Fenômenos de Transporte

Prévia do material em texto

Fenômenos de 
Transporte
Mauro Noriaki Takeda
Adaptada/Revisada por Mauro Noriaki Takeda (junho/2012)
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Fenômenos de Trans-
porte, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico 
e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 HIDROSTÁTICA ........................................................................................................................................ 7
1.1 Introdução ..........................................................................................................................................................................7
1.2 Fluido ....................................................................................................................................................................................7
1.3 Massa Específica ...............................................................................................................................................................8
1.4 Peso Específico .................................................................................................................................................................8
1.5 Densidade ..........................................................................................................................................................................9
1.6 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................10
1.7 Pressão ..............................................................................................................................................................................11
1.8 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................12
1.9 Variação da Pressão com a Profundidade ...........................................................................................................13
1.10 Pressão Atmosférica ..................................................................................................................................................16
1.11 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................17
1.12 Princípio de Pascal .....................................................................................................................................................18
1.13 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................20
1.14 Princípio de Arquimedes .........................................................................................................................................20
1.15 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................22
1.16 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................22
1.17 Atividades Propostas ................................................................................................................................................23
2 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO .................................................................................................. 25
2.1 Introdução .......................................................................................................................................................................25
2.2 Linhas de Corrente .......................................................................................................................................................25
2.3 Equação da Continuidade .........................................................................................................................................26
2.4 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................27
2.5 Equação de Bernoulli ..................................................................................................................................................28
2.6 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................32
2.7 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................34
2.8 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................34
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 35
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 37
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 41
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
5
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Esta apostila destina-se a estudantes de graduação para os cursos de Engenharia Ambiental, En-
genharia de Produção ou afins, para acompanhamento do conteúdo de Fenômenos de Transporte, nos 
cursos a distância.
Nela, você lerá a respeito de assuntos referentes à Mecânica dos Fluidos, com ênfase em densida-
de, pressão, princípio de Pascal, empuxo, dinâmica dos fluidos e equação de continuidade para fluidos 
escoando com fluxo regular ou laminar.
Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, através de uma lin-
guagem simples, clara e direta, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva. Em todos os capítulos, são 
apresentadas questões resolvidas, para auxiliar na compreensão do conteúdo teórico e orientar a resolu-
ção das atividades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixação do conteúdo apresentado, 
são propostas várias atividades com grau de dificuldade crescente.
Espera-se que você tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como na realiza-
ção das atividades propostas.
Finalmente, desejamos que faça um excelente módulo, estude bastante e aprofunde seu conheci-
mento consultando as referências indicadas no final da apostila.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
7
HIDROSTÁTICA1 
Caro(a) aluno(a),
Você já ouviu falar de densidade, pressão e empuxo? 
É sobre essesassuntos que vamos tratar agora, sendo que a hidrostática é a parte da Física que 
estuda as propriedades relacionadas com fluidos em repouso.
A matéria é classificada, normalmente, em três estados: sólido, líquido e gasoso. Muitas vezes, am-
plia-se essa classificação incluindo um quarto estado, que é o estado de plasma.
Através de nossa experiência diária, sabemos que um sólido tem forma e volume definidos; um 
líquido tem volume definido, porém não tem forma definida, pois apresenta a forma do recipiente que o 
contém; e os gases não têm forma nem forma nem volume definidos, apresentando a forma e o volume 
do recipiente em que estão confinados.
1.1 Introdução
1.2 Fluido
Sob o ponto de vista macroscópico, costumamos classificar a matéria como sólida ou fluido.
DicionárioDicionário
Fluido: corpo (líquido ou gasoso) que toma a forma do recipiente em que foi colocado.
Fluidos são substâncias que são capazes de escoar e cujo volume toma a forma de seus recipientes.
Os fluidos podem ser divididos em líquidos e gases. As principais diferenças entre eles são:
a) os líquidos são praticamente incompressíveis, ao passo que os gases são compressíveis;
b) os líquidos ocupam volumes definidos e os gases expandem-se até ocupar todas as partes do 
recipiente.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
8
Mantendo a pressão e a temperatura constantes, cada substância pura apresenta uma massa espe-
cífica, que é determinada pela razão da massa considerada pelo volume correspondente, ou seja:
V
m
=µ
Na qual:
�� µ é a massa específica;
�� m é a massa da substância;
�� V é o volume da substância.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é medida em kg e o volume, em m3. Desse 
modo, a unidade de massa específica no SI é o quilograma por metro cúbico: .
Outras unidades usuais são e .
AtençãoAtenção
Pode-se dizer que o fluido adquire o formato do recipiente que o contém.
AtençãoAtenção
A massa específica também é chamada densidade absoluta.
1.3 Massa Específica
1.4 Peso Específico
Define-se como peso específico da substância que constitui o corpo o quociente entre o peso do 
corpo e o seu volume. Simbolicamente, escrevemos:
Na qual:
�� W é o peso específico;
�� P é o peso ( )gmP ⋅= ;
�� V é o volume.
V
PW =
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
9
1.5 Densidade
No SI, a unidade de peso específico é o newton por metro cúbico: 
3m
N
.
