Curso de Raciocínio Lógico

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CURSO ONどLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS 
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES 
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1. CONJUNTOS ..................................................................................................................................... 3 
1 Introdução ....................................................................................................................................... 3 
2 Formas de representação de conjuntos ........................................................................................... 4 
3 Conjunto universo ........................................................................................................................... 7 
4 Subconjuntos. .................................................................................................................................. 8 
5 Conjuntos em que os elementos também são conjuntos. ............................................................... 10 
6 Operações com conjuntos ............................................................................................................. 12 
7 Diagramas e número de elementos do conjunto. .......................................................................... 16 
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS ......................................................................................................... 40 
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ................................................................................. 40 
4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS ............................................................................. 42 
1 Propriedade comutativa ................................................................................................................ 42 
2 Propriedade associativa ................................................................................................................ 42 
3 Existência do elemento neutro da adição ...................................................................................... 43 
4 Propriedade do fechamento .......................................................................................................... 43 
5 Propriedade comutativa ................................................................................................................ 44 
6 Propriedade associativa ................................................................................................................ 44 
7 Existência do elemento neutro da multiplicação ........................................................................... 44 
8 Propriedade do fechamento .......................................................................................................... 45 
9 Propriedade Distributiva .............................................................................................................. 45 
5. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .................................................................................. 49 
6. REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS ............................ 50 
7. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ............................................................................... 52 
1 Subconjuntos Notáveis dos Racionais ........................................................................................... 59 
8. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS .......................................................................... 60 
9. NÚMEROS REAIS .......................................................................................................................... 60 
10. RETA REAL ................................................................................................................................ 60 
11. RAZÃO E PROPORÇÃO .......................................................................................................... 69 
12. GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ........................... 89 
13. REGRA DE TRÊS ...................................................................................................................... 91 
14. PROBLEMAS ENVOLVENDO VELOCIDADE, ESPAÇO E TEMPO ............................... 97 
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15. PORCENTAGEM ..................................................................................................................... 124 
1 Percentual de um valor ............................................................................................................... 124 
2 Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual ..................................................... 125 
3 Variação Percentual ................................................................................................................... 125 
4 Variações percentuais sucessivas ................................................................................................ 127 
 
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Olá pessoal! 
Nesta aula começaremos o estudo da matemática básica. Denominamos 
matemática básica a matemática estudada no ensino fundamental e no ensino 
médio. 
Neste curso, estudaremos grande parte do conteúdo da matemática básica. 
Deixaremos de lado apenas assuntos que não são cobrados (ou quase nunca 
são cobrados) como Binômio de Newton, Geometria Analítica... 
De acordo com a nossa programação: 
Raciocínio matemático (conjuntos numéricos, números e grandezas 
proporcionais, razão e proporção, divisão proporcional, regra de três simples e 
composta. 
Para sedimentar bem o conteúdo, resolveremos questões das mais diversas 
bancas. Apesar de cada banca apresentar um estilo peculiar, achamos que um 
aluno com boa base matemática tem condições de enfrentar qualquer prova. E 
este é o nosso intuito: queremos que você se sinta confiante para enfrentar 
qualquer prova de Raciocínio Lógico. Para isso, vamos começar nosso curso lá 
no iniciozinho da Matemática... Apresentando os números, os conjuntos 
numéricos e suas propriedades básicas. 
 
1. CONJUNTOS 
Antes de entrarmos nos conjuntos numéricos, que são bastante cobrados em 
provas, é bom darmos uma rápida passada por alguns símbolos e 
relembrarmos as operações envolvendo conjuntos (união, intersecção, 
subtração, complementar). 
 
1 Introdução 
Podemos dizer que um conjunto é qualquer coleção de objetos. Assim, 
poderíamos dizer que, abaixo, temos o conjunto dos estados do Norte: 
{Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre} 
Podemos também formar o conjunto dos jogadores brasileiros que já ganharam 
o prêmio de melhor jogador pela Fifa: 
{Ronaldo; Ronaldinho Gaúcho; Rivaldo; Romário; Kaká; Marta} 
E poderíamos formar inúmeros outros conjuntos. Então é isso. Conjunto é um 
grupo de objetos. 
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Para representar um conjunto, nós geralmente utilizamos uma letra maiúscula 
do alfabeto. Voltando ao primeiro conjunto apresentado, podemos dizer que se 
trata do conjunto A: 
A ={Pará, Amazonas, Rondônia, Roraima, Tocantins, Amapá, Acre} 
Cada um dos estados acima é um elemento do conjunto A. Para indicar que 
um elemento faz parte do conjunto, nós dizemos que ele pertence ao conjunto. 
Deste modo, o estado do Pará pertence ao conjunto dos estados do Norte. Ou 
seja, o estado do Pará pertence ao conjunto A. Usando símbolos, esta frase 
fica assim: 
APará∈ 
O símbolo “∈” representa a palavra “pertence”. Ele indica que o elemento em 
análise (o estado do Pará) faz parte do conjunto A. 
Podemos usar a mesma representação para qualquer outro estado: 
AAmazonas∈ ; 
ARondônia∈ , 
ARoraima∈ 
E assim por diante. 
Vamos pensar agora num elemento que não faz parte do conjunto. O estado de 
Goiás não pertenceà região norte. Ou seja, Goiás não pertence ao conjunto A. 
Para representar isso em forma de símbolo, nós fazemos assim: 
AGoias∉ 
O símbolo ∉ representa a expressão “não pertence”. Ele indica que o 
elemento em análise não faz parte do conjunto A. 
De modo análogo, o estado da Bahia também não pertence ao conjunto A. 
ABahia∉ 
2 Formas de representação de conjuntos 
Considere o conjunto abaixo: 
B = {3, 4, 5, 6} 
Como fizemos para representar este conjunto? Simplesmente colocamos, entre 
chaves, todos os elementos do conjunto. Ou seja, listamos todos os elementos. 
Pois bem, há uma outra forma de representação de conjuntos que é muito útil. 
Muitas vezes, os conjuntos abrigam elementos que possuem uma dada 
característica em comum. Nestes casos, podemos representar o conjunto 
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apenas indicando que característica é essa. Com este pensamento, o conjunto 
B pode ser reescrito assim: 
B = {x| x ∈N;  72 << x } 
O que significam estes símbolos? Significa o seguinte. 
B é formado por vários elementos, a que estamos chamando de ‘x’. Isto 
corresponde à parte sublinhada: 
xB {= | x ∈N;  72 << x } 
Na sequência, temos uma barra vertical. Ela simboliza a expressão “tal que”. 
Depois, indicamos que esses elementos ‘x’ têm uma característica especial: 
eles pertencem ao conjunto dos números naturais (mais adiante falaremos com 
mais calma sobre os números natruais; por hora, fiquem com a informação de 
que os números naturais são aqueles que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4, 
etc). 
B = {x| Nx∈ ;  72 << x } 
Então temos que B é formado por todos os elementos ‘x’ que são números 
naturais. Esta é a característica em comum dos elementos do conjunto B. 
Todos eles são números naturais. Ok, só que os elementos x ainda têm outra 
característica em comum. Além de serem números naturais, eles também são 
maiores que 2 e menores que 7. 
B = {x| x ∈N;  72 << x } 
Reescrevendo tudo: o conjunto B é formado por todos os elementos x que têm 
algumas características em comum: são números naturais, maiores que 2 e 
menores que 7. 
Quais números são naturais, maiores que 2 e menores que 7? Ora, são os 
números 3, 4, 5, 6. 
Assim, escrever: 
B = {x| x ∈N;  72 << x } 
É o mesmo que escrever: 
B = {3, 4, 5, 6} 
Qual a grande vantagem desta representação que indica a característica dos 
elementos do conjunto? É que, se o conjunto for muito grande, talvez fique 
mais fácil apenas indicar a característica em comum de seus elementos. 
Imagine que quiséssemos indicar o conjunto de todos os números pares 
maiores que 1 e menores que 199.896.903. Seria um baita de um conjunto 
enorme. É bem mais fácil escrever: 
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A = {x| x é par;  903.896.1991 << x } 
Em alguns casos, nem é possível listar todos os elementos do conjunto. Isso 
acontece, por exemplo, quando temos valores num dado intervalo real (mais 
adiante falaremos mais sobre os números reais; por hora, fiquem com a 
informação de que os números reais incluem os números com casas após a 
vírgula). 
Considere que o conjunto C é o conjunto formado por todos os números reais 
maiores que 1 e menores que 4. Dá para listar todos eles? Não dá. Isso não é 
possível. Existem infinitos números reais entre 1 e 4. 
Qual é o primeiro número real maior que 1? Nem dá para escrever. Alguém 
diria: é o 1,1. Será mesmo? 
Oura pessoa diria: não, na verdade o primeiro número real depois do 1 é o 
1,01. 
Uma terceira pessoa afirmaria que é o 1,00001. 
E assim por diante. Para qualquer número k que você pense, sempre dá para 
pensar em outro número real que seja maior que 1 e menor k. Com isso, nunca 
conseguiremos sequer iniciar a nossa listagem. 
Num caso destes, só nos resta representar o conjunto indicando a 
característica de seus elementos: 
C = {x| x ∈  R;  41 << x } 
 
EP 1. Liste todos os elementos dos conjuntos abaixo. 
a) A = {x| x é par; 2617 << x } 
b) B = {x| x é primo; 3010 << x } 
 
Resolução: 
a) A é o conjunto formado por todos os números pares maiores que 17 e 
menores que 26. 
A = {18, 20, 22, 24} 
b) B é o conjunto formado por todos os números primos maiores que 10 e 
menores que 30. 
B = {11, 13, 17, 19, 23, 29} 
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EP 2. Reescreva os conjuntos a seguir, indicando a característica que eles têm 
em comum. 
a) A = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30} 
b) B = {0, 1, 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81} 
 
Resolução 
a) O conjunto A é formado por todos os múltiplos de 5 entre zero e 30. 
A = {x|  300 ≤≤ x ; x é múltiplo de 5} 
 
b) O conjunto B é formado por todos os quadrados perfeitos menores ou iguais 
a 81. 
B = {x| x é quadrado perfeito;  81≤x }. 
Outra forma de representação seria: 
B = {x2| x ∈N;  90 ≤≤ x }. 
 
3 Conjunto universo 
É muito comum a expressão “conjunto universo”. Geralmente a utilizamos para 
indicar todos os elementos com os quais se pretende trabalhar. 
A título de exemplo, considere que, em uma empresa, deseja-se determinar um 
valor x que atenda a uma necessidade da firma. 
A partir de várias considerações, conclui-se que x deve ser menor que 10. Seja 
A o conjunto formado por todos os valores de x que atendem a esta 
especificação. Pergunta: qual é o conjunto A? 
A resposta vai depender do conjunto universo com o qual se está trabalhando. 
Por exemplo, se x for o número de máquinas que podem estar operando 
simultaneamente, sem comprometer o gerador próprio da empresa, então x só 
pode assumir valores naturais. Nosso conjunto universo seria o conjunto dos 
números naturais. Neste caso, a resposta seria: 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Outro exemplo. Se x for o número de luvas de segurança que a empresa vai 
distribuir para cada funcionário, sem extrapolar o orçamento com itens de 
segurança, então x só pode assumir valores naturais e pares (pois as luvas 
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sempre são usadas aos pares). Este é nosso conjunto universo. Neste 
segundo caso, a resposta seria: 
A = {0, 2, 4, 6, 8} 
EP 3. Seja A o conjunto dos números maiores que 9 e menores que 20. 
Represente o conjunto A nas seguintes situações: 
a) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números naturais. 
b) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números primos. 
c) quando o conjunto Universo é o conjunto dos números pares. 
Resolução. 
a) A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} 
b) A = {11, 13, 17, 19} 
c) A = {10, 12, 14, 16, 18} 
 
4 Subconjuntos. 
Considere uma sala de aula com oito crianças: João, Maria, Pedro, Paula, 
Augusto, Luciana, Leonardo e Luíza. 
Seja A o conjunto formado por todas as crianças da sala de aula. Ele é dado 
por: 
A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza} 
Pois bem. A partir do conjunto acima, podemos formar outros conjuntos, 
menores. 
Podemos formar, por exemplo, o conjunto dos meninos desta sala de aula: 
B = {José, Pedro, Augusto, Leonardo} 
O conjunto B é formado apenas pelos meninos. 
Dizemos que o conjunto B é um subconjunto de A. Isto ocorre porque todo 
elemento que pertence a B também pertence ao conjunto A. 
Outra forma de indicarmos isso é: B está contido em A. 
Assim, dizer que um conjunto está contido em outro significa que o primeiro é 
um subconjunto do segundo. 
Podemos representar isso por meio de símbolos: 
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AB ⊂  (B está contido em A; significa que B é um subconjunto de A) 
O símbolo “⊂ ” representa a expressão “está contido”. 
Se invertemos este símbolo, aí caímos em outra expressão:contém. 
Ficaria assim: 
BA ⊃  (A contém B; também significa que B é um subconjunto de A) 
 
т 
LEMBRETE: 
Símbolos ∈ e ∉: expressam relações entre conjunto e elementos - 
indicam se um elemento pertence ou não a um conjunto. 
Símbolos “⊂ ” e “⊃ ”: expressam relações entre conjuntos 
Se B é um subconjunto de A, então podemos dizer que: 
 AB ⊂ (B está contido em A) 
 BA ⊃ (A contém B) 
 
EP 4. Seja A o seguinte conjunto: 
A = {1, 5, 7, 8} 
Encontre todos os subconjuntos de A que têm 3 elementos. 
 
Resolução: 
Subconjuntos de A são conjuntos formados por elementos que pertencem a A. 
Assim, a título de exemplo, o conjunto {1, 5} é um subconjunto de A. Por quê? 
Porque todos os seus elementos pertencem a A. O número 1 pertence ao 
conjunto {1,5}. E também pertence a A. O mesmo vale para o número 5. 
O detalhe é que o conjunto {1, 5} possui dois elementos. Embora ele realmente 
seja um subconjunto de A, ele não atende ao solicitado na questão, em que se 
pedem os conjuntos com três elementos. 
Muito bem, então vamos responder à pergunta. Queremos encontrar todos os 
subonjuntos de A que possuam 3 elementos. Para montar tais subconjuntos, 
basta nos dirigirmos a A e escolhermos três de seus elementos. 
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{1, 5, 7} 
{1, 7, 8} 
{5, 7, 8} 
{1, 5, 8} 
Pronto. Acima temos todos os subconjuntos de A que possuem 3 elementos. 
 
5 Conjuntos em que os elementos também são conjuntos. 
Um conjunto pode ser formado por elementos isolados. É o caso do conjunto 
de todos os alunos da sala: 
A = {José, Maria, Pedro, Paula, Augusto, Luciana, Leonardo, Luíza} 
Contudo, um conjunto também pode ser formado por elementos que, na 
verdade, são outros conjuntos. 
Seja C o conjunto formado pelas frutas que Maria usa para fazer salada de 
frutas. 
C = {banana, maçã, mamão} 
Seja D o conjunto formado pelas frutas que Alberto usa para fazer salada de 
frutas. 
D = {pêra, melão, abacaxi} 
Seja E o conjunto formado pelas duas saladas de frutas: 
E = {C, D} 
O conjunto E é formado por elementos que, na verdade, são conjuntos. 
Poderíamos reescrever E da seguinte forma: 
E = {{banana, maçã, mamã}, {pêra, melão, abacaxi}} 
Podemos dizer que C está contido em E? 
Não, não podemos. É errado dizer isso. 
Dentro do conjunto E, C é visto como um elemento. Quando queremos 
expressar relação entre um conjunto e seus elementos, a expressão correta é: 
pertence. Dizemos que C pertence a E. 
Do mesmo modo, não podemos dizer que C é um subconjunto de E. 
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Se isso fosse verdade, ou seja, se C fosse um subconjunto de E, deveríamos 
ter o seguinte. Todo elemento de C também deveria ser um elemento de E. 
Vamos pegar a maçã. A maçã é um elemento de C. Sabemos que o conjunto C 
é formado pelas frutas que Maria usa na sua salada de frutas. Como Maria usa 
a maçã, então a maçã pertence ao conjunto C. 
Pois bem. Vamos ao conjunto E. A maçã pertence ao conjunto E? 
Não! 
O conjunto E não tem nenhum elemento que seja a maçã. Os elementos do 
conjunto E são: C e D. Estes são os únicos dois elementos de E. Nenhum 
deles é a maçã. 
Só relembrando. O conjunto E é formado pelas saladas de frutas prontas, 
acabadas, já preparadas. O conjunto E é formado pela salada de frutas da 
Maria e pela salada de frutas do Alberto. Estas duas saladas de frutas é que 
formam o conjunto E. Ora, nas saladas de frutas, já prontas e acabadas, não 
distinguimos mais a maçã. Não temos mais maçã, banana, mamão, etc. O que 
temos agora é apenas isso: duas saladas de frutas. 
 
EP 5. Considere os conjuntos abaixo. 
A = {1, 3} 
B = {2, 4} 
C = {1} 
D = {A, B} = {{1, 3}, {2, 4}} 
Indique a relação entre: 
a) 1 e A 
b) 1 e B 
c) 1 e C 
d) 1 e D 
e) A e C 
f) A e D 
 
Resolução. 
a) O número 1 é um elemento do conjunto A. Dizemos que 1 pertence a A. 
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1 ∈  A 
b) O número 1 não é um elemento do conjunto B. Dizemos que 1 não pertence 
a B. 
1 ∉  B 
c) O número1 é um elemento do conjunto C. Dizemos que 1 pertence a C. 
1 ∈  C 
d) O número 1 não é um elemento do conjunto D. Os elementos de D são 
outros conjuntos. Os elementos de D são A e B. 
1 ∉  D 
e) O único elemento de C é 1. Este elemento também pertence a A. Portanto, 
todos os elementos de C também são elementos de A. Conclusão: C é um 
subconjunto de A. Logo: 
C ⊂  A (C está contido em A) 
A ⊃ C (A contém C) 
f) A é um elemento de D. Portanto, A pertence a D. 
A ∈  D 
 
6 Operações com conjuntos 
Considere os conjuntos A e B dados por: 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} 
Podemos representar estes dois conjuntos por meio do seguinte diagrama: 
 
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Os números que estão dentro do círculo da esquerda pertencem ao conjunto A. 
Os números que estão dentro do círculo da direita pertencem ao conjunto B. 
Observem que há quatro números que pertencem, simultaneamente, aos dois 
conjuntos. Eles estão dentro dos dois círculos ao mesmo tempo. São eles: 6, 7, 
8, 9. 
Chamamos de intersecção entre A e B ao conjunto dos elementos que 
pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. Abaixo destacamos, em 
amarelo, a intersecção de A e B. 
 
A intersecção é representada pelo símbolo ∩ . Deste modo, temos: 
=∩ BA {6, 7, 8, 9} 
Chamamos de união de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a 
pelo menos um dos dois conjuntos iniciais. Abaixo, em amarelo, destacamos a 
união de A e B. 
 
