Microsoft Word - AD01-C2-2021-1-Gabarito docx

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD1 (2021/1) – Gabarito 
1ª Questão  (3,5 pontos)  O gráfico da função  
3 2( ) 2 6 12 16f x x x x      e  as retas  4x    e   5x   
limitam, junto com o eixo  x , a união de quatro regiões no plano. Determine o que se pede.
 
 
(a) Esboce o gráfico, indicando as regiões.   
(b) Determine a área de cada uma das quatro regiões.  
(c) Use o item (b) para calcular  
5
4
( )f x dx

 , interpretando o resultado em termos de áreas . 
(d) Use o item (b) para calcular  
5
4
( )f x dx

 , interpretando o resultado em termos de áreas. 
 
Solução da 1ª Questão (a) 
    
Por tentativa, pode‐se perceber que  1x  é uma raiz da função  3 2( ) 2 6 12 16f x x x x     , de modo que 
sua expressão pode ser fatorada por  
 
3 2 2( ) 2 6 12 16 ( 1).( 2 4 16) 2.( 1).( 2).( 4)f x x x x x x x x x x               . 
 
Sendo assim, o gráfico da função intersecta o eixo  x  nas abscissas  2x   ,  1x   e  4x  . 
 
Além disso,   3 2lim 2 6 12 16
x
x x x

         e    3 2lim 2 6 12 16
x
x x x

       
 
O gráfico da função  f  é mostrado na figura 1.1 a seguir, realçando cada uma das quatro regiões requeridas 
no enunciado: 
 
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
2	
 
   
Figura 1.1 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (b) 
 
 
Pelo  gráfico,  nota‐se  que  a  função  ( )f x   é  negativa  nas  abscissas    2 1x     e  4 5x  ,  as  quais 
correspondem às regiões  2R   e   4R , respectivamente, e é positiva nas abscissas 4 2x     e 1 4x  , 
as quais correspondem às regiões  1R   e  3R  , respectivamente. 
 
Desta forma, as áreas de cada uma das quatro regiões são dadas por: 
 
 
 
22 2 4
3 2 3 2
1
4 4 4
( ) ( ) 2 6 12 16 2 6 16
2
16 256
16 24 32 128 96 64 128 . .
2 2
x
A R f x dx x x x dx x x x
u a
 
  
 
            
 
                
   
 
           (1) 
 
 
 
 
 
11 1 4
3 2 3 2
2
2 2 2
( ) ( ) 2 6 12 16 2 6 16
2
1 16 81
2 6 16 16 24 32 . .
2 2 2
x
A R f x dx x x x dx x x x
u a
  
 
               
 
                 
   
 
                            
  (2) 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
3	
 
 
 
44 4 4
3 2 3 2
3
1 1 1
( ) ( ) 2 6 12 16 2 6 16
2
256 1 81
128 96 64 2 6 16 . .
2 2 2
x
A R f x dx x x x dx x x x
u a
 
            
 
                
   
 
       (3) 
 
 
 
55 5 4
3 2 3 2
4
4 4 4
( ) ( ) 2 6 12 16 2 6 16
2
625 256 49
250 150 80 128 96 64 . .
2 2 2
x
A R f x dx x x x dx x x x
u a
 
               
 
                 
   
 
  (4) 
 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (c) 
 
Utilizando a proposição 2.2 do caderno didático e as identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição 
 
 
 
3 41 2
5 2 1 4 5
4 4 2 1 4
2 1 4 5
4 2 1 4
( ) ( )( ) ( )
1 2 3 4
1 3 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A R A RA R A R
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx f x dx
A R A R A R A R
A R A R A R

  

 
    
   
            
   
   
    
   
  
 4( )
81 81 49 207
128
2 2 2 2
A R
          
   
 
 
Sendo  assim,  a  integral         
5
1 3 2 4
4
207
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f x dx A R A R A R A R

         representa  a  diferença 
entre a área total acima do eixo x e a área total abaixo do mesmo, mostrando que a área acima do eixo x 
supera a de baixo em 
207
2
 u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
4	
Solução da 1ª Questão (d) 
 
Avaliando o sinal da função em cada intervalo e utilizando a proposição 2.2 do caderno didático além das 
identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição 
 
 
   
3 41 2
5 2 1 4 5
4 4 2 1 4
2 1 4 5
4 2 1 4
( ) ( )( ) ( )
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
81 81 49
128
2 2 2
A R A RA R A R
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx f x dx
A R A R A R A R

  

 
    
   
            
   
   

    
   
  
467
2
 

 
 
 
 
Sendo assim, a integral   
5
1 2 3 4
4
467
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f x dx A R A R A R A R

       representa a área total 
da região delimitada pelo gráfico, pelo eixo x e pelas retas dadas. 
 