A relação entre peso específico e densidade absoluta é:
V
PW =
V
gmW ⋅=
gW ⋅µ=
Saiba maisSaiba mais
Quando colocamos dois líquidos imiscíveis em um único recipiente, o menos denso fica em cima e o mais denso fica 
embaixo.
Uma propriedade importante de qualquer corpo é sua densidade, definida como a massa por uni-
dade de volume.
Usaremos a letra grega ρ (rô) para simbolizar a densidade. Quando a massa m de um corpo possui 
volume V, sua densidade ρ é:
V
m
=ρ
No SI, a unidade de densidade é o quilograma por metro cúbico: .
A densidade relativa de um material é a razão entre a densidade do material e a densidade da água a 
4 °C, 1000 ; trata-se de um número puro, sem unidades. Por exemplo, a densidade relativa do alumínio 
é 2,7.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
10
1.6 Exercício Resolvido
1. Um objeto feito de ouro maciço tem 500 g de massa e 25 cm3 de volume. Determine a densida-
de do objeto e a massa específica do ouro em e .
Resolução:
De acordo com o enunciado do problema, tem-se: m = 500 g e V = 25 cm3.
A densidade do objeto é dada por:
V
m
=ρ
Substituindo os valores fornecidos pelo problema, tem-se:
Como a massa está em gramas e o volume, em cm3, temos:
Para obter o resultado em , lembre que: 1 g = 10-3 kg e 1 cm3 = 10-6 m3.
Substituindo no resultado da densidade, temos:
ou
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
11
1.7 Pressão
Você já deve ter visto um faquir deitar sobre uma “cama de pregos” e nada acontecer. Por que ele 
não se fura? A explicação para esse fato está relacionada com a pressão. Então, vamos entender o que é 
pressão?
DicionárioDicionário
Faquir: hindu itinerante e asceta que exibe poderes extraordinários.
Seja a força F

 que atua perpendicularmente sobre a área S indicada na figura a seguir.
S 
F

 
Define-se pressão como o número que mede a força atuante em cada unidade de área, ou seja, o 
quociente entre a intensidade da força F

 e a área S em que a força se distribui.
S
Fp =
Na qual:
�� p é a pressão;
�� F é a intensidade da força;
�� S é a área.
AtençãoAtenção
A pressão será representada com a letra p (minúscula) e o peso, com P (maiúscula).
A unidade de pressão no SI é o newton por metro quadrado 





2m
N
, denominada pascal (símbolo 
Pa). Outras unidades comumente usadas são a atmosfera (atm) = e o milímetro de mer-
cúrio (mmHg) = 1,316.10-3 atm.
O manômetro (aparelho para medir a pressão) utiliza a unidade libra força por polegada quadrada (psi).
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
12
1. Uma força de intensidade 2 N é aplicada perpendicularmente a uma superfície através de um 
pino de 1 mm2 de área. Determine a pressão, em 
2m
N
, que o pino exerce sobre a superfície.
Resolução:
Os dados fornecidos pelo problema são: F = 2 N e S = 1 mm2. 
Como a área foi fornecida em milímetros quadrados (mm2), devemos converter a área para metros 
quadrados (m2). Essa conversão pode ser feita utilizando a seguinte relação:
1000 mm 1 m
1 mm x
1x1000 =⋅
1000
1x =
Como temos área, devemos elevar ao quadrado, ou seja:
Portanto, a área é:
De acordo com a definição de pressão, temos:
S
Fp =
Substituindo os valores fornecidos, temos:
Efetuando a divisão, temos:
1.8 Exercício Resolvido
 
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
13
1.9 Variação da Pressão com a Profundidade
Consideremos um pequeno elemento de fluido, com altura dy, situado no interior de um fluido em 
equilíbrio. Suponhamos que esse elemento tenha a forma de um disco. A superfície inferior e a superfície 
superior possuem a mesma área S.
O volume do elemento é a área S multiplicada pela altura dy:
Mas a densidade:
V
m
=ρ
Vm ⋅ρ=
Substituindo V nessa expressão, temos a massa:
Como peso é:
gmP ⋅=
Substituindo a massa m, temos o peso:
O elemento sofre uma pressão p na superfície inferior e uma pressão (p + dp) na superfície superior.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
14
Lembrando que pressão é dada por:
S
Fp =
Então:
SpF ⋅=
Consequentemente, o elemento sofre, na superfície inferior e superfície superior, as forças p . S e (p 
+ dp) . S, respectivamente.
O elemento de fluido está em equilíbrio; logo, o componente y da força total resultante deve ser 
igual a zero, ou seja:
∑ = 0Fy
Logo:
Dividindo todas as parcelas pela área S, temos:
Simplificando S, temos:
Juntando os termos semelhantes:
Isolando dp:
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
15
Se p1 é a pressão na altura y1 e p2 é a pressão na altura y2, acima de um nível de referência:
A integração da equação fornece:
Essa equação é conhecida como Teorema Fundamental da Hidrostática ou Teorema de Stevin.
Na equação , sendo p0 a pressão atmosférica, p é a pressão absoluta e p – p0 é a 
pressão manométrica ou efetiva.
