Raciocínio Lógico - Álgebra Proposicional_Argumentos_Quantificadores

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 A lógica é considerada a ciência do raciocínio, pois a sua idéia está ligada ao processo 
de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. A 
lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e 
estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições. A matemática necessita da 
lógica para suas definições, postulados e teoremas. 
 
1. ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 
 
1.1 - Proposição: 
 
Uma proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa). Também podemos dizer 
que é toda expressão que encerra um pensamento de sentindo completo. 
Uma proposição pode ser verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribuímos-lhe o 
valor lógico V; quando é falsa, o valor lógico F. 
Sendo assim, vejamos os exemplos: 
a) Brasília não é a capital do Brasil – é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser falsa (valor lógico F). 
b) Sete mais dois é igual a nove – é uma declaração (positiva); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
c) O dobro de cinco é dez? – é uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não é uma 
proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
d) João. Vá estudar sua lição - é uma sentença imperativa, e não uma declaração. Portanto, não 
é uma proposição. 
 
1.2 - Princípios: 
 
Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é 
verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. 
 
1.3 - Sentença aberta e sentença fechada: 
 
Sentença fechada: É aquela que podemos garantir como sendo verdadeira ou falsa. Portanto 
sentença fechada é uma proposição. 
 
Sentença aberta: É aquela que contém uma variável, um elemento desconhecido, e, portanto, 
não podemos garantir que seja verdadeira ou falsa. 
Ex.: “x + 8 = 9” 
 “A cidade x é a capital do Ceará.” 
Essas proposições serão verdadeiras ou falsas, dependendo do valor que atribuirmos à variável 
x. 
 
1.4 - Proposição simples e proposição composta: 
 
Proposição simples: como o próprio nome indica, é uma proposição única, isolada. 
Proposição composta: quando formada por duas ou mais proposições, ligadas entre si por 
conectivos operacionais. 
Ex.: “Recife é a capital de Pernambuco e Fortaleza é a capital do Ceará.” 
“Se 4 + 5 = 9 então 9 – 5 = 4” 
 
Exercícios: 
1- (Cespe – MRE/2008) Considere a seguinte lista de sentenças: 
I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das 
Relações Exteriores? 
II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. 
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III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, 
respectivamente, x e y. 
IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. 
Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma 
proposição. 
 
2- (Cespe – BB/2007) 
Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como 
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo 
hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não 
pode ser nem V nem F. (...) 
Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. 
- “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” 
- A expressão X + Y é positiva. 
- O valor de 
- Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. 
- O que é isto? 
 
3- (CESPE / MPE-TO – ANALISTA – 2006) 
Uma proposição é uma afirmativa que pode ser interpretada como verdadeira (V) ou falsa 
(F), mas não de ambas as formas. (...) 
Na lista abaixo, há exatamente três proposições. 
- Faça suas tarefas. 
- Ele é um procurador de justiça muito competente. 
- Celina não terminou seu trabalho. 
- Esta proposição é falsa. 
- O número 1024 é uma potência de 2. 
 
1.5 - Símbolos da linguagem da Álgebra Proposicional: 
 
As proposições serão representadas por letras do alfabeto (fórmulas atômicas): 
a, b, c, . . . , p, q, . . . 
As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por 
alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças (moléculas). 
Os conectivos serão representados da seguinte forma: 
~ ou ¬ corresponde a “não” 
⋀ corresponde a “e” 
∨ corresponde a “ou” 
→ corresponde a “então” 
↔ corresponde a “se somente se” 
 
Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir outra proposição 
correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar: 
• Conjunção: a ∧ b (lê-se: a e b) 
• Disjunção: a ∨ b (lê-se: a ou b) 
• Condicional: a → b (lê-se: se a então b) 
• Bicondicional: a ↔ b (lê-se: a se somente se b) 
• Disjunção exclusiva: a ⊻ b (lê-se: ou a ou b) 
 
Ex.: Seja a sentença: 
“Se Joana é estudiosa então ela passará no Senado Federal” 
Sejam as proposições: 
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p = “Joana é estudiosa” 
q = “Ela passará no Senado Federal” 
Daí, nós poderemos representar a sentença da seguinte forma: 
Se p então q (ou p → q ) 
Obs.: É comum o uso do MAS com o objetivo de criar uma CONJUNÇÃO de proposições. 
Ex.: Sejam as proposições: 
p = “Beber demasiadamente faz mal à saúde” 
q = “Carlos bebe” 
p ∧ ¬q: Beber demasiadamente faz mal à saúde, mas Carlos bebe. 
 
