Tópico 13 - Soluções Matemáticas

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Relações Trigonométricas
AMPLIAR O CONCEITO DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIANGULO RETÂNGULO; RECONHECER
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS; APLICAR EM EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
Razões trigonométricas são trabalhadas em um triangulo retângulo. O triangulo retângulo deve possuir um
ângulo reto (90º) os demais podem variar desde que a somo dos ângulos internos somem 180º.
Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos,
conforme podemos observar na figura 1. (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
No triangulo retângulo podemos extrair as relações: Seno, Cosseno e Tangente. Considerando um triângulo
retângulo (figura 2) temos: (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
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Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da
hipotenusa. 
No triângulo retângulo podemos observar essa relação, observe o triângulo ABC apresentado na figura 3:
(Iezzi, 1993; Machado, 1986)
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Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da
hipotenusa. 
No triângulo retângulo podemos observar essa relação, observe o triângulo ABC apresentado na figura 4:
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a
esse ângulo. 
No triângulo retângulo podemos observar essa relação, observe o triângulo ABC apresentado na figura 5:
(Iezzi, 1993; Machado, 1986)
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Exemplo: Considere o triângulo retângulo ABC, e calcule os valores das relações seno, cosseno e tangente
dos ângulos  B e C.
 
Observações: (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
 
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1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.
Dessa forma temos:
2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.
3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois
qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.
4. Relação de Pitágoras (TEOREMA DE PITÁGORAS): O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.  (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Conhecendo as relações do seno, cosseno e tangente extraídas de um triângulo retângulo podem obter seus
valores dos ângulos 30º, 45º e 60º. Para tal considere um quadrado onde através de sua diagonal obtemos
um triângulo reto cujo demais ângulo formados são de 45º onde obtemos os valores do seno cosseno e
tangente de 45º (figura 6) para obter os valores de seno cosseno e tangente de 30º e 60º consideramos um
triângulo equilátero cujos 3 lados são iguais considerando a altura do mesmo obtemos dois triângulos
retângulos cujos demais ângulos formados são de 30º e 60º, conforme podemos observar na figura 7. (Iezzi,
1993; Machado, 1986)
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Seno, cosseno e tangente de 30º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, considerando a figura 7 temos:
(Iezzi, 1993; Machado, 1986)
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Seno, cosseno e tangente de 45º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, considerando a figura 6 temos:
(Iezzi, 1993; Machado, 1986)
Seno, cosseno e tangente de 60º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, considerando a figura 7 temos:
(Iezzi, 1993; Machado, 1986)
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Resumindo: podemos colocar em uma tabela os valores do seno, cosseno e tangente para 30º, 45º e 60º
como segue: (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
Exercícios Resolvidos:
1. Determine o valor da tangente do Angulo  indicado no triângulo a seguir. (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
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2. Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca um teodolito a 100m de sua base e obtém um
ângulo de 30º, conforme ilustra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do chão, qual é a
altura aproximada da torre? (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
3. Um avião levanta voo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a horizontal. A que altura este estará e qual a
distância percorrida quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida? (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
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4. No triângulo retângulo abaixo, qual é o valor do cosseno de  e o valor de ? (Iezzi, 1993; Machado, 1986)
Resolução:
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ATIVIDADE FINAL
Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio
fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é a altura do prédio? (Iezzi,
1993; Machado, 1986)
 
A. 6m
B. 16m
C. 5m
D. 7m
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A. 
B. 
C. 
D. 
A. 
B. x=4
C. 
D. x=5
REFERÊNCIA
IEZZI, Gelson, et al. Fundamentos de matemática elementar: Trigonometria. Volume 3. 6ª edição. São Paulo:
Atual, 1993.
MACHADO, A. S. Matemática: trigonometria e projeções. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1986.
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