AtençãoAtenção
O Teorema de Stevin implica que todos os pontos que se encontram num mesmo nível horizontal, num fluido homo-
gêneo em equilíbrio, suportam a mesma pressão, independentemente da forma do recipiente.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
16
O ar, como qualquer substância próxima à superfície da Terra, é atraído por ela, isto é, o ar tem peso.
Em virtude disso, essa massa de ar que envolve a Terra exerce pressão sobre os corpos nela mergu-
lhados. Essa pressão é denominada pressão atmosférica.
Experimentalmente,Torricelli chegou à conclusão de que o valor da pressão atmosférica (patm) equivale à 
pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura, isto é, patm = 76 cmHg ou patm = 760 mmHg. 
Por esse motivo, a pressão de 76 cmHg é denominada uma atmosfera.
Torricelli comprovou a existência dessa pressão fazendo a seguinte experiência: toma-se uma cuba 
e coloca-se mercúrio (Hg) nela. Em um tubo de aproximadamente 1 m de comprimento, coloca-se mer-
cúrio até a boca (extremidade aberta).
Veda-se a abertura do tubo e coloca-se ele invertido (emborcar) na cuba. Mantendo o tubo na posi-
ção vertical, tira-se a sua vedação. Com isso, parte do mercúrio escoa para a cuba, até atingir o equilíbrio 
do sistema, que ocorre quando a coluna de mercúrio atinge 76 cm acima do nível do mercúrio da cuba.
O ponto 1 pertence ao nível livre do mercúrio na cuba; portanto, a pressão p1 é a própria pressão 
atmosférica p0, ou seja, p1 = p0.
No ponto 2, pode-se considerar a pressão p2, devido à coluna de mercúrio de dentro do tubo, pois, 
na parte superior, temos praticamente o vácuo. Desse modo, temos:
O sistema está em equilíbrio e os pontos 1 e 2 estão no mesmo nível horizontal; portanto, as pressões 
são iguais, ou seja, p1 = p2. Portanto:
1.10 Pressão Atmosférica
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
17
1.11 Exercício Resolvido
Considerando a experiência realizada, no nível do mar, à temperatura de 0 °C temos 
, h = 76 cm e . Com esses dados, podemos determinar a pressão 
atmosférica.
1. Considerando a pressão atmosférica igual a , e , qual 
a pressão, em pascal, no fundo de um lago de 15 m de profundidade?
Resolução:
Os dados fornecidos pelo problema são:
2s
m8,9g =
h = 15 m
A pressão é determinada por:
hgpp o ⋅⋅ρ+=
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
18
Substituindo os valores, temos:
1.12 Princípio de Pascal
Considere um líquido, em equilíbrio, no interior de um recipiente, como está mostrado na figura:
Nos pontos 1 e 2, as pressões valem p1 e p2, respectivamente. Se aumentarmos 1p∆ a pressão em 1 
(por exemplo, utilizando um pistão), a pressão em 2 sofrerá um aumento 2p∆ .
De acordo com o princípio fundamental hgpp o ⋅⋅ρ+= , temos:
hgpp 12 ⋅⋅ρ+=
Se a pressão em 1 aumenta 1p∆ , a pressão passa a valer:
11
'
1 ppp ∆+=
Portanto, a nova pressão no ponto 2 passa a valer:
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
19
Isto é, o acréscimo 1p∆ na pressão, no ponto 1, foi transmitido integralmente para o ponto 2.
Esse fato foi descoberto experimentalmente pelo cientista francês Blaise Pascal, é chamado Princípio 
de Pascal e enunciado da seguinte maneira: “A pressão aplicada a um fluido contido em um recipiente é 
transmitida integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente que o contém”.
A figura ilustra esquematicamente o princípio de funcionamento de uma máquina hidráulica, uma 
aplicação prática do Princípio de Pascal, que permite multiplicar a força aplicada.
Aplicando-se a força F1 perpendicularmente ao êmbolo de área S1, surgirá a pressão:
1
1
S
Fp =
De acordo com o Princípio de Pascal, essa pressão é transmitida integralmente ao êmbolo de área S2, 
cuja pressão vale:
2
2
S
Fp =
Como a pressão aplicada nos dois êmbolos é a mesma, temos:
2
2
1
1
S
F
S
F
=
1
1
2
2 FS
SF ⋅=
DicionárioDicionário
Êmbolo: disco ou cilindro móvel das seringas, das bombas e de outros mecanismos; pistom.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
20
1. Uma prensa hidráulica tem dois êmbolos, de áreas iguais a 10 cm2 e 80 cm2. Calcule a força 
transmitida ao êmbolo maior, quando se aplica ao menor uma força de 120 N.
Resolução:
Os dados fornecidos no problema são: S1 = 10 cm
2, S2 = 80 cm
2 e F1 = 120 N.
Como as duas áreas estão em cm2 e devemos determinar o valor de F2, não há necessidade de fazer 
a conversão de unidades. Pelo Princípio de Pascal, temos:
1
1
2
2 FS
SF ⋅=
Substituindo os valores:
1.13 Exercício Resolvido
1.14 Princípio de Arquimedes
Quando mergulhamos um corpo qualquer em um líquido, verificamos que este exerce sobre o cor-
po uma força de sustentação, isto é, uma força dirigida para cima. Essa força é vertical, dirigida para cima 
e se denomina empuxo do líquido sobre o corpo mergulhado.
