Grandezas Incomensuráveis

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Grandezas Incomensuráveis
Aluna: Liani Belmont Santos.
Prof(a): Carine Girardi Manfio.
Disciplina: Fundamentos da Análise Matemática.
História
Uma questão com que lidavam os matemáticos gregos do tempo de Pitágoras (580 - 500 a.C. aproximadamente) - e mesmo durante boa parte do 5º século a.C. - era a de comparar grandezas da mesma espécie, como dois segmentos de reta, duas áreas ou dois volumes.
 Naquela época, pensava-se que os números racionais fossem suficientes para comparar segmentos de reta. E uma simples reflexão revela que essa realmente é uma ideia muito razoável. 
Foram os próprios pitagóricos que descobriram grandezas incomensuráveis, provavelmente entre 450 e 400 a.C.; e, ao que tudo indica, isto se fez através de um argumento geométrico.
No caso de dois segmentos retilíneos AB e CD, dizer que a razão AB/CD é o número racional m/n, significava para eles (e ainda significa para nós) que existia um terceiro segmento EF tal que AB fossem vezes EF e CD n vezes esse mesmo segmento EF. Na figura 1 ilustramos essa situação com m=8 e n=5.
Nossa intuição geométrica parece dizer-nos que há de existir um certo segmento EF, talvez muito pequeno, mas satisfazendo aos propósitos desejados. Dois segmentos nessas condições são ditos comensuráveis, justamente por ser possível medi-los ao mesmo tempo, com a mesma unidade EF, ou seja, possuem um submúltiplo comum (EF).
Existem segmentos AB e CD sem unidade comum EF, os chamados segmentos incomensuráveis. Esse é um fato que contraria nossa intuição geométrica, e por isso mesmo, a descoberta de grandezas incomensuráveis na Antiguidade representou um momento de crise no desenvolvimento da Matemática.
A razão entre os comprimentos de dois segmentos comensuráveis é um número racional. Por outro lado, a razão entre os comprimentos de dois segmentos incomensuráveis é um número irracional, e o conceito de incomensurabilidade é correspondente ao de número irracional.
Conceito de Comensurável
Na matemática dizemos que duas grandezas (valores, medidas de segmentos, etc...) são comensuráveis quando o quociente de seus valores equivale a um número racional, ou seja pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (usaremos m/n, com n diferente de nulo).
O que são grandezas incomensuráveis?
São grandezas que não tem medida comum com outro ou outros segmentos.
A existência desses segmentos que não são comensuráveis com nenhuma unidade de medida em contraposição aos números racionais que estão associados a medidas de segmentos comensuráveis, deu origem ao conjunto dos números irracionais. Ou seja, para cada segmento incomensurável, existe um número irracional associado à medida. Exemplos:
Os lados de um retângulo áureo.
O lado e a diagonal de um pentágono regular.
O lado e a diagonal de um quadrado.
Demonstração
Na figura ao lado representamos um quadrado com diagonal 𝛼 = AB e lado 𝛽 = AC. 
Suponhamos que 𝛼 e 𝛽 sejam comensuráveis. Então existirá um terceiro segmento que seja submúltiplo comum de 𝛼 e 𝛽 . 
Temos então: 
𝛼= AB = AD + BD = 𝛽 + BD𝛼 = 𝛽+ BD (1) 
𝛽= BC = BE + EC = BE + BD 𝛽 = BE + BD (2) 
Se um segmento é submúltiplo comum de 𝛼 e 𝛽, concluímos, por (1), que também é submúltiplo de BD. Daqui e de (2) segue-se que também é submúltiplo de BE. Provamos assim que se houver um segmento 𝛼 que seja submúltiplo comum de 𝛽 = AB e 𝛽 = AC, então o mesmo segmento 𝛼 será submúltiplo comum de BE e BD, segmentos esses que são a diagonal e o lado do quadrado BDEF.
Portanto saímos do quadrado original ao quadrado BDEF e pode ser repetida com este último para chegarmos a um quadrado menor ainda; e assim por diante, indefinidamente e esses quadrados văo se tornando arbitrariamente pequenos, pois, como é fácil ver, as dimensőes de cada quadrado diminuem em mais da metade quando passamos de um deles a seu sucessor. Assim o segmento deverá ser submúltiplo comum do lado e da diagonal de um quadrado tão pequeno. ABSURDO!!! Pois rejeitamos a suposiçăo inicial de que o lado AC e a diagonal AB do quadrado original sejam comensuráveis. Portanto o lado e a diagonal de qualquer quadrado săo grandezas incomensuráveis. 
Veja:
Referências
ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciaturas. Editora. EDGARD BLUCHER LTDA. São Paulo. 2001. 
Grandezas Incomensuráveis e Números Irracionais. Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~backes/AnexosPDF/IntRC-2018/RPM05%20Grandezas%20incomensuraveis%20e%20numeros%20irracionais.pdf . Acesso em 16 jan. de 2021. 
Segmentos Incomensuráveis-Aula 2_. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=I5KVIIkMN98 Acesso em 16 de jan. de 2021