Introdução aos Conjuntos Matemáticos

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Matemática. Aula - 1 - Conjuntos
Prof. Henrique Brentan
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1 Introdução
A ideia de conjuntos está ligada ao fato de associarmos coisas semelhantes e diferenciarmos coisas não semelhantes. Neste
capítulo, faremos uma revisão rápida da noção de conjunto e em seguida, aplicaremos essa noção aos principais conjuntos
numéricos (Naturais N, Inteiros Z, Racionais Q e Irracionais I).
1.1 Noção de conjunto
Conjunto é uma coleção, um agrupamento, uma classe, uma reunião de coisas semelhantes, de números com uma mesma
propriedade, etc.
Exemplos:
(a) Conjunto de planetas do sistema solar (Forma escrita).
Representação em desenhos:
Sol
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Representação pela citação dos elementos :
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpter, Saturno, Urano, Netuno.}
Representação de Euler-Venn:
·Merc. ·Vên. ·Ter. ·Mar. ·Jup. ...
P
(b) Conjunto das vogais (forma escrita).
Representação pela descrição dos elementos:
V = {a,e,i,o,u}
Representação de Euler-Venn:
·a ·e ·i ·o ·u
V
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(c) Conjunto dos números ímpares (Forma escrita).
Representação pelos elementos:
Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...}
(d) Conjunto dos números pares (Forma escrita).
Representação pelos elementos:
Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...}
(e) Conjunto dos números primos (Forma escrita).
Representação pelos elementos:
Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...}
(f) Conjunto dos múltiplos de 5 (Forma escrita).
Representação pelos elementos:
M(5)={0, 5, 10, 15, 20, 25, 30,35...}
(g) Conjunto dos divisores positivos de 16 (Forma escrita).
Representação pelos elementos:
D(16)= {1, 2, 4, 8, 16}
(h) Conjunto dos inteiros de −5 até 5. (Forma escrita).
Representação pelos elementos:
{x ∈ Z | -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
{x ∈ Z | -5 ≤ x ≤ 5}
OBS.1: Pense um pouco! Caso não fosse a escrita e a liguagem matemática, toda vez que nos referíssemos ao conjunto
dos planetas com a finalidade de fazer cálculos e esquematizações teríamos que desenhar todos os nove planetas. Assim,
a importância da escrita e da liguagem matemática é a SIMPLIFICAÇÃO.
OBS. 2: GERALMENTE, os conjuntos são indicados por uma letra MAIÚSCULA (A, B, C,...).
1.2 Elemento
Elementos são os componentes do conjunto. Sâo aquilo que se reuniu.
Nos exemplos da seção anterior, tínhamos o conjunto dos planetas. Seus elementos são os planetas. Então, Mercúrio
é elemento, Vênus é elemento, Terra é elemento, Marte é elemento, etc. Entretanto note que o Sol não é
elemento, por que não é PLANETA.
1.3 Relação de pertinência (Símbolos: ∈ e /∈)
Quando um componente é elemento de um conjunto, dizemos que este elemento pertence ao conjunto utilizando o
símbolo ∈.
Exemplo: Conjunto dos planetas P.
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpter, Saturno, Urano, Netuno.}
• Mercúrio ∈ P (lê se: "o elemento Mercúrio pertence a P, o conjunto dos planetas".)
• Terra ∈ P (lê se: "o elemento Terra pertence a P, o conjunto dos planetas".)
• Júpter ∈ P (lê se: "Júpter pertence a P".)
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Quando um componente NÃO é elemento de um conjunto, dizemos que este elemento NÃO pertence ao con-
junto utilizando o símbolo /∈.
Exemplo: Conjunto dos planetas P.
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpter, Saturno, Urano, Netuno.}
• Sol /∈ P (lê se: "o elemento Sol não pertence a P, o conjunto dos planetas".)
• Asteróide /∈ P (lê se: "o elemento Asteróide não pertence a P, o conjunto dos planetas".)
• Lua /∈ P (lê se: "a Lua não pertence a P".)
1.4 Conjunto unitário
O conjunto unitário é um composto por um único elemento.