 
 
 
2ª Questão  (3,0 pontos)   
Sejam    ( )g t ,  ( )t  e  ( )t  funções contínuas em   e  ( )A x ,  ( )B x ,  ( )F x  e  ( )H x   funções 
deriváveis em   .   Considere os dados a seguir: 
 
 
 
(0) 2 (12) 4 (13) 1 (15) 3
(3) 5 (4) 3 (3) 7 (4) 2
g g g g
   
     
      
 
0
13
4( )g t dt     ,  
12
15
7( )g t dt    ,  
3
4
8( )t dt    e  
3
4
3( )t dt   
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
5	
 
Sendo 
( )
( )
( )( )
a x
b x
g t dtG x   ,  
 com 
3
( )
( )( ) ( )
A x
F xa x t dt   e  
4
( )
( ) ( ). ( )
B x
b x H x t dt  , 
calcule  ( )G x  e  ' ( )G x   para  0, 1, 2x   e 3 .. 
 
 
Solução da 2ª Questão 
 
 
 
Usando o TFC e a regra da cadeia, temos: 
 
 
(1)           '( ). ( ) '( ). ( )'( ) b x g b x a x g a xG x   
 
 
 
Sendo que   
 
(2)      
3
( )
'( ) '( ) '( ). ( )( )( ) ( )
A x
a x F x A x A xF xa x t dt       
 
(3)  
4 4
( ) ( )
( ) '( ) '( ). ( ). '( ). ( )( ). ( ) ( )
B x B x
b x b x H x H x B x B xH x t dt t dt      
 
 
 
Nessa última, usamos a regra de derivação do produto, também. 
 
 
 
 
 
Cálculo de   0G  e de   ' 0G : 
 
(0)
(0)
( )(0)
a
b
g t dtG    . 
 
Usando os dados fornecidos: 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
6	
 
 
3 3
(0) 3
12 12 0 12(0)(0) ( ) ( )
A
Fa t dt t dt         
4 4 3
(0) 3 4
(0) ( 5). ( 5). ( 5).( 3) 15(0). ( ) ( ) ( )
B
b H t dt t dt t dt  
 
          
 
 
    
Portanto  
12
15
7( )(0) (0) 7g t dtG G      
 
Segue de(2) que       '(0) '(0) '(0). (0) 1 2. 3 1 2.5 11 '(0) 11a F A A a           
 
Segue de (3) que      
   
4 4
3
(0) 3
4
'(0) '(0). (0). '(0). (0) ( 2). ( 5).( 6). 3
( 2). ( 5).( 6).7 ( 2).( 3) 210 216
( ) ( )
( )
B
b H H B Bt dt t dt
t dt
  

       
 
           
 
 
 

 
 
 
       Substituindo em (1), segue que  
       '(0). (0) '(0). (0) 216. 15 11. 12 216.3 11.4 604'(0)
'(0) 604
b g b a g a g gG
G
     



 
 
 
 
Cálculo de   1G  e de   ' 1G : 
 
(1)
(1)
( )(1)
a
b
g t dtG    . 
 
Usando os dados fornecidos: 
 
 
3 3
(1) 3
13 13 0 13(1)(1) ( ) ( )
A
Fa t dt t dt         
4 4
(1) 4
(1) 1. 1.0 0(1). ( ) ( )
B
b H t dt t dt       
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
7	
Portanto  
13 0
0 13
4( ) ( )(1) (1) 4g t dt g t dtG G         
 
Segue de(2) que       '(1) '(1) '(1). (1) 1 1. 3 1 1.5 6 '(1) 6a F A A a           
 
Segue de (3) que          
4 4
(1) 4
'(1) '(1). (1). '(1). (1) 3. 1.2. 4
3.0 1.2.2 0 4 4
( ) ( )
B
b H H B Bt dt t dt      
    
   
 
 
       Substituindo em (1), segue que  
       '(1). (1) '(1). (1) 4. 0 6. 13 4.( 2) 6.( 1) 2'(1)
'(1) 2
b g b a g a g gG
G
        


  
 
 
 
 
 
 
Cálculo de   2G  e de   ' 2G : 
 
(2)
(2)
( )(2)
a
b
g t dtG    . 
 