A união é representada pelo símbolo ∪ . Deste modo, temos: 
=∪ BA {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} 
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A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem 
a A e não pertencem a B. A figura abaixo representa a diferença entre os dois 
conjuntos (destaque em amarelo): 
 
Deste modo, podemos dizer que: 
=− BA {1, 2, 3, 4, 5} 
Também podemos fazer a diferença entre B e A, representada abaixo: 
 
=− AB {10, 11, 12, 13, 14} 
EP 6. Considere os conjuntos: 
A = {1, 2, 3} 
B = {3, 4, 5} 
C = {2, 3, 4, 5, 6,} 
Calcule: 
a)  ( ) ABC ∪−  
b)  BA∩  
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c)  ( ) CBA ∩−  
 
Resolução: 
a) Primeiro fazemos a diferença entre C e B: 
=− BC {2, 6} 
Depois fazemos a união do conjunto acima com o conjunto A: 
{2, 6} ∪  {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 6} 
b) A intersecção entre A e B corresponde ao conjunto formado pelos elementos 
que pertencem, ao mesmo tempo, a A e a B. 
BA∩ = {3} 
c) Primeiro fazemos a diferença entre A e B: 
=− BA {1, 2} 
Depois fazemos a intersecção do conjunto acima com o conjunto C. 
{1, 2} ∩ {2, 3, 4, 5, 6} = {2} 
 
EC 1. STN 2005 [ESAF] 
Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, 
X4}. Sabendo-se que a operação Ȍ é definida por A Ȍ B = (A – B) ы (B – A), 
então a expressão (A Ȍ B) Ȍ B é dada por: 
a) { X1, X5, X4} 
b) { X1, X2} 
c) { X1, X2, X3, X4} 
d) {X4, X6, X5} 
e) { X1, X6} 
 
Resolução: 
Precisamos calcular: (A Ȍ B) Ȍ B. 
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Vamos fazer por partes. Vamos começar com o que está dentro do parêntesis. 
Comecemos com: 
A ぱ B = ? 
A ぱ B =  )()( ABBA −∪−  
A ぱ B = {X2, X3} ∪  {X5, X6} = {X2, X3, X5, X6} 
 
Vamos chamar este conjunto acima de C. 
C = {X2, X3, X5, X6} 
Pronto. Calculamoso que estava dentro do parêntesis. Agora podemos 
continuar com a expressão original: 
(A Ȍ B) Ȍ B = C Ȍ B 
(A Ȍ B) Ȍ B = ( ) ( )CBBC −∪− 
(A Ȍ B) Ȍ B = {X2, X3} ∪ {X1, X4} 
(A Ȍ B) Ȍ B = {X1, X2, X3, X4} 
Gabarito: C 
 
7 Diagramas e número de elementos do conjunto. 
Em alguns tipos de problemas, em vez de representar os conjuntos 
propriamente ditos, pode ser útil indicar, apenas, quantos elementos possui o 
conjunto. 
Para ilustrar a aplicação deste tipo de diagrama, considere o seguinte exemplo. 
Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São 
disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer 
nenhum, um ou os dois cursos. 
Atualmente temos a seguinte situação: 
· 30 alunos fazem inglês. 
· 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
· 35 alunos fazem espanhol. 
· 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola. 
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alunos que fazem 
espanholalunos que 
fazem ingles
10 20 15
25  
Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão 
dentro do circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho. 
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze 
deles estão dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul. 
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês 
e espanhol. 
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol. 
Simples não? Pois é, este tipo de diagrama é o que é mais cobrado em 
concursos. 
Vamos aproveitar este exemplo para estudarmos a fórmula que nos fornece o 
número de elementos da união entre dois conjuntos. 
 
EP 7. Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São 
disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer 
nenhum, um ou os dois cursos. 
Atualmente temos a seguinte situação: 
· 30 alunos fazem inglês. 
· 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
· 35 alunos fazem espanhol. 
· 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Qual o número de alunos que fazem inglês ou espanhol? 
 
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Na hora de contar quantos alunos fazem inglês ou espanhol, estamos 
interessados naqueles que fazem só inglês, que fazem só espanhol, ou que 
fazem ambos, inglês e espanhol. 
Seja “I” o conjunto dos alunos que fazem inglês. Seja “E” o conjunto dos alunos 
que fazem espanhol. No fundo, o que o exercício está perguntando é o número 
de alunos da união dos conjuntos “E” e “I”. 
Com base no diagrama acima, podemos afirmar que são 45 os alunos que 
fazem inglês ou espanhol. 
Vamos tentar chegar nesse valor sem usar o tal diagrama. 
Sabemos que 30 alunos fazem inglês e 35 fazem espanhol. Somando, temos: 
653530 =+  
Não deu 45. Por quê? 
Acontece que, no valor acima, estamos contando alguns alunos em 
duplicidade. Os alunos que fazem inglês e espanhol estão sendo contados 
duas vezes. Tratam-se dos alunos pertencentes à intersecção. São os alunos 
que estão, ao mesmo tempo, dentro do círculo do inglês e do círculo do 
espanhol. 
Sei que a idéia da resolução era não usarmos o diagrama, mas só para deixar 
claro, vamos a ele. Vejam como os 20 alunos da região amarela estão, ao 
mesmo tempo, dentro dos dois círculos. 
 
Devemos subtrair 20 do número que obtivemos. Com isso, excluímos as 
contagens indevidas. 
452065 =−  
Agora sim, chegamos aos 45 elementos da união de I e E. São 45 alunos que 
fazem inglês ou espanhol. No valor acima não temos nenhum aluno sendo 
contado em duplicidade. 
Vamos resumir tudo o que fizemos? 
Para chegar ao número de elementos da união, fizemos a seguinte conta: 
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20353045 −+=  
Dando nomes a cada uma das parcelas: 
)()()()( IEnInEnIEn ∩−+=∪  
Onde: 
)( IEn ∪ é o número de elementos da união 
)(En é o número de elementos do conjunto E 
)(In é o número de elementos do conjunto I 
)( IEn ∩ é o número de elementos da intersecção 
Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união 
é dado por: 
)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪  
т 
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO 
Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união é dado 
por: 
)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ . 
A subtração por )( BAn ∩ serve para retirarmos os elementos contados em duplicidade. 
 
EC 2. MPU 2004 [ESAF] 
Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes 
esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 
- 20 alunos praticam vôlei e basquete; 
- 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 
- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 
- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos 
que praticam só vôlei; 
- 17 alunos praticam futebol e vôlei; 
- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. 
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a 
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a) 93. 
b) 110. 
c) 103. 
d) 99. 
e) 114. 
 
Resolução: 
Vamos enumerar as informações: 
1) 20 alunos praticam vôlei e basquete; 
2) 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 
3) 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 
4) o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos 
que praticam só vôlei; 
5) 17 alunos praticam futebol e vôlei; 
6) 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. 
Vamos desenhar o diagrama correspondente: 
 
No começo, nosso diagrama está vazio. Ainda não sabemos quantos alunos 
praticam cada uma das modalidades esportivas. 
Neste tipo de problema, o ideal é sempre começarmos pelas intersecções. 
Qual frase fala alguma coisa sobre a intersecção “vôlei, futebol e basquete”? É 
justamente a informação 6. Vejamos: 
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6) 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. 
O que isto quer dizer? 
Quer dizer que 15 alunos praticam as três modalidades. 15 alunos estão dentro 
dos três círculos ao mesmo tempo. 
 
Ainda da sexta informação, extraímos que 45 pessoas praticam futebol e 
basquete. Ou seja, 45 elementos estão, simultaneamente, dentro dos círculos 
do futebol e do basquete. 45 elementos estão na área amarela da figura 
abaixo: 
 
Observem que, na área amarela, já alocamos 15 alunos. Para completar os 45, 
faltam 30: 
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Pronto. Conseguimos indicar que 45 pessoas praticam futebol e basquete. E 
mais: 30, destas 45, não praticam vôlei. É exatamente o que a sexta 
informação nos disse. 
Vamos agora procurar por outra informação sobre alguma intersecção. A 
informação 1 traz: 
1) 20 alunos praticam vôlei e basquete; 
Isto quer dizer que há 20 alunos na região amarela da figura abaixo. Ou seja, 
há 20 alunos na intersecção entre os conjuntos do vôlei e do basquete. 
 
Na região amarela há 20 alunos. Já alocamos 15. Para completar 20, faltam 5: 
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Há 20 alunos que praticam basquete e vôlei. Sabemos que, destes, 15 também 
praticam futebol. 
Mudemos de informação. A quinta informação também é sobre intersecção. Ela 
trata da intersecção entre futebol e vôlei. 
5) 17 alunos praticam futebol e vôlei; 
Assim, naregião amarela da figura abaixo devemos ter 17 alunos. 
 
Já foram alocados 15 alunos na intersecção entre vôlei e futebol. Portanto, 
faltam 2. 
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Pronto. Preenchemos todas as intersecções. Vamos agora para as demais 
informações. 
2) 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 
 
Dentro do círculo do futebol devemos ter 60 alunos (área amarela acima). Já 
alocamos 47 alunos (=2 + 15 + 30). Para completar 60, faltam 13. 
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Agora vamos ao basquete. 65 alunos praticam basquete. Assim, na região 
amarela da figura abaixo devemos alocar 65 elementos. 
 
Já temos 50 alunos dentro do círculo do basquete. Faltam 15 para completar 
65. 
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4) o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos 
que praticam só vôlei; 
Sabemos que 13 alunos praticam apenas futebol. O exercício está nos 
dizendo, por meio da informação 4, que o número de alunos que praticam só 
vôlei também é igual a 13. 
 
Pronto. Preenchemos o diagrama inteiro. Certo??? 
Errado! 
Muito cuidado. A questão ainda não acabou. Já conseguimos preencher todas 
as regiões que correspondem a cada um dos três esportes (incluindo as 
intersecções). Mas é perfeitamente possível que existam alunos que não 
pratiquem esporte algum. Ou seja, é possível termos elementos que não estão 
dentro de nenhum círculo. E é justamente pra isso que serve a informação que 
ainda não analisamos. 
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3) 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 
Se 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei, então, fora dos círculos do 
futebol e do vôlei devemos ter 21 elementos. 
Quem são os alunos que praticam futebol ou vôlei? São os alunos da área 
amarela abaixo: 
 
Assim, na área amarela temos os alunos que praticam futebol ou vôlei. E fora 
da área amarela? O que temos? 
Temos os alunos que não praticam nem futebol nem vôlei. O exercício disse 
que são 21 elementos nesta condição. 15 já estão alocados. Faltam 6. 
Onde colocamos estes 6? Ora, só nos resta colocá-los fora de todos os 
círculos. São alunos que não fazem esporte nenhum. 
 
Pronto. Agora sim terminamos o diagrama. 
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Para deixar mais claro, poderíamos até criar o conjunto dos alunos que não 
praticam nenhum esporte. 
 
Agora, com o diagrama concluído, podemos calcular o total de alunos. 
Somando tudo, temos 99 alunos. 
Gabarito: D. 
 
EC 3. CGU 2004 [ESAF] 
Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação 
popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução 
da criminalidade. As propostas (referidas como “A”, “B” e “C”) não eram 
mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou 
contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a 
favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo 
menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se 
favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, 
ainda, que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as 
três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam 
favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: 
a) 17% 
b) 5% 
c) 10% 
d) 12% 
e) 22% 
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Resolução: 
Outro exercício em que é bem útil fazermos um diagrama indicando o número 
de elementos de cada conjunto. 
No início, nosso diagrama está vazio. 
 
Dentro do círculo “A” vamos indicar o percentual de pessoas favorável à 
política governamental “A”. Dentro dos círculos “B” e “C”, de forma análoga, 
vamos indicar os favoráveis às políticas “B” e “C”. 
Vamos começar pelas intersecções. Sabemos que 5% das pessoas são 
favoráveis às três políticas. Logo, 5% dos entrevistados estão, ao mesmo 
tempo, dentro dos três círculos. 
 
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Agora, deveríamos tentar completar as outras intersecções. Acontece que o 
exercício não deu mais nenhuma informação que nos ajude nesta tarefa. Por 
exemplo, vamos nos deter à informação de que 50% dos entrevistados são 
favoráveis à proposta “A”. Assim, sabemos que, dentro do círculo A, devemos 
ter 50% dos entrevistados. 
Já alocamos 5% dentro do círculo A. Faltam 45%. Onde colocar estes 45%? 
 
 Temos três áreas para alocar os 45% restantes. Onde colocá-los? Na região 
vermelha? Na amarela? Na verde? Um pouco em cada uma? Quanto em cada 
uma delas? Não dá para saber. 
De forma análoga, não temos condições de saber onde alocar os 30% 
favoráveis à política B. Idem para os 20% favoráveis à política C. 
Entretanto, a primeira informação do enunciado, esta nós temos condições de 
usar. Ela nos diz que 78% dos entrevistados é favorável a pelo menos uma das 
propostas. Portanto, 22% não é favorável a nenhuma das três propostas. 22% 
dos entrevistados não está dentro de nenhum dos três círculos. 
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E as demais regiões? Bom, as demais regiões nós não temos como preencher. 
Vejamos agora o que foi que o exercício perguntou. Ele perguntou o percentual 
de entrevistados que foi favorável a mais de uma proposta. Ou seja, a pergunta 
é justamente sobre as pessoas que estão nas intersecções. 
 
A pergunta é: ?5 =+++ zyx 
Já vimos que não temos como encontrar quantas pessoas estão em cada uma 
das áreas do nosso diagrama. Não temos como encontrar os valores de x, y e 
z. Mas a soma destes três valores nós temos como encontrar. 
Vejamos novamente as informações: 
50% são favoráveis a “A”; 
30% são favoráveis a “B”; 
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20% são favoráveis a “C”; 
22% não são favoráveis a nada. 
Somando tudo, temos: 
12222203050 =+++  
Agora vamos pensar com calma. Se somarmos todos os entrevistados, 
devemos ter justamente 100%. E porque é que, na soma acima, o resultado 
não está dando 100? 
Porque há pessoas que estão sendo contadas mais de uma vez. E quem são 
as pessoas que estão sendo contadas mais de uma vez? São as pessoas da 
intersecção. 
Os x%, que são favoráveis a A e C, estão sendo contados em duplicidade. Eles 
estão sendo contados como integrantes do círculo A e como integrantes do 
círculo C. Do mesmo modo, os y% pertencentes aos círculos A e B estão 
sendo contados em duplicidade. Analogamente, os z% pertencentes aos 
círculos B e C estão sendo contados em duplicidade. Precisamos retirar os 
elementos contados em duplicidade. 
Além disso, os 5% favoráveis às três propostas estão sendo contados mais de 
uma vez. Eles estão sendo contados três vezes. Uma vez como integrantes 
do círculo A, outra como integrantes do círculo B, e outra como integrantes do 
círculo C. Precisamos excluir as contagens repetidas. Como 5% está repetido 
três vezes, precisamos excluir duas vezes 5%. 
Excluindo todos os elementos repetidos ficamos com: 
5522203050 −−−−−+++ zyx  
Agora sim, depois que excluímos os elementos repetidos, obtemos 100%. 
1005522203050 =−−−−−+++ zyx  
100)(112 =++− zyx  
12)( =++ zyx  
Não conseguimosachar os valores de x, y e z. Mas conseguimos achar a soma 
destes valores. 
Portanto, o percentual de entrevistados favorável a mais de uma proposta é: 
175 =+++ zyx  
17% dos entrevistados fomos favoráveis a mais de uma proposta. 
Gabarito: A 
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EC 4. CGU 2006 [ESAF] 
Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um 
curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada 
aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% 
dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês 
e 40% no de Inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em 
todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é 
igual a: 
a) 30 
b) 10 
c) 15 
d) 5 
e) 20 
 
Resolução: 
Exercício bem semelhante ao anterior. 
Vamos montar um diagrama. 
 
Agora vem um detalhe. A escola é de idiomas. Ou seja, todo aluno que ali se 
matricula, com certeza vai cursar um idioma. Deste modo, não faz sentido 
termos alunos que não façam nenhum dos três cursos. Nenhum dos 200 
alunos está fora dos três círculos. 
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Informações do enunciado: 
100 alunos cursam alemão 
60 alunos cursam francês 
80 alunos fazem inglês 
10 alunos fazem os três cursos 
Preenchendo a intersecção: 
 
Só conseguimos preencher uma intersecção. As demais, estas nós não temos 
condições de preencher. 
Vejamos as demais informações: 
· 100 alunos cursam alemão 
· 60 alunos cursam francês 
· 80 alunos fazem inglês 
Somando todos os alunos, temos: 
2406080100 =++  
Acontece que, na escola, são apenas 200 alunos. Por que a soma acima não 
foi igual a 200? Porque temos alunos sendo contados mais de uma vez. As 
quantidades x, y e z estão sendo contadas em duplicidade. Além disso, os 10 
alunos que fazem os três cursos estão sendo contados três vezes. Vamos 
excluir as contagens repetidas: 
10106080100 −−−−−++ zyx  
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Agora sim, excluindo as contagens repetidas, devemos obter o total de alunos 
da escola (=200). 
20010106080100 =−−−−−++ zyx  
20)(200)(220 =++⇒=++− zyxzyx  
Logo, o número de alunos matriculados em mais de um curso fica: 
3010 =+++ zyx  
Gabarito: A 
 
EC 5. SRF 2009 [ESAF] 
Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros 
para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 
estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam 
também inglês e 3 estudam também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 
7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e 
espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que estudam 
apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos 
os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, 
quantos alunos dessa série estudam nessa escola? 
a) 96. 
b) 100. 
c) 125. 
d) 115. 
e) 106. 
 
Resolução. 
Vamos organizar as informações: 
1) 30 alunos estudam francês 
2) 45 estudam inglês 
3) 40 estudam espanhol 
4) 12 estudam francês e inglês 
5) 3 estudam francês e espanhol 
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6) 7 estudam inglês e espanhol 
7) 3 estudam inglês, francês e espanhol 
8) 10 alunos estudam apenas alemão 
 
Vamos começar pelas intersecções. Da sétima informação, temos que 3 alunos 
fazem inglês, francês e espanhol. 
 
Da sexta informação, temos que 7 alunos estudam inglês e espanhol. Destes 7, 
3 já foram alocados na região amarela acima. Logo, faltam 4 alunos para 
serem alocados na intersecção entre inglês e espanhol. 
 
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Agora vamos preencher a intersecção entre francês e espanhol. Da informação 
5, temos que há 3 pessoas nesta intersecção. Todas estas 3 pessoas já estão 
alocadas, pois são as mesmas que fazem as três línguas. 
 
Por fim, vamos à intersecção entre inglês e francês. Da informação 4, temos 
que são 12 pessoas nesta região. Três delas já foram alocadas. Faltam 9. 
 
Terminadas as intersecções, vamos aos alunos que fazem apenas 1 língua. 
Sabemos que 30 alunos estudam francês. 12 deles já foram alocados. Faltam 
18. 
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45 estudam inglês. 16 deles já foram alocados. Faltam 29. 
 
40 estudam espanhol. 7 deles já foram alocados. Faltam 33. 
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39
 
Além dos alunos acima, temos os 10 que estudam apenas alemão. 
Somando todos eles, temos: 
106. 
Outra forma de resolução seria assim. 
São 45 alunos que estudam inglês, 40 espanhol e 30 francês. 
115304045 =++  
As intersecções foram contadas em duplicidade. Portanto, precisamos excluir 
os alunos das intersecções, pois eles foram contados duas vezes. As 
intersecções são: 
- 12 que fazem francês e inglês 
- 7 fazem inglês e espanhol 
- 3 fazem francês e espanhol 
223712 =++  
Excluindo os alunos contados em duplicidade: 
9322115 =−  
Ainda temos um problema. Os 3 alunos que fazem as três línguas foram, 
inicialmente, contados três vezes (como integrantes das turmas de inglês, de 
francês e de espanhol). 
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40
Posteriormente, quando da exclusão dos alunos contados em duplicidade, eles 
foram excluídos três vezes (pois pertencem a todas as intesecções). 
Assim, no final de tudo, estes 3 alunos ficaram de foram da contagem. 
Precisamos acrescentá-los. 
96393 =+  
Por fim, falta somar os 10 alunos que fazem alemão. 
1061096 =+  
Gabarito: E 
 
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Não podemos começar um curso de Matemática sem falar sobre números. O 
engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. 
Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números... 
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável. 
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), 
escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., 
posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra 
agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o 
desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-
européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; 
ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara 
para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los. 
Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção 
bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os 
números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras: 
“Os números governam o mundo”. 
Nesta primeira parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos 
numéricos e suas propriedades. 
 
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao 
contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um 
número do tipo: 
 
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Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não 
poderíamos imaginar alguém falando:“Tenho 3,4231 livros na minha estante”. 
A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais. 
Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos 
com um asterisco sobrescrito à letra N. 
 
Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. 
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações 
básicas: adição e multiplicação. 
Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?” 
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando 
sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre 
possível somar dois números naturais? É claro que sim!! 
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. 
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por 
isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à 
adição. 
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que 
sim!! 
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0... 
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um 
número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em 
relação à multiplicação. 
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora 
respondemos em alto e bom tom... NÃO!!! 
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto 
dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um 
número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais 
NÂO É FECHADO em relação à subtração. 
Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É 
FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos 
efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma 
fração que não é um número natural). 
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como 
soma, adição, multiplicação, produto, etc. 
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos... 
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4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto 
dos números naturais: adição e multiplicação. 
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. 
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8. 
O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é 
chamado de soma. 
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da 
operação. Soma é o resultado da adição. 
Definimos então a operação de adição: 
a,b parcelas
 
c soma
a b c
→⎡
+ = ⎢ →⎣ 
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. 
Vejamos algumas propriedades importantes da adição. 
1 Propriedade comutativa 
Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. 
Em símbolos: 
para todos a,b Na b b a+ = + ∈ 
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3. 
Ex.: 4 5 5 4 
9 4 5
9 5 4
+=+
⎭
⎬
⎫
=+
=+
 
2 Propriedade associativa 
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas 
primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que 
devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos 
parêntesis. 
 