Exemplos:
• Conjunto dos divisores de 1 D(1)={1}
• Conjunto das soluções da equação 2x+ 1 = 5 S={2}
1.5 Conjunto vazio (Símbolo: ∅)
O cojunto vazio é aquele que não possui elementos.
Exemplos:
• {x/x 6= x} S=∅
• {x/x é ímpar e múltiplo de 2 } S=∅
1.6 Conjunto universo (Símbolo: U).
O cojunto universo é conjunto que engloba todos os elementos de uma determinada situação, mesmo que estes ele-
mentos estejam subdividos.
Exemplo:
Considere 2 conjuntos de frutas:
1 - Cojunto de frutas vermelhas:
Vermelhas = {Tomate, caqui, seriguela, pitanga, maçã,...}
2 - Conjunto de frutas verdes:
Verdes = {Melancia, maça verde, uva verde...}
Em relação a este problema, o conjunto universo seria o conjunto de TODAS as frutas que existem, sejam elas ver-
melhas, verdes, amarelas, brancas,... .
U = {banana, maçã, cajú, amora, melancia, ...}. (conjunto universo!)
Representação Euler-venn:
U = frutas
vermelhas verdes
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Exercícios de fixação.
Exercício 1. Represente matematicamente os elementos dos seguintes conjuntos:
(a) A = {x | x são as cores do arco-íris}
(b) B = {x | x são letras da palavra CONJUNTO}
(c) C = {x | x são os dez primeiros números primos}
Exercício 2. Escreva com símbolos
(a) o conjunto dos números primos
(b) o conjunto dos dez primeiros múltiplos de 4.
(c) o conjunto dos divisores positivos de 60.
(d) o conjunto dos multiplos inteiros de 2, entre -15 e 15.
Exercício 3. Considerando o conjunto P = {x | x é primo e menor que 25}, diga se as seguintes afirmações são verdadeiras
ou falsas.
(a) 2 ∈ P
(b) 0 /∈ P
(c) 23 /∈ P
(d) 1 /∈ P
(e) 4 ∈ P
(f) 29 ∈ P
Exercício 4. Classifique os conjuntos abaixo como unitários e vazios.
(a) S = { x | x · 0 = 0}
(b) W = { x | x < 0 e x > 0}
(c) K = { x | x é divisor de 0} item S ={ x | solução de 3x+ 3 = 12}
1.7 Conjuntos iguais.
Dois conjuntos A e B são iguais se todos os elementos que encontramos em A também encontramos em B e, reciprocamente,
todos os elementos que encontramos em B também encontramos em A
Simbologia: A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)
Lê-se "O conjunto A é igual o conjunto B, se e somente se, para qualquer elemento x, x é elemento de A se e somente
se x é elemento de B".
Exemplos de conjuntos iguais:
• {a, b, c, d} = {b, a, d, c}
• {a, b, c, d} = {a, a, a, b, b, c, d, d, d}
OBS: Note que não importa a quantidade de elementos, mas os elementos em si!
OBS: Se o conjunto A e B não obedecem esta condição, então são diferentes, ou seja, não são iguais e escrevemos A 6= B.
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1.8 Subconjuntos (Símbolos: ⊂, ⊃, 6⊂, 6⊃)
. Dizemos que B é um subconjunto de A se, e somente se, todo elemento do conjunto B é também elemento de A.
Simbologia: B ⊂ A ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Representação de Euler-Venn:
U
A
B
Exemplos:
• {a, b} ⊂ {a, b, c, d}
• {a} ⊂ {a, b}
• {x | x é natural e ímpar } ⊂ {x | x é inteiro }
OBS: Também podemos inverter a forma de escrever a relação anterior, tal como {a, b, c, d} ⊃ {a, b}, onde se lê "o
conjunto {a, b, c, d} contém o conjunto {a, b}.
Se o conjunto B NÃO está contido no conjunto A, então escrevemos B 6⊂ A onde lemos "o conjunto B não está contido
no conjunto A".
De outra forma, também podemos escrever A 6⊃ B, onde lemos o conjunto A não contém o conjunto B.
