
[ln(x+ 1)]2 + C
(h)
1
2
ln(2 + e2x) + C
3
(i)
1
2a2
arctg
(
x2
a2
)
+ C
(j)
π2
9
+ 2
√
3
(k) e− 1
(l) −1
2
[ln(cosx)]2 + C
(m)
1
4
sen(x4 + 2) + C
(n) 15/4
(o)
8− π
4
(p) π/6
(q) 2(x+ 2)
√
x+ 2
(
1
7
(x+ 2)2 − 4
5
(x+ 2) +
4
3
)
+ C
(r) 0
(s)
3
2
(e− 1)
(t)
3
2
− 2 ln 2
(u)
1
384
(v)
11
24
(w) 0
(x) (lnx)2
2. 2
5. π2/4
7. π/4
8.
15
8
+ 2 ln 2
9. 2k
10. [−1, 2]
11.
10− 4
√
2
3
4
12. 1/3
13. 1
14. 1/6
15. 4/3
16. 7/3
17. 1/2
18. 1/3
19. 72π/5
20. 768π/5
21. 64π/5
22. π2
23. 16π
24. 21π/2
5