APOL 3 - 100

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APOL Análise Matemática – Nota 100 
Questão 1/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos 
ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à 
esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto 
xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os 
pontos aa e bb.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura 
e Aplicada, 2013. p. 162. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as 
afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. 
 
I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2]. 
II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação. 
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V-V-F-V 
 
B F-F-V-V 
 
C V-F-F-V 
 
D V-F-V-F 
 
E F-V-V-V 
Você acertou! 
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no 
conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém 
pontos de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A 
afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está 
correta pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3). 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
“É uma circunstância notável que a noção de área esteja relacionada com as derivadas.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e 
Aplicada,2008,p. 304.} 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática , assinale a alternativa correta. 
Nota: 10.0 
 
A O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado somente a funções trigonométricas. 
 
B Se uma a derivada de uma função f(x)f(x) é igual ao valor numérico da integral de f(x)f(x) dizemos que é uma função primitiva. 
 
C O valor numérico da integral superior em um intervalo (a,b)(a,b) corresponde ao dobro do valor da integral inferior no intervalo 
considerado. 
 
D A primitiva de uma função ff em x0x0 é outra função FF que representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto x0x0. 
 
E A representação geométrica do valor de uma integral para uma função integrável em um intervalo (a,b)(a,b) é a área entre o gráfico da 
função e o eixo das abscissas xx no intervalo de integração. 
Você acertou! 
Resultado da igualdade entre a integral superior e a integral inferior no intervalo considerado e que possibilita muitas aplicações da integral em 
diversas áreas (livro-base p.139) 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica: 
 
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯ 
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as 
afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas. 
 
I. ( ) A sequência de termos (rn)(rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈Rr∈R 
II. ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rnSn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 
1−rn+11−r1−rn+11−r . 
 
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1|r|≥1 
IV. ( ) ∑∞n=0(12)n=2∑n=0∞(12)n=2 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V-V-V-F 
 
B V-F-V-F 
 
C F-V-V-F 
 
D F-V-V-V 
Você acertou! 
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1|r|≥1. A afirmativa II é 
verdadeira pois SnSn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1|r|≥1, a sequencia dos termos não 
converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12r=12. 
Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2∑n=0∞(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2). 
 
E F-V-F-V 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste 
em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em 
palavras como: 
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada 
da função de dentro”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. 
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta 
h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da 
Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada. 
Nota: 10.0 
 
A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) 
 
B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
 
C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
Você acertou! 
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4). 
 
D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
 
E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte trecho de texto a seguir: 
 
“A soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais. Deste modo, quando 
escrevemos ∑∞n=1an=s∑n=1∞an=s, queremos dizer que, somando um número suficientes de termos da 
série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número ss. Observe que 
∑∞n=1an=limn→∞∑ni=1ai∑n=1∞an=limn→∞∑i=1nai”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning , v. 2. 2011. p. 653. 
 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à séries numéricas, assinale a 
alternativa que contém apenas séries convergentes. 
Nota: 10.0 
 
A ∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n 
 
B 
∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=12n+1∑n=1∞2n+1, ∑∞n=11n∑n=1∞1n 
 
C ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=112n+1∑n=1∞12n+1, ∑∞n=1(−1)nn∑n=1∞(−1)nn 
Você acertou! 
A série ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2 é uma p-série com p=2>1p=2>1, logo, é convergente. A série ∑∞n=112n+1∑n=1∞12n+1 é uma série geométrica 
com |p|=12<1|p|=12<1, logo, converge. A série ∑∞n=1(−1)nn∑n=1∞(−1)nn converge pelo teste de Leibniz. (livro-base, capítulo 2). 
 
D ∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=11n3∑n=1∞1n3 
 
E ∑∞n=1n3∑n=1∞n3, ∑∞n=1n2∑n=1∞n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n 
 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de 
valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo pode ser limitado 
(aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. 
Considere a expansão da série de 
potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. 
Nota: 10.0 
 
A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ 
 
B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ 
Você acertou! 
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório 
temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-
base p. 185). 
 
C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ 
 
 
D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ 
 
 
E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯ 
 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem 
sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista. 
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e 
por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, 
analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1. 
 
PORQUE 
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0), 
se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos 
55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 
A As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira. 
 
B As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da primeira. 
Você acertou! 
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para 
todo n>2n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita 
(livro-base, capítulo 1). 
 
C A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa. 
 
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 
E As asserções I e II são proposições falsas. 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Observe a seguinte série numérica: 
 
∑∞132k41−k∑1∞32k41−k 
 
 
Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a convergência de séries 
numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da série mostrada acima. 
Nota: 10.0 
 
A A série converge para 9494 
 
B A série converge para 3434 
 
C A série diverge. 
Você acertou! 
reescrevendo a série, temos: ∑∞132k41−k=∑∞19k4k−1=∑∞19(94)k−1∑1∞32k41−k=∑1∞9k4k−1=∑1∞9(94)k−1. Logo, essa é uma série geométrica 
com r=94>1r=94>1. Portanto, a série diverge. (livro-base, Capítulo 2). 
 
D A série diverge para 4343 
 
E A série converge para 12. 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
“Em vários problemas da Matemática e das duas aplicações busca-se uma função que cumpra certas 
condições dadas. É frequente, nestes casos, obter-se uma sequência de funções cada uma das quais cumpre 
as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 151. 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta. 
Nota: 10.0 
 
A Na convergência simples o valor de NN encontrado não depende de nenhum valor atribuído. 
 
B A sequência de Cauchy está relacionada é um exemplo de convergência simples. 
 
C Na convergência uniforme o valor de NN a ser encontrado deve depender apenas do valor de εε. 
Você acertou! 
Consequência da definição da convergência uniforme em contraposição à convergência simples onde NN depende dos valores dados para εε e xx. 
(livro-base p.167-168) 
 
D Geometricamente qualquer sequência de funções fnfn converge de forma simples para outras funções sendo dependente de εε e xx. 
 
E Seja (fn)(fn) uma sequência de funções com fn:[a,b]→Rfn:[a,b]→R que converge uniformemente para uma função f:[a,b]→Rf:[a,b]→R. 
Se cada função fnfn é integrável então ff não tem primitiva. 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1. 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é 
correto afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 
A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável. 
 
B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua. 
 
C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes. 
 
D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável. 
Você acertou! 
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos 
que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é 
derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4). 
 
E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.