Teoria dos conjuntos

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Teoria dos Conjuntos
Representação
Um conjunto pode ser representado entre chaves de duas maneiras: por extenso, enumerando elemento por elemento ou abreviadamente, destacando uma propriedade comum apenas aos seus elementos.
Exemplo: Os elementos do conjunto A são os divisores positivos de 24. A representação entre chaves or ser feita:
Por extenso: A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ou
Abreviadamente: A = {x| x é divisor positivo de 24
 Diagrama de Venn
É a representação de um conjunto com o auxílio de uma linha fechada e não entrelaçada e seus pontos interiores.
 (
1. 2. 3. 
4. 6. 8. 12. 24.
 
)Exemplo: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
Igualdade
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. A = B lê-se: A é igual a B. Exemplo: Dados dois conjuntos A ={1, 3, 5} e B = {x| x é ímpar, positivo, menor que 7}, temos que A = B
Desigualdade
Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro. A ≠ B lê-se: A diferente de B. Exemplo: Dados os conjuntos A = {9, 11, 13, ... } e B = {x| x é ímpar, positivo, maior ou igual a 7}, temos que A ≠ B.
Observações: Conjunto que possui um único elemento chama-se conjunto unitário, exemplo A = {1}.
		Conjunto que não possui elementos chama-se conjunto vazio, exemplo, A = { }.
Exercícios
1) Indique se cada um dos elementos pertence ou não a cada um destes conjuntos:
a) A = {x| x é um número inteiro}
b) B = {x| x < 1}
c) C = {x| 15x – 5= 0}
d) D = {x| - 2 ≤ x ≤ 
2) Considerando que F = {x| x é estado do Sudeste brasileiro} e G = {x| x é capital de um país sul-americano}, quais as sentenças seguintes são verdadeiras?
a) Rio de Janeiro F
b) México G
c) Lima G
d) Montevidéu G
e) Espírito Santo F
f) São Paulo F
 
3) Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos conjuntos enumerando seus elementos.
a) A = {x| x H e x 1}
b) B = {x| x H e = 1}
c) C = {x| x H e x é um quadrado perfeito}
d) D = {x| x H e x0}
e) E = {x| x H e 3x + 1 = 10}
4) Em cada caso, identifique os conjuntos unitários e os vazios.
a) A = {x| x = 1 e x = 3}
b) B = {x| x é um número primo positivo e par}
c) C = {x| 0 x 5 e = 4}
d) D = {x| x é capital da Bahia}
e) E = {x| x é um mês cuja letra inicial do nome é p}
f) F = {x| 
Subconjuntos – Relação de Inclusão
Consideremos os conjuntos A = {x| x é letra da palavra ralar} e B = {x| x é letra da palavra algazarra}, ou seja:
A = {r, a, l} e B = { a, l, g, z, r}
Note que todo elemento de A é também elemento de B. Nesse caso, dizemos que A é u, subconjunto de B iu uma parte de B, o que é indicado por:
De modo geral, temos:
Observações:
· (
 
 A
)A relação de inclusão também pode ser representada pelo diagrama de Venn:
			 B
 