 
5) (3 2 5 3) (2 
10 8 2 5) (3 2
10 5 5 5 3) 2(
++=++
⎭
⎬
⎫
=+=++
=+=++
 
 
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3 Existência do elemento neutro da adição 
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. 
 
Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de 
elemento neutro da adição. 
4 Propriedade do fechamento 
A soma de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é 
uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar 
dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número 
natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, 
etc. 
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte 
cálculo: 
 
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou 
nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o . 
Assim, 
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de 
parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a 
multiplicação. Assim, 
 
Ou seja, . 
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 
Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta 
expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos 
parêntesis. 
 
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos . Normalmente 
utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e 
utilizaremos quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você 
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pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor 
esteticamente e utilize... Ok? 
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e 
nomenclaturas. 
a,b fatores
 
c produto
a b c
→⎡
× = ⎢ →⎣ 
Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém 
observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome 
da operação e produto é o resultado da multiplicação. 
5 Propriedade comutativa 
A ordem dos fatores não altera o produto. 
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o 
mesmo 12. 
Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ . 
Lembre-se que significa a vezes b. Ou seja, 
 
2 7 7 2 
14 2 7
14 7 2
⋅=⋅
⎭
⎬
⎫
=⋅
=⋅
 
6 Propriedade associativa 
 
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois 
primeiros ou os dois últimos fatores. 
 
 
5) (4 3 5 4) (3 
60 20 3 5) (4 3
60 5 12 5 4) 3(
⋅⋅=⋅⋅
⎭
⎬
⎫
=⋅=⋅⋅
=⋅=⋅⋅
 
 
7 Existência do elemento neutro da multiplicação 
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: 
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Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. 
Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. 
 
8 Propriedade do fechamento 
O produto de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a 
multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. 
Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) 
será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, 
um número irracional, etc. 
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a 
chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou 
simplesmente propriedade distributiva. 
 
9 Propriedade Distributiva 
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, 
vejamos um exemplo. Efetue 
Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem 
escritos os parêntesis, no caso, , deveríamos efetuar primeiramente 
 e em seguida adicionar o 5. No caso, 
Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia 
das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão 
dentro dos parêntesis. 
 
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um 
número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em 
seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar podemos 
multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados. 
 
Utilizaremos bastante estefato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a 
expressão pode ser desenvolvida da seguinte maneira: 
 
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Ou simplesmente: 
 
 
EC 6. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo 
de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário 
responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte 
resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números 
naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos 
substituídos por letras.” 
 M A R R A 
 + M A R R A 
 T O R T A 
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, 
ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros 
do acervo dessa biblioteca é um número 
a) menor que 70000. 
b) compreendido entre 70000 e 75000. 
c) compreendido entre 75000 e 80000. 
d) compreendido entre 80000 e 85000. 
e) maior que 85000. 
Resolução 
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou 
os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras 
distintas correspondem a algarismos distintos. 
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um 
número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele 
mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, 
que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento 
neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0. 
M 0 R R 0
M 0 R R 0
T O R T 0
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente 
realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso 
se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a 
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acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o 
seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 
10). 
Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao 
efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas 
correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e 
consequentemente R não pode ser 5. 
Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12. 
M 0 R=6 R=6 0
M 0 R=6 R=6 0
T O=1 R=3 T=2 0
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo 
das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos 
efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, 
então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que 
R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. 
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos 
com o caso R = 6. 
Chega-se a conclusão de que R=9. 
 0 9 9 0
 0 9 9 0
 9 8 0
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma: 
4 0 9 9 0
4 0 9 9 0
8 1 9 8 0
Logo, MARRA=81980. 
Letra D 
EC 7. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada 
letra representa um algarismo 
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O valor de A+B+C é: 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
Resolução 
3 1 3, 3 2 6, 3 3 9
3 4 12, 3 5 15, 3 6 18
3 7 21, 3 8 24, 3 9 27
× = × = × =
× = × = × =
× = × = × =
 
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo 
algarismo das unidades é igual a 4. Logo, 8C = . Como 3 8 24× = , ao 
efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao 
resultado. 
1 A B 8
 x 3
A B 8 4
O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 
6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo 
das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = . 
1 A 2 8
 X 3
A 2 8 4
Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = . 
1 4 2 8
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 X 3
4 2 8 4
 
Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = . 
Letra E 
5. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em 
relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação 
“subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais. 
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela 
letra Z (inicial de zahl - número em alemão). 
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Dizemos que o número é o simétrico ou oposto do número . 
Por exemplo, o número é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico 
de . 
Neste conjunto destacam-se os seguintes subconjuntos: 
(1) Conjunto dos inteiros não nulos (diferentes de zero): 
 
(2) Conjunto dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero): 
 
 
(3) Conjunto dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero): 
 
(4) Conjunto dos inteiros negativos (menores que zero): 
 
(5) Conjunto dos inteiros positivos (maiores que zero): 
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Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos 
e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 
(zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro. 
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu 
oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma: 
 
 
 
Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira: 
 
a minuendo
b subtraendo
c diferença
a b c
→⎡
⎢− = →⎢
⎢ →⎣
 
Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. 
Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não 
goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro. 
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação 
à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números 
inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro. 
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem 
todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números 
naturais é subconjunto dos números inteiros. 
6. REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
( )a a− − = 
( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = − 
( ) ( )a b ab− ⋅ − = 
As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a 
multiplicação (e divisão) de inteiros. 
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Sinais dos números Resultado
iguais positivo 
diferentes negativo 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros. 
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e 
repetir o sinal. 
 
 
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e 
repetir o sinal do maior. 
 
 
EC 8. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois 
números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, 
Y, Z e T. 
 
Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a: 
a) 12 
b) 14 
Multiplicando  (ou  dividindo) 
números  de  mesmo  sinal 
obtemos um resultado positivo. 
Multiplicando  (ou  dividindo) 
números  de  sinais  opostos 
obtemos um resultado negativo. 
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c) 15 
d) 18 
e) 21 
Resolução 
Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira: 
 
 
 
 
Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e 
a terceira linha representa a diferença. 
Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4− = . Portanto, 
2Z = . 
Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8− = . Portanto, 
7X = . 
 
 
Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a 
subtração. 
 
 
7, 1, 2, 8
18
X Y Z T
X Y Z T
= = = =
+ + + =
 
Letra D 
7. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, 
multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de 
definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, 
mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o 
conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q. 
4 9 6 
 0 9 
3 8 4 
4 9 7 6 
 0 9 2 
3 8 4 
4 9 7 6 
1 0 9 2 
3 8 8 4 
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O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado 
denominador da fração. 
O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador 
é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os 
números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de 
decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração. 
Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser 
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
 
Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser 
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
 
Observe que o sinal pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta 
forma: 
 
Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais 
finitos e as dízimas periódicas também são números racionais. 
Números decimais finitos são números como . 
Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir 
os seguintes passos: 
i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula. 
ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem 
as casas decimais. 
 
 
 
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Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números 
decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não... 
É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente 
infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos: 
 
Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes. 
 
Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes. 
Pense em uma raça preguiçosa... pensou? 
A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS! 
Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, 
notações e símbolos... Tudo para escrever pouco. 
Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma 
preguiça enorme de escrever 
 
(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!) 
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se 
repetem, ou seja, do período. Portanto, 
 
Muito mais simples, não? 
A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas 
são números racionais e os números racionais são representados por frações, 
como transformamos as dízimas periódicas em frações? 
Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que 
costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros 
que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que 
utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o 
método abaixo como o mais simples por diversas razões. 
i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas? 
ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco 
trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não? 
iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma 
simples questão de dízima periódica? 
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Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 
O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos 
anteriormente. 
 
Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da 
dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo, 
. 
Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números 
que estão fora da barra. No nosso exemplo, 
Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número . 
Por enquanto, nossa fração está assim: 
 
E como fica o denominador? 
Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, 
há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no 
denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra. 
Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no 
denominador. 
 
 
Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar... 
Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”. 
Quantos são eles? 2!!! 
A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos 
entre a vírgula e a barra. 
 
Pronto!!! 
 
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Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por 
99.900. 
Muito fácil não?? 
E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil. 
Vamos praticar um pouco mais. 
Transforme em fração o número 
Vamos colocar na notação da barra. 
 
 
 
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 
9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não 
colocamos zeros no denominador. 
 
Transforme em fração o número 
Vamos colocar na notação da barra. 
 
 
 
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no 
denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, 
colocamos um zero no denominador.. 
 
Transforme em fração o número 
Vamos colocar na notação da barra. 
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Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 
9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não 
colocamos zeros no denominador. 
 
Portanto, 
Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!! 
A bem da verdade, representam o mesmo número. Apenas estão 
escritos de maneiras diferentes. 
 
EC 9. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima 
periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta 
dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é 
igual a: 
 
A) 88 
B) 89 
C) 90 
D) 91 
E) 92 
Resolução 
Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o 
primeiro passo é escrever na notação da barra. 
 
 
 
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Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no 
denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos 
três zeros no denominador. 
 
 
A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. 
Fração irredutívelé aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente 
podemos simplificar o numerador e o denominador por 5. 
 
Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias 
vezes. 
 
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9. 
 
Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível. 
 
A questão pede para efetuar onde . 
 
Letra B 
Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na 
divisão propriamente dita. 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
→
→
→
→
+⋅=
resto r
quociente q
divisor d
dividendo D
 r q d D ou d | D
 q r
 
Exemplo: 
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Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 
Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata. 
É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode 
ser 0. 
Assim, não há sentido na fração 
EC 10. (ANVISA 2010/CETRO) Considere e . Desse 
modo, b/a vale 
a) cento e vinte trilhões. 
b) cento e vinte bilhões. 
c) um bilhão e duzentos milhões. 
d) cento e vinte milhões. 
e) um milhão, cento e vinte mil. 
Resolução 
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em 
seguida “apagar as vírgulas”. 
 
Letra B 
1 Subconjuntos Notáveis dos Racionais 
Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do 
conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los: 
(1) Conjunto dos racionais não nulos (diferentes de zero): 
 
(2) Conjunto dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero): 
 
(3) Conjunto dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero): 
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(4) Conjunto dos racionais negativos (menores que zero): 
 
(5) Conjunto dos racionais positivos (maiores que zero): 
 
8. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos 
irracionais. 
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não 
é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracionais. 
Alguns exemplos famosos: 
 
 
 
 
A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas 
casas decimais. 
 
A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas 
casas decimais. 
 
Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e 
denominador inteiros. 
9. NÚMEROS REAIS 
Chama-se conjunto dos números reais - - aquele formado por todos os 
números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não 
periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união do 
conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. 
10. RETA REAL 
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Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada 
denominada Reta Real. 
. 
 
 
 
 
EC 11. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos: 
N, dos números naturais. 
Z, dos números inteiros. 
Q, dos números racionais. 
R, dos números reais. 
Assinale a alternativa correta. 
(A) a, b N temos a b N 
(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro. 
(C) N Z Q R 
(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z 
(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q. 
Resolução 
a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem 
sempre a – b N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior 
ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e 
 N. 
b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor 
elemento nem um maior elemento. 
c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é 
um número racional e todo número racional é um número real. 
d) Falsa. Se a Z, b Z e b 0, nem sempre a/b Z. Por exemplo, 8 Z, 5 Z 
e 8/5 = 1,6 
e) Vamos resolver a equação 3x 1 = 0. 
0  1  2 ど1 ど2  3  4 
 
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Portanto, a alternativa E é falsa. 
Letra C 
EC 12. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em 
relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes 
afirmações: 
I. 
II. N Z Q R 
III. 
IV. 
V. 
Considere: 
Ir = Conjunto dos números irracionais. 
N = Conjunto dos números naturais. 
Q = Conjunto dos números racionais. 
R = Conjunto dos números reais. 
Z = Conjunto dos números inteiros. 
As afirmações verdadeiras estão contidas em 
a) I apenas. 
b) I e III apenas. 
c) I, II e V apenas. 
d) II, III, IV e V apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
Resolução 
Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que 
podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de 
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zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos 
números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais. 
Como vimos na questão anterior, N Z Q R. 
Assim, 
I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois . IV é falsa, pois 
. V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado 
por todos os números reais que não são racionais. 
Letra C 
EC 13. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 
2005/FEPESE) Considere os conjuntos: 
 
N dos números naturais, 
Q dos números racionais, 
Q+ números racionais não-negativos, 
R dos números reais. 
O número que expressa 
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não 
de N. 
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+. 
c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N. 
d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+. 
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q. 
 
Resolução 
 
a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N. 
b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. 
Por exemplo, 2,37 reais. 
c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um 
elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m. 
d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um 
número irracional. 
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e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional. 
Letra B 
 
EC 14. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que 
X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, 
respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número 
compreendido entre 
a) 800 e 1 000 
b) 600 e 800 
c) 400 e 600 
d) 200 e 400 
e) 100 e 200 
Resolução 
A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim: 
 
Temos então: 
 
O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro” 
multiplicando. 
15.480
24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645
( 4 )
X Y X Y
X Y
= ⇒ ⋅ = ⇒ = 
Letra B 
Vamos resolver uma série de questões envolvendo as quatro operações 
fundamentais. 
 
EC 15. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 
a 150 todas as páginas de um livro? 
a) 327 
b) 339 
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c) 342 
d) 345 
e) 350 
Resolução 
Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos. 
Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos. 
Da página 100 atéa página 150 são usados quantos algarismos? 
Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51 
páginas! 
Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos. 
Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos. 
Letra C 
EC 16. (TCM/SP 2006/CETRO) Um médico atende diariamente 5 clientes com 
hora marcada e um número x de clientes sem hora marcada. Dos clientes que 
marcam hora para ser atendido, ele cobra R$ 70,00 a consulta e dos clientes 
que não marcam hora R$ 55,00. Ao final de um determinado dia ele 
contabilizou R$ 735,00. O número de clientes atendidos neste dia foi de 
(A) 4 clientes. 
(B) 7 clientes. 
(C) 10 clientes. 
(D) 12 clientes. 
(E) 21 clientes. 
Resolução 
Os cinco clientes com hora marcada pagaram juntos 5 x 70 = 350 reais. Como 
o total contabilizado foi de R$ 735,00 ,então 735 – 350 = 385 reais foram pagos 
pelos clientes sem hora marcada. Como cada um deles paga R$ 55,00 pela 
consulta, então foram atendidos 385/55 = 7 clientes. 
CUIDADO!!! A resposta não é a letra B. O total de clientes é igual a 12 (5 com 
hora marcada e 7 sem hora marcada). 
Perder uma questão fácil como essa não dá!! Preste atenção no que foi 
pedido!! 
Letra D 
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EC 17. (Delegado de Polícia - Pol. Civil – FCC 2006) Uma pessoa fez uma 
compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de 
R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o 
pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então: 
a) sobraram 7 moedas. 
b) sobraram 8 moedas. 
c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. 
d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. 
e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. 
Resolução 
As moedas totalizam R$ 23,00. Já que o pagamento é de R$ 19,55, o troco 
será de R$ 23,00 – R$ 19,55 = R$ 3,45. Se o pagamento deverá ser feito 
utilizando a maior quantidade possível de moedas, o troco deverá ser devolvido 
com a menor quantidade possível de moedas. Para devolver R$ 3,45 (troco) 
com a menor quantidade possível de moedas devemos utilizar 3 moedas de R$ 
1,00, 1 moeda de R$ 0,25 e 2 moedas de R$ 0,10. 
Letra C 
EC 18. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) João pensou em um número e 
fez as seguintes operações sucessivas: subtraiu 5, multiplicou o resultado por 
3, depois subtraiu 4 e finalmente dividiu por 2. Se o resultado foi 10, o número 
que João pensou foi: 
a) 8 
b) 17 
c) 11 
d) 15 
e) 13 
Resolução I 
João pensou em um número 
Subtraiu 5 å 
Multiplicou o resultado por 3 å 
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Subtraiu 4 å 
Dividiu por 2 å 
O resultado é igual a 10. 
 
 
 
 
 
 
Letra E 
Resolução II 
Podemos resolver a questão de trás para frente, efetuando as operações 
inversas. 
 
Letra E 
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EC 19. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Um carro percorreu a distância de 955 km em 
3 dias. No primeiro dia, percorreu 1/5 dessa distância. No segundo dia, 
percorreu o dobro da distância percorrida no primeiro. No terceiro dia, para 
percorrer o restante da distância à velocidade constante de 80 km/h, o carro 
gastou 
A) 4 h 30 min 40 s. 
B) 4 h 46 min 30 s. 
C) 4 h 48 min 30 s. 
D) 4 h 50 min 40 s. 
Resolução 
O carro percorreu 1/5 da distância no primeiro dia e percorreu 2/5 da distância 
(o dobro da distância do primeiro dia) no segundo dia. Portanto, já percorreu 
1/5 + 2/5 = 3/5 da distância. 
Para terminar o percurso no terceiro dia, ele precisa percorrer 2/5 (a fração 
restante) da distância. 
Desta forma, a distância percorrida no terceiro dia é igual a: 
 
Poderíamos ter chegado ao mesmo resultado com o seguinte raciocínio: 
O carro percorreu 1/5 da distância no primeiro dia. 
 
 
A distância percorrida no segundo dia é o dobro de 191 km. 
 
A distância total percorrida até o segundo dia é igual a 
Para completar o percurso ele precisa andar no terceiro 
dia. 
Essa distância foi percorrida à velocidade constante de . 
A velocidade constante é calculada a partir da razão entre a distância 
percorrida e o tempo gasto. 
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Vamos simplificar a fração por 2. 
 
Vamos agora, para terminar, efetuar a divisão. Lembre-se que 1 hora = 60 
minutos e 1 minuto = 60 segundos. 
 
 
Ora, . 
 
 
 
 
 
 
Desta forma: 
 
Letra B 
 
11. RAZÃO E PROPORÇÃO 
Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o 
quociente de a por b. 
Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a é 
chamado de antecedente e o número b de consequente. 
O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois 
números. 
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Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala. 
A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as 
correspondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenho 
e o correspondente na medida real. 
real Medida
desenho do Medida
 Escala = 
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre 
d
c
 e 
b
a é a 
igualdade: 
d
c
 
b
a
= . Podemos escrever 
 
Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d 
são os conseqüentes. 
Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c são 
os meios. 
Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade 
Fundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
 
Por exemplo, 
 
 
É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está para 
a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu 
consequente. 
 
 
Por exemplo, 
 
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Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das 
frações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta 
propriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional. 
Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre razões, 
proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das questões, 
colocarei mais algumas propriedades e definições. 
EC 20. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é 
dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa 
região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a 
densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, 
as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade 
de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse 
dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade 
é de: 
(A) 57 habitantes / km2 
(B) 58 habitantes / km2 
(C) 59 habitantes / km2 
(D) 15 habitantes / km2 
(E) 155 habitantes / km2 
Resolução 
De acordo com o enunciado, 
 
 
Letra A 
EC 21. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 
funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo 
feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e 
o número do sexo feminino. 
(A) 4/3 
(B) 3/5 
(C) 3/7 
(D) 2/5 
(E) 5/3 
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Resolução 
Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o 
número do sexo feminino basta dividir o númerode homens pelo número de 
mulheres. 
 