Exemplos:
Representação de Euler-Venn:
U
A 6⊃ B
B
U
A 6⊃ B
B
• {a,b,c} 6⊂ {a,b,d}
• {a,b,c} 6⊂ {d, e, g}
Exercícios de fixação:
Exercício 5. Dados P = {3, 4, 7, 8} e T = {3, 5}
1. escreva, utilizando a simbologia da teoria dos conjuntos, as seguintes sentenças:
(a) 3 é elemento de P.
(b) 7 não está em T.
(c) T está contido em A.
(d) 5 está pertence em T
2. Classifique cada sentença da questão anterior em verdadeira ou falsa.
Exercício 6. Sejam os conjuntos A = {1, 3, 4}, B = {3, 4}, C = {1, 3}. Com base nesses conjuntos, indique se cada
senteça a seguir como verdadeira ou falsa.
a) A 6⊂ B b)B 6⊂ A c)B 6⊂ A d)A ⊂ B e)C 6⊂ B f) B 6⊂ C g) A = B
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1.9 União de conjuntos (Símbolo: ∪)
Dizemos que a união de dois conjuntos A e B consiste reunir em um único conjunto todos os elementos que são do
conjunto A ou do conjunto B. Assim, podemos escrever A ∪ B, onde se lê o conjunto A união com o conjunto B.
Simbologia: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
Lê se: O conjunto união de A com B é igual a todos os elementos tal que esses elementos pertencem a A ou pertencem
a B. No diagrama de Euler-Venn a união é representada pela área cinza.
Representação de Euler-Venn:
A B
U
A ∪ B
A B
U
A ∪ B
A
B
U
A ∪ B
Exemplos:
• {a,b} ∪ {a,b,c,d} = {a,b,c,d}
• {a,b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d}
• {a,b,c} ∪ {c,d,e}= {a,b,c,d,e}
• {a,b} ∪ ∅ = {a,b}
• ∅ ∪ ∅ = ∅
1.10 Interseção de conjuntos (Símbolo: ∩)
Dizemos que a Interseção de dois conjuntos A e B é reunir em um único conjunto todos os elementos que são comuns ao
conjunto A e ao conjunto B. Assim, podemos escrever A ∩ B, onde se lê A interseção com B. No diagrama de Euler-Venn
a interseção é representada pela área cinza.
Simbologia: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
Lê se: O conjunto união de A com B é igual a todos os elementos tal que esses elementos pertencem a A e pertencem
a B.
OBS: São os elemntos comuns, ou seja, que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
Representação de Euler-Venn:
A B
A ∩B
A B
U
A ∩ B
A
B
U
A ∩ B
Exemplos:
• {a,b} ∩ {a,b,c,d} = {a,b}
• {a,b} ∩ {c,d} = ∅
• {a,b,c} ∩ {c,d,e} = {c}
• {a,b} ∩ ∅ = ∅
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1.11 Diferença de conjuntos (Símbolo: −)
Dizemos que a Diferença de dois conjuntos A e B constitui em considerar os elementos que são do conjunto A mas que
não são do conjunto B. Assim, podemos escrever A− B, onde se lê o conjunto A menos o conjunto B.
Simbologia: A− B = {x | x ∈ A e x /∈ B}.
Lê se: O conjunto diferença de A e B é igual a todos os elementos tal que esses elementos pertencem a A e não
pertencem a B.
OBS: Sã aqueles elementos EXCLUSÍVOS do conjunto A, ou seja, que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao
conjunto B ou a A ∩ B. No diagrama de Euler-Venn a diferença é representada pela área cinza.
Representação de Euler-Venn:
A B
A−B
B A
U
A− B
A
B
U
A− B
Exemplos:
• {a,b} − {b,c,d} = {a}
• {a,b} − {c,d} = {a, b}
• {a,b,c} − {c,d,e} = {a, b}
• {a,b} − {a,b,c,d} = ∅
OBS: Caso tenhamos a situação B ∈ A (terceira figura acima), escrevemos a diferença é usando a notação de complemen-
tar: CBA = A− B
Exercícios de prática.