1.6 - Tabela-verdade: 
 
Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo 
numa tabela chamada de tabela-verdade. 
O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número 
de proposições simples que a integram dada pelo teorema: se numa proposição composta há n 
proposições simples então a tabela-verdade tem 2n linhas. 
 
a) Valor verdade de ¬P 
 
P ¬ P 
V F 
F V 
 
A negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ¬P é 
falso, e vice-versa. 
 
1.6.1 - Modos de negação de uma proposição: 
 
a.1. Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. 
Ex.: “Natália gosta de café.” 
 “Natália não gosta de café.” 
a.2. Retirando-se a negação antes do verbo. 
Ex.: “Paulo não é primo de João.” 
 “Paulo é primo de João.” 
a.3. Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. 
Ex.: “Maria é bonita.” 
 “Maria é feia.” 
b) Valor verdade de P ∧ Q 
 
P Q P ∧ Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Uma conjunção tem seu valor lógico (V) se, e somente se, as duas proposições que a 
compõem forem verdadeiras (V). 
 
 
 
 
 
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c) Valor verdade de P ∨ Q 
 
P Q P ∨ Q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Uma disjunção tem valor-verdade (F) se, e somente se, ambas as proposições que a 
compõem forem falsas (F) (é o caso da última linha). 
 
d) Valor verdade de P → Q 
 
P Q P → Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Uma proposição condicional é falsa (F) se, e somente se, a proposição antecedente for 
verdadeira (V) e a consequente for falsa (F) (é o caso da segunda linha da condicional). 
 
e) Valor verdade de P ↔ Q 
 
P Q P ↔ Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Uma proposição tem valor-verdade (V) se, e somente se, as duas proposições que a 
compõem tiverem o mesmo valor-verdade (V) ou (F) (caso da primeira e quarta linhas). 
f) Valor verdade de P ⊻ Q 
 
P Q P ⊻ Q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Uma proposição tem valor-verdade (F) se, e somente se, as duas proposições que a 
compõem tiverem o mesmo valor-verdade (V) ou (F) (caso da segunda e terceira linhas). 
 
Exercícios: 
4- (Cespe – MMA/08) O Brasil faz parte de um grupo de 15 países denominados megadiversos, 
que, juntos, abrigam cerca de 70% da biodiversidade do planeta. No Brasil, existem 6 regiões 
com uma diversidade biológica própria, os chamados biomas. Por exemplo, o bioma caatinga, 
no nordeste do país, ocupa uma área de aproximadamente 844.452 km2; o bioma pantanal, no 
centro-oeste do país, ocupauma área de aproximadamente 150.500 km2. 
A Comissão Nacional de Biodiversidade (CONABIO), que atua fundamentalmente na 
implementação da política nacional de biodiversidade, é constituída pelo presidente e mais 6 
membros titulares, tendo estes 6 últimos 2 suplentes cada. 
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No Programa Nacional de Florestas, há alguns projetos em andamento, como, por 
exemplo, o Plano Nacional de Silvicultura com Espécies Florestais Nativas (P1) e o Plano de 
Recuperação de Áreas Degradadas (P2). Com base nessas informações e no texto acima, julgue 
o item abaixo: 
Considere a seguinte seqüência de proposições: 
A O bioma caatinga está limitado por um triângulo cuja base mede 1.117 km; 
B O bioma caatinga está limitado por um triângulo cuja base mede 1.117 km e a altura desse 
triângulo com relação a essa base é inferior a 1.500 km. 
Nessa situação, se a proposição A for verdadeira, então a proposição composta A → B é 
verdadeira. 
 