A 
· Os símbolos ⊄ e ⊅ são as negações de Assim sendo, temos: 
A ⊄ B se pelo menos um elemento de A não pertence a B
Propriedades da relação de inclusão
Quaisquer que sejam os conjuntos A, Be C, temos:
· Ø - Vamos supor que por absurdo, que Ø Isto significa que existe um elemento Ø que não pertence ao conjunto A. Como Ø não possui elementos, chegamos a uma contradição que advém do fato de supormos que Ø ⊄ A. Daí concluímos que Ø 
· Reflexiva: A A validade dessa propriedade é uma consequência direta da definição de subconjunto.
· Transitiva: Se A e B , então A . Pelo diagrama ao lado vê-se que, qualquer que seja x A, então x B, pois Como B , consequentemente temos x Logo, 
· Antissimétrica: Se A e B Sabe-se que: 
· Se A , então todo elemento de A é elemento de B;
· Se B então todo elemento de B é elemento de A.
Assim, como se A e B A, conclui-se que A = B.
Exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 5}, temos:
a) A , pois todo elemento de A pertence a B; C ⊄ A, pois 5 C e 5 não pertence a A; 
B , pois todo elemento de C pertence a B; B ⊄ A, pois 4 B e 4 não pertence a A, e também 5 a B e 5 não pertence a A.
Exercícios
1) Sendo M = {0, 3, 5}, classifique as sentenças seguintes em verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) 
b) 5 M
c) 3 M
d) 
e) 0 
f) 
g) 0 = 
h) 0 
i) 0 
2) Faça o que se pede:
a) Use o diagrama de Venn para representar os conjuntos A e B, tais que A é o conjunto dos países da América do Sul, e B é o conjunto dos países do contingente americano.
b) Reproduza o diagrama obtido no item anterior e nele destaque o conjunto dos países do continente americano que não se localizam na América do Sul.
3) Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em verdadeiras (V) e falsas (F) as sentenças abaixo:
a) 
b) B D
c) A 
d) A ⊄ C
e) D 
f) C ⊅ B
g) C = D
4) São dados os conjuntos A = {x| x é um número ímpar positivo} e B = {y| y é um número inteiro e 0 < y ≤ 4}. Determine o conjunto dos elementos z, tais que z não pertence a A.
5) Dado o conjunto A = {a, b, c} em quais dos itens seguintes as sentenças são verdadeiras?
a) 
b) 
c) A
d) 
e) 
f) {a, b} 
g) {a, b, c} 
6) 
7) Dados os conjuntos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {0, 2, 4, 6, 8} e Z = {0, 1, 2}:
a) Determine todos os subconjuntos de X, cada qual com exatamente três elementos;
b) De três exemplos de subconjuntos de Y, cada qual com apenas quatro elementos;
8) Dado o conjunto U = {0, 1, 2, 3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada uma das seguintes afirmações sobre U:
a) 
b) 3 
c) Existem 4 subconjuntos de U que são unitários.
Intersecção e Reunião
A interseção de dois conjuntos no conjunto universo U é formada pelos elementos que pertencem a A e B.
· A ∩ B (Leia-se: A interseção B)
Definição de interseção
Sejam A e B conjuntos, a interseção de A com B é dada por:
· A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplos:
· 
· {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {5, 6, 7} = {5}
· {a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c}
· {1, 2} ∩ ∅ = ∅
Propriedades
· 
· A ∩ B = B ∩ A
· B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B
· A ∩ ∅ = ∅
· (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
· (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)
União
Em muitos problemas em provas de vestibulares e do ENEM é necessário saber as operações com conjuntos. São elas: União, Interseção e Diferença.
A união de dois conjuntos no conjunto universo U é formada pelos elementos que pertencem a A ou B.
· A ∪ B (Leia-se: A união B)
Definição de união
Sejam A e B conjuntos, a união de A com B é dada por:
· A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B}
Propriedades
· 
· A ∪ B = B ∪ A
· B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A
· A ∪ ∅ = A
· (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
Exemplos:
· 
· {1, 2, 3} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
· {a, b, c, c, c} ∪ {d} = {a, b, c, d}
· {1, 2} ∪ ∅ = {1, 2}
Exercícios
1) Dados os conjuntos A = {p, q, r}, B = {r, s} e C = {p, s, t}, determine os conjuntos:
a) 
b) 
c) A 
d) B 
e) A 
f) A C
g) B 
2) Sendo A, B e C os conjuntos dados no exercício anterior, determine:
a) 
b) (A B) C
c) A 
d) (A 
e) (A 
3) Dado U = {-4, -3, -2, -11, 0, 1, 2, 3, 4}, sejam A = {x 
a) 
b) A 
c) A 
d) C 
e) (B 
4) Dos 36 alunos da primeira série do ensino médio de certa escola, sabe-se que 16 jogam futebol, 12 jogam voleibol e 5 jogam futebol e voleibol. Quantos alunos dessa classe não jogam futebol ou voleibol?
5) Sobre os 48 funcionários de certo escritório, sabe-se que: 30 têm automóvel, são do sexo feminino e do número de homens têm automóvel. Com base nessas informações, responda:
a) Quantos funcionários são do sexo feminino e têm automóvel?
b) Quantos funcionários são homens ou têm automóvel? 
6) Se A e B são conjuntos quaisquer, classifique cada uma das sentenças em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) 
b) A 
c) 
d) (A 
e) (B 
f) (A 
g) ⊄ (A 
7) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, determine o conjunto X sabendo que 
Diferença
A diferença de dois conjuntos no conjunto universo U é formada pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.
· A – B (Leia-se: a diferença entre A e B)
Definição da diferença
Sejam A e B conjuntos, a diferençaentre A e B é dada por:
· A − B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplos:
· 
A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 4, 6} 
B – A = {6}
A – B = {2, 3}
Propriedades
· 
· (A – B) ⊂ A
· A – ∅ = A
· ∅ – A = ∅
· A – (A ∩ B) = A – B
Exercício resolvido:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {2, 3} e D = {0, 7, 8}, temos:
A – B = {1, 2}
A – C = (1, 4, 5} (Nesse caso, A – C = – (lê-se complementar de C em relação a A)
B – A = {6}
C – D = {2, 3}, pois, como C 
C – A = 
D – D = 
 ⊄ B.
Exercícios 
1) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, c, d, e}, C = {c, d} e D = {a, d, e}, classifique cada uma das sentenças seguintes em verdadeira (V) ou falsa (F):
a) A – B = {b}
b) B – C = {a, e}
c) D – B = {c}
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) (
2) Dados os conjuntos A = {2, 4, 8, 12, 14}, B = {5, 10, 15, 20, 25} e C = {1, 2, 3, 18, 20}, determine:
a) 
b) A – C
c) B – C
d) (C – A) 
e) (A – B) 
3) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5} e C = {3, 4, 5, 6, 7}, determine o número de subconjuntos de (A – B) 
4) Desenhe um diagrama de Venn para três conjuntos de X, Y e Z, não vazios, satisfazendo as condições: Z ⊄ Y, X 
5) Com siderando o conjunto Universo U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e dados A = {x 
a) 
b) A 
c) A 
d) A – C
e) C – B
f) (A -B) 
g) (A 
h) C 
6) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Se U tem 35 elementos, A tem 20 elementos, 
A tem 6 elementos e A tem 28 elementos, determine o número de elementos dos conjuntos:
a) B
b) A – B
c) B – A
DESAFIO
(TCE-PB). Um fato curioso ocorreu em uma família no ano de 1936, Nesse ano, Ribamar tinha tantos anos quantos expressavam os dois últimos algarismos do ano em que nascera e, coincidentemente, o ano ocorria com a idade de seu pai. Nessas condições, em 1936, quantos anos somavam as idades de Ribamar e de seu pai?