a mudança de variaveis para coordenadas polares muitas vezes simplifica o calculo de integrais duplas, especialmente em regioes com simetria circul...

Para resolver essa integral dupla utilizando coordenadas polares, primeiro precisamos converter a função e a região para coordenadas polares. Dada a função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \), em coordenadas polares, temos que \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \). Substituindo na função, obtemos \( f(r,\theta) = r^2 \). A região delimitada pelo círculo de raio 2 centrado na origem em coordenadas polares é \( 0 \leq r \leq 2 \) e \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \). A integral dupla da função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) sobre essa região em coordenadas polares é dada por: \[ \iint\limits_{D} f(x,y) \,dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2 \cdot r \,dr \,d\theta \] Resolvendo a integral, temos: \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \,dr \,d\theta = \int_{0}^{2\pi} [\frac{r^4}{4}]_{0}^{2} \,d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \frac{16}{4} \,d\theta = \int_{0}^{2\pi} 4 \,d\theta = [4\theta]_{0}^{2\pi} \] \[ = 4(2\pi - 0) = 8\pi \] Portanto, o valor da integral dupla da função \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) sobre a região delimitada pelo círculo de raio 2 centrado na origem, utilizando coordenadas polares, é \( 8\pi \).