Ângulos: teoria completa + exercícios resolvidos

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E-Book de Geometria
 Ângulos
 
2 
 
 
 
 
Vamos aprender tudo sobre ângulos de forma simples e objetiva? 
Tente fazer os exercícios e depois confira as resoluções. 
 
Vamos com tudo! 
 
Definição de ângulo: É região formada por duas semirretas de mesma origem (vértice do ângulo). 
Segue um ângulo de vértice O formado pelas semirretas 𝑂𝑂𝑂𝑂�⎯� e 𝑂𝑂𝑂𝑂 �⎯�que são os lados do ângulo. 
 
 
 
A unidade de medida padrão utilizada para ângulos é o “grau”, que corresponde à 
1
360
 de um ângulo 
de uma volta. 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, dividindo um círculo em 360 partes iguais, obtemos 360 ângulos de 1º grau, 
Porém, quando este valor não for inteiro, precisamos utilizar os submúltiplos do grau: minuto (‘) e 
segundo (“): 
 
 1 grau equivale a 60 minutos: 10 = 60’. 
 
 1 minuto equivale a 60 segundos: 1’ = 60” 
Ângulo AÔB 
VÉRTICE 
Ângulos 
 
3 
 
 
Classificação dos ângulos: 
 
Os ângulos recebem uma classificação de acordo com a sua medida, que seguem abaixo. 
 
 Reto: É todo ângulo com medida 900. Sua representação é sempre um “quadrado com um 
ponto no centro”. Note que os lados do ângulo reto não necessariamente sempre estarão nas 
posições horizontal e vertical. 
 
 
 
 
 Agudo: É todo ângulo com medida menor que 900. 
 
 
 
 
 Raso: É todo ângulo com medida igual a 1800. Também chamado de ângulo de meia – volta. 
Note que os lados do ângulo não necessariamente estarão sempre na posição horizontal ou 
vertical. 
 
 
 
 
 
 
 Ângulo obtuso: É todo ângulo com medida maior que 900 e menor que 1800. 
 
Ângulo reto 
Ângulo reto 
Ângulo 
agudo 
1800 
1800 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
Duas retas concorrentes, que se interceptam em um único ponto, determinam dois pares de 
ângulos, chamados de ângulos opostos pelo vértice. Na figura abaixo observe os pares de ângulos 
cujas medidas estão representadas pelas letras a, b, c e d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note pelo esquema apresentando acima, que os ângulos a e b são iguais, já que a + c = 180º e 
b + c = 180º, então a = b. Da mesma forma, temos que b + c = 180º e b + d = 180º e, portanto, c = d. 
 
Conclusão: Ângulos opostos pelo vértice sempre possuem a mesma medida, isto é, são 
congruentes. 
 
 
 
 
 
Dois ângulos são complementares quando suas medidas somam 900. Neste caso, um ângulo 
é dito complemento do outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo 
obtuso 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
 
5 
 
Note que os ângulos 30º e 60º acima são complementares. Logo, 30º é complemento de 60º e 60º é 
complemento de 30º. 
 
COMPLEMENTO DE UM ÂNGULO DESCONHECIDO: Quando a medida de um ângulo é 
desconhecida, podemos representar esta medida por x. Consequentemente a medida do seu 
complemento é a diferença entre 90º e x, representada por (900 – x). 
 
 
 
Dois ângulos são suplementares quando suas medidas somam 1800. Neste caso, um é dito 
suplemento do outro. 
 
 
 
 
 
 
 
Note que os ângulos 120º e 60º acima são suplementares. Logo, 120º é suplemento de 60º e 60º é 
suplemento de 120º. 
 
SUPLEMENTO DE UM ÂNGULO DESCONHECIDO: Quando a medida de um ângulo é desconhecida, 
podemos representar esta medida por x. Consequentemente a medida do seu suplemento a diferença 
entre 180º e x, representada por (1800 – x). 
 
 
 
 
É a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (mesma medida). Veja o exemplo 
na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
Bissetriz 
 
6 
 
A semirreta 𝑂𝑂𝑂𝑂�����⃗ divide o ângulo 𝑂𝑂𝑂𝑂�𝑂𝑂 = 800 em dois ângulos congruentes de 40º. Por isso a 
semirreta OC é bissetriz do ângulo AOB. 
 
 
 
 
 
Considere duas retas paralelas r e s, e uma transversal t. 
 