Exercício 1. (IFAM) Considere os conjuntos A = 0, 1, 2, 3, B = 1, 3 e C = 1, 2, 3. Qual conjunto representa o resultado
de (A ∪ B) ∩ C?
a) {0, 1, 2, 3} b) { 1, 2, 3} c) { 1, 3} d) { 0, 2} e) {0}
Exercício 2. (Vunesp) Pertencer ao conjunto A, pode ser apenas A ou pode ser apenas A e B ou pode ser A e B e C,
mas não pode ser apenas A e C. Pertencer ao conjunto B, pode ser apenas B ou pode ser B e A ou pode ser B e C ou pode
ser B e A e C. Pertencer ao conjunto C, pode ser C e B ou pode ser C e B e A, mas não pode ser C e A e não pode ser
apenas C. Quanto às quantidades, e obedecendo às condições apresentadas, pertencer a apenas um conjunto, 5 elementos
em cada caso; pertencer a apenas dois conjuntos, 10 elementos em cada caso; pertencer aos três conjuntos, 15 elementos.
O número de elementos que pertencem aos conjuntos B ou C supera o número de elementos que pertencem ao conjunto
A em um número igual a
a) 10 b) 5 c) 15 d) 20 e) 25
Exercício 3. (Vunesp) Observe o diagrama de conjuntos e suas intersecções. Os números indicam a quantidade de
turistas vindos da cidade K que já visitaram Campinas, Ribeirão Preto e Araraquara.
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Dessa situação, é correto concluir que o número de turistas que visitou apenas uma dessas cidades supera o número
daqueles que visitaram apenas duas dessas cidades em
a) 31 b) 9 c) 34 d) 16 e) 27
Exercício 4. (Vunesp) Uma enquete foi realizada com 427 pessoas, que haviam lido pelo menos um dentre os livros J, K
e L. Dentre as pessoas que leram apenas um desses livros, sabe-se que 116 leram o livro K ou o livro L e que 55 pessoas
leram o livro J. Dentre as pessoas que leram dois desses livros e apenas dois, sabe-se que 124 leram os livros J e L ou os
livros J e K e que 65 pessoas leram os livros K e L. A diferença entre o número de pessoas que leram o livro J e o número
de pessoas que não leram esse livro é
a) 71 b) 65 c) 68 d) 82 e) 77
Exercício 5. Em um grupo de pessoas, nenhuma delas tem menos que 11 anos, nem mais do que 59 anos. Além disso,
nenhuma delas tem uma idade que é um número múltiplo de 10. São 31 dessas pessoas com idades entre 10 e 40 anos.
São 27 dessas pessoas com idades entre 20 e 50 anos. São 26 dessas pessoas com idades entre 30 e 60 anos. São 9 dessas
pessoas com idades entre 30 e 40 anos. O número de pessoas desse grupo cujas idades são entre 10 e 20 anos ou entre 50
e 60 anos é
a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
Exercício 6. Determine os conjuntos A, B, e C que satisfazem as seguintes condições:
1. A ∪B ∪ C ={z, x, v, u, t, s, r, q, p}
2. A ∩B ={ r, s}
3. B ∩ C ={x,s}
4. C ∩A ={ t, s}
5. A ∪ C ={x, v, u, t, s, r, q, p}
6. A ∪B ={z, x, t, s, r, q, p}
Exercício 7. Em certa comunidade há indivíduos de três cores de pele: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são
brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda:
(a) quantos indivíduos tem a comunidade?
(b) quantos são indivíduos amarelos?
Exercício 8. Dados A e B conjuntos tais que n(A) = 4, n(B) = 5 e n(A ∩ B) = 3, determine o número de subconjuntos
de A ∪ B.
Exercício 9. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha o conjunto X tal que
X ⊂ A e A− X = B ∩ C
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	Introdução
	Noção de conjunto
	Elemento
	Relação de pertinência (Símbolos: e -.25ex-.25ex-.25ex-.25ex)
	Conjunto unitário
	Conjunto vazio (Símbolo: )
	Conjunto universo (Símbolo: U).
	Conjuntos iguais.
	Subconjuntos (Símbolos: , , , )
	União de conjuntos (Símbolo: )
	Interseção de conjuntos (Símbolo: )
	Diferença de conjuntos (Símbolo: -)