5- (Cespe – STJ/2008) Considerando-se que as proposições A, B e C tenham valorações V, F e 
V, respectivamente, e considerando-se também as proposições p e q, representadas, 
respectivamente, por A ∧ (B ∨ C) e [¬(A ∧ B) ∨ (¬C)], é correto afirmar que P e Q têm a 
mesma valoração. 
 
6- (Cespe – STF/2008) Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos 
“∨”, “∧”, “→” e “¬” representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e 
“negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras — V — ou como falsas — F. Com 
base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional. 
a) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P ∧ R) → Q. 
b) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (¬P) ∨ (Q → R). 
 
7- (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro 
é preto, e o outro é azul. Sabe-se que 1) ou o gol é branco, ou o fiesta é branco, 2) ou o gol é 
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preto ou o corsa é azul, 3) ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul, 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é 
preto. Portanto as cores do gol, corsa e do fiesta são, respectivamente: 
a) Branco, preto e azul 
b) Preto, azul e branco 
c) Azul, branco e preto 
d) Preto, branco e azul 
e) Branco, azul e preto 
 
1.7 - Tautologia: 
 
São moléculas que possuem cada uma delas o seu valor verdade sempre verdadeiro 
independentemente dos valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. 
P Q P→Q ¬P ∨ Q (P→Q) ↔ (¬P ∨ Q) 
V V V V V 
V F F F V 
F V V V V 
F F V V V 
 
Exercício: 
8- (Cespe – MRE/2008) A sentença “No Palácio Itamaraty há quadros de Portinari ou no 
Palácio Itamaraty não há quadros de Portinari” é uma proposição sempre verdadeira. 
 
1.8 - Contradições: 
 
São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das 
proposições (átomos). 
P ¬P P ↔ Q 
V F F 
F V F 
 
1.9 - Equivalência Lógica: 
 
Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. 
P → Q é equivalente a ¬P ∨ Q 
P Q P → Q ¬P ∨ Q 
V V V V 
V F F F 
F V V V 
F F V V 
 
1. 10 - Leis de De Morgan: 
 
 As leis de De Morgan são equivalências lógicas utilizadas para converter operação “ou” 
em “e” e vice-versa. 
1- ¬ (P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬R 
Ex.: Não é o caso de virem ambos Thiago e Davi para a reunião. Logo, não virá o 
Thiago ou não virá o Davi. 
Obs: Como a disjunção não é exclusiva, ela não exclui o caso de não virem ambos. 
2- ¬ (P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬R 
Ex.: Não é o caso de vir Thiago ou vir Davi para a reunião. 
Logo, não virá o Thiago e não virá o Davi. 
 
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Exercícios: 
9- (ESAF-adaptada) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa 
é solteira” é: 
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. 
b) Pedro não é economista ou Luísa é solteira. 
c) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. 
d) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. 
e) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. 
 
2. ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERÊNCIA 
 
2.1 - Definição de argumento: 
 
Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que 
algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. 
Isto é, o conjunto de proposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra 
proposição q. E é indicado por: 
p1, p2, p3, . . . , pn ⊢ q 
e se lê de uma das seguintes maneiras: 
- “p1, p2, p3, . . . , pn acarretam q” 
- “q decorre de p1, p2, p3, . . . , pn” 
- “q se deduz de p1, p2, p3, . . . , pn” 
- “q se infere de p1, p2, p3, . . . , pn” 
Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a 
proposição q de conclusão do argumento. 
Um argumento que consiste em duas premissas e um conclusão se chama de silogismo. 
 
2.2 - Validade de um argumento: 
 
 Um argumento p1, p2, p3, . . . , pn ⊢ q diz-se válido se e somente se a conclusão q é 
verdadeira todas as vezes que as premissas p1, p2, p3, . . . , pn são verdadeiras, denominado 
implicação tautológica. 
 Em outros termos, um argumento p1, p2, p3, . . . , pn ⊢ q é válido se e somente se o valor 
lógico da conclusão q for V todas as vezes que as premissas p1, p2, p3, . . . , pn tiverem o valor 
lógico V. 
Portanto, todo argumento válido goza da seguinte propriedade característica: A verdade 
das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. 
 Um argumento não-válido diz-se um sofisma. Deste modo, todo argumento tem um 
valor lógico, digamos V se é válido (correto, legítimo) ou F se é um sofisma (incorreto, 
ilegítimo). 
 As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos admitidas como tal. Aliás, 
a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou a falsidade das 
premissas e das conclusões. 
 A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as 
premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar 
que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a 
conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. 
 