 
Note que existe a formação de oito ângulos, sendo quatro ângulos formados na interseção das 
retas r e t, mais quatro ângulos na interseção das retas s e t. Porém os ângulos são representados por 
duas cores: preto e vermelho. Isso significa que: 
 
 As medidas dos ângulos pretos são iguais entre si: a = b = c = d; 
 As medidas dos ângulos vermelhos são iguais entre si: E = F = G = H. 
 
Note que a soma de qualquer ângulo preto e com qualquer ângulo vermelho, resulta em 1800. 
 
Conclusão: Escolhidos dois ângulos quaisquer dentre os 8 ângulos, temos apenas duas opções: Eles 
serão congruentes (mesma medida) ou suplementares. 
 
Nomenclatura dos ângulos: Os oito ângulos são classificados e separados em pares, cujas 
nomenclaturas seguem abaixo: 
 
 Alternos internos: São ângulos congruentes representados pelos pares na figura: (b e c); (F e G); 
 
 Alternos externos: São ângulos congruentes representados pelos pares na figura: (a e d); (E e H); 
 
 Correspondentes: São ângulos congruentes representados pelos pares na figura: (a e c); (b e d); 
(E e G); (F e H); 
 
 Colaterais internos: São ângulos suplementares representados pelos pares na figura: (b e G); (F e 
c); 
 
RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL 
 
7 
 
 Colaterais externos: São ângulos suplementares representados pelos pares na figura: (E e d); (a e 
H); 
 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que apesar da existência de 8 ângulos acima, só temos duas medidas, 100º e 80º. Isso sempre 
ocorre quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal. 
 
 
 
 
1- Qual é o ângulo que somado ao dobro do seu suplemento resulta em 1900? 
 
 
2- Um ângulo, somado à metade de seu complemento, totaliza 650. Calcule esse ângulo? 
 
 
3- De um ângulo retiramos o seu complemento e adicionamos metade do seu suplemento, obtendo o 
resultado de 1200. Qual é esse ângulo? 
 
 
4- Considere a divisão do ângulo de 1800 em partes proporcionais a 1, 2 e 3. Calcule esses ângulos. 
 
 
5- (UNIFOR-CE) A medida em graus de um ângulo  é igual ao triplo da medida do seu complemento. 
O ângulo  mede: 
a) 900 
b) 670 30’ 
c) 600 
d) 480 30’ 
e) 450 
 
6- (Cesgranrio) As retas r e s da figura são paralelas e cortadas pela transversal t. Se a medida do 
ângulo B é o triplo da medida do ângulo A, então B – A vale: 
Exercícios 
 
8 
 
 
 
 
 
 
a) 90o 
b) 85o 
c) 80o 
d) 75o 
e) 60o 
 
7- Sabendo que as retas r e s são paralelas, calcule as medidas x e b representados na figura. 
 
 
 
8- Calcule a medida do ângulo α representado abaixo, sabendo que as retas 𝑟𝑟1 e 𝑟𝑟2 são paralelas: 
 
 
 
 
9- Na figura abaixo, as retas r e s são cortadas por duas transversais t e u. Calcule as medidas dos 
ângulos x e y: 
 
 
 
 
 
9 
 
10- Na figura, BC é a bissetriz do ângulo OCD. Determine o valor de γ: 
 
 
 
 
a) 40° 
b) 35° 
c) 60° 
d) 30° 
e) 45° 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1- 1700 
0
00
00
170
1902360
190)180.(2
=
=−+
=−+
x
xx
xx
 
 
 
2- 400 
 
( )
0
00
0
0
40
130902
65
2
90
=
=−+
=
−
+
x
xx
xx
 
 
 
3- 800 
 
( ) ( )
0
0
000
0
0
0
80
120
2
3
120
2
9090
120
2
18090
=
=
=−++−
=
−
+−−
x
x
xxx
xxx
 
 
 
4- 300, 600 e 900 





=
=
=
⇒=
=
=++
=
=
=
0
0
0
0
0
0
90
60
30
30
1806
18032
3
2
c
b
a
x
x
xxx
xc
xb
xa
 
 
 
 
5- B 
( )




=
=
=
=
−=
=
'3067
'601
5,67
2704
90.3
0
0
0
0
0
x
x
x
xx
xÂ
 
Gabaritos e resoluções 
 
10 
 
6- A 
 
 
 
7- x = 200 e b = 1000 
 
 
 
8- 400 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9- y = 160o x = 110o 
 
 
 
10- B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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