 
 
A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivesse 
percebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto. 
Letra E 
EC 22. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que 
A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então 
necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a: 
a) A / A 
b) A / B 
c) A / C 
d) B / C 
e) - (B/B) 
Resolução 
Se B é a média aritmética entre A e C, podemos escrever: 
 
Queremos calcular o valor de (B - A) / (C - B): 
 
Analisando as alternativas, temos que 
 
Portanto, a resposta é a letra A. 
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EC 23. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a 
largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área 
desse retângulo em centímetros quadrados? 
(A) 120 
(B) 150 
(C) 80 
(D) 180 
(E) 340 
 
Resolução 
Algebricamente, a frase “A razão entre o comprimento e a largura de um 
retângulo é 3/2” pode ser escrita como 
 
Como a largura é igual a 10 cm, temos que 
 
Lembrando que o produto dos meios é igual a produto dos extremos, 
 
 
 
A área do retângulo é o produto do comprimento pela largura, assim: 
 
Letra B 
 
EC 24. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira 
proporcional dos números 1 e 5 é igual a 
(A) 15. 
(B) 20. 
(C) 25. 
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(D) 30. 
(E) 35. 
Resolução 
Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é uma 
proporção do tipo 
 
E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b. 
Assim, 
 
 
 
Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5. 
Letra C 
O momento é oportuno para lembrar que na proporção 
 
O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c. 
EC 25. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, 
então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é 
igual a: 
(A) 1/2 
(B) 1/4 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 4/5 
Resolução 
Pelo enunciado, podemos escrever que 
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Queremos calcular a seguinte razão: 
 
Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador, 
invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma, 
 
Letra C 
EC 26. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 
14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de 
combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio, 
(A) 360 Km. 
(B) 420 Km. 
(C) 460 Km. 
(D) 560 Km. 
(E) 600 Km. 
Resolução 
A razão entre a quantidade de quilômetros rodados e a quantidade de litros de 
combustível é constante e igual a 14 quilômetros por um litro. 
Assim, 
 
Sabemos que em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
Dessa forma, 
 
 
Letra D 
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EC 27. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que 
x+y=49, o valor de x e y será de: 
(A) x = 20; y = 29 
(B) x = 14; y = 35 
(C) x = 29; y = 20 
(D) x = 35; y = 14 
(E) x = 15; y = 34 
 
Resolução 
 
Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números 
no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou 
trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca é 
válida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordem 
dos fatores não altera o produto. 
Assim, a mesma proporção pode ser escrita como 
 
Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei no início da aula. 
Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e 
somando os denominadores. 
 
Dessa forma, 
 
Letra B 
EC 28. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam 
diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. 
Determine o valor de ( x + y ). 
(A) 92 
(B) 123 
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(C) 132 
(D) 154 
(E) 166 
Resolução 
Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos 
escrever 
 
E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando os 
numeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim, 
 
 
Portanto, 
 
Letra C 
EC 29. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de 
moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é: 
(A) 25% 
(B) 30% 
(C) 33% 
(D) 38% 
(E) 40% 
Resolução 
Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então 
 
Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no 
numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando 
os meios de lugar, ou trocando os extremos. 
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Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de 
pessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, então 
quantos serão rapazes? 
 
 
Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o 
percentual de rapazes é 40%. 
Letra E 
EC 30. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma 
entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é 
(A) 10 
(B) 12 
(C) 15 
(D) 20 
(E) 25 
 
Resolução 
 
Sejam x e y os números. 
 
Como a soma deles é 30, 
 
 
Como 
A diferença entre eles é 25 – 5 = 20. 
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Letra D 
EC 31. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, 
Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende 
dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. 
É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é: 
(A) R$ 1.500,00 
(B) R$ 1.250,00 
(C) R$ 1.000,00 
(D) R$ 750,00 
(E) R$ 500,00 
Resolução 
Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15, 
20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato, 
respectivamente. 
Assim, 
 
Obviamente . 
Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos 
prolongar a proporção. 
 
 
Temos então: 
 
Letra D 
EC 32. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por 
um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 
dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um 
trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu 
(A) R$590,00. 
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80
(B) R$680,00. 
(C) R$1.180,00. 
(D) R$1.770,00. 
(E) R$2.420,00. 
Resolução 
Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6 
dias. Assim, temos a seguinte proporção: 
 
Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessa 
forma, 
 
O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu 
 
Letra D 
EC 33. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida 
entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e 
na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; 
Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que 
o mais velho receberá 
(A) R$1 200,00. 
(B)R$1 280,00. 
(C) R$1 600,00. 
(D) R$2 200,00. 
(E) R$2 400,00. 
 
Resolução 
Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos e 
inversamente proporcional às idades. 
Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma: 
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No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6 
(ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48 
(ficam no denominador). 
 
Podemos simplificar as frações: 
 
Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento: 
Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemos 
calcular o m.m.c dos denominadores das frações. 
No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 por 
15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemos 
dividir 120 por 8 e multiplicar por 1. 
 
Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores. 
Devemos somar os numeradores e os denominadores. 
 
 
O mais velho, Carlos, receberá: 
 
Letra E 
EC 34. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição 
Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na 
razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos 
de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o 
outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva 
entre os números de processos que cada um arquivou é 
 
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82
(A) 48 
(B) 50 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
Resolução 
Temos novamente uma divisão diretamente proporcional às idades e divisão 
inversamente proporcional aos tempos de serviços. 
A proporção terá a seguinte forma: 
 
27 42
93
a b
=
 
O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9 
por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar 
por 42, resultando 42. 
164 4
81 42 81 42 123 3
a b a b+
= = = =
+ 
4
81 108
3
4
42 56
3
108 56 52
a
b
a b
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − =
 
Letra C 
EC 35. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de 
homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de 
homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: 
A) 46 
B) 47 
C) 48 
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83
D) 49 
E) 50 
Resolução 
 
A razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4, logo: 
 
Portanto, n é um número divisível por 7. Dentre as alternativas, o único número 
divisível por 7 é 49. 
Letra D 
EC 36. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes 
inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte 
são, respectivamente: 
a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00 
b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00 
c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00 
d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00 
e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00 
Resolução 
Quando a divisão for inversamente proporcional, a proporção seguirá a 
seguinte forma: 
 
Temos então que: 
 
 
O m.m.c. entre 2 e 3 é 6. Assim, devemos dividir 6 por 2 e multiplicar por 1 
(obtemos 3). Dividimos 6 por 3 e multiplicamos por 1 (obtemos 2). 
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Assim, 
 
Letra B 
EC 37. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na 
razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: 
a) 40° 
b) 70° 
c) 75° 
d) 80° 
e) 90° 
Resolução 
Sejam a,b,c os ângulos do triângulos. Veremos na aula de geometria que a 
soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Portanto, 
 
 
O maior ângulo é c. 
 
Letra D 
EC 38. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 
alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que 
cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do 
filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do 
filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho 
mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais 
novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio? 
a) 80 
b) 100 
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c) 120 
d) 160 
e) 180 
Resolução 
Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do 
filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3. 
Temos a seguinte proporção: 
 
O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver a 
proporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos 
pelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Por 
exemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e 
multiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3, 
vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1, 
vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará: 
 
Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12. 
 
Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires. 
Letra A 
EC 39. (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
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O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 
1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância 
real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a 
distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 
cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que 
a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é 
A) inferior a 1.000 km. 
B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km. 
C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km. 
D) superior a 1.150 km. 
Resolução 
A escala de um mapa é, por definição: 
 
A escala do mapa é de 1: 17.000.000 e a medida encontrada no desenho entre 
as duas cidades é de 6,7 cm. 
 
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
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Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro. 
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
km hm dam m dm cm mm 
 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda 
devemos dividir por 10 a cada passagem. 
Como queremos expressar 113.900.000 cm em quilômetros, devemos dividir 
esta medida por 100.000 (5 casas correspondem a 5 zeros). 
 
C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km. 
 
Letra C 
EC 40. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de 
uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente 
proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados 
corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-
se corretamente que 
A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário 
de Jaime. 
B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. 
C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00. 
D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. 
Resolução 
Digamos que os salários de Alexandre, Jaime e Vítor são, respectivamente, 
iguais a 
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Como esses valores são diretamente proporcionais a 5,7 e 9. Podemos 
escrever a seguinte proporção: 
 
Sabemos também que a soma dos salários dos 3 empregados é igual a 
R$ 4.200,00. Prolongaremos a proporção somando os antecedentes e 
somando os consequentes. 
 
Assim: 
 
 
 
Vejamos cada uma das alternativas de per si. 
A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário 
de Jaime. (VERDADEIRO) 
 
 
B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. (FALSO) 
 
C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00. 
 
 
D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. (FALSO). 
O salário de Vítor é 80% maior do que o de Alexandre 
Letra A 
EC 41. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: 
um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, 
Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando 
para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança. 
“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes 
diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”. 
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89
Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, 
havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi: 
a) R$ 142.500,00 
b) R$ 154.000,00 
c) R$ 165.500,00 
d) R$ 168.000,00 
e) R$ 172.500,00 
Resolução 
Cinco anos depois da realização do testamento os filhos têm 18, 19 e 23 anos. 
Devemos, portanto, dividir R$ 450.000,00 em partes diretamente proporcionais 
a 18, 19 e 23. Temos a seguinte proporção: 
 
 
Obviamente . 
Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos 
prolongar a proporção. 
 
O mais velho recebeu 
Letra E 
 
12. GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Duas sequências de números são ditas diretamente proporcionais se o 
quociente entre os elementos correspondentes for constante. 
Ou seja, as sequências ( e ( são diretamente 
proporcionais se 
 
O número k é a chamada constante de proporcionalidade. 
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Duas sequências de números são ditas inversamente proporcionais se o 
produto entre os elementos correspondentes for constante. 
Ou seja, as sequências ( e ( são inversamente 
proporcionais se 
 
O número k é a chamada constante de proporcionalidade. 
 
EC 42. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é 
inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando 
são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem 
produzidas 12 unidades, o custo total será igual a: 
a) 625/25 
b) 625/24 
c) 625/16 
d) 625/15 
e) 625/12 
Resolução 
Chamemos a grandeza custo de C e a grandeza quantidade produzida de Q. 
Sabemos que o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das 
quantidades produzidas. 
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre os 
valores correspondentes é constante. Assim, 
 
 
 
Podemos simplificar 225 e 144 por 9. 
 
Letra C 
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EC 43. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao 
quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá 
valer: 
a) 1/16 
b) 15/16 
c) 45/16 
d) 135/16 
e) 625/16 
Resolução 
Grandezas inversamente proporcionais variam a produto constante. 
 
 
 
 
Letra D 
13. REGRA DE TRÊS 
Chama-se “Regra de Três” a certos problemas nos quais, sendo dados valores 
de várias grandezas, sempre em número ímpar de, no mínimo três, propôs-se 
determinar o valor de uma, e somente uma grandeza desconhecida. 
Lembremos que para resolver questões de Regra de Três, devemos construir 
uma tabela agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. Em seguida devemos determinar se as grandezas são direta 
ou inversamente proporcionais. O último passo é montar a proporção. 
EC 44. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente 
enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta 
mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 
litros? 
(A) 13minutos e 15 segundos 
(B) 14 minutos e 10 segundos 
(C) 10 minutos e 14 segundos 
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92
(D) 20 minutos 
(E) 17 minutos e 3 segundos 
Resolução 
Litros Segundos 
40 33 
1.240 x 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª 
coluna). 
Aumentando a quantidade de litros do reservatório, o tempo para enchê-lo 
também aumentará. Portanto as grandezas são diretamente proporcionais. 
Colocamos uma seta no mesmo sentido. 
Litros Segundos 
40 33 
1.240 x 
 
 
 
 
Dividindo por 60 (para passar para minutos), 1.023 segundos = 17 minutos e 3 
segundos. 
Letra E 
EC 45. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra 
pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas 
necessárias para que y realize essa tarefa é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
Resolução 
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93
 
Digamos que a eficiência de x tenha valor numérico igual a 100. Portanto, 
a eficiência de y será 150. 
 
Eficiência Horas 
100 12 
150 x 
 
Observe que, porque y é mais eficiente do que x, y gastará menos horas do 
que x. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Colocaremos 
uma seta para cima. 
 
Eficiência Horas 
100 12 
150 x 
 
Na montagem da proporção, deveremos inverter a coluna da eficiência. 
 
 
 
 
Letra E 
 
EC 46. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 
dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 
motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, 
trabalhando 12 horas por dia? 
(A) 12 dias 
(B) 10 dias 
(C) 15 dias 
(D) 9 dias 
(E) 6 dias 
Resolução 
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Dias Horas por dia Motocicletas 
10 9 250 
x 12 300 
Antes de começar a resolução, podemos simplificar os números que estão na 
mesma coluna. Podemos simplificar 9 e 12 por 3. Podemos simplificar 250 e 
300 por 50. 
Dias Horas por dia Motocicletas 
10 3 5 
x 4 6 
Aumentando a quantidade de horas trabalhadas por dia, a quantidade de dias 
diminuirá (seta para cima, pois as grandezas são inversamente proporcionais). 
Aumentando o número de motocicletas a serem produzidas, o número de dias 
aumentará (seta para baixo, pois as grandezas são diretamente proporcionais). 
 
Dias Horas por dia Motocicletas 
10 3 5 
x 4 6 
 
A proporção ficará: 
 
 
 
Letra D 
EC 47. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 
empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a 
mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados 
que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é 
igual a 
A) 118. 
B) 124. 
C) 138. 
D) 144. 
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Resolução 
Vamos resumir os dados da questão em uma tabela. 
Empregados Livros Horas 
5 360 2 
7 x 2 
Ora, já que a quantidade de horas nas duas situações é a mesma, podemos 
concluir que esta não vai influenciarno resultado. 
Empregados Livros 
5 360 
7 x 
Aumentando a quantidade de empregados, a quantidade de livros catalogados 
também aumentará (as grandezas são diretamente proporcionais). 
 
 
 
A questão pergunta quantos livros a mais poderão ser catalogados: 
 
Letra D 
EC 48. (TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma 
repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem. 
 
Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, 
em um dia, menos de 35 processos. 
 
Resolução 
 
Servidores Processos em um dia 
7 42 
5 x 
 
Diminuindo a quantidade de servidores, a quantidade de processos analisados 
em um dia também diminuirá. Desta forma, as grandezas são diretamente 
proporcionais. 
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Poderíamos ter pensado da seguinte maneira: 
Se 7 deles analisam 42 processos, então 1 servidor analisa 6 processos 
(42/7=6). Ora, se 1 servidor analisa 6 processos, então 5 servidores analisam 
30 processos (5 x 6 = 30). 
O item está certo. 
 
EC 49. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir 
determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para 
completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia. 
 
Resolução 
Servidores Horas por dia Dias 
20 4 6 
x 8 12 
 
Podemos simplificar as colunas. A segunda coluna é simplificável por 4 e a 
terceira coluna é simplificável por 6. 
 
Servidores Horas por dia Dias 
20 1 1 
x 2 2 
 
Aumentando a quantidade de horas trabalhadas (aumentando a carga horária), 
a quantidade de servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente 
proporcionais. 
 
Servidores Horas por dia Dias 
20 1 1 
x 2 2 
 
Aumento o prazo, ou seja, aumentando a quantidade de dias, a quantidade de 
servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente proporcionais. 
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Servidores Horas por dia Dias 
20 1 1 
x 2 2 
 
 
 
 
O item está certo. 
 
14. PROBLEMAS ENVOLVENDO VELOCIDADE, ESPAÇO E TEMPO 
Estas ferramentas que estudamos acima (grandezas proporcionais e regra de 
três) são cobradas num tipo muito particular de problema: aqueles envolvendo 
cálculos de velocidade, espaço e tempo. 
EP 8. Um carro tem velocidade de 80 km/h. Se ele viaja durante 4 horas, qual 
a distância percorrida? 
 
Resolução: 
Vamos adotar a seguinte simbologia: 
· d é a distância percorrida 
· t é o tempo de viagem 
· v é a velocidade 
A fórmula que relaciona as três grandezas é: 
t
d
v = 
Assim, dizer que a velocidade é de 80 km/h por hora significa que, em uma 
hora, o carro percorre 80 km. Ou ainda, em duas horas, o carro percorre 160 
km. E, em três horas, o carro percorre 240 km. Por fim, em 4 horas, percorre 
320 km. Notem como todas as divisões são iguais: 
80  km/h = 
h
km
h
km
h
km
h
km
4
320
3
240
2
160
1
80
===  
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Voltando ao nosso exercício, podemos fazer assim. A velocidade é 80km/h. O 
tempo é 4 horas. Pergunta-se a distância. Basta aplicar a fórmula: 
t
d
v =  
320480
4
80 =×=⇒= d
d
 
A distância percorrida é de 320 km. 
Então é isso. Sempre que tivermos um exercício sobre velocidade, espaço e 
tempo, basta usarmos a fórmula: 
t
d
v = . 
Tem gente que gosta de sempre utilizar a fórmula. Embora seja uma saída 
válida, tenho observado que a Esaf tem trazido questões em que aplicar a 
fórmula acaba sendo um tanto quanto trabalhoso. 
Por isso, apresentaremos sempre uma solução alternativa, utilizando regra de 
3. 
É isso mesmo!!! Problemas em que móveis se deslocam a uma velocidade 
constante são, no fundo, problemas de regra de 3, pois dizemos que a 
distância e o tempo são diretamente proporcionais. E a constante de 
proporcionalidade entre o espaço e o tempo é justamente a velocidade. 
 
EP 9. Um móvel se desloca a uma velocidade de 30 km/h, durante 150 
minutos. Qual a distância percorrida, em metros? 
 
Este exercício está aí para destacar uma coisa: antes de sair aplicando a 
fórmula da velocidade, cuidado com as unidades. 
Observe que a velocidade está em km/h (quilômetro por hora). E o tempo está 
em minutos. Ou seja, as unidades não estão coerentes umas com as outras. 
Antes de aplicar a fórmula devemos compatibilizar as unidades. Podemos, por 
exemplo, passar o tempo para horas. Basta fazer uma regra de três. 
60 minutos --- 1 hora 
150 minutos ---- x 
Multiplicando cruzado: 
5,215060 =⇒=× xx  horas 
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Assim, o móvel se desloca a uma velocidade de 30km/h, durante 2,5 horas. 
Agora podemos aplicar a fórmula: 
t
d
v =  
h
d
h
km
5,2
30 =×  
h
h
km
d ×××= 5,230  
Notem que, como a velocidade está em quilômetro por hora e o tempo está em 
horas, as unidades de tempo vão se cancelar. Como conseqüência, a distância 
será expressa na unidade que sobre: quilômetro. 
kmd ×= 75  
E o exercício pediu a distância em metros. Fazendo a transformação: 
000.75=d  m 
 
Outra forma de resolução é passar a velocidade, que está em quilômetro por 
hora, para quilômetro por minuto. 
A velocidade dada é: 
h
km
v ×= 30  
Mas nós sabemos que 1 hora corresponde a 60 minutos. 
min
5,0
min60
30
km
v
km
v ×=⇒×=  
Pronto. Mudamos a unidade da velocidade. 30 km/h corresponde a 0,5 km/min. 
Agora sim podemos aplicar a fórmula. 
t
d
v =  
min150min
5,0
dkm
=×  
min
min
1505,0 ×××=
km
d  
E, agora, cancelamos minuto com minuto. 
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100
kmkmd 751505,0 =××=  
Em metros, temos: 
000.75=d  m 
  
EP 10. Um móvel percorre uma distância de 100.000 metros, num tempo de 
5.400 segundos. Qual a velocidade do móvel em km por hora? 
 