Usando os dados fornecidos: 
 
 
3 3
(2) 4
7 7 8 15(2)(2) ( ) ( )
A
Fa t dt t dt         
4 4 3
(2) 3 4
(2) ( 4). ( 4). (4).( 3) 12(2). ( ) ( ) ( )
B
b H t dt t dt t dt  
 
          
 
 
    
Portanto  
15 12
12 15
( 7) 7( ) ( )(2) (2) 7g t dt g t dtG G          
 
Segue de(2) que       '(2) '(2) '(2). (2) 2 ( 3). 4 2 ( 3).( 3) 11 '(2) 11a F A A a              
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
8	
Segue de (3) que      
   
4 4
3
(2) 3
4
'(2) '(2). (2). '(2). (2) 1. ( 4).5. 3
1. ( 4).5.7 1.( 3) 140 143
( ) ( )
( )
B
b H H B Bt dt t dt
t dt
  

     
 
         
 
 
 

 
 
 
       Substituindo em (1), segue que  
       '(2). (2) '(2). (2) ( 143). 12 11. 15
( 143).4 11.3 605
'(2)
'(2) 605
b g b a g a g gG
G
    
     

   
 
 
 
 
Cálculo de   3G  e de   ' 3G : 
 
(3)
(3)
( )(3)
a
b
g t dtG    . 
 
Usando os dados fornecidos: 
 
 
3 3
(3) 4
5 5 8 13(3)(3) ( ) ( )
A
Fa t dt t dt         
4 4
(3) 4
(3) 6. 6.0 0(3). ( ) ( )
B
b H t dt t dt       
Portanto  
13 0
0 13
4( ) ( )(3) (3) 4g t dt g t dtG G         
 
Segue de(2) que       '(3) '(3) '(3). (3) 1 4. 4 1 4.( 3) 11 '(3) 11a F A A a              
 
Segue de (3) que          
4 4
(3) 4
'(3) '(3). (3). '(3). (3) 2. 6.3. 4
2.0 6.3.2 0 36 36
( ) ( )
B
b H H B Bt dt t dt      
    
   
 
 
       Substituindo em (1), segue que  
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
9	
       '(3). (3) '(3). (3) 36. 0 ( 11). 13
36.( 2) ( 11).( 1) 83
'(3)
'(3) 83
b g b a g a g gG
G
    
       

   
 
 
3ª Questão  (3,5 pontos)  Considere a região R  do plano, limitada pelas curvas  14xy   , 15 8 143 0x y    
,  13yx   e   24 8 15 60 0x x y    . Faça o que se pede a seguir. 
(dado:  (1,16)  e  (9,1)  são pontos das interseções entre as curvas.) 
 
     a) Esboce a região R . 
     b) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de  x . 
     c) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de  y . 
     d) Encontre a área da região R  (Use a representação mais conveniente). 
 
Solução da 3ª Questão (a) 
 
 
 
A região é esboçada na figura 3.1 a seguir. 
 
 
 
Figura 3.1 
 
 
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
10
	
 
 
Solução da 3ª Questão (b) 
 
 
 
Neste caso, verificamos que é necessário dividir a região em três sub‐regiões, como mostra a figura 
3.2 a seguir .  
 
 
 
Figura 3.2 
 
 
Na figura anterior, as funções já aparecem expressas em termos da variável x. 
 
Temos portanto: 
 
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
11
	
( )
1
2
1 2
1
0
( )
3 2
1
( )
( )
64 4( 1)
4
15
15 143 64 4( 1)
8 15
15 143
8
x
A R
A R
A R
x
dx
x x
dx
x
+
=
æ öæ ö- + ÷ç ÷ç ÷÷= - +ç ç ÷÷ç ç ÷÷çç è øè ø
æ öæ öæ ö- + - + ÷ç ÷ç÷ç ÷÷+ - +ç ÷ çç ÷÷ç ÷ç ç ÷÷ççè ø è øè ø
- +
+
ò
ò


( )
3
9
3
3
( )
1 log
A R
x dx
æ öæ ö ÷ç ÷ç - - + ÷÷çç ÷÷çç ÷è øè øò
 
Ou ainda 
 
( ) ( )
1 9 3 92
1
3
0 1 0 3
15 143 64 4( 1)
( ) 4 1 log
8 15
x x xA R dx dx dx x dx+
æ öæ ö- + - + ÷ç÷ç ÷= + - - - +÷ çç ÷÷ç ç ÷çè ø è øò ò ò ò  
 
   
Solução da 3ª Questão (c)  
 
 
Para representar a área da região R  em termos de y  , precisamos dividi‐la em três  
sub‐regiões , como mostra a figura 3.3 a seguir, além de expressar   x  como função de  y  .  
Na parábola 
24 8 15 60 0x x y    , completando quadrados temos 
 
( ) ( )
( ) ( )
22 2
2 2
15 60 4 8 4. 2 1 1 4 1 4
64 1564 15
4 1 15 64 1 1
4 2
y x x x x x
yy
x y x x
- =- - =- + + - =- + +
--
- + = -  + =  =- 
 
o que nos dá os dois ramos da parábola correspondendo às partes em que  1x ³-   e  1x£- .  
No caso em questão, estamos interessados no trecho  1x³- , portanto 
64 15
1
2
y
x
-
=- + . 
Nas demais funções, isolar a variável x é mais simples. As funções estão apresentadas na figura 3.3.  
 
