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VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
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EMENTA 
• Conceitos de vibrações mecânicas, movimento harmônico simples, vibrações
livres, princípio de conservação de energia, vibrações forçadas, vibrações
amortecidas, análise de vibrações. Análise cinemática de corpos rígidos e de
mecanismos.
• Bibliografia Básica: RAO, Singiresu. Vibrações Mecânicas. 4.ed. São Paulo: Pearson Education, 2008. D
NORTON, Robert L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: ArtMed, 2010. ISBN
9788580550122. Disponível em: http://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788580550122
BALACHANDRAN, B. ; MAGRAB, E. B., Vibrações Mecânicas. Tradução da 2ª Edição Norte-americana -
Cengage Learning, 2011
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INTRODUÇÃO 
• Vibrações mecânicas é o movimento oscilatório que se repete ao longo do tempo,
este fenômeno físico ocorre com a troca sistemática de energia cinética e
potencial entre massa e mola. Neste processo o amortecimento rsponde pela
energia que é dissipada.
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INTRODUÇÃO 
• O elemento massa é aquele que representa a capacidade física do sistema em
armazenar energia cinética.
• O elemento mola é o responsável por relacionar forças com deslocamentos e
representa a capacidade que o sistema físico tem em armazenar energia
potencial.
• Amortecimento é o meio que dissipa energia gradualmente.
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INTRODUÇÃO 
• Graus de liberdade GDL: número mínimo de coordenadas para se determinar
completamente as posições de todas as partes de um sistema a qualquer
instante.
• Classificação de vibração:
Livre, forçada, não amortecida, amortecida linear, não linear, determinada e aleatória.
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INTRODUÇÃO 
• Ciclo: movimento vibratório completo. Etapas: do repouso até um posição
extrema, desta até a posição extrema oposta, e de volta ao repouso.
• Amplitude: máximo deslocamento de uma vibração em relação ao repouso.
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INTRODUÇÃO 
• Período de oscilação – tempo de duração de um ciclo
𝑇 =
2𝜋
𝜔
Em que
T – tempo, em s.
W – frequência angular, em rad/s.
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INTRODUÇÃO 
• Frequência – numero de ciclo por unidade de tempo.
𝑓 =
1
𝑇
=
𝜔
2𝜋
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INTRODUÇÃO 
• Frequência natural: é quando um sistema, após uma perturbação inicial, continua
vibrando por conta própria ou nenhuma força externa age sobre o sistema.
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INTRODUÇÃO 
• Se a frequência forçada se torna igual a freuqencia natural de um sistema, ocorre
ressonância.
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INTRODUÇÃO 
• Batimento: Quando dois movimentos harmônicos tem frequências próximas uma
da outra e assim são somados, o movimento resultante exibe um fenômeno
conhecido como batimento .
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Movimento harmônico simples 
• O movimento harmônico simples é o movimento oscilatório quando a aceleração
e a força resultante são proporcionais ao deslocamento.
• Uma mola tracionada com uma massa presa no extremo quando solta, a massa
oscilará.
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Movimento harmônico simples 
Aplicando a 2° lei de Newton
F = ma
Aplicando a lei de Hooke
F = -Kx
A força da mola é contraria ao movimento para que o sistema retorne ao ponto de
equilíbrio, dessa forma o sinal é negativo.
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Movimento harmônico simples 
Aplicando Hooke e Newton temos:
𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑡2
Assim:
−𝐾𝑥 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑡2
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Frequência natural 
Modelagem matemática
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝜔𝑡 + 𝜑
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 𝜔
𝑑2𝑥
𝑡2
= −𝜔2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑑2𝑥
𝑡2
= −𝜔2𝑥
Substituindo na equação geral
−𝐾𝑥 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑡2
Temos:
−𝐾𝑥 = −𝜔2𝑥
Assim:
𝜔 =
𝐾
𝑚
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Vibrações mecânicas 
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Ângulo de fase 
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Ângulo de fase igual a zero 
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Ângulo de fase diferente de zero 
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Ângulo de fase diferente de zero 
Fazendo Eq1/Eq2 temos:
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Ângulo de fase diferente de zero 
Elevando ambos lados ao quadrado e aplicando 
produto notável 
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Ângulo de fase diferente de zero 
Simplificando algebricamente, temos a amplitude 
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Ângulo de fase diferente de zero 
Simplificando algebricamente, temos a amplitude 
Comparando com e sem ângulo de fase
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Exercício 
Um vagão com massa de 15.000 kg se desloca sem atrito e bate
em uma mola com uma determinada velocidade. A mola é
deformada em 200 mm e tem rigidez de 130.000 N/m.