Considere um corpo mergulhado em um líquido qualquer.
Como a pressão aumenta com a profundidade, as forças exercidas pelo líquido, na parte inferior do 
corpo, são maiores do que as forças exercidas na parte superior. A resultante dessas forças é dirigida para 
cima e representa o empuxo que atua no corpo.
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
21
Arquimedes realizou experiências para calcular o empuxo que atua em corpos mergulhados em 
líquidos. Suas conclusões foram expressas através do Princípio de Arquimedes, cujo enunciado é o se-
guinte: “Todo corpo mergulhado em um fluido recebe um empuxo vertical, para cima, igual ao peso do 
líquido deslocado pelo corpo”.
Considere um líquido em equilíbrio e uma porção desse líquido como se fosse um corpo imerso nele.
Para que o corpo de massa m e volume V fique em equilíbrio no líquido, devemos ter o empuxo 
igual ao peso do corpo, isto é:
E = P
gmE ⋅=
Mas:
V
m
=ρ
E:
Vm ⋅ρ=
Portanto:
gVE ⋅⋅ρ=
Como o corpo é constituído pelo líquido, temos:
�� E é o empuxo;
�� ρ é a densidade do líquido;
�� V é o volume do líquido deslocado;
�� g é a aceleração da gravidade.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
22
1. Um sólido, colocado na água, desloca 5.10-4 m3 do líquido. Sendo a densidade da água 
 e , determine o empuxo que a água exerce no corpo.
Os dados fornecidos no problema são:
O empuxo é determinado por:
gVE ⋅⋅ρ=
Substituindo os valores:
1.15 Exercício Resolvido
1.16 Resumo do Capítulo
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, estudamos que a hidrostática é a parte da Física que estuda as propriedades relacio-
nadas com fluidos em repouso, passando por:
�� fluido;
�� massa específica; 
�� peso específico; 
�� densidade;
�� pressão;
�� variação da pressão com a profundidade;
�� pressão atmosférica;
�� Princípio de Pascal;
�� Princípio de Arquimedes;
�� exercícios resolvidos.
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
23
1.17 Atividades Propostas
1. Ache a massa e o peso do ar no interior de uma sala de estar com altura de 3 m e piso com área 
de 4 m x 5 m. Dado .
2. Um cilindro tem 5 cm2 como área da base e 20 cm de altura, sendo sua massa igual a 540 g. 
Esse cilindro é oco, tendo a parte oca central a forma de um paralelepípedo de volume 64 cm3. 
Determine:
a) a densidade do cilindro;
b) a massa específica da substância de que é feito o cilindro.
3. Um tijolo tem dimensões 5 cm x 10 cm x 20 cm e massa 200 g. Determine as pressões, expressas 
em pascal, que ele pode exercer quando apoiado sobre uma superfície horizontal. Considere 
2s
m8,9g = .
4. Um cubo homogêneo de alumínio com 2 m de aresta está apoiado sobre uma superfície hori-
zontal. Sabendo-se que a densidade do alumínio é , qual a pressão exercida pelo 
bloco sobre a superfície? Considere 
2s
m8,9g = .
5. Determine a diferença de pressão entre dois pontos situados a 2 m e 5 m de profundidade num 
líquido de densidade de , sendo 
2s
m8,9g = .
6. Os vasos comunicantes indicados na figura contêm os líquidos A e B em equilíbrio. Dado 
 e , calcule x.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
24
7. Uma prensa hidráulica eleva um corpo de 4000 N sobre o êmbolo maior, de 1600 cm2 de área, 
quando uma força de 80 N é aplicada no êmbolo menor. Calcule a área do êmbolo menor.
8. Considere o arranjo da figura, em que um líquido está confinado na região delimitada pelos 
êmbolos A e B, de áreas SA = 80 cm
2 e SB = 20 cm
2, respectivamente. O sistema está em equilí-
brio. Despreze os pesos dos êmbolos e os atritos. Sendo mA = 4 kg, qual o valor de mB?
9. Coloca-se, dentrode um tanque com água de densidade , um corpo de 500 g de massa 
e 1000 mL de volume, que fica flutuando à superfície da água com metade de seu volume imerso. 
Qual é a intensidade, em N, do empuxo aplicado pela água sobre o corpo? Adote 
2s
m8,9g = .
10. Um bloco de madeira flutua em água , conservando 
3
2
 do seu volume imerso 
(dentro da água). Determine a densidade do bloco de madeira.
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
25
Caro(a) aluno(a),
Você já observou como pode ser o escoamento de um fluido? É sobre isso que vamos estudar neste 
capítulo.
O escoamento de um fluido pode ser estacionário ou não estacionário. É chamado movimento 
estacionário quando a velocidade v do fluido é constante em qualquer ponto e não estacionário quando 
a velocidade v varia com o tempo.
O escoamento de um fluido pode, ainda, ser rotacional ou irrotacional. O escoamento do fluido é 
irrotacional quando possui velocidade angular resultante nula em relação a qualquer ponto do fluido.