 
 
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
12
	
 
 
 
Figura 3.3 
 
Temos portanto: 
 
( )
1
2
1
1
0
( )
4
1
( )
( )
64 15
3 1
2
64 158 143
1
15 2
8
y
A R
A R
A R
y
dy
yy
dy
+
=
æ öæ ö- ÷ç ÷ç ÷÷ç ç- - + +÷÷ç ç ÷÷ç ÷ç ÷ç è øè ø
æ öæ öæ ö -- + ÷ç ÷ç÷ ÷ç ÷ç ç+ - - + +÷ ÷÷çç ç÷ ÷ç ÷çè ø ÷ç ÷ç è øè ø
-
+
ò
ò


( )
3
16
4
4
( )
143
1 log
15
A R
y
y dy
æ öæ ö+ ÷ç ÷ç - - + ÷÷çç ÷÷çç ÷è øè øò
 
 
ou ainda 
 
  ( ) ( )
1 16 4 16
1
4
0 1 0 4
64 158 143
( ) 3 1 1 log
15 2
y yyA R dy dy dy y dy+
æ öæ ö -- + ÷ç÷ç ÷ç= + - - + - - +÷ ÷ç ç÷ç ÷è ø ÷çè ø
ò ò ò ò  
 
 
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
13
	
 
Solução da 3ª Questão (d) 
 
Em ambas as expressões obtidas nos itens (b) e (c) , é preciso calcular a primitiva de uma função 
logarítmica. Entretanto, com o conteúdo visto até o momento, não podemos obter tal primitiva 
( esta função exigirá o uso do método da Integração por Partes). 
 
Para fugir deste problema, poderíamos considerar a divisão da região mostrada na figura 3.4 a 
seguir. 
 
 
Figura 3.4 
 
Neste caso, a área pode ser obtida por uma mescla de integrações relativas à variável x e à variável y: 
 
 
 
Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
Pá
gi
na
14
	
( )
1
2
1 2
1
0
( )
3 2
1
( )
( )
64 4( 1)
4
15
15 143 64 4( 1)
8 15
15 143
8
x
A R
A R
A R
x
dx
x x
dx
x
+
=
æ öæ ö- + ÷ç ÷ç ÷÷= - +ç ç ÷÷ç ç ÷÷çç è øè ø
æ öæ öæ ö- + - + ÷ç ÷ç÷ç ÷÷+ - +ç ÷ çç ÷÷ç ÷ç ç ÷÷ççè ø è øè ø
- +
+
ò
ò


( )
( ) ( )
3 4
9 1
1
3 0
( ) ( )
1 9 3 12
1 1
0 1 0 0
11 2
0
1 3 3
15 143 64 4( 1)
4 3 3
8 15
4 15 143
ln 4 16 8
y
A R A R
x y
x
dx dy
x x
dx dx dx dy
x x
+
+ +
+
æ öæ ö ÷ç ÷ç - + -÷÷çç ÷÷çç ÷è øè ø
æ öæ ö- + - + ÷ç÷ç ÷= + - + - =÷ çç ÷÷ç ç ÷çè ø è ø
é ù é-ê ú ê= + +ê ú êë û ë
ò ò
ò ò ò ò
 
9 3 13 1
1 0 0
2
64 4( 1) 3
3
15 45 ln 3
16 4 15.9 143.9 15 143 64 256 4 9 3
3
ln 4 16 8 16 8 5 45 45 ln 3
6
ln 2
yx x
y
+ù é ù é ù+ú ê ú ê ú- - + - =ú ê ú ê úû ë û ë û
é ùæ ö é ùé ù æ ö æ ö æ ö é ù- - - -÷ç ÷ ÷ ÷ê úç ç çê ú÷ê ú ê ú= + + - + - - - - + - =÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ê úç ç ç ç÷ ê úçê ú ê úè ø è ø è øè øë û ë ûë ûë û
æ öç= ççè ø
1088 324 6 6 6 289
3 . . 7,547 . .
16 45 ln 3 ln 2 ln 3 5
u a u a
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç+ - + - = + + »÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø