AD01-C2-2018-2-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD1 (2018/2) – Gabarito 
 
 
1ª Questão (3,0 pontos) Considere a região R do plano, limitada pelas curvas 2
6
xy  , 3 6x y  e 
4log ( 16)x y  
 
a) Apresente um esboço aproximado da região R ; 
b) Represente (sem calcular!) a área da região R por meio de uma ou mais integrais definidas em termos 
da variável x ; 
c) Represente (sem calcular!) a área da região R por meio de uma ou mais integrais definidas em termos 
da variável y ; 
d) Calcule a área da região R (Use a representação mais conveniente). 
 
 
Solução da 1ª Questão (a) 
 
A figura 1.1 a seguir mostra o esboço da região considerada. 
 
 
Figura 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
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P
ág
in
a2
 
 
 
O ponto de interseção das curvas exponenciais pode ser encontrado por 
 
 
2
4log ( 16) 16 4 2
2 6.2
6
x x
x x
x y y
y
y
      


  

` 
Ou seja 
 
2
6.2 16 2x x  
 
Fazendo 2xz  , fica 2 6 16 0 8 2z z z ou z       . 
 
Como 2 0xz   , então 32 8 3 6.2 48x x y y       
 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (b) 
 
O esboço da figura anterior mostra que é necessário dividir a região em duas sub-regiões R1 e R2, como 
mostra a figura 1.2 seguinte. 
 
 
Figura 1.2 
 
 
Neste caso 
     1 2Área R Área R Área R  
 
Sendo que 
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P
ág
in
a3
 
 
 
   
2
1
0
6.2 (6 3 )xÁrea R x dx   e    
3
2
2
6.2 (4 16)x xÁrea R dx   
 
Desta forma: 
 
     
2 3
0 2
6.2 (6 3 ) 6.2 (4 16)x x xÁrea R x dx dx       
 
 
Solução da 1ª Questão (c) 
 
O esboço da região apresentado no item (a) mostra que é necessário dividir a região em duas sub-
regiões R1 e R2, como mostra a figura 1.2 seguinte. 
 
 
Figura 1.3 
 
 
Neste caso 
     1 2Área R Área R Área R  
 
Sendo que 
 
 
 
6
1 4
0
6
log ( 16)
3
y
Área R y dy
  
    
  
 e    
48
2 4 2
6
log ( 16) log ( / 6)Área R y y dy   
 
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P
ág
in
a4
 
 
 
Desta forma: 
 
   
6 48
4 4 2
0 6
6
log ( 16) log ( 16) log ( / 6)
3
y
Área R y dy y y dy
  
       
  
  
 
 
 
Solução da 1ª Questão (d) 
 
Usemos a expressão obtida no item 1b: 
 
     
2 3
0 2
6.2 (6 3 ) 6.2 (4 16)x x xÁrea R x dx dx       
 
Sabe-se, do curso de Cálculo I, que a derivada da função exponencial xy a , de base 0a  , 1a  é 
 
  ' .lnx xa a a . 
Em particular 
 
 2 ' 2 .ln 2x x e  4 ' 4 .ln 4x x 
 
e portanto 
2
' 2
ln 2
x
x   
 
 e 
4
' 4
ln 4
x
x   
 
 
 
Desta forma, usando o TFC tem-se 
 
     
2 32 3 2
0 2 0 2
2 2 0 2 3 3 2 2
6.2 3 6.2 4
6.2 (6 3 ) 6.2 (4 16) 6 16
ln 2 2 ln 2 ln 4
6.2 3.2 6.2 3.0 6.2 4 6.2 4
6.2 6.0 16.3 16.2
ln 2 2 ln 2 2 ln 2 ln 4 ln 2 ln 4
24
12
ln 2
x x x
x x x xÁrea R x dx dx x x
   
               
   
       
                   
       
  
 
6 48 64 24 16
6 48 32
ln 2 ln 2 2ln 2 ln 2 2ln 2
18
10
ln 2
       
              
       
 
 
 
18
10 . .
ln 2
Área R u a   
 
 
 
 
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P
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2ª Questão (3,0 pontos) Considere a região R do plano, limitada pelas curvas 3xy  , 1x y  , 
2 7x y  e 2 8 13y x x    , com 3x  . 
 
a) Apresente um esboço aproximado da região R (obtenha os pontos de interseção por inspeção no 
desenho esboçado); 
b) Represente (sem calcular!) a área da região R por meio de uma ou mais integrais definidas em termos 
da variável x ; 
c) Represente (sem calcular!) a área da região R por meio de uma ou mais integrais definidas em termos 
da variável y ; 
d) Calcule a área da região R (Use a representação mais conveniente). 
 
Solução da 2ª Questão (a) 
 
 A figura 2.1 a seguir mostra o esboço da região considerada 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 
 
A substituição das coordenadas dos pontos de interseção nas equações das curvas confirma a correção desses 
valores. 
 