Estudaremos situações que podem ser descritas, mediante um modelo simplificado, através de um 
fluido ideal.
Consideraremos um fluido ideal aquele que:
�� é incompressível, ou seja, a densidade é constante em qualquer ponto do fluido;
�� não tem atrito interno (chamado viscosidade);
�� tem escoamento estacionário;
�� tem escoamento irrotacional.
ESCOAMENTO DE UM FLUIDO2 
2.1 Introdução
2.2 Linhas de Corrente
Uma linha de corrente é a trajetória descrita por uma partícula do fluido no escoamento estacionário.
DicionárioDicionário
Partícula do fluido: chamamos partícula do fluido um elemento infinitesimal de volume.
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
26
A velocidade da partícula do fluido é sempre tangente à linha de corrente, em qualquer ponto.
Duas linhas de corrente não podem se cruzar, pois, se isso acontecer, uma partícula do fluido que 
atingir o ponto de cruzamento poderá seguir qualquer uma das duas trajetórias e o escoamento não será 
mais estacionário.
Um conjunto de linhas de corrente que formam um feixe tubular, cujo elemento de área tem área 
S, denomina-se tubo de corrente ou tubo de escoamento. Observe que nenhum fluido pode atravessar 
as laterais do tubo, pois ele é constituído de linhas de corrente.
Considere um fluido ideal escoando por um tubo delimitado por duas seções transversais de áreas 
S1 e S2, conforme a figura.
2.3 Equação da Continuidade
Sendo v1 e v2 as velocidades do fluido nessas seções, respectivamente, num pequeno intervalo de 
tempo dt, o fluido que estava em S1 desloca-se uma distância dx1 = v1dt. O volume de fluido que escoa 
através de S1 é dV1 = S1dx
1. Substituindo dx1, temos: dV1 = S1v1dt.
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
27
2.4 Exercício Resolvido
Durante esse mesmo intervalo de tempo, o volume que escoa através de S2 é dV2 = S2v2dt.
Considerando um fluido ideal, a densidade ρ não varia; portanto, a massa dm1 que flui através de 
S1, no tempo dt, é ou .
Analogamente, a massa dm2 que flui através de S2 no mesmo tempo é .
No escoamento estacionário, a massa conserva-se; logo, dm1 = dm2 e
ρ ν ρ νS dt S dt1 1 2 2=
ou
S S1 1 2 2ν ν=
Essa expressão é a equação da continuidade para um fluido incompressível.
Generalizando para o caso do escoamento de um fluido compressível, a densidade na seção 1 é 1ρ 
e a densidade na seção 2 é 2ρ ; então:
222111 SS νρ=νρ
Ou seja, a equação da continuidade para fluido compressível.
O produto Sv é a vazão volumétrica 
dV
dt
, ou seja:
dV
dt
S= ν
A unidade de vazão no SI é o 
s
m3
.
1. Por um tubo de 8 cm de diâmetro, escoa óleo a uma velocidade média de 
s
m4 . Quanto vale o 
fluxo, em 
s
m3
 e 
h
m3
?
Resolução:
A área do tubo é dada por:
S r= π 2
Substituindo os valores, temos:
S = π 0 042,
S m= 0 0016 2, π
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
28
A vazão é dada por:
dV
dt
S= ν
Substituindo os valores, temos:
dV
dt
= 0 0016 4, π
dV
dt
m
s
= 0 0064
3
, π
dV
dt
m
s
= 0 020
3
,
Um segundo corresponde a 
1
3600
h.
Substituindo os valores, temos:
dV
dt
=
0 020
1
3600
,
dV
dt
m
h
= 72
3
2.5 Equação de Bernoulli
Bernoulli fez importantes descobertas sobre a dinâmica dos fluidos. A obra intitulada Hydrodyna-
mica é a mais famosa dele e foi publicada em 1738. Nessa obra, mostra que, quando a velocidade do es-
coamento aumenta, a pressão do fluido diminui. Esse resultado é conhecido como Princípio de Bernoulli: 
“Quando um fluido desloca-se em um tubo cuja seção reta varia e a altura também, a pressão variará em 
cada ponto do tubo”.
O físico suíço Daniel Bernoulli deduziu pela primeira vez, em 1738, a expressão que relaciona a ve-
locidade do fluido, a pressão e a altura do tubo.
Considere o fluxo de um fluido através de um cano que não seja uniforme e um elemento de fluido 
que se encontra inicialmente entre as seções retas a e c. Durante um intervalo de tempo dt, o fluido que 
se encontrava em a desloca-se para b, conforme a figura.
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
29
Vamos considerar que o fluido é incompressível e tem atrito interno desprezível (não há viscosida-
de) e um escoamento laminar e permanente (fluido ideal).
Saiba maisSaiba mais
O atrito interno de um fluido é chamado viscosidade.
Vamos calcular o trabalho realizado sobre esse elemento de fluido durante o intervalo dt.
Como p
F
S
= , a força na extremidade inferior (esquerda) do fluido é F1 = p1 . S1 e a força na parte 
superior na seção c, de área S2, é F2 = p2 . S2.