2.3 - Critério de validade de um argumento: 
 
 Um argumento p1, p2, p3, . . . , pn ⊢ q é válido se e somente se a condicional: (p1 
∧ p2 ∧ p3 ∧ . . . ∧ pn) → q é tautológica. 
 
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2.4 - Silogismo categórico de forma típica: 
 
Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento 
formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são 
categóricas de forma típica (A, E, I, O). 
Teremos também três termos: 
• Termo menor – sujeito da conclusão. 
• Termo maior – predicado da conclusão. 
• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. 
Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que 
contém o termo menor. 
 
Exemplo: 
Todas as mulheres são bonitas. 
Todas as princesas são mulheres. 
∴ Todas as princesas são bonitas. 
Termo menor: as princesas 
Termo maior: bonitas 
Termo médio: mulheres 
Premissa menor: todas as princesas são mulheres. 
Premissa maior: todas as mulheres são bonitas. 
 
a) Algumas regras para a validade de um silogismo: 
1. Todo silogismo deve conter somente três termos; 
2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez; 
3. O termo médio não pode constar na conclusão; 
4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é válido; 
5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão; 
6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular; 
7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa. 
 
Exercícios: 
(CESPE – PCPE/2016) Considere as seguintes proposições para responder à próxima questão. 
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de 
criminosos. 
P2: Sehá punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar. 
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as 
próprias mãos. 
10- Pretende-se acrescentar ao conjunto de proposições P1, P2 e P3 uma nova proposição, P0, 
de modo que o argumento formado pelas premissas P0, P1, P2 e P3, juntamente com a 
conclusão “A população não faz justiça com as próprias mãos” constitua um argumento válido. 
Assinale a opção que apresenta uma proposta correta de proposição P0. 
a) Há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito. 
b) Não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito. 
c) Não há investigação e o suspeito não é flagrado cometendo delito. 
d) Se o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos. 
e) Se há investigação, então há punição de criminosos. 
 
(Cespe – 2006) Considere que P, Q, R e S sejam proposições lógicas e que os símbolos “∨”, 
“∧”, “→” e “¬” representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. 
As proposições são julgadas como verdadeiras — V — ou como falsas — F. Considere, ainda, 
que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo. 
P: O homem precisa de limites. 
Q: A justiça deve ser severa. 
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R: A repressão ao crime é importante. 
S: A liberdade é fundamental. 
Com base nessas informações, julgue os itens. 
11- A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites”, pode ser 
corretamente representada por P ∧ ¬S. 
12- A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa”. Pode ser 
representada por R → Q. 
13- A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão 
ao crime não é importante”, pode ser corretamente representada por (¬Q) ∧ (¬S) → ¬R. 
14- A sentença “Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou 
a justiça deve ser severa”, pode ser corretamente representada por [(¬P) ∧ (¬R)] ∨ Q. 
15- A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites” pode ser 
corretamente representada por Q → P. 
 
(Cespe – PF/2004) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os 
símbolos ¬, ∧, ∨, → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam 
não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único 
valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. 
Considere as sentenças abaixo. 
I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. 
III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. 
IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, 
 então fumar deve ser proibido. 
V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; 
conseqüentemente, muitos europeus fumam. 
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. 
P: Fumar deve ser proibido. 
Q: Fumar de ser encorajado. 
R: Fumar não faz bem à saúde. 
T: Muitos europeus fumam. 
 
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens 
seguintes. 
16- A sentença I pode ser corretamente representada por P ∨ (¬ T) 
17- A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∨ (¬ R) 
18- A sentença III pode ser corretamente representada por R → P 
19- A sentença IV pode ser corretamente representada por [R ∧ (¬ T)] → P 
20- A sentença V pode ser corretamente representada por T → [(¬ R) ∧ (¬ P)] 
 
3. QUANTIFICADORES 
 
Já sabemos que x + 2 = 5 é uma sentença aberta e não podemos classificá-la como (V) ou (F). 
Quantificadores são operadores lógicos que restringem as funções proposicionais, de forma que 
elas se refiram a todo o conjunto A ou a uma parte dele. Tendo definido A como um conjunto 
de termos, o domínio de uma função proposicional, acrescentando a ela os quantificadores, 
obtém-se uma proposição, ou seja, uma sentença declarativa que pode ser considerada (V) ou 
(F). 
 
Estudaremos o quantificador universal e os existenciais. 
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I. Quantificador universal: ∀ (lê-se “qualquer que seja”, ou, ainda, “para todo”). 
II. Quantificadores existenciais: ∃ (lê-se “existe pelo menos um”) e ∃ (lê-se “existe 
um único”). 
Nos quatro exemplos seguintes, considere N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. 
 
Exemplos: 
a) (∀x, x ∈ N) (x + 2 = 5), que se lê “qualquer que seja x, x elemento de N, tem-se x + 2 
= 5”, é uma afirmação falsa. 
b) (∃x, x ∈ N) (x + 2 = 5), que se lê “existe pelo menos um x, x elemento de N, tem-se x + 
2 = 5”, é uma afirmação verdadeira. 
c) (∃x, x ∈ N) (x + 2 = 5), que se lê “existe um único x, x elemento de N, tem-se x + 2 = 
5”, é uma afirmação verdadeira. 
d) (∃x, x ∈ N) (x + 2 > 5), que se lê “existe um único x, x elemento de N, tem-se x + 2 > 
5”, é uma afirmação falsa. 
Exercícios: 
Sendo Z = {... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} julgue os itens a seguir: 
21- (∀x, x ∈ Z) (x - x = 0) 
22- (∀x, x ∈ Z) (x - 5 = 7) 
23- (∃x, x ∈ Z) (x - 5 = 7) 
24- (∃x, x ∈ Z) (x - 5 = 7) 
25- (∃x, x ∈ Z) (x2 = 9) 
26- (∃x, x ∈ Z) (2x = 7) 
 
3.1 - Negação de uma proposição contendo quantificador: 
 
Consideremos as seguintes proposições: 
p: “Todo brasileiro gosta de futebol” e 
q: “Existe mulher alta”. 
 As negações dessas proposições são: 
¬p: “Existe brasileiro que não gosta de futebol” e ¬q: “Toda mulher é baixa (não é alta)”. 
 Observe que: 
- para negarmos a proposição p, substituímos o quantificador “todo” pelo quantificador “existe” 
e negamos a afirmação subseqüente, “brasileiro gosta de futebol”; 
- para negarmos a proposição q, substituímos o quantificador “existe” pelo quantificador “toda” 
e negamos a afirmação subseqüente, “mulher alta”. 
 De modo geral: 
A negação da proposição p: (∀x) (x satisfaz a condição c) é ¬p: (∃x) (x não satisfaz a condição 
c) 
A negação da proposição q: (∃x) (x satisfaz a condição c) é ¬q: (∀x) (x não satisfaz a condição 
c). 
 
Exercícios: 
27- (PUC-RS) A sentença (∃x / x – a = b) é a negação de: 
a) (∀x , x – a ≠ b) b) (∃x / x – a ≠ b) c) (∃x / x – a > b) d) (∃x / x – a < b) 
e) (∀x , x – a = b) 
 
28- (Mackenzie-SP) Duas grandezas x e y são tais que, “se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir 
que: 
a) se x ≠ 3, então y ≠ 7. 
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b) se y = 7, então x = 3. 
c) se x = 5, então y = 5. 
d) se y ≠ 7, então x ≠ 3. 
e) nenhuma das conclusões anteriores é válida. 
 
(Cespe - 2008) Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, 
constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado, aqui sempre na forma afirmativa. 
Toda proposição pode ser julgada como falsa (F), ou verdadeira (V), excluindo-se qualquer 
outra forma. Novas proposições são formadas a partir de proposições simples, utilizando-se 
conectivos. Considere a seguinte correspondência. 
 