Outro exercício para nos atentarmos com as unidades. 
A distância fornecida está em metros e o tempo está em segundos. Se 
aplicarmos a fórmula da velocidade, obteremos uma grandeza em metros por 
segundo. 
Só que o exercício pediu a velocidade em quilômetro por hora. Assim, antes de 
aplicarmos a fórmula, precisamos fazer as conversões. 
1 km ---- 1.000 m 
x ---- 100.000 m 
Multiplicando cruzado: 
100000.100000.1 =⇒=× xx km 
Agora vamos transformar o tempo: 
1 h --- 3.600 s 
y --- 5.400 s 
Multiplicando cruzado: 
5,154003600 =⇒=× yy  h 
Pronto. Agora podemos achar a velocidade: 
67,66
5,1
100
≅=
h
km
v   hkm /  
 
EC 50. CGU 2004 [ESAF] 
Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre 
a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 
minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele 
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saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do 
início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de 
que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente 
reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, 
chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância 
entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de 
Lúcio a seu local de trabalho é igual a: 
a) 1.200m 
b) 1.500m 
c) 1.080m 
d) 760m 
e) 1.128m 
 
Resolução: 
Vamos fazer um diagrama da situação descrita no enunciado: 
 
Lúcio gasta 20 minutos para ir de casa ao trabalho. 
Num dado dia, Lúcio tinha uma reunião. Suponhamos que a reunião seja às 
8h00. Lúcio quer chegar8 minutos antes da reunião. Ou seja, quer chegar às 
7h52. Para tanto, Lúcio sai de casa às 7h32 (pois ele gasta 20 minutos no 
trajeto). 
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Neste dia, Lúcio sai de casa e vai até o cine Bristol (seta vermelha). Depois, ele 
volta até sua casa (seta azul). Por fim, vai de casa até o trabalho (seta verde). 
E chega ao trabalho dez minutos atrasado à reunião. Ou seja, chega ao 
trabalho às 8h10. 
Em seu trajeto total, entre as 7h32 e 8h10, Lúcio gastou 38 minutos. Deste 
tempo, 20 minutos foram gastos para percorrer o trajeto entre sua casa e o 
trabalho (seta verde). 
Os demais 18 minutos foram gastos para percorrer o trajeto entre a casa e o 
cine (seta vermelha) e o trajeto entre o cine e a casa (seta azul). Ou seja, em 
18 minutos Lúcio percorreu 1080 metros. 
Sua velocidade fica: 
t
d
v =  
60
18
1080
==v  
Notem que o tempo está em minutos e a distância está em metros. Logo, a 
velocidade de Lúcio é de 60 metros por minuto. 
Para ir de casa até o trabalho, Lúcio gasta 20 minutos. Sua velocidade é de 60 
metros por minuto. A pergunta é: qual a distância de sua casa até o trabalho? 
Aplicando novamente a fórmula: 
t
d
v =  
1200
20
60 =⇒= d
d
 
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A distância é de 1200 metros. 
Gabarito: A 
Outra resolução seria a seguinte. Descobrimos que Lúcio percorre 1080 metros 
em 18 minutos. E a pergunta é: quanto ele caminha em 20 minutos? 
Basta fazer uma regra de três: 
1.080 metros ---- 18 minutos 
x ---- 20 minutos 
Multiplicando cruzado: 
20080.118 ×=×x  
200.120
18
080.1
=×=x  metros 
Em 20 minutos, ele caminha 1.200 metros. 
 
EC 51. ANA 2009 [ESAF] 
Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado 
com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada é na primeira 
bandeirinha e a chegada na última. O corredor que está na frente leva 
exatamente 13 segundos para passar pela 13ª bandeirinha. Se ele mantiver a 
mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais próximo do tempo 
em que ele correrá o percurso todo será de: 
a) 17,54 segundos. 
b) 19 segundos. 
c) 20,58 segundos. 
d) 20 segundos. 
e) 21,67 segundos. 
 
Resolução: 
Seja x o espaço entre duas bandeirinhas seguidas. 
O primeiro colocado leva 13 segundos para sair da primeira bandeirinha e 
chegar à 13ª bandeirinha. Ou seja, em 13 segundos ele percorre doze vezes 
uma distância igual a x. 
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Em 13 segundos ele percorre uma distância de 12x 
A distância total da corrida corresponde ao espaço entre a primeira e a 
vigésima bandeirinha. Ou seja, a distância total é de 19x. 
A pergunta foi: qual o tempo total que ele gasta para chegar até a 20ª 
bandeirinha? 
Basta fazer uma regra de três: 
13 segundos ----- 12 x 
t ----- 19 x 
Multiplicando cruzado: 
xxt 191312 ×=× 
58,20
12
1913
≅⇒
×
= t
x
x
t 
O tempo gasto é de, aproximadamente, 20,58 segundos. 
Gabarito: C 
Outra forma de resolver é aplicando a fórmula da velocidade. 
No primeiro trecho, ele percorre uma distância de 12x em 13 segundos. Sua 
velocidade fica: 
13
12x
v = 
Mantendo esta velocidade na corrida inteira, podemos encontrar o tempo gasto 
para percorrer a distância de 19x. 
t
x
v
19
= 
58,20
19
13
12
≅⇒= t
t
xx
 
 
EC 52. Fiscal Trabalho 2003 [ESAF] 
Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um 
com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, 
mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. 
Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já 
Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após 
Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a 
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uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa 
até a casa de Pedro, foi de: 
a) 60 minutos 
b) 50 minutos 
c) 80 minutos 
d) 90 minutos 
e) 120 minutos 
 
Resolução: 
Vamos fazer um diagrama. 
 
Pedro sai de sua casa e vai até a casa de Paulo (ver setas vermelhas). 
Paulo sai de sua casa e vai até a casa de Pedro (ver setas azuis). 
Ambos saem ao mesmo tempo e se cruzam, sem perceber. Portanto, o tempo 
que Pedro gasta para fazer a primeira parte de seu trajeto é igual ao tempo que 
Paulo gasta para fazer a primeira parte de seu trajeto. Vamos chamar esse 
tempo de “t”. 
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106
 
Depois que se cruzam, Pedro demora 10 minutos para chegar à casa de Paulo. 
Ou seja, demora 10 minutos para fazer a segunda parte de seu trajeto. 
 
Paulo, depois que cruza com Pedro, demora 40 minutos para percorrer a 
segunda parte de seu trajeto. 
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107
 
Vamos dar nomes às distâncias: 
· d1 é a distância entre a casa de Pedro e o ponto de encontro. 
· d2 é a distância entre a casa de Paulo e o ponto de encontro. 
Além disso, vamos dar nomes às velocidades: 
· v_pedro é a velocidade de Pedro 
· v_paulo é a velocidade de Paulo 
A velocidade de Pedro é constante nos dois trajetos. Aplicando a fórmula para 
o primeiro trajeto, temos: 
t
d
pedrov 1_ =  
Aplicando a fórmula para o segundo trajeto: 
10
_ 2d
pedrov =  
Concluímos que: 
1010 2
121 t
d
dd
t
d
=⇒=  (equação I) 
A velocidade de Paulo é constante nos dois trajetos. Aplicando a fórmula para 
os dois trajetos, temos: 
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108
td
d
t
dd
paulov
40
40
_
2
121 =⇒==  (equação II). 
Comparando as duas equações, temos: 
t
t
d
d 40
102
1 ==  
Logo: 
20400
40
10
2 =⇒=⇒= tt
t
t
 
 
 
O tempo total da caminhada de Paulo é de 60 minutos (=20+40). 
Gabarito: A 
Viram como, dependendo do problema, é meio complicado depender da 
fórmula. Esta questão já foi um exemplo. 
Outra forma de resolução, mais simples, que dispensa o uso de fórmulas, 
depende apenas da regra de três. 
Do enunciado, sabemos que Paulo é mais lento que Pedro. Assim, para 
qualquer trecho, Paulo vai demorar mais tempo que Pedro. Podemos pensar 
que Paulo sempre demora k vezes mais tempo para fazer o mesmo trajeto. 
Em outras palavras, a distância que Paulo percorre é proporcional à distância 
que Pedro percorre. A constante de proporcionalidade, esta nós estamos 
chamando de k. 
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O trecho entre o ponto de cruzamento e a casa de Paulo é percorrido por 
Pedro em 10 minutos. Paulo, sendo mais devagar, vai percorrer o mesmo 
trecho em 10k minutos. 
O trecho entre a casa de Pedro e o ponto de cruzamento é percorrido por 
Paulo em 40 minutos. Pedro, sendo mais rápido, vai percorrer o mesmo trajeto 
em 
k
40
 minutos. 
Por fim, o tempo que cada um deles gasta para chegar até o ponto de encontro 
é o mesmo. Logo: 
2
40
10 =⇒= k
k
k  
Ou seja, Paulo demora duas vezes mais tempo que Pedro para percorrer um 
dado trajeto. 
Logo, o tempo gasto por Paulo para andar de sua casa até o ponto de encontro 
é igual a: 
  20102 =×  minutos. 
Portanto, o tempo total de caminhada de Paulo é de: 
604020 =+  minutos. 
 
EC 53. MPU 2004/2 [ESAF] 
Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x 
quilômetros por hora. Um avião YPS decolaàs 13:30 horas e voa na mesma 
rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por hora. 
Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião YPS, após sua decolagem, 
levará para alcançar o avião XIS é igual a 
a) 2 / (x+y) horas. 
b) x / (y-x) horas. 
c) 1 / 2x horas. 
d) 1/ 2y horas. 
e) x / 2 (y-x) horas. 
 
Resolução: 
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110
Seja o t o tempo, contado a partir da decolagem de YPS, que este avião leva 
para alcançar o avião XIS. Neste tempo, o avião YPS percorre uma dada 
distância d. 
Aplicando a fórmula da velocidade para o avião YPS, temos: 
t
d
v =  
tyd
t
d
y ×=⇒=  (equação I) 
Vamos agora para o avião XIS. Quando o avião YPS o alcançar, ele (o avião 
XIS) já estará voando há meia hora. Portanto, o tempo de vôo de XIS, em 
horas, será de 5,0+t . 
O avião XIS tem uma velocidade x. Além disso, considerando que os dois 
aviões se encontram, então eles percorrem a mesma distância “d”. Aplicando a 
fórmula da velocidade para o avião XIS, temos: 
)5,0(
)5,0(
+×=⇒
+
= txd
t
d
x  (equação II) 
Comparando as duas equações, temos: 
tytxd ×=+×= )5,0(  
tytx ×=+× )5,0(  
tyxtx ×=×+× 5,0  
)(5,0 xytx −×=×  
)(2)(
5,0
xy
x
xy
x
t
−
=
−
=  
Gabarito: E. 
 
EC 54. STN 2008 [ESAF] 
Uma equipe de três policiais está em uma viatura perseguindo o carro de 
Telma e Louise que corre por uma estrada reta onde existe um túnel construído 
também em linha reta. Antes de chegarem até o túnel, os policiais avistam o 
carro de Telma e Louise que já está dentro do túnel ņ, exatamente a 200 
metros de uma das extremidades. Na posição em que o carro das moças se 
encontra, elas acreditam que têm duas opções de fuga: continuar dirigindo no 
sentindo em que se encontram ou dirigirem em direção à polícia. A partir da 
velocidade do carro de Telma e Louise e da velocidade da viatura, os policiais 
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111
concluíram, acertadamente, que as moças não poderão fugir se forem 
capturadas no túnel. Ou seja, os policiais poderão apanhá-las numa ou noutra 
extremidade do túnel, independentemente da direção que elas tomarem. Sabe-
se que o carro de Telma e Louise e a viatura dos policiais locomovem- se a 
velocidades constantes. Sabe-se, também, que o túnel tem um quilômetro de 
comprimento. Desse modo, conclui-se que a relação entre a velocidade da 
viatura e a do carro das moças é dada por: 
a) 3/2 
b) 3/5 
c) 7/5 
d) 3/4 
e) 5/3 
 
Resolução: 
Vamos fazer um diagrama para representar a situação. 
 
Os dois carros estão indo para a esquerda. O carro de Telma tem uma 
velocidade v_telma. O carro da polícia tem uma velocidade v_pol. 
O carro de Telma já está dentro do túnel. Ela está a 200 metros de uma 
extremidade e a 800 metros da outra extremidade. 
O carro da polícia ainda não entrou no túnel. Ele está a uma distância x do 
começo do túnel. 
Caso Telma decida retornar e voltar para a primeira extremidade, ela gastará 
um tempo t neste trajeto. Como o carro da polícia vai alcançá-la justamente na 
extremidade, então o carro de polícia também vai gastar um tempo t para 
atingir o mesmo ponto. 
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112
 
Vamos aplicar a fórmula da velocidade para o carro de Telma: 
t
telmav
200
_ =  
Agora fazemos o mesmo para o carro da polícia: 
t
x
polv =_  
O exercício pede a relação entre as duas velocidades. Relação é sinônimo de 
divisão. A relação entre as duas velocidades é: 
?
_
_
=
telmav
polv
 
200200_
_ x
t
t
x
telmav
polv
==  
200_
_ x
telmav
polv
=  
Isolando o “x”: 
telmav
polv
x
_
_
200×=  (equação I). 
Agora vamos para a outra situação. 
Se Telma continuar em frente, dirigindo-se para a segunda extremidade, ela vai 
gastar um tempo 't para chegar lá. Como o carro de polícia vai alcançá-la 
justamente nesta segunda extremidade, o carro da polícia vai gastar o mesmo 
tempo 't em seu trajeto. 
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O carro de Telma vai percorrer uma distância de 800 metros, num tempo 't . 
'
800
_
t
telmav =  
O carro da polícia vai percorrer uma distância de )1000( +x no mesmo tempo 
't . 
'
1000
_
t
x
polv
+
=  
A relação entre as duas velocidades fica; 
'
800
'
1000
_
_
t
t
x
telmav
polv
+
=  
800
1000
_
_ +
=
x
telmav
polv
 
800
1000
800_
_
+=
x
telmav
polv
 (equação II). 
Substituindo a equação I na equação II: 
800
1000
_
_
200
800
1
_
_
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
××=
telmav
polv
telmav
polv
 
800
1000
_
_
4
1
_
_
+×=
telmav
polv
telmav
polv
 
800
1000
_
_
4
3
=×
telmav
polv
 
3
5
_
_
=
telmav
polv
 
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Gabarito: E. 
Outro exemplo de que, se formos depender de fórmulas, podemos cair numa 
solução gigantesca. 
Outra solução, bem mais simples, é aquela que usa o conceito de grandezas 
proporcionais. 
O desenho que representava a situação era: 
 
Os dois carros estão indo para a esquerda. O carro de Telma tem uma 
velocidade v_telma. O carro da polícia tem uma velocidade v_pol. Vamos 
considerar que o carro da polícia é k vezes mais rápido que o carro de Telma. 
Ou seja: 
?
_
_
== k
telmav
polv
 
Ou seja, estamos dizendo que a razão entre a velocidade da polícia e de Telma 
é igual a k. 
E o exercício quer justamente saber o valor de k. 
O carro de Telma já está dentro do túnel. Ela está a 200 metros de uma 
extremidade e a 800 metros da outra extremidade. 
O carro da polícia ainda não entrou no túnel. Ele está a uma distância x do 
começo do túnel. 
Caso Telma decida retornar e voltar para a primeira extremidade, ela gastará 
um tempo t neste trajeto. Como o carro da polícia vai alcançá-la justamente na 
extremidade, então o carro de polícia também vai gastar um tempo t para 
atingir o mesmo ponto. 
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Como o carro de polícia é k vezes mais rápido, ele vai, no mesmo intervalo de 
tempo, percorrer uma distância k vezes maior. Em outras palavras, a constante 
de proporcionalidade entre as distâncias é igual a k. 
 Logo: 
kxk
x
200
200
=⇒=  
Agora vamos para a outra situação. 
Se Telma continuar em frente, dirigindo-se para a segunda extremidade, ela vai 
gastar um tempo 't para chegar lá. Como o carro de polícia vai alcançá-la 
justamente nesta segunda extremidade, o carro da polícia vai gastar o mesmo 
tempo 't em seu trajeto. 
 
O carro de Telma vai percorrer uma distância de 800 metros, num tempo 't . No 
mesmo tempo, o carro de polícia vai percorrer uma distância k vezes maior. 
Logo: 
k
x
=
+
800
000.1
 
Substituindo o valor de x por k200 : 
k
k
=
+
800
000.1200
 
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kk 800000.1200 =+  
3
5
000.1600 =⇒= kk  
EC 55. Fiscal do Trabalho 2003 [ESAF] 
Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. 
Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. 
Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a velocidade 
de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto 
desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo 
tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a 
seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O 
número de arestas do polígono é: 
a) 10 
b) 15 
c) 12 
d) 14 
e) 11 
 
Resolução:O polígono tem n lados. Como não sabemos exatamente quantos lados tem o 
polígono, vamos desenhar só uma parte dele. 
 
Os três homens estão no mesmo vértice, quando começam a caminhar. 
Augusto vai no sentido anti-horário. Romeu e Vinícius vão no sentido horário. 
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Após um certo tempo, Romeu já percorreu k lados. Como a velocidade de 
Vinícius é o dobro da de Romeu, então Vinícius percorreu k2 lados. Augusto, 
que tem uma velocidade igual a 4 vezes a velocidade de Romeu, percorreu k4 
lados. 
Pois então. Quando cada um deles já percorreu estas distâncias acima 
indicadas, Augusto e Vinícius se encontram em um dado vértice. Como 
continuamos sem saber quantos lados tem o polígono, vamos só desenhar um 
pedaço dele: 
 
Até o encontro entre eles, Augusto percorreu 4k lados e Vinícius percorreu 2k 
lados. Somando a distância percorrida por Augusto com a distância percorrida 
por Vinícius, temos justamente o perímetro do polígono. Concluímos que o 
número lados do polígono é igual a: 
kkn 42 +=  
kn 6=  (equação I) 
Muito bem. Depois do encontro, Augusto continua caminhando. Ele percorre 
mais dois lados, quando se encontra com Romeu. 
 
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Neste instante, quanto Augusto já andou? Ele já tinha andado 4k lados no 
primeiro trecho (até se encontrar com Vinícius). Agora ele andou mais dois 
lados. Somando tudo, temos: 
24 +k  
Romeu, que tem uma velocidade 4 vezes menor, andou um quarto do que 
andou Augusto. Ou seja, Romeu caminhou uma distância de: 
5,0
4
24
+=
+
k
k
 
Como, no instante retratado na figura acima, Augusto e Romeu se encontram, 
se somarmos as distâncias percorridas por cada um deles, teremos justamente 
o perímetro do polígono. Assim, o número de lados do polígono é igual a: 
)5,0()24( +++= kkn  
5,25 += kn  (equação II). 
Substituindo a equação I na equação II: 
5,25 += kn  
5,256 += kk  
5,2=k  
Voltando na equação I: 
kn 6=  
155,26 =×=n  
O polígono tem 15 lados. 
Isto significa que, no encontro entre Augusto e Vinícius, Augusto já tinha 
percorrido 10 lados; Vinícius tinha percorrido 5 lados. Notem como Vinícus 
andou metade da distância de Augusto. Notem ainda que: 15510 =+ 
No encontro entre Augusto e Romeu, Augusto andou dois lados a mais. Ou 
seja, Augusto, que já tinha percorrido 10 lados, percorre mais dois, inteirando 
12 lados. 
Romeu, que tem um quarto da velocidade de Augusto, andou 3 lados. Notem 
que 12 + 3 =15. 
Gabarito: B 
 
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EC 56. CGU 2004 [ESAF] 
Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina e no mesmo 
horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da 
piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da 
piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em 30 
segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder 
qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-
se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando 
em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão 
fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de 
vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é: 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 20 
 
Resolução: 
Mauro nada 1 piscina em trinta segundos. 
Marco nada 1 piscina em 45 segundos. Portanto, em 30 segundos, quantas 
piscinas Marco nada? 
Basta fazer uma regra de três. 
1 piscina ---- 45 segundos 
x ---- 30 segundos 
Multiplicando cruzado: 
x×=× 45130 
3
2
45
30
==x 
Marco percorre 2/3 de piscina em 30 segundos. 
No começo do treino, cada nadador está de um lado da piscina. 
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Trinta segundos depois, Mauro já cruzou a piscina e se prepara para voltar. 
Marco ainda está terminando a primeira piscina. Para Marco, ainda falta 1/3 de 
piscina para chegar na borda. 
 
Eles já se encontraram, portanto, 1 vez. 
Passam mais trinta segundos. Já estamos com 1 minuto de treino. Mauro 
percorreu outra piscina. Marco nada mais 2/3 de piscina. Ou seja, Marco nadou 
o 1/3 que faltava para ele chegar à borda, fez a virada, e nadou mais 1/3 de 
piscina. 
 
No instante acima representando, eles já se encontraram pela segunda vez. 
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Passa mais 30 segundos. Mauro nada outra piscina, chegando na outra borda. 
Marco nada mais 2/3 de piscina, também atingindo a borda. 
 
No instante acima representado, temos o terceiro encontro. E já estamos com 
1min30s de treino. 
Passam mais 30 segundos. Completamos 2 minutos de treino. Mauro percorre 
outra piscina. Marco percorre 2/3 de piscina. 
 
Nestes últimos 30 segundos, eles não se encontraram. 
Ok, passam mais 30 segundos. Já estamos com 2 minutos e 30 segundos. 
Mauro percorre outra piscina. Marco percorre o 1/3 que faltava para chegar até 
a borda, faz a virada, e nada outro terço de piscina. 
 
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122
 
No instante acima representado, já houve o quarto encontro. 
Passam mais 30 segundos. Estamos com 3 minutos de treino. Mauro percorre 
outra piscina. Marco nada mais 2/3 de piscina, chegando à borda. 
 