O trabalho realizado por essa força é d F dxτ1 1 1= ⋅ . Substituindo o valor de F1, temos:
d p S dxτ1 1 1 1= ⋅ ⋅
O fluido é incompressível, portanto, pela equação da continuidade, o volume de fluido dV que pas-
sa em qualquer seção reta durante um intervalo de tempo dt é sempre o mesmo, ou seja, dV = S1 . dx1 = 
S2 . dx2. Portanto:
d p dVτ1 1= ⋅
De maneira semelhante, o trabalho realizado sobre o fluido na extremidade superior, no intervalo 
de tempo dt, pela força F2 é:
d F dxτ 2 2 2= − ⋅
d p S dxτ 2 2 2 2= − ⋅ ⋅
d p dVτ 2 2= − ⋅
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
30
Esse trabalho é negativo, pois a força sobre o fluido opõe-se ao deslocamento.
O trabalho total τd realizado sobre o elemento de fluido durante esse deslocamento é:
d d dτ τ τ= +1 2
d p dV p dVτ = ⋅ − ⋅1 2
d p p dVτ = −( ) ⋅1 2
Parte desse trabalho vai para alterar a energia cinética do fluido e parte, para alterar a energia po-
tencial gravitacional.
No início de dt, o fluido entre as seções a e b tem energia cinética dada por:
dE dmc1
1
2 1
2= ⋅ν
Como ρ =
dm
dV
, a massa de fluido na seção entre a e b é dm dV= ⋅ρ ; portanto:
dE dVc1
1
2 1
2= ⋅ ⋅ρ ν
De modo análogo, a energia cinética entre as seções c e d é dada por:
dE dmc2
1
2 2
2= ⋅ν
Como os volumes das duas porções (seções entre a e b, e entre c e d) são os mesmos, elas também 
têm a mesma massa; portanto:
dE dVc2
1
2 2
2= ⋅ ⋅ρ ν
A variação total da energia cinética dEc durante o intervalo de tempo dt é: dEc = dEc2 – dEc1, ou seja:
dE dV dVc = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
1
2
1
22
2
1
2ρ ν ρ ν
dE dVc = ⋅ ⋅ −( )12 2
2
1
2ρ ν ν
No início de dt, a massa do fluido entre as seções a e b tem energia potencial gravitacional dada 
por: dEp1 = dm . g . y1.
Como dm dV= ⋅ρ , temos:
dE dV g yp1 1= ⋅ ⋅ ⋅ρ
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
31
De modo análogo, a energia potencial gravitacional entre as seções c e d é dada por: dEp2 = dm . g . y2 ou
dE dV g yp2 2= ⋅ ⋅ ⋅ρ
A variação total da energia potencial gravitacional dEp durante o intervalo de tempo dt é: dEp = 
dEp2 – dEp1, ou seja:
dE dV g y dV g yp = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ρ ρ2 1
dE dV g y yp = ⋅ ⋅ ⋅ −( )ρ 2 1
Pelo teorema da conservação da energia mecânica, temos que o trabalho total realizado sobre o 
sistema é igual à variação da energia mecânica do sistema, ou seja:
d dE dEc pτ = +
Substituindo pelas expressões de τd , dEc e dEp, temos:
p p dV dV dV gy y1 2 2
2
1
2
2 1
1
2
−( ) ⋅ = ⋅ ⋅ −( ) + ⋅ ⋅ ⋅ −( )ρ ν ν ρ
Simplificando dV, temos:
p p g y y1 2 2
2
1
2
2 1
1
2
− = ⋅ −( ) + ⋅ ⋅ −( )ρ ν ν ρ
Essa é a equação de Bernoulli, que mostra que a pressão de um fluido diminui conforme sua velo-
cidade aumenta e que a pressão diminui conforme a elevação aumenta.
Reunindo as grandezas com índice 1 em um membro da igualdade e as grandezas com índice 2 em 
outro membro, temos:
p p g y g y1 2 2
2
1
2
2 1
1
2
1
2
− = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ρ ν ρ ν ρ ρ
p g y p g y1 1
2
1 2 2
2
2
1
2
1
2
+ ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅ρ ν ρ ρ ν ρ
Como os índices 1 e 2 referem-se a qualquer par de pontos ao longo do tubo de escoamento, po-
demos escrever:
p g y cons te+ ⋅ + ⋅ ⋅ =1
2
2ρ ν ρ tan
Quando o fluido estiver em repouso, ou seja, v1 = v2 = 0, a equação:
p p g y y1 2 2
2
1
2
2 1
1
2
− = ⋅ −( ) + ⋅ ⋅ −( )ρ ν ν ρ
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
32
Passa a ser:
p p g y y1 2 2 1− = ⋅ ⋅ −( )ρ
p p g h1 2− = ⋅ ⋅ρ
p p g h2 1= + ⋅ ⋅ρ
Essa é a equação da pressão de um fluido em repouso.
AtençãoAtenção
Quando o fluido não está em movimento, a equação de Bernoulli reduz-se à equação da pressão de um fluido em 
repouso.
Saiba maisSaiba mais
O Princípio de Bernoulli aplica-se apenas em certas situações, uma vez que a equação de Bernoulli vale somente para 
o escoamento estacionário de um fluido incompressível sem viscosidade.