 
 
Usa-se também o modificador não, simbolizado por ¬. As proposições são representadas por 
letras do alfabeto: A, B, C etc. A seguir, são apresentadas as valorações para algumas 
proposições compostas. Os espaços não-preenchidos podem servir de rascunho para auxiliar os 
raciocínios lógicos necessários ao julgamento dos itens. 
 
Há expressões que não podem ser julgadas como V nem como F, por exemplo: x + 3 = 7. Nesse 
caso, a expressão constitui uma sentença aberta e x é a variável. Uma forma de passar de uma 
sentença aberta a uma proposição é pela quantificação da variável. São dois os quantificadores: 
“qualquer que seja” ou “para todo”, indicado por “∀”, e “existe”, indicado por “∃”. Por 
exemplo, a proposição “(∀x)(x ∈ N) (x + 3 = 7)” é valorada como F, enquanto a proposição 
“(∃x)(x ∈ N)(x + 3 = 7)” é valorada como V. 
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, a respeito de lógica sentenciale 
de primeira ordem. 
29- Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os 
cadeados das celas”, então a proposição ¬A estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor 
não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”. 
30- Na tabela incluída no texto acima, considerando as possíveis valorações V ou F das 
proposições A e B, a coluna ¬(A∨B) estará corretamente preenchida da seguinte forma. 
 
31- Na tabela incluída no referido texto, considerando as possíveis valorações V ou F das 
proposições A e B, a coluna ¬A∨¬B estará corretamente preenchida da seguinte forma. 
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32- Na tabela incluída no texto, considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A 
e B, a coluna A ↔ B estará corretamente preenchida da seguinte forma. 
 
33- Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (∃x)(x ∈ Q)(x2 + x - 1 = 0) é 
julgada como V. 
34- Se N é o conjunto dos números naturais, então a proposição (∀x)(x ∈ N)[(x - 1).x.(x + 1) é 
divisível por 3] é julgada como V. 
 
Exercícios extras: 
(Cespe – EBSERH/2018) A respeito de lógica proposicional, julgue os itens que se seguem. 
35- Se P, Q e R forem proposições simples e se ~R indicar a negação da proposição R, então, 
independentemente dos valores lógicos V = verdadeiro ou F = falso de P, Q e R, a proposição 
P → Q ∨ (~R) será sempre V. 
36- A negação da proposição “Se o fogo for desencadeado por curto-circuito no sistema 
elétrico, será recomendável iniciar o combate às chamas com extintor à base de espuma.” é 
equivalente à proposição “O fogo foi desencadeado por curto-circuito no sistema elétrico e não 
será recomendável iniciar o combate às chamas com extintor à base de espuma.” 
 
(Cespe – PCPE/2016) A Polícia Civil de determinado município prendeu, na sexta-feira, um 
jovem de 22 anos de idade suspeito de ter cometido assassinatos em série. Ele é suspeito de 
cortar, em três partes, o corpo de outro jovem e de enterrar as partes em um matagal, na região 
interiorana do município. Ele é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamentos, 
já que foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os crimes. 
 
37- Tendo como referência o texto acima, assinale a opção correspondente à negação correta da 
proposição “A Polícia Civil de determinado município prendeu, na sexta-feira, um jovem de 22 
anos de idade suspeito de ter cometido assassinatos em série”. 
a) A Polícia Civil de determinado município não prendeu, na sexta-feira, um jovem de 22 anos 
de idade que é suspeito de não ter cometido assassinatos em série. 
b) A Polícia Civil de determinado município não prendeu, na sexta-feira, um jovem de 22 anos 
de idade suspeito de ter cometido assassinatos em série. 
c) A Polícia Civil de determinado município prendeu, na sexta-feira, um jovem de 22 anos de 
idade que não é suspeito de ter cometido assassinatos em série. 
d) A Polícia Civil de determinado município prendeu, na sexta-feira, um jovem de 22 anos de 
idade suspeito de não ter cometido assassinatos em série. 
e) A Polícia Civil de determinado município não prendeu, na sexta-feira, um jovem de 22 anos 
de idade que não é suspeito de ter cometido assassinatos em série. 
 