a) Com qual velocidade o vagão bateu na mola?
b) Qual foi o tempo que o vagão levou para deformar a mola em
200 mm?
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Exercício 
x(t) = Asen(Wt) + Bcos(Wt) no impacto não tem
deslocamento, assim:
x(t=0) = 0
X’ = WAcos(Wt) – WBsen(Wt) para t = 0, temos
V =WA
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Exercício 
W = (K/m)1/2 W = 2,94 rad/s
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Exercício 
W = (K/m)1/2 W = 2,9439 rad/s
V = WA = 0,589 m/s
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Exercício 
W = (K/m)1/2 W = 2,94 rad/s
V = WA = 0,589 m/s
T = 1/f = 2pi/W = 2,136 s e fazendo que o vagão
parou em ¼ de ciclo temos que t = 2,136/4 = 0,534 s
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Massa equivalente 
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Massa equivalente 
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Massa equivalente 
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Molas equivalentes 
Variação do cabo de sustentação do elevador 
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Molas equivalentes 
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Molas equivalentes 
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Molas em série e paralelo 
A meta é definir qual a rigidez equivalente da combinação de molas em
paralelo ou em série, modelando o sistema como se fosse uma única mola
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Molas em série e paralelo 
Molas em paralelo
𝐾𝑒𝑞=෍
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑖
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Molas em série e paralelo 
Definindo o deslocamento do bloco como Xi na i-ésima mola e considerando que cada mola não
tem massa, a força desenvolvida na extremidade de cada mola tem a mesma magnitude, mas
direções opostas.
Assim:
𝐹 = 𝐾𝑒𝑞𝑥 = 𝐾1𝑥1 = 𝐾2𝑥2 = ……… = 𝐾𝑛𝑥𝑛
Sendo assim, o deslocamento total será descrito por:
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + ……+ 𝑥𝑛 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
𝐹
𝐾1
+
𝐹
𝐾2
+ ……+
𝐹
𝐾𝑛
A partir da equação 𝐹 = 𝐾𝑒𝑞𝑥 temos:
𝐾𝑒𝑞 =
1
σ𝑖=1
𝑛 1
𝑘𝑖
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Exercícios 
Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado
Deve se substituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente
𝐾𝑒𝑞=෍
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑖
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
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Exercícios 
Agora calcula se a rigidez equivalente em série lado direito e lado esquerdo e
calcula se a rigidez equivalente final.
𝐾𝑒𝑞 =
1
σ𝑖=1
𝑛 1
𝑘𝑖
𝐾𝑒𝑞=෍
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑖
𝐾
2
+
2𝐾
3
=
7𝐾
6
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Molas equivalentes 
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Molas equivalentes 
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Molas equivalentes 
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Exercícios 
Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem
frequência natural de vibração vertical Wn = 550 rad/s. Se a máquina em sua
fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração
vertical, determinar:
(a) a massa da máquina
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e
uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical.
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Exercícios 
Atenção!!! Refazer pois
esta invertido equação
arco tangente
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Exercícios 
Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada,
de comprimento L = 2 m, que possui uma seção transversal retangular
(espessura = 0,1 m, largura= 1,2 m) e E = 210 x 10^9 N/m2. Para reduzir a
flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k. Determinar o valor
de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original
(sem a mola). Assumir que a massa da viga é desprezível.