1. A água entra em uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 2 cm, com uma pressão 
absoluta igual a 4.105 Pa. Um tubo com diâmetro interno de 1 cm conduz ao banheiro do segun-
do andar, a 5 m de altura. Sabendo que, no tubo de entrada, a velocidade é igual a 1 5, m
s
, ache 
a velocidade do escoamento, a pressão e a vazão volumétrica no banheiro.
Resolução:
Colocando o índice 1 para os dados da entrada e o índice 2 para o banheiro, temos os seguintes 
dados fornecidos pelo problema:
D cm1 2 0= ,
ν1 1 5= ,
m
s
p Pa1
54 0 10= ⋅,
2.6 Exercício Resolvido
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
33
Considerando o nível de entrada nível de referência, temos: y1 = 0 m, D2 = 1 cm e y2 = 5 m.
Inicialmente, vamos determinar as áreas das seções transversais dos tubos:
S r1 1
2= ⋅π
S1
21= ⋅π
S cm1
2= π
e
S r2 2
2= ⋅π
S2
20 5= ⋅( )π ,
S cm2
20 25= ⋅, π
A velocidade do escoamento pode ser determinada pela equação da continuidade, ou seja:
ν ν2
1
2
1= ⋅
S
S
ν
π
π2 0 25
1 5=
⋅
⋅
,
,
ν 2 6 0= ,
m
s
Utilizando a equação de Bernoulli, podemos determinar a pressão p2 no banheiro, ou seja:
p p g y y1 2 2
2
1
2
2 1
1
2
− = ⋅ −( ) + ⋅ ⋅ −( )ρ ν ν ρ
4 10 1
2
1 10 6 1 5 1 10 9 8 5 05 2
3 2 2 3⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ −( ) + ⋅ ⋅ ⋅ −( )p , ,
4 10 1
2
10 36 2 25 9 8 10 55 2
3 3⋅ − = ⋅ ⋅ −( ) + ⋅ ⋅p , ,
4 10 16 875 10 49 105 2
3 3⋅ − = ⋅ + ⋅p ,
4 10 65 875 105 2
3⋅ − = ⋅p ,
p2
5 34 10 65 875 10= ⋅ − ⋅,
p Pa2
53 34125 10= ⋅,
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
34
A vazão volumétrica é:
dV
dt
S= ⋅2 2ν
dV
dt
= ⋅ ⋅ ⋅−0 25 10 64, π
dV
dt
= ⋅ ⋅ −1 5 10 4, π
dV
dt
m
s
= ⋅ −4 7 10 4
3
,
Ou
dV
dt
L
s
= 0 47,
2.7 Resumo do Capítulo
2.8 Atividades Propostas
Caro(a) aluno(a),
Neste capítulo, estudamos o escoamento de um fluido, passando por:
�� linhas de corrente;
�� equação da continuidade;
�� vazão;
�� equação de Bernoulli;
�� exercícios resolvidos.
1. Uma mangueira de jardim tem diâmetro de 1,8 cm e está ligada a um irrigador, que consiste 
apenas de um recipiente com 24 orifícios, cada um tendo diâmetro de 0,12 cm. Se a velocidade 
da água na mangueira é de 0 90, m
s
, qual sua velocidade ao sair dos orifícios?
2. Verificou-se que 250 cm3 de fluido escoa por um tubo, cujo diâmetro interno é de 7 mm, em um 
tempo de 41 s. Qual é a velocidade média do fluido no tubo?
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
35
Caro(a) aluno(a),
Espera-se que, com esta apostila, você se envolva na disciplina; entenda e consiga definir os con-
ceitos básicos de densidade, pressão, empuxo e dinâmica dos fluidos; saiba aplicar a equação de conti-
nuidade para fluidos escoando com fluxo regular ou laminar; saiba as grandezas referentes à Mecânica 
dos fluidos; desenvolva o raciocínio lógico; e saiba utilizar e aplicar as equações pertinentes aos vários 
assuntos abordados e estudados na presente apostila no âmbito profissional e, consequentemente, na 
sociedade em que se encontra inserido(a).
CONSIDERAÇÕES FINAIS3 
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
37
Prezado(a) aluno(a),
A seguir, você poderá se utilizar da resolução comentada das atividades propostas.
Faça uma revisão do texto escrito e refaça os exercícios resolvidos. Acredito que você vai conseguir 
resolver facilmente as atividades propostas.
Tenha em mãos uma calculadora científica para facilitar os cálculos.
Tente resolver os exercícios antes e, posteriormente, consulte a resolução.
CAPíTULo 1
1. Calcular o volume de ar da sala utilizando as suas dimensões, ou seja:
V = 3x4x5 = 60 m3.
Em seguida, utilizando a relação de densidade 
V
m
=ρ , determinar a massa.
mar = 72 kg
Tendo a massa de ar, podemos calcular o peso utilizando a relação P = m.g.
Par = 700 N
2. 
a) Calcular o volume do cilindro efetuando a multiplicação da área da base pela altura, ou 
seja:
V = 5x20 = 100 cm3
Em seguida, utilizando a relação de densidade 
V
m
=ρ , determinar a densidade.