38- Assinale a opção que apresenta corretamente a quantidade de linhas da tabela verdade 
associada à proposição “Ele é suspeito de cortar, em três partes, o corpo de outro jovem e de 
enterrar as partes em um matagal, na região interiorana do município”, presente no texto acima. 
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a) 32. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 8. 
e) 16. 
 
39- Assinale a opção que é logicamente equivalente à proposição “Ele é suspeito também de ter 
cometido outros dois esquartejamentos, já que foram encontrados vídeos em que ele 
supostamente aparece executando os crimes”, presente no texto acima. 
a) Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois 
esquartejamentos, ele é suspeito também de ter cometido esses crimes. 
b) Ele não é suspeito de outros dois esquartejamentos, já que não foram encontrados vídeos em 
que ele supostamente aparece executando os crimes. 
c) Se não foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois 
esquartejamentos, ele não é suspeito desses crimes. 
d) Como ele é suspeito de ter cometido também dois esquartejamentos, foram encontrados 
vídeos em que ele supostamente aparece executando os crimes. 
e) Foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois 
esquartejamentos, pois ele é também suspeito de ter cometido esses crimes. 
 
(Cespe – PCDF/2013) Considerando que P e Q representem proposições conhecidas e que 
V e F representem, respectivamente, os valores verdadeiro e falso, julgue os próximos itens. 
40- As proposições Q e P → (¬Q) são, simultaneamente, V se, e somente se, P for F. 
41- A proposição [P ∨ Q] → Q é uma tautologia. 
42- Se P for F e P ∨ Q for V, então Q é V. 
 
P1: Se a impunidade é alta, então a criminalidade é alta. 
P2: A impunidade é alta ou a justiça é eficaz. 
P3: Se a justiça é eficaz, então não há criminosos livres. 
P4: Há criminosos livres. 
C: Portanto a criminalidade é alta. 
 
Considerando o argumento apresentado acima, em que P1, P2, P3 e P4 são as premissas e C, a 
conclusão, julgue os itens subsequentes. 
43- O argumento apresentado é um argumento válido. 
44- A negação da proposição P1 pode ser escrita como “Se a impunidade não é alta, então a 
criminalidade não é alta.” 
 
45- (IBFC – EBSERH/2013) Sejam as afirmações: 
I. Se o valor lógico de uma proposição p é falso e o valor lógico de uma proposição q é 
verdadeiro, então o valor lógico da conjunção é verdadeiro. 
II. Se todo X é Y, então todo Y é X. 
III. Se uma proposição p implica numa proposição q, então a proposição q implica na 
proposição p. 
Pode-se afirmar que são verdadeiras: 
a) Todas 
b) Somente duas delas 
c) Somente uma delas 
d) Nenhuma 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
 
C – para resposta correta 
E – para resposta errada 
N- não S- sim V- verdadeiro F- falso 
1 E (N,S,N,S) 12 E 23 C 34 C 45 D 
2 E (S,N,N,S,N) 13 C 24 C 35 E 
3 E (N,S,S,S,S) 14 E 25 E 36 C 
4 E (V,F) 15 C 26 E 37 B 
5 C 16 E 27 A 38 C 
6 a) E b) C 17 C 28 D 39 A 
7 e 18 C 29 E 40 E 
8 C 19 C 30 C 41 E 
9 B 20 E 31 E 42 C 
10 A 21 C 32 C 43 C 
11 E 22 E 33 E 44 E 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
PAES, Rui Santos. Questões com gabaritos comentados: raciocínio lógico: Esaf, Cespe, 
 Vunesp, NCE, FCC, Esag, Cesgranrio e outros. – 5.ed. – Brasília: Vestcon, 2006. 
PAIVA, Manoel. Matemática. Volume 1. São Paulo: Moderna, 1999. 
ROCHA, Enrique. Raciocínio Lógico: teoria e questões. – 2.ed. – Rio de Janeiro: Elsevier, 
 2006.