No instante acima representado, já houve o quinto encontro. 
Reparem que voltamos à situação inicial do treino. Ou seja, em 3 minutos, eles 
nadam, nadam, e voltam à situação inicial. Podemos dizer que, a cada 3 
minutos, teremos um ciclo. 
Nos primeiros 3 minutos foram 5 encontros. 
Nos próximos 3 minutos teremos mais 5 encontros. 
Nos 3 minutos seguintes serão outros 5 encontros. 
E assim por diante. 
Ao final de 12 minutos teremos tido 20 encontros. 
Ficou em dúvida? 
Basta fazer a regra de três. 
3 minutos ---- 5 encontros 
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12 minutos --- x encontros 
Multiplicando cruzado: 
201253 =⇒×= xx  
Gabarito: E 
Vejamos uma solução mais rápida. 
Mauro faz uma piscina em 30 segundos. Em 12 minutos, quantas piscinas ele 
nada? 
0,5 minutos ---- 1 piscina 
12 minutos ----- x piscinas 
Multiplicando cruzado: 
24125,0 =⇒=× xx  
Mauro faz 24 piscinas em 12 minutos. 
Marco, em 45 segundos, faz uma piscina. Quantas piscinas ele faz em 12 
minutos? 
3/4 minuto ---- 1 piscina 
12 minutos ---- x 
Multiplicando cruzado: 
1612
4
3
=⇒=× xx 
Marco faz 16 piscinas em 12 minutos. 
Ao todo, eles nadam 40 piscinas. Em média, são necessárias 2 piscinas para 
que tenhamos um encontro. 
Logo, o número de encontros é igual a: 
20
2
40
=  
Da outra vez em que coloquei esta questão em um curso aqui no site, alguns 
alunos tiveram dificuldade em entender porque é que são necessárias 2 
piscinas para termos um encontro. 
Para visualizar isso, podemos pensar assim. 
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Em todos os instantes em que eles se encontram, temos o seguinte. Se 
somarmos as distâncias que eles nadaram, teremos um número inteiro de 
piscinas. 
Quando eles se encontram pela primeira vez, cada um deles já nadou uma 
distância. Mas, somando as distâncias que ambos percorreram, temos 1 
piscina. 
Ok, eles continuam nadando. Quando a distância total por eles percorrida for 
de 2 piscinas, eles estarão afastados.Só voltarão a se encontrar quando, 
juntos, percorrerem 3 piscinas. E assim por diante. Os encontros só ocorrem 
quando a soma das distâncias nadadas for igual a um número ímpar de 
piscinas. 
Somados, ao final dos 12 minutos, eles nadam 40 piscinas. De 1 até 40 temos 
20 números ímpares (onde ocorrem os encontros) e 20 números pares (onde 
eles estão afastados). Logo, são 20 encontros. 
 
15. PORCENTAGEM 
As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões 
centesimais, 
percentagem ou porcentagem. 
Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento). 
Ou seja, 
 
Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para 
obter a taxa unitária, basta dividir o numerador por 100. 
 
 
 
 
1 Percentual de um valor 
Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número x/100. 
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Exemplo: Calcular 30% de 500. 
Resolução 
 
2 Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual 
 
Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta 
multiplicá-la por 100%. 
Esse fato é matematicamente correto, pois e o número 1 é o 
elemento neutro da multiplicação. Ou seja, multiplicar por 100% não altera o 
resultado. 
Exemplo: Transformar a fração 3/4 em taxa percentual. 
Resolução 
 
Exemplo: Transformar a fração 5/8 em taxa percentual. 
Resolução 
 
Exemplo: Transformar o número 0,352 em forma de taxa percentual. 
Resolução 
 
Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a 
vírgula duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, 
então deveremos adicionar zeros a direita. 
3 Variação Percentual 
i) Imagine a seguinte situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve 
presentear a sua esposa com uma bolsa. Vai ao Shopping Center e encontra a 
bolsa dos sonhos da sua mulher por apenas R$ 200,00. Lástima! Esqueceu a 
carteira em casa. Resolve então comprar a bolsa no final de semana. Quando 
você retorna ao Shopping Center, encontra a mesma bolsa por 
R$ 280,00. Obviamente o valor da bolsa aumentou em R$ 80,00. 
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ii) Imagine agora outra situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve 
presentear a sua esposa com um anel de brilhantes. Vai à joalheria e encontra 
o anel dos sonhos da sua mulher por “apenas” R$ 4.000,00. Lástima! 
Esqueceu a carteira em casa. Resolve então comprar o anel no final de 
semana. Quando você retorna à joalheria, encontra o mesmo anel por R$ 
4.080,00. Obviamente o valor do anel aumentou em R$ 80,00. 
Em valores absolutos, o aumento do valor da bolsa foi igual ao aumento do 
valor do anel. Qual dos dois aumentos foi mais significativo em relação ao valor 
inicial do objeto? Obviamente um aumento de R$ 80,00 em um produto que 
custa R$ 200,00 é bem mais representativo do que um aumento de R$ 80,00 
em um produto que custa R$ 4.000,00. Uma maneira de comparar esses 
aumentos é a chamada variação percentual. 
Definição 
A razão entre o aumento e o preço inicial, expressa em forma de porcentagem, 
é chamada variação percentual. 
Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial na data 0 e valor 
final em uma data futura . A variação percentual dessa grandeza entre 
as datas consideradas é o número (expresso em porcentagem) dado por: 
 
Voltemos aos nossos exemplos: 
i) e 
Assim, a taxa percentual é: 
 
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que 
multiplicar a fração por 100%. 
 
 
ii) e 
Assim, a taxa percentual é: 
 
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Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que 
multiplicar a fração por 100%. 
 
 
 
 
 
Exemplo: João decidiu comprar uma calça no valor de R$ 160,00. O vendedor 
informou que se o pagamento fosse feito à vista, então a calça seria vendida 
por R$ 140,00. Qual a taxa percentual de desconto? 
 
 
Portanto, o desconto foi de 12,5%. 
4 Variações percentuais sucessivas 
 
Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se você fosse 
pagar essa mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém, 
com o desconto concedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para 
calcular o valor após o desconto, devemos multiplicar o valor original por 
70%=70/100. 
Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 
100% - p%. 
Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por 
100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar 
100% + 20% = 120%. 
Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu 
um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a 
mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual 
a variação percentual acumulada? 
Resolução 
Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que 
pagar os 100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento. 
Pagará, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, 
após o aumento, vale: 
Atenção! 
Se  , a taxa percentual é de crescimento. 
Se  , o módulo da taxa percentual é de decrescimento (desconto). 
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A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não 
pagará o valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto. 
O cliente pagará 
100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o 
desconto, vale: 
 
Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00. 
Poderíamos ter efetuado este cálculo de uma maneira mais “objetiva”. Toma-se 
o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos. 
Assim, 
 
 
Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e após as variações seu valor é de 
R$ 315,00. Ou seja: 
 
A taxa de variação acumulada é de: 
 
 
Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um único 
aumento de 5%. 
EC 57. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com 
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu 
peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A 
seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez 
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo 
um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu 
regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou 
um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para 
Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a 
esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início 
dessa seqüência de visitas, ficou: 
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a) exatamente igual 
b) 5% maior 
c) 5% menor 
d) 10% menor 
e) 10% maior 
Resolução 
Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanças em seu peso. 
Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela 
perdeu 20% de peso, então para calcular o peso que ela ficou após essa 
mudança, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100. 
A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que 
fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu 
peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regimede 
emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também 
emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos 
multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100. 
Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que 
acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por 
100% + 25% = 125% = 125/100. 
Assim, o peso final de Alice será calculado da seguinte maneira: 
Seu peso final será: 
 
Então, já que Alice possuía 100 kg, ficou com um peso 10% menor. 
Letra D 
EC 58. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida 
de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é 
R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período. 
a) 12% 
b) 15% 
c) 20% 
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130
d) 25% 
e) 30% 
Resolução 
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto 
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
Valor inicial: R$ 1200,00 
Valor final: R$ 1440,00 
Diferença entre os valores: R$ 1440,00 – R$ 1200,00 = R$ 240,00. 
 
Letra C 
EC 59. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA 
2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou 
que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 
02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a 
ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005, 
será necessário um aumento de 
a) 60% 
b) 80% 
c) 150% 
d) 160% 
e) 180% 
Resolução 
Considere que o número inicial de espécies nativas em 02/01/2004 foi de 100. 
Como esse número diminuiu 60%, então em 02/01/2005 havia 40 espécies. 
Queremos que em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o 
mesmo observado em 02-01-2004. Portanto o número de espécies nativas em 
02/01/2006 será igual a 100. 
02/01/2004 02/01/2005 02/01/2006 
100 40 100 
 
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Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto 
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
Valor inicial (02/01/2005): 40 espécies nativas. 
Valor final (02/01/2006): 100 espécies nativas. 
Diferença entre os valores: 100 – 40 = 60 
 
Letra C 
EC 60. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um 
número 20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração: 
(A) Dois terços 
(B) Cinco quartos 
(C) Seis quintos 
(D) Sete quintos 
(E) Oito sextos 
Resolução 
Vimos anteriormente que para dar um aumento de 20%, devemos multiplicar o 
valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Simplificando a fração 120/100 obtemos 6/5. 
Letra C 
EC 61. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse 
valor, ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o 
que sobrou do salário de Flávio foi 
A) inferior a R$ 180,00. 
B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. 
C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. 
D) superior a R$ 280,00. 
Resolução 
Flávio gastou 25% pagando dívidas, portanto ele gastou: 
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Flávio gastou 1/3 com alimentação, portanto ele gastou: 
 
Total dos gastos: 
Quanto sobrou para Flávio? 
 
Letra D 
 
EC 62. (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
 
De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da 
lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em 
A) exatamente 25% do valor à vista. 
B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. 
C) exatamente 30% do valor à vista. 
D) mais de 30% do valor à vista. 
Resolução 
O valor total do pagamento a prazo na compra da lavadora é de: 
 
Este valor supera o valor do pagamento à vista em: 
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Para saber qual o percentual deste valor em relação ao valor à vista, devemos 
efetuar a divisão entre os valores: 
 
Letra A 
 
(TJBA 2003/CESPE-UnB) 
 
Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos 
analisados em uma repartição pública e do número de servidores que 
analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade 
em um dia é o resultado do quociente entre a quantidade de processos 
analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses 
processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens. 
 
EC 63. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos 
aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa atividade 
na segunda-feira. 
 
Resolução 
 
 
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Foram 5 funcionários na segunda-feira e 8 funcionários na sexta-feira. O 
percentual de aumento é: 
 
O item está certo. 
 
EC 64. Se, na quarta-feira, a produtividade foi de 24 processos por servidor, 
então menos de 70 processos foram analisados nesse dia. 
 
Resolução 
 
O texto definiu a produtividade como o cociente entre a quantidade de 
processos analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram 
esses processos. 
 
 
 
 
O item está errado. 
 
EC 65. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira. 
 
Resolução 
 
 
Na segunda-feira, 75 processos foram analisados por 5 funcionários. A 
produtividade da segunda-feira é igual a: 
 
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Na sexta-feira, 216 processos foram analisados por 8 funcionários. A 
produtividade da sexta-feira é igual a: 
 
O percentual de aumento é dado por: 
 
O item está certo. 
 
EC 66. Considere que 81 processos ficaram sem ser analisados nessa semana 
e que deveriam ser analisados mantendo-se a mesma produtividade da sexta-
feira. Nessa situação, seriam necessários mais de 12 servidores para cumprir 
essa tarefa. 
 
Resolução 
 
A produtividade da sexta-feira foi calculada na questão 10. Vimos que é igual a 
27 processos/funcionário. Queremos analisar 81 processos com esta 
produtividade. 
 
 
 
 
 
O item está errado. 
 
(PMAC 2009/CESPE-UnB) O tiro certeiro da lei 
Em São Paulo, o índice de homicídios caiu drasticamente — graças também à 
lei que restringiu o acesso às armas de fogo. Depois dessa lei, o número de 
homicídios na capital paulista diminuiu em 61% nos assassinatos premeditados 
e em 27% nos assassinatos cometidos por impulso. Esses números comparam 
o número de assassinatos ocorridos em 2003 com a média de homicídios 
ocorridos em 2006 e 2007, na capital paulista. Nos homicídios ocorridos na 
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capital paulista, enquanto o uso de armas de fogo diminuiu, o de facas e outros 
instrumentos aumentou: 
 
 
Com relação ao texto acima e considerando que a média de homicídios em 
2006/2007, na capital paulista, tenha sido 30% superior à quantidade de 
homicídios ocorridos em 2003 nessa mesma cidade, julgue os itens seguintes. 
 
EC 67. Na situação apresentada, a quantidade de homicídios com o uso de 
armas de fogo em 2003 foi superior à média dos homicídios em 2006/2007 
praticados com o uso desse tipo de instrumento. 
 
Resolução 
 
Sem perda de generalidade, vamos supor que o número de homicídios em 
2003 foi igual a 100. Como a quantidade de homicídios em 2006/2007 foi 30% 
maior, concluímos que a quantidade de homicídios neste período foi igual a 
130. 
Em 2003,89% dos homicídios foram ocorridos com armas de fogo. Desta 
forma, 89 homicídios foram ocorridos com armas de fogo (89% de 100). 
Em 2006/2007, 66% dos homicídios foram ocorridos com armas de fogo. Como 
foram 130 homicídios: 
 
 
 
Concluímos que a quantidade de homicídios com o uso de armas de fogo em 
2003 foi superior à média dos homicídios em 2006/2007 praticados com o uso 
desse tipo de instrumento. 
O item está certo. 
 
EC 68. A média em 2006/2007 da quantidade de homicídios com o uso de arma 
branca foi superior ao triplo dessas ocorrências em 2003. 
 
Resolução 
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Vamos utilizar o mesmo raciocínio do item anterior. Vamos supor que foram 
100 homicídios no ano de 2003. Consequentemente, 130 homicídios em 
2006/2007. 
De acordo com a tabela, em 2003, 7% dos homicídios foram ocorridos com 
armas brancas. Portanto, apenas 7 homicídios com armas brancas (7% de 
100). 
Em 2006/2007, o percentual de homicídios com armas brancas foi 17%. Como 
foram 130 homicídios: 
 
A média em 2006/2007 da quantidade de homicídios com o uso de arma 
branca foi superior ao triplo dessas ocorrências em 2003. 
Como o triplo de 7 é 21 e 22,1>21, o item está certo. 
 
(PMAC 2009/CESPE-UnB) A poluição dos carros paulistanos 
São Paulo começou neste ano a fazer a inspeção ambiental dos veículos 
registrados na cidade. Os movidos a dísel são os primeiros. 
Veja os números dos veículos na capital paulista: 
· veículos registrados: 6,1 milhões; 
· está fora de circulação ou trafega irregularmente: 1,5 milhão; 
· movidos a dísel: 800.000; 
· cumprem os limites de emissão de poluentes: 20% dos veículos 
inspecionados. 
Idem, p. 63 (com adaptações). 
Tendo o texto acima como referência, julgue os itens seguintes. 
 
EC 69. Mais de 25% dos veículos registrados na capital paulista estão fora de 
circulação ou trafegam irregularmente. 
 
Resolução 
São 6,1 milhões de carros registrados. Vejamos quanto é 25% deste valor: 
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Como 1,5 milhão carros trafegam irregularmente ou estão fora de circulação 
(1,5<1,525), o percentual de carros que trafegam irregularmente ou fora de 
circulação é menor que 25%. 
O item está errado. 
 
EC 70. Menos de 3/4 dos veículos registrados na capital paulista circulam 
regularmente. 
 
Resolução 
 
 
Vamos reescrever o item. 
“Menos de 75% dos veículos registrados na capital paulista circulam 
regularmente.” 
Como menos de 25% dos carros andam irregularmente ou estão fora de 
circulação (questão 19), então mais de 75% dos veículos circulam 
regularmente. 
O item está errado. 
 
EC 71. Suponha que na capital paulista, entre os veículos registrados, não haja 
nenhum veículo bicombustível, que os únicos combustíveis disponíveis sejam 
dísel, gasolina e álcool, e que a quantidade de veículos movidos a álcool está 
para 3 assim como a quantidade de veículos movidos a gasolina está para 7. 
Nesse caso, em São Paulo há mais de 3,7 milhões de veículos movidos a 
gasolina e menos de 1,6 milhão de veículos movidos a álcool. 
 
Resolução 
 
São 6,1 milhões de carros registrados dos quais 800.000 são movidos a dísel. 
Portanto, 5,3 milhões de carros são movidos a álcool ou gasolina. 
Chamemos de o número de carros movidos a álcool e o número de carros 
movidos a gasolina. Temos a seguinte proporção: 
 
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Sabemos que 
 
 
Desta forma: 
 
 
Nesse caso, em São Paulo há mais de 3,7 milhões de veículos movidos a 
gasolina e menos de 1,6 milhão de veículos movidos a álcool. 
O item está certo. 
 
EC 72. Suponha que 32% dos veículos registrados na cidade de São Paulo 
passaram pela inspeção ambiental. Nesse caso, mais de 400.000 dos veículos 
registrados na capital paulista cumprem os limites de emissão de poluentes. 
 
Resolução 
Devemos calcular 32% do total de veículos registrados na cidade de São 
Paulo. 
 
 
Temos 1,952 milhão de carros inspecionados. 
O texto nos informou que cumprem os limites de emissão de poluentes: 20% 
dos veículos inspecionados. 
Vamos calcular 20% de 1,952 milhão. 
Observe que 1,952 milhão é igual a 1.952.000 carros. 
 
O item está errado. 
 
EC 73. Considere que 18 agentes do departamento de trânsito da cidade de 
São Paulo conseguem fazer a inspeção ambiental de 360 veículos em 5 horas 
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140
de trabalho. Considere também que todos os agentes trabalham com a mesma 
eficiência e que o tempo gasto para inspecionar cada veículo é o mesmo para 
qualquer tipo de veículo. Nessa situação, para inspecionar todos os veículos 
movidos a dísel em 400 horas de trabalho serão necessários mais de 450 
agentes. 
 
Resolução 
 
O texto nos informou que são 800.000 veículos movidos a dísel. 
 
Agentes Veículos inspecionados Horas de trabalho 
18 360 5 
x 800.000 400 
 
Vamos simplificar as colunas. A segunda coluna é simplificável por 40 e a 
terceira coluna é simplificável por 5. 
 
Agentes Veículos inspecionados Horas de trabalho 
18 9 1 
x 20.000 80 
 
Aumentando a quantidade de veículos inspecionados, aumenta-se a 
quantidade de agentes (as grandezas são diretamente proporcionais). 
 
Agentes Veículos inspecionados Horas de trabalho 
18 9 1 
x 20.000 80 
 
Aumentando-se a quantidade de horas trabalhadas, diminui-se a quantidade de 
agentes (as grandezas são inversamente proporcionais). 
 
 
Agentes Veículos inspecionados Horas de trabalho 
18 9 1 
x 20.000 80 
 
 
 
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141
 
 
O item está certo. 
 
EC 74. Se 3/32 dos veículos registrados na cidade de São Paulo estão fora de 
circulação, então mais de 14% dos veículos registrados estão trafegando 
irregularmente. 
 
Resolução 
São 6,1 milhões de veículos registrados na cidade de São Paulo. 
 
O texto informou: está fora de circulação ou trafega irregularmente: 1,5 milhão; 
Portanto, 
Vamos calcular 14% do total de carros: 
 
Como 928.125>854.000, concluímos que mais de 14% dos veículos 
registrados estão trafegando irregularmente. 
O item está certo. 
 
EC 75. Suponha que na cidade de São Paulo não há nenhum veículo 
bicombustível e que os combustíveis disponíveis são álcool, gasolina, dísel e 
gás liquefeito de petróleo (GLP). Suponha também que as quantidades de 
veículos movidos a álcool, gasolina e GLP são números diretamente 
proporcionais a 5, 9, e 2. Nessa situação, é correto afirmar que mais de 50% 
dos veículos registrados na capital paulista são movidos a gasolina. 
 
Resolução 
 
Atente para o fato de que como são 800.000 veículos movidos a dísel, então os 
veículos movidos a álcool, gasolina ou GLP totalizam 5.300.000 (6,1 milhões 
menos 800.000). 
Podemos escrever a seguinte proporção: 
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142
 
Os carros movidos a gasolina totalizam 
Portanto, menos de 50% dos veículos registrados na capital paulista são 
movidos a gasolina. 
O item está errado. 
 
EC 76. Considere que a diferença entre a quantidade de veículos fora de 
circulação e a daqueles que trafegam irregularmente seja superior a 200.000 
veículos. Nesse caso, entre os veículos registrados na capital paulista e que 
estão fora de circulação ou que trafegam irregularmente, mais da metade estão 
fora de circulação. 
 
Resolução 
 
“Está fora de circulação ou trafega irregularmente: 1,5 milhão;” 
Vamos utilizar a seguinte notação: é o total de veículos fora de circulaçãoe 
é o total de veículos que trafegam irregularmente. 
O texto nos informou que 
A diferença entre a quantidade de veículos fora de circulação e a daqueles que 
trafegam irregularmente seja superior a 200.000. 
 
 
 
 
 
Portanto, o número de veículos que estão fora de circulação é maior que 
850.000. 
Esse valor é maior que a metade de 1,5 milhão (750.000). 
O item está certo. 
 
(PMCE 2008/CESPE-UnB) Turismo no Brasil: tomado pela informalidade 
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143
O turismo brasileiro atravessa um período de franca expansão. Entre 2002 e 
2006, o número de pessoas que trabalham nesse setor aumentou 14% e 
chegou a 1,869 milhão. Cerca de 60% desse contingente de trabalhadores está 
no mercado informal, sem carteira assinada. A estatística faz parte de um 
estudo realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA). O 
quadro abaixo mostra a distribuição espacial da ocupação do setor de turismo 
no Brasil, no ano de 2006. 
 
 
Segundo o estudo, as atividades ligadas ao turismo com maior índice de 
trabalhadores formais são as de hotelaria, pousadas e locação de veículos, 
enquanto alimentação, cultura e lazer são as atividades com maior índice de 
trabalhadores informais. 
Veja. Ed. n.º 2.065, 18/6/2008, p. 59 (com adaptações). 
 
Tendo o texto acima como referência, julgue os itens que se seguem. 
 
EC 77. Infere-se do texto que em 2002 havia mais de 1,65 milhão de 
trabalhadores no setor de turismo no Brasil. 
 
Resolução 
Digamos que o número de trabalhadores em 2002 no setor de turismo foi igual 
a . Se no período houve um aumento de 14%, devemos multiplicar por 
114%. Este valor final é igual a 1,869 milhão. 
 
 
Portanto, em 2002 havia menos de 1,65 milhão de trabalhadores no setor de 
turismo no Brasil. O item está errado. 
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144
EC 78. Em termos percentuais, se 25% dos trabalhadores informais do setor de 
turismo no Nordeste deixarem a informalidade, a porcentagem dos informais no 
Nordeste será inferior à porcentagem dos informais no Sudeste. 
 
Resolução 
 
Se 25% dos trabalhadores informais do setor de turismo no Nordeste deixarem 
a informalidade, restarão apenas 75% dos trabalhadores informais. Como os 
trabalhadores informais no Nordeste correspondem a 72% dos empregos no 
setor, teremos que calcular 75% de 72%. 
 
Como a porcentagem dos informais no Sudeste é igual a 52%, o item está 
errado. 
 
EC 79. Considerando que, na região Norte, em 2007, a quantidade de 
trabalhadores ligados ao turismo tenha crescido 10% com relação a 2006 e que 
as quantidades totais desses trabalhadores com empregos informais e formais 
sejam números diretamente proporcionais àqueles de 2006, nessa situação, 
em 2007, na região Norte, havia mais de 38.000 trabalhadores ligados ao 
turismo com emprego formal e menos de 110.000 com emprego informal. 
 
Resolução 
 
Havia, em 2006, um total de 135.000 trabalhadores no setor de turismo na 
região Norte. A quantidade de trabalhadores no setor de turismo no ano de 
2007 cresceu 10% em relação a 2006. Como 10% de 135.000 é igual a 13.500, 
concluímos que a quantidade de trabalhadores no setor na região Norte no ano 
de 2007 é igual a 148.500 (135.000+13.500). 
As quantidades totais desses trabalhadores com empregos informais e formais 
sejam números diretamente proporcionais àqueles de 2006: 74% e 26%, 
respectivamente. 
 
 
 
O item está certo. 
 
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145
EC 80. Das 5 regiões brasileiras, aquela que apresenta a maior diferença 
percentual entre o número de trabalhadores do setor de turismo com emprego 
informal e o número de trabalhadores com emprego formal é a região 
Nordeste. 
 
Resolução 
Sudeste: 
Sul: 
Centro-Oeste: 
Nordeste: 
Norte: 
O item está errado. Das 5 regiões brasileiras, aquela que apresenta a maior 
diferença percentual entre o número de trabalhadores do setor de turismo com 
emprego informal e o número de trabalhadores com emprego formal é a região 
Norte. 
EC 81. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na 
casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação ao de 
outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o 
consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao mês anterior. Então, 
o consumo de dezembro em relação ao de outubro é maior em: 
a) 15% 
b) 17% 
c) 18% 
d) 20% 
e) 22% 
Resolução 
Vamos colocar um valor de referência inicial (outubro) igual a 100. Temos um 
aumento de 30%, portanto devemos multiplicar por 100% + 30% = 130%. Em 
seguida temos uma diminuição de 10% e devemos multiplicar por 100% - 10% 
= 90%. 
 
Como o valor inicial do consumo em outubro foi igual a 100 e o consumo em 
dezembro foi igual a 117, o aumento foi de 17%. 
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146
Letra B 
EC 82. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de 
roupas, as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas 
em março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a março, o aumento 
nas vendas desta loja foi de: 
A) 80% 
B) 86% 
C) 92% 
D) 120% 
Resolução 
Temos dois aumentos sucessivos: 20% (devemos multiplicar por 100% + 20% 
= 120%) e 60% (devemos multiplicar por 100% + 60% = 160%). 
Sempre que não for dado uma referência inicial, vale a pena utilizar o valor 
100. Então, vamos supor que o valor inicial das vendas em janeiro foi igual a 
100. O valor das vendas em março será igual a: 
 
Temos, portanto, um aumento de 92%. 
Letra C 
EC 83. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos 
sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de: 
A) 58% 
B) 62% 
C) 66% 
D) 70% 
Resolução 
Temos agora dois descontos sucessivos. Vamos adotar a mesma estratégia de 
utilizar o valor inicial igual a 100. 
Para calcular o valor final depois do desconto de 30%, devemos multiplicar o 
valor inicial por 100% - 30% = 70%. Da mesma maneira, para dar o desconto 
de 40%, devemos multiplicar o valor por 100% - 40% = 60%. 
 
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147
Ora, se uma hipotética mercadoria custava 100 e agora custa 42, então o 
desconto total dado foi de 100 – 42 = 58. 
Desta forma, o desconto percentual foi de 58% (porque o valor inicial é igual a 
100). 
Letra A 
EC 84. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou 
todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em 
todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é de: 
a) 10% 
b) 12% 
c) 14% 
d) 16% 
e) 18% 
Resolução 
Continuando com a mesma estratégia. Digamos que todos os preços sejam 
iguais a 100. O dono da loja aumentou os preços em 20% (devemos multiplicar 
por 100% + 20% = 120%) e em seguida anunciou um desconto de 30% 
(devemos multiplicar por 100% - 30% = 70%). 
 
Ora, se as mercadorias custavam 100 e agora custam 84, então o desconto 
dado foi de 100 – 84 = 16. Como o valor inicial adotado foi igual a 100, o 
desconto percentual é de 16%. 
Letra D 
EC 85. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa companhia 
valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das 
ações é: 
A) o mesmo que o valor inicial 
B) maior em 2% que o valor inicial 
C) menor em 2% que o valor inicial 
D) maior em 4% que o valor inicial 
E) menor em 4% que o valor inicial 
Resolução 
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148
Vamos assumir que o valorinicial das ações é igual a 100. Se as ações 
valorizaram 20%, devemos multiplicar o valor de cada ação por 100% + 20% = 
120%. Com a desvalorização de 20%, devemos multiplicar por 100% - 20% = 
80%. 
 
Ora, se as ações valiam 100 e agora valem 96, elas desvalorizaram 4%. 
Letra E 
EC 86. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel 
de sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 
25% e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo aluguel passará a 
consumir a seguinte porcentagem do novo salário do trabalhador: 
a) 25% 
b) 35% 
c) 27% 
d) 37% 
e) 50% 
Resolução 
Digamos que o salário inicial do trabalhador é igual a 100. Como o aluguel 
consome 25% do seu salário, então o aluguel é igual a 25. 
O salário aumentou 25%. Devemos, então, multiplicar o salário por 100% + 
25% = 125%. 
 
O aluguel sofreu um aumento de 35%. Devemos, portanto, multiplicá-lo por 
100% + 35% = 135%. 
 
Para saber qual a porcentagem do salário consumida pelo aluguel, devemos 
dividir o valor do aluguel pelo salário do trabalhador e multiplicar por 100% 
(sempre que quisermos transformar uma fração em porcentagem devemos 
multiplicar por 100%). 
 
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149
Letra C 
EC 87. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações 
de uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham 
valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o 
dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi 
de: 
A) 50% 
B) 55% 
C) 60% 
D) 70% 
E) 75% 
Resolução 
Digamos que o valor inicial das ações de Pedro é igual a 100. Se elas 
valorizaram 25%, devemos multiplicar seu valor por 100% + 25% = 125%. 
 
No final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro 
que investi”. Ora, como o valor inicial era igual a 100 e seu valor foi dobrado, 
então o valor final é igual a 200. 
Queremos saber a valorização das ações no segundo ano. O valor inicial das 
ações no segundo ano era igual a 125. Para calcular a variação percentual 
utilizaremos a seguinte fórmula: 
 
 
Valor inicial: R$ 125,00. 
Valor final: R$ 200,00 . 
Diferença entre os valores: 200 – 125 = 75 
 
Letra C 
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150
EC 88. Fiscal do trabalho 2003 [ESAF] 
Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães 
hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo 
modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. 
Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica 
agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que 
na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães 
hospedados nessa estranha clínica 
é: 
a) 50 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 70 
 
Resolução: 
Na clínica temos 10 gatos. 90% destes agem como gatos e 10% agem como 
cães. Logo: 
⋅ 9 gatos agem como gatos 
⋅ 1 gato age como cão 
São x cães na clínica. Destes, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. 
Logo: 
⋅ 0,9 x cães agem com cães 
⋅ 0,1 x cães agem como gatos 
Somando tudo, temos: 
⋅ Agem como gatos: 9 gatos e x1,0 cães 
⋅ Agem como cães: 1 gato e x9,0 cães. 
Ao todo, na clínica, temos x cães e 10 gatos. Assim, o número total de animais 
na clínica é igual a 10+x 
O exercício disse que 20% dos animais desta clínica agem como gatos. Logo: 
)10(20,01,09 +×=+ xx 
220,01,09 +=+ xx 
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151
x10,07 = 
70=x 
São 70 cães hospedados na clínica. 
Letra E 
EC 89. ANA 2009 [ESAF] 
Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 
80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto 
desemboca um afluente, que tem um volume d’água 30% menor que o rio 
principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, 
que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor 
mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após 
se encontrarem. 
a) 41% 
b) 35% 
c) 45% 
d) 49% 
e) 55% 
 
Resolução: 
Outro exercício de porcentagem. 
Vamos jogar valores, para facilitar. 
Vamos supor que, para cada 1 litro de água do rio principal, temos 700 mL de 
água do afluente (pois este tem volume 30% menor). 
No rio principal, neste volume de 1 L, temos: 
· 200 mL de águas turvas (20% de 1 L) 
· 800 mL de águas claras (80% de 1 L) 
 
No afluente, dos 700 mL de água, temos: 
· 490 mL de águas turvas (70% de 700 mL) 
· 210 mL de águas claras (30% de 700 mL) 
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152
Somando tudo, temos um volume de 1.700 mL. Deste total, são 690 mL de 
águas turvas ( 200 490= + ) 
 
Assim, o percentual de águas turvas fica: 
%41
700.1
690
≅ 
Letra A 
EC 90. AFRF 2009 [ESAF] 
Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total 
dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 
do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, 
é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa 
repartição que são homens não concursados? 
a) 21% 
b) 19% 
c) 42% 
d) 56% 
e) 32% 
 
Resolução. 
Vamos jogar valores. Vamos supor que a repartição tem 60 pessoas. 
3/5 dos funcionários são concursados. 
36605/3 =× 
São 36 concursados. 
 
1/3 do total de funcionários são mulheres. 
2060
3
1
=× 
São 20 mulheres. Consequentemente, o número de homens é 40, de modo 
que o total de pessoas seja 60. 
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153
 
1/4 dos funcionários são mulheres concursadas. 
1560
4
1
=× 
São 15 mulheres concursadas. Já sabemos que o total de concursados é 36. 
Assim, o número de homens concursados é: 211536 =− . 
 
Como temos 40 homens e, destes, 21 são concursados, então 19 homens não 
são concursados. 
O percentual de homens não concursados, em relação ao total de funcionários, 
é: 
=
60
19
0,32= 32% 
Letra E 
EC 91. SRF 2009 [ESAF] 
Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de 
R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse 
período, pode-se afirmar que: 
a) O dolar se desvalorizou 25% em relação ao real. 
b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. 
c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. 
d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. 
e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 
 
Resolução. 
O valor do dólar foi reduzido de 50 centavos, num total de R$ 2,50. 
%20
50,2
50,0
= 
O dólar se desvalorizou 20% em relação ao real. 
 
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154
Agora vamos analisar qual a valorização do real em relação ao dólar. 
No início do período, R$ 2,50 correspondiam a 1 dólar. Logo: 
R$ 1,00 = 
5,2
1
dólares = 0,40 dólares 
No início do período 1 real corresponde a 40 centavos de dólar. 
No final do período, 2 reais correspondem a 1 dólar. Logo: 
R$ 1,00 = 
2
1
 dólares = 0,50 dólares. 
Ou seja, no final do período, 1 real corresponde a 50 centavos de dólar. 
Assim, o real se valorizou 10 centavos de dólar. Qual a valorização, em relação 
ao seu valor inicial? 
%25
40,0
10,0
= 
O real se valorizou 25% em relação ao dólar. 
Letra C 
Observe que os percentuais não são iguais. Dizemos que uma desvalorização 
de 20% do dólar equivale a uma valorização de 25% do real. 
Isto ocorre porque, emcada caso, a base de cálculo para definição do 
percentual é diferente. 
No caso do dólar, a base de cálculo era o valor maior (2,50). 
No caso do real, a base de cálculo era o valor menor (0,40). 
 
Apenas a título de exemplo, vamos fazer a seguinte conta. O real se valorizou 
10 centavos de dólar no período. Este valor representa um percentual de 20% 
em relação ao valor do fim do período. 
0,10 = 20% de 0,50. 
Agora sim, o percentual é igual ao calculado para o caso da desvalorização do 
dólar. Isto ocorre porque, agora sim, estamos trabalhando com a mesma base 
para cálculo do percentual (em ambos os casos, a base seria o maior valor – 
0,50 centavos de dólar ou 2,50 reais). 
 
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Relação das questões comentadas nesta aula 
EC 1. STN 2005 [ESAF] 
Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, 
X4}. Sabendo-se que a operação Ȍ é definida por A Ȍ B = (A – B) ы (B – A), 
então a expressão (A Ȍ B) Ȍ B é dada por: 
a) { X1, X5, X4} 
b) { X1, X2} 
c) { X1, X2, X3, X4} 
d) {X4, X6, X5} 
e) { X1, X6} 
EC 2. MPU 2004 [ESAF] 
Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes 
esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 
- 20 alunos praticam vôlei e basquete; 
- 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 
- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 
- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos 
que praticam só vôlei; 
- 17 alunos praticam futebol e vôlei; 
- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. 
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a 
a) 93. 
b) 110. 
c) 103. 
d) 99. 
e) 114. 
EC 3. CGU 2004 [ESAF] 
Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação 
popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução 
da criminalidade. As propostas (referidas como “A”, “B” e “C”) não eram 
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157
mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou 
contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a 
favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo 
menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se 
favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, 
ainda, que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as 
três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam 
favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: 
a) 17% 
b) 5% 
c) 10% 
d) 12% 
e) 22% 
EC 4. CGU 2006 [ESAF] 
Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um 
curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada 
aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% 
dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês 
e 40% no de Inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em 
todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é 
igual a: 
a) 30 
b) 10 
c) 15 
d) 5 
e) 20 
EC 5. SRF 2009 [ESAF] 
Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros 
para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 
estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam 
também inglês e 3 estudam também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 
7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e 
espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que estudam 
apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos 
os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, 
quantos alunos dessa série estudam nessa escola? 
a) 96. 
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158
b) 100. 
c) 125. 
d) 115. 
e) 106. 
EC 6. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo 
de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário 
responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte 
resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números 
naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos 
substituídos por letras.” 
 M A R R A 
 + M A R R A 
 T O R T A 
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, 
ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros 
do acervo dessa biblioteca é um número 
a) menor que 70000. 
b) compreendido entre 70000 e 75000. 
c) compreendido entre 75000 e 80000. 
d) compreendido entre 80000 e 85000. 
e) maior que 85000. 
EC 7. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada 
letra representa um algarismo 
 
O valor de A+B+C é: 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
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EC 8. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois 
números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, 
Y, Z e T. 
 
Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
EC 9. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima 
periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta 
dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é 
igual a: 
 
A) 88 
B) 89 
C) 90 
D) 91 
E) 92 
EC 10. (ANVISA 2010/CETRO) Considere e . Desse 
modo, b/a vale 
a) cento e vinte trilhões. 
b) cento e vinte bilhões. 
c) um bilhão e duzentos milhões. 
d) cento e vinte milhões. 
e) um milhão, cento e vinte mil. 
EC 11. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos: 
N, dos números naturais. 
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Z, dos números inteiros. 
Q, dos números racionais. 
R, dos números reais. 
Assinale a alternativa correta. 
(A) a, b N temos a b N 
(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro. 
(C) N Z Q R 
(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z 
(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q. 
EC 12. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em 
relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes 
afirmações: 
I. 
II. N Z Q R 
III. 
IV. 
V. 
Considere: 
Ir = Conjunto dos números irracionais. 
N = Conjunto dos números naturais. 
Q = Conjunto dos números racionais. 
R = Conjunto dos números reais. 
Z = Conjunto dos números inteiros. 
As afirmações verdadeiras estão contidas em 
a) I apenas. 
b) I e III apenas. 
c) I, II e V apenas. 
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d) II, III, IV e V apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
EC 13. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 
2005/FEPESE) Considere os conjuntos: 
 