35, 4
g
cm
ρ =
RESPOSTAS COMENTADAS DAS 
ATIVIDADES PROPOSTAS
Mauro Noriaki Takeda
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
38
b) Para determinar a massa específica, devemos subtrair o volume da parte oca do volume 
total do cilindro, desse modo temos:
V = 100 – 64 = 36 cm3
Em seguida, utilizando a relação de densidade 
V
m
=µ , determinar a densidade.
315
g
cm
µ =
3. O tijolo pode ser apoiado das seguintes maneiras:
Desse modo, efetuando a conversão de unidades para metros, as áreas de apoio serão:
S1 = 0,10x0,20 = 0,02 m
2; S2 = 0,05x0,20 = 0,010 m
2; S3 = 0,05x0,10 = 0,005 m
2
Fazendo a conversão da massa de g para kg, temos 0,200 kg. Calculando o peso do tijolo, temos 
P = m.g, ou seja, P = 0,200x9,8 = 1,96 N.
Calculando a pressão pela relação 
S
Fp = para cada situação, temos:
98 Pa, 196 Pa e 392 Pa
4. O volume do cubo será V = 2x2x2 = 8 m3, e a área de apoio será S = 2x2 4 m2.
Determinar a massa do cubo utilizando a relação de densidade e em seguida determinar o seu 
peso. Como o peso é a força que o cubo está exercendo sobre a superfície, utilizando a relação 
de pressão, temos:
52920 Pa
5. Calcular as pressões nos pontos situados a 2 m e 5 m utilizando a relação hgp ⋅⋅ρ= e em 
seguida efetuar a diferença das duas pressões.
23520p Pa∆ =
6. Como as pressões no nível de referência são iguais, temos PA = PB,, ou seja, 
BBAA hghg ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ .
x = 10,5 cm 
Fenômenos de Transporte
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
39
7. Basta aplicar a relação 
2
2
1
1
S
F
S
F
= 
S1 = 32 cm
2
8. Basta aplicar a relação 
2
2
1
1
S
F
S
F
=
mB = 1 kg
9. Como a metade de seu volume está imerso, o volume de água deslocado é de 500 mL, ou seja, 
0,5 L ou 0,5.10-3 m3. A densidade no SI é 103 kg/m3. Aplicando a relação gVE ⋅⋅ρ= , temos:
E = 4,9 N
10. Como o volume da madeira imerso é de 2/3, o volume de água deslocado é madeiraágua V3
2V = 
Substituindo o volume de água na expressão gVgV águaáguamadeiramadeira ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ , 
temos:
30,67mad
g
cm
ρ =
CAPíTULo 2
1. Calcular a área da seção transversal da mangueira através da relação 2rS ⋅π= . Calcular a 
área da seção transversal de cada orifício através da relação 2rS ⋅π= e multiplicar por 24 
para obter a área total do irrigador. Utilizar a relação 2211 SS ν=ν para obter a velocidade 
de saída.
2 8, 44
m
s
ν =
2. Efetuar as conversões de unidades para o SI. Utilizar a relação de vazão 
dV S
dt
ν= para obter a 
velocidade.
s
m159,0=ν
Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br
41
BONJORNO, J. R. et al. Física fundamental: 2o grau, volume único. São Paulo: FTD, 1993.
______. Física:história e cotidiano. São Paulo: FTD, 2003a. v. 1.
______. Física: história e cotidiano. São Paulo: FTD, 2003b. v. 2.
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson, 2008.
FOX, R. W.; McDONALD, A. T. Introdução à mecânica dos fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: Guanabara 
Koogan, 1995.
JEWETT JR., J. W.; SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: mecânica. São Paulo: Cengage 
Learning, 2011. v. 1.
RAMALHO JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. os fundamentos da física. São Paulo: Moderna, 
1993. v. 1.
RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2003. v. 3.
ROMA, W. N. L. Fenômenos de transporte para engenharia. 2. ed. São Carlos: Rima, 2006.
SEARS, F.; ZEMANSKY M. W.; YOUNG, H. D. Física 2: mecânica dos fluídos, calor, movimento ondulató-
rio. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
STREETER, V. L. Mecânica dos fluidos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. v. 1.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II: termodinâmica e ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2008.
REFERÊNCIAS
	INTRODUÇÃO
	1 
	HIDROSTÁTICA
	1.3 Massa Específica
	1.4 Peso Específico
	1.5 Densidade
	1.6 Exercício Resolvido
	1.7 Pressão
	1.8 Exercício Resolvido
	1.9 Variação da Pressão com a Profundidade
	1.10 Pressão Atmosférica
	1.11 Exercício Resolvido
	1.12 Princípio de Pascal
	1.13 Exercício Resolvido
	1.14 Princípio de Arquimedes
	1.15 Exercício Resolvido
	1.6 Resumo do Capítulo
	1.17 Atividades Propostas
	2 
	ESCOAMENTO DE UM FLUIDO
	2.3 Equação da Continuidade
	2.4 Exercício Resolvido
	2.5 Equação de Bernoulli
	2.6 Exercício Resolvido
	2.7 Resumo do Capítulo
	2.8 Atividades Propostas
	3 
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
	REFERÊNCIAS