N dos números naturais, 
Q dos números racionais, 
Q+ números racionais não-negativos, 
R dos números reais. 
O número que expressa 
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não 
de N. 
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+. 
c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N. 
d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+. 
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q. 
EC 14. (TCE-MG FCC 2007)Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que 
X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, 
respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número 
compreendido entre 
a) 800 e 1 000 
b) 600 e 800 
c) 400 e 600 
d) 200 e 400 
e) 100 e 200 
EC 15. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 
a 150 todas as páginas de um livro? 
a) 327 
b) 339 
c) 342 
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162
d) 345 
e) 350 
EC 16. (TCM/SP 2006/CETRO) Um médico atende diariamente 5 clientes com 
hora marcada e um número x de clientes sem hora marcada. Dos clientes que 
marcam hora para ser atendido, ele cobra R$ 70,00 a consulta e dos clientes 
que não marcam hora R$ 55,00. Ao final de um determinado dia ele 
contabilizou R$ 735,00. O número de clientes atendidos neste dia foi de 
(A) 4 clientes. 
(B) 7 clientes. 
(C) 10 clientes. 
(D) 12 clientes. 
(E) 21 clientes. 
EC 17. (Delegado de Polícia - Pol. Civil – FCC 2006) Uma pessoa fez uma 
compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de 
R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o 
pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então: 
a) sobraram 7 moedas. 
b) sobraram 8 moedas. 
c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. 
d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. 
e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. 
EC 18. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) João pensou em um número e 
fez as seguintes operações sucessivas: subtraiu 5, multiplicou o resultado por 
3, depois subtraiu 4 e finalmente dividiu por 2. Se o resultado foi 10, o número 
que João pensou foi: 
a) 8 
b) 17 
c) 11 
d) 15 
e) 13 
EC 19. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Um carro percorreu a distância de 955 km em 
3 dias. No primeiro dia, percorreu 1/5 dessa distância. No segundo dia, 
percorreu o dobro da distância percorrida no primeiro. No terceiro dia, para 
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percorrer o restante da distância à velocidade constante de 80 km/h, o carro 
gastou 
A) 4 h 30 min 40 s. 
B) 4 h 46 min 30 s. 
C) 4 h 48 min 30 s. 
D) 4 h 50 min 40 s. 
EC 20. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é 
dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa 
região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a 
densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, 
as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade 
de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse 
dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade 
é de: 
(A) 57 habitantes / km2 
(B) 58 habitantes / km2 
(C) 59 habitantes / km2 
(D) 15 habitantes / km2 
(E) 155 habitantes / km2 
EC 21. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 
funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo 
feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e 
o número do sexo feminino. 
(A) 4/3 
(B) 3/5 
(C) 3/7 
(D) 2/5 
(E) 5/3 
EC 22. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que 
A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então 
necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a: 
a) A / A 
b) A / B 
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c) A / C 
d) B / C 
e) - (B/B) 
EC 23. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a 
largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área 
desse retângulo em centímetros quadrados? 
(A) 120 
(B) 150 
(C) 80 
(D) 180 
(E) 340 
EC 24. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira 
proporcional dos números 1 e 5 é igual a 
(A) 15. 
(B) 20. 
(C) 25. 
(D) 30. 
(E) 35. 
EC 25. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, 
então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é 
igual a: 
(A) 1/2 
(B) 1/4 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 4/5 
EC 26. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 
14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de 
combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio, 
(A) 360 Km. 
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(B) 420 Km. 
(C) 460 Km. 
(D) 560 Km. 
(E) 600 Km. 
EC 27. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que 
x+y=49, o valor de x e y será de: 
(A) x = 20; y = 29 
(B) x = 14; y = 35 
(C) x = 29; y = 20 
(D) x = 35; y = 14 
(E) x = 15; y = 34 
EC 28. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam 
diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. 
Determine o valor de ( x + y ). 
(A) 92 
(B) 123 
(C) 132 
(D) 154 
(E) 166 
EC 29. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de 
moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é: 
(A) 25% 
(B) 30% 
(C) 33% 
(D) 38% 
(E) 40% 
EC 30. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma 
entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é 
(A) 10 
(B) 12 
(C) 15 
(D) 20 
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(E) 25 
EC 31. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, 
Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende 
dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. 
É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é: 
(A) R$ 1.500,00 
(B) R$ 1.250,00 
(C) R$ 1.000,00 
(D) R$ 750,00 
(E) R$ 500,00 
EC 32. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por 
um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 
dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um 
trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu 
(A) R$590,00. 
(B) R$680,00. 
(C) R$1.180,00. 
(D) R$1.770,00. 
(E) R$2.420,00. 
EC 33. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida 
entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e 
na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; 
Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que 
o mais velho receberá 
(A) R$1 200,00. 
(B) R$1 280,00. 
(C) R$1 600,00. 
(D) R$2 200,00. 
(E) R$2 400,00. 
EC 34. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição 
Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na 
razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos 
de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o 
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outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva 
entre os números de processos que cada um arquivou é 
 
(A) 48 
(B) 50 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
EC 35. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de 
homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de 
homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: 
A) 46 
B) 47 
C) 48 
D) 49 
E) 50 
EC 36. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes 
inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte 
são, respectivamente: 
a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00 
b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00 
c) R$ 5.000,00 eR$ 5.000,00 
d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00 
e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00 
EC 37. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na 
razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: 
a) 40° 
b) 70° 
c) 75° 
d) 80° 
e) 90° 
EC 38. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 
alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que 
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cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do 
filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho 
do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais 
velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois 
filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio? 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
EC 39. (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
 
O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 
1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância 
real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a 
distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 
cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que 
a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é 
A) inferior a 1.000 km. 
B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km. 
C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km. 
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D) superior a 1.150 km. 
EC 40. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de 
uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente 
proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados 
corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-
se corretamente que 
A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário 
de Jaime. 
B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. 
C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00. 
D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. 
EC 41. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: 
um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, 
Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando 
para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança. 
“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes 
diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”. 
Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, 
havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi: 
a) R$ 142.500,00 
b) R$ 154.000,00 
c) R$ 165.500,00 
d) R$ 168.000,00 
e) R$ 172.500,00 
EC 42. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é 
inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando 
são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem 
produzidas 12 unidades, o custo total será igual a: 
a) 625/25 
b) 625/24 
c) 625/16 
d) 625/15 
e) 625/12 
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EC 43. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao 
quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá 
valer: 
a) 1/16 
b) 15/16 
c) 45/16 
d) 135/16 
e) 625/16 
EC 44. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente 
enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta 
mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 
litros? 
(A) 13minutos e 15 segundos 
(B) 14 minutos e 10 segundos 
(C) 10 minutos e 14 segundos 
(D) 20 minutos 
(E) 17 minutos e 3 segundos 
EC 45. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra 
pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas 
necessárias para que y realize essa tarefa é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
EC 46. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 
dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 
motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, 
trabalhando 12 horas por dia? 
(A) 12 dias 
(B) 10 dias 
(C) 15 dias 
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(D) 9 dias 
(E) 6 dias 
EC 47. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 
empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a 
mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados 
que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é 
igual a 
A) 118. 
B) 124. 
C) 138. 
D) 144. 
EC 48. (TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma 
repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem. 
 
Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, 
em um dia, menos de 35 processos. 
EC 49. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir 
determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para 
completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia. 
 
EC 50. CGU 2004 [ESAF] 
Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre 
a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 
minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele 
saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do 
início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de 
que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente 
reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, 
chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância 
entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de 
Lúcio a seu local de trabalho é igual a: 
a) 1.200m 
b) 1.500m 
c) 1.080m 
d) 760m 
e) 1.128m 
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EC 51. ANA 2009 [ESAF] 
Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado 
com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada é na primeira 
bandeirinha e a chegada na última. O corredor que está na frente leva 
exatamente 13 segundos para passar pela 13ª bandeirinha. Se ele mantiver a 
mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais próximo do tempo 
em que ele correrá o percurso todo será de: 
a) 17,54 segundos. 
b) 19 segundos. 
c) 20,58 segundos. 
d) 20 segundos. 
e) 21,67 segundos. 
EC 52. Fiscal Trabalho 2003 [ESAF] 
Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um 
com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, 
mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. 
Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já 
Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após 
Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a 
uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa 
até a casa de Pedro, foi de: 
a) 60 minutos 
b) 50 minutos 
c) 80 minutos 
d) 90 minutos 
e) 120 minutos 
EC 53. MPU 2004/2 [ESAF] 
Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x 
quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma 
rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por hora. 
Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião YPS, após sua decolagem, 
levará para alcançar oavião XIS é igual a 
a) 2 / (x+y) horas. 
b) x / (y-x) horas. 
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c) 1 / 2x horas. 
d) 1/ 2y horas. 
e) x / 2 (y-x) horas. 
EC 54. STN 2008 [ESAF] 
Uma equipe de três policiais está em uma viatura perseguindo o carro de 
Telma e Louise que corre por uma estrada reta onde existe um túnel construído 
também em linha reta. Antes de chegarem até o túnel, os policiais avistam o 
carro de Telma e Louise que já está dentro do túnel ņ, exatamente a 200 
metros de uma das extremidades. Na posição em que o carro das moças se 
encontra, elas acreditam que têm duas opções de fuga: continuar dirigindo no 
sentindo em que se encontram ou dirigirem em direção à polícia. A partir da 
velocidade do carro de Telma e Louise e da velocidade da viatura, os policiais 
concluíram, acertadamente, que as moças não poderão fugir se forem 
capturadas no túnel. Ou seja, os policiais poderão apanhá-las numa ou noutra 
extremidade do túnel, independentemente da direção que elas tomarem. Sabe-
se que o carro de Telma e Louise e a viatura dos policiais locomovem- se a 
velocidades constantes. Sabe-se, também, que o túnel tem um quilômetro de 
comprimento. Desse modo, conclui-se que a relação entre a velocidade da 
viatura e a do carro das moças é dada por: 
a) 3/2 
b) 3/5 
c) 7/5 
d) 3/4 
e) 5/3 
EC 55. Fiscal do Trabalho 2003 [ESAF] 
Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. 
Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. 
Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a velocidade 
de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto 
desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo 
tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a 
seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O 
número de arestas do polígono é: 
a) 10 
b) 15 
c) 12 
d) 14 
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e) 11 
EC 56. CGU 2004 [ESAF] 
Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina e no mesmo 
horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da 
piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da 
piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em 30 
segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder 
qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-
se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando 
em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão 
fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de 
vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é: 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 20 
EC 57. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com 
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu 
peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A 
seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez 
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo 
um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu 
regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou 
um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para 
Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a 
esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início 
dessa seqüência de visitas, ficou: 
a) exatamente igual 
b) 5% maior 
c) 5% menor 
d) 10% menor 
e) 10% maior 
EC 58. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida 
de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é 
R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período. 
a) 12% 
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b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 30% 
EC 59. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA 
2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou 
que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 
02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a 
ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005, 
será necessário um aumento de 
a) 60% 
b) 80% 
c) 150% 
d) 160% 
e) 180% 
EC 60. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um 
número 20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração: 
(A) Dois terços 
(B) Cinco quartos 
(C) Seis quintos 
(D) Sete quintos 
(E) Oito sextos 
EC 61. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse 
valor, ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o 
que sobrou do salário de Flávio foi 
A) inferior a R$ 180,00. 
B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. 
C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. 
D) superior a R$ 280,00. 
EC 62. (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
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De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da 
lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em 
A) exatamente 25% do valor à vista. 
B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. 
C) exatamente 30% do valor à vista. 
D) mais de 30% do valor à vista. 
(TJBA 2003/CESPE-UnB) 
 
Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos 
analisados em uma repartição pública e do número de servidores que 
analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade 
em um dia é o resultado do quociente entre a quantidade de processos 
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analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses 
processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens. 
 
EC 63. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos 
aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa atividade 
na segunda-feira. 
EC 64. Se, na quarta-feira, a produtividade foi de 24 processos por servidor, 
então menos de 70 processos foram analisados nesse dia. 
EC 65. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira. 
EC 66. Considere que 81 processos ficaram sem ser analisados nessa semana 
e que deveriam ser analisados mantendo-se a mesma produtividade da sexta-
feira. Nessa situação, seriam necessários mais de 12 servidores para cumprir 
essa tarefa. 
(PMAC 2009/CESPE-UnB) O tiro certeiro da lei 
Em São Paulo, o índice de homicídios caiu drasticamente — graças também à 
lei que restringiu o acesso às armas de fogo. Depois dessa lei, o número de 
homicídios na capital paulista diminuiu em 61% nos assassinatos premeditados 
e em 27% nos assassinatos cometidos por impulso. Esses números comparam 
o número de assassinatos ocorridos em 2003 com a média de homicídios 
ocorridos em 2006 e 2007, na capital paulista. Nos homicídios ocorridos na 
capital paulista, enquanto o uso de armas de fogo diminuiu, o de facas e outros 
instrumentos aumentou: 
 
 
Com relação ao texto acima e considerando que a média de homicídios em 
2006/2007, na capital paulista, tenha sido 30% superior à quantidade de 
homicídios ocorridos em 2003 nessa mesma cidade, julgue os itens seguintes. 
 
EC 67. Na situação apresentada, a quantidade de homicídios com o uso de 
armas de fogo em 2003 foi superior à média dos homicídios em 2006/2007 
praticados com o uso desse tipo de instrumento. 
EC 68. A média em 2006/2007 da quantidade de homicídioscom o uso de arma 
branca foi superior ao triplo dessas ocorrências em 2003. 
(PMAC 2009/CESPE-UnB) A poluição dos carros paulistanos 
São Paulo começou neste ano a fazer a inspeção ambiental dos veículos 
registrados na cidade. Os movidos a dísel são os primeiros. 
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Veja os números dos veículos na capital paulista: 
· veículos registrados: 6,1 milhões; 
· está fora de circulação ou trafega irregularmente: 1,5 milhão; 
· movidos a dísel: 800.000; 
· cumprem os limites de emissão de poluentes: 20% dos veículos 
inspecionados. 
Idem, p. 63 (com adaptações). 
Tendo o texto acima como referência, julgue os itens seguintes. 
 
EC 69. Mais de 25% dos veículos registrados na capital paulista estão fora de 
circulação ou trafegam irregularmente. 
 
EC 70. Menos de 3/4 dos veículos registrados na capital paulista circulam 
regularmente. 
EC 71. Suponha que na capital paulista, entre os veículos registrados, não haja 
nenhum veículo bicombustível, que os únicos combustíveis disponíveis sejam 
dísel, gasolina e álcool, e que a quantidade de veículos movidos a álcool está 
para 3 assim como a quantidade de veículos movidos a gasolina está para 7. 
Nesse caso, em São Paulo há mais de 3,7 milhões de veículos movidos a 
gasolina e menos de 1,6 milhão de veículos movidos a álcool. 
EC 72. Suponha que 32% dos veículos registrados na cidade de São Paulo 
passaram pela inspeção ambiental. Nesse caso, mais de 400.000 dos veículos 
registrados na capital paulista cumprem os limites de emissão de poluentes. 
EC 73. Considere que 18 agentes do departamento de trânsito da cidade de 
São Paulo conseguem fazer a inspeção ambiental de 360 veículos em 5 horas 
de trabalho. Considere também que todos os agentes trabalham com a mesma 
eficiência e que o tempo gasto para inspecionar cada veículo é o mesmo para 
qualquer tipo de veículo. Nessa situação, para inspecionar todos os veículos 
movidos a dísel em 400 horas de trabalho serão necessários mais de 450 
agentes. 
EC 74. Se 3/32 dos veículos registrados na cidade de São Paulo estão fora de 
circulação, então mais de 14% dos veículos registrados estão trafegando 
irregularmente. 
EC 75. Suponha que na cidade de São Paulo não há nenhum veículo 
bicombustível e que os combustíveis disponíveis são álcool, gasolina, dísel e 
gás liquefeito de petróleo (GLP). Suponha também que as quantidades de 
veículos movidos a álcool, gasolina e GLP são números diretamente 
proporcionais a 5, 9, e 2. Nessa situação, é correto afirmar que mais de 50% 
dos veículos registrados na capital paulista são movidos a gasolina. 
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EC 76. Considere que a diferença entre a quantidade de veículos fora de 
circulação e a daqueles que trafegam irregularmente seja superior a 200.000 
veículos. Nesse caso, entre os veículos registrados na capital paulista e que 
estão fora de circulação ou que trafegam irregularmente, mais da metade estão 
fora de circulação. 
(PMCE 2008/CESPE-UnB) Turismo no Brasil: tomado pela informalidade 
O turismo brasileiro atravessa um período de franca expansão. Entre 2002 e 
2006, o número de pessoas que trabalham nesse setor aumentou 14% e 
chegou a 1,869 milhão. Cerca de 60% desse contingente de trabalhadores está 
no mercado informal, sem carteira assinada. A estatística faz parte de um 
estudo realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA). O 
quadro abaixo mostra a distribuição espacial da ocupação do setor de turismo 
no Brasil, no ano de 2006. 
 
 
Segundo o estudo, as atividades ligadas ao turismo com maior índice de 
trabalhadores formais são as de hotelaria, pousadas e locação de veículos, 
enquanto alimentação, cultura e lazer são as atividades com maior índice de 
trabalhadores informais. 
Veja. Ed. n.º 2.065, 18/6/2008, p. 59 (com adaptações). 
Tendo o texto acima como referência, julgue os itens que se seguem. 
EC 77. Infere-se do texto que em 2002 havia mais de 1,65 milhão de 
trabalhadores no setor de turismo no Brasil. 
EC 78. Em termos percentuais, se 25% dos trabalhadores informais do setor de 
turismo no Nordeste deixarem a informalidade, a porcentagem dos informais no 
Nordeste será inferior à porcentagem dos informais no Sudeste. 
EC 79. Considerando que, na região Norte, em 2007, a quantidade de 
trabalhadores ligados ao turismo tenha crescido 10% com relação a 2006 e que 
as quantidades totais desses trabalhadores com empregos informais e formais 
sejam números diretamente proporcionais àqueles de 2006, nessa situação, 
em 2007, na região Norte, havia mais de 38.000 trabalhadores ligados ao 
turismo com emprego formal e menos de 110.000 com emprego informal. 
EC 80. Das 5 regiões brasileiras, aquela que apresenta a maior diferença 
percentual entre o número de trabalhadores do setor de turismo com emprego 
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informal e o número de trabalhadores com emprego formal é a região 
Nordeste. 
EC 81. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na 
casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação ao de 
outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o 
consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao mês anterior. Então, 
o consumo de dezembro em relação ao de outubro é maior em: 
a) 15% 
b) 17% 
c) 18% 
d) 20% 
e) 22% 
EC 82. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de 
roupas, as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas 
em março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a março, o aumento 
nas vendas desta loja foi de: 
A) 80% 
B) 86% 
C) 92% 
D) 120% 
EC 83. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos 
sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de: 
A) 58% 
B) 62% 
C) 66% 
D) 70% 
EC 84. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou 
todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em 
todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é de: 
a) 10% 
b) 12% 
c) 14% 
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d) 16% 
e) 18% 
EC 85. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa companhia 
valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das 
ações é: 
A) o mesmo que o valor inicial 
B) maior em 2% que o valor inicial 
C) menor em 2% que o valor inicial 
D) maior em 4% que o valor inicial 
E) menor em 4% que o valor inicial 
EC 86. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel 
de sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 
25% e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo aluguel passará a 
consumir a seguinte porcentagem do novo salário do trabalhador: 
a) 25% 
b) 35% 
c) 27% 
d) 37% 
e) 50% 
EC 87. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações 
de uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham 
valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o 
dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi 
de: 
A) 50% 
B) 55% 
C) 60% 
D) 70% 
E) 75% 
EC 88. Fiscal do trabalho 2003 [ESAF] 
Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães 
hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo 
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modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. 
Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica 
agem como gatos e que os 80% restantesagem como cães. Sabendo-se que 
na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães 
hospedados nessa estranha clínica 
é: 
a) 50 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 70 
EC 89. ANA 2009 [ESAF] 
Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 
80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto 
desemboca um afluente, que tem um volume d’água 30% menor que o rio 
principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, 
que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor 
mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após 
se encontrarem. 
a) 41% 
b) 35% 
c) 45% 
d) 49% 
e) 55% 
EC 90. AFRF 2009 [ESAF] 
Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total 
dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 
do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, 
é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa 
repartição que são homens não concursados? 
a) 21% 
b) 19% 
c) 42% 
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d) 56% 
e) 32% 
EC 91. SRF 2009 [ESAF] 
Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de 
R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse 
período, pode-se afirmar que: 
a) O dolar se desvalorizou 25% em relação ao real. 
b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. 
c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. 
d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. 
e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 
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Gabaritos 
01. C 
02. D 
03. A 
04. A 
05. E 
06. D 
07. E 
08. D 
09. B 
10. B 
11. C 
12. C 
13. B 
14. B 
15. C 
16. D 
17. C 
18. E 
19. B 
20. A 
21. E 
22. A 
23. B 
24. C 
25. C 
26. D 
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27. B 
28. C 
29. E 
30. D 
31. D 
32. D 
33. E 
34. C 
35. D 
36. B 
37. D 
38. A 
39. C 
40. A 
41. E 
42. C 
43. D 
44. E 
45. E 
46. D 
47. D 
48. CERTO 
49. CERTO 
50. A 
51. C 
52. A 
53. E 
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186
54. E 
55. B 
56. E 
57. D 
58. C 
59. C 
60. C 
61. D 
62. A 
63. CERTO 
64. ERRADO 
65. CERTO 
66. ERRADO 
67. CERTO 
68. CERTO 
69. ERRADO 
70. ERRADO 
71. CERTO 
72. ERRADO 
73. CERTO 
74. CERTO 
75. ERRADO 
76. CERTO 
77. ERRADO 
78. ERRADO 
79. CERTO 
80. ERRADO 
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81. B 
82. C 
83. A 
84. D 
85. E 
86. C 
87. C 
88. E 
89. A 
90. E 
91. C