Obs.: A restrição 3x  serve para evitar a interpretação mostrada na figura seguinte 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2.2 
 
 
Solução da 2ª Questão (b) 
 
 
O esboço da figura 2.1 anterior mostra, para representar o cálculo da área por meio de integrais 
relativas à variável x, que é necessário dividir a região em três sub-regiões R1, R2 e R3, como mostra a 
figura 2.3 seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P
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Figura 2.3 
 
Neste caso 
       1 2 3Área R Área R Área R Área R   
 
sendo que 
 
 
   
1
1
0
3 (1 )xÁrea R x dx   
 
2
2
1
7
(1 )
2
x
Área R x dx
 
   
 
 
 
3
2
3
2
7
( 8 13)
2
x
Área R x x dx
 
     
 
 
 
 
Desta forma: 
 
   
1 2 3
2
0 1 2
7 7
3 (1 ) (1 ) ( 8 13)
2 2
x x xÁrea R x dx x dx x x dx
    
             
   
   
 
 
 
 
 
 
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P
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in
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Solução da 2ª Questão (c) 
 
O esboço da figura 2.1 mostra que, para representar o cálculo da área por meio de integrais relativas 
à variável y, é necessário dividir a região em três sub-regiões R1, R2 e R3, como mostra a figura 2.4 
seguinte. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 
 
 
Para representar a área da região R em termos de y , precisamos também expressar x como função 
de y . 
A menos imediata é a parábola 2 8 13x xy . Completando quadrados temos 
 
22
2
8 16 16 13 4 3
4 3 4 3
x x x
y x y
y
x
 
o que nos dá os dois ramos da parábola correspondendo às partes em que 4x e 4x . 
Como visto na figura 2.4, o trecho que interessa corresponde a 4x , por isso 4 3x y 
 
Neste caso 
       1 2 3Área R Área R Área R Área R   
 
sendo que 
 
 
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P
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a9
 
    
1
1
1
4 3 (1 )Área R y y dy

     
    
2
2 3
1
4 3 (log )Área R y y dy    
   
3
3 3
2
(7 2 ) (log )Área R y y dy   
 
 
Desta forma: 
 
         
1 2 3
3 3
1 1 2
4 3 (1 ) 4 3 (log ) (7 2 ) (log )Área R y y dy y y dy y y dy

              
 
 
 
Solução da 2ª Questão (d) 
 
 
Usando a expressão do item (b) e o TFC, obtém-se: 
 
 
   
 
1 2 3
2
0 1 2
1 2 3
2 2 2 3
0 1 2
7 7
3 (1 ) (1 ) ( 8 13)
2 2
3 5 33 17
ln3 2 2 4 2 4 3
3 1 1 5 1 99 153 8
1 5 1 9 33 17
ln3 2 ln3 2 4 2 4 3
x
x
x x
Área R x dx x dx x x dx
x x x x x x
x
    
              
   
     
             
     
        
                    
       
  
2 13
ln3 3

 
 
 
 
 
 
2 13
. .
ln3 3
Área R u a  
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Considere a função 
 
 
2
3/2
log
arccos 3
arctg
sec( ) ( ) , 0
x
x
dtF x t x

  . 
(Obs.: no extremo superior de integração, o escopo da função trigonométrica é uma potência de base 3.) 
Calcule '( )F x e  ' 1F . 
 
 
 
 
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ág
in
a1
0
 
 
Solução da 3ª Questão 
 
(i) Usando o TFC e a regra da cadeia, tem-se 
 
 
           3/2 3/22 2'( ) arccos 3 '.sec arccos 3 arctg log '.sec arctg logx xF x x x   
 
Como visto na disciplina de Cálculo I, tem-se as seguintes derivadas: 
 
  
21
arccos '
1
u
u
 

 ,    2
1
arc '
1
tg u
u


 ,   ' .lnu ua a a e  
1
log '
.ln
a u
u a
 
 
Além disso: 
 
1 1
sec(arccos( ))
cos(arccos( ))
u
u u
  e 2 2sec(arctg( )) 1 tg (arctg( )) 1u u u    
 
 
Usando isso na expressão anterior, tem-se 
   
 
   
3/2 3/2
2
222
2
/2
22 4
2
1 1 1 1
'( ) 3 .ln3. . . . 1 log
3 .ln 2 1 log1 3
3 .ln3 1 1
.
.ln 21 3 1 log
x
x
x
x
x
F x x
x x
x x




 
                              
 
 
            
 
 
 
(ii) Substituindo 1x  nesta expressão obtida, temos 
 
   22 4 2
3.ln3 1 1 3 6.ln3 1
'(1) .
ln 2 4 ln 21 3 1 log 1
F

 
              
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P
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in
a1
1
 
 
 
4ª Questão (2,0 pontos) 
Considere a função  
arccos( ) 1/2
2
3
arcsen( )
cos
( ) 2 1 . , (0,1)
1 sen
x
x
t
G x x d x
t
t
 
   
 
 . 
Calcule 
2
2
G
 
  
 
,  'G x e 
2
'
2
G
 
  
 
. 
 
 
 
Solução da 4ª Questão 
 
 
(i) 
2
arccos( )2
1/2 1/22 4
3 3
2
arcsen ( )
42
0
2 2 cos cos
2 1 . 2. 0
2 2 1 sen 1 sen
t t
G d d
t t
t t



        
                        
  
 
visto que 
2
sen cos
4 2 4
    
    
   
 , então 
2 2
arcsen arccos
2 4 2
   
       
   
. 
Portanto 
 
2
0
2
G
 
  
 
 
 
(ii) Como  2( ) 2 1 . ( )G x x H x  , com 
arccos( ) 1/2
3
arcsen( )
cos
( )
1 sen
x
x
t
H x d
t
t
 
  
 
 
então 
   2 2'( ) 2 1 '. ( ) 2 1 . '( )G x x H x x H x    (*) 
 
Pelo TFC 
 
 
  
  
 
  
  
1/2 1/2
3 3
cos arccos cos arcsen
'( ) arccos '. arcsen '.
1 sen arccos 1 sen arcsen
x x
H x x x
x x
 
 
 (**) 
 
 
 
Lembrando que 
 
2
1
arcsen '
1
x
x


 e  
2
1
arccos '
1
x
x
 

 
 
 
 
 
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2
 
Como a função arccos é a inversa da função cosseno, temos que 
 
 cos arccos( )x x . 
 
Da mesma forma, a função arcsen é a inversa da função seno, 
 
 sen arcsen( )x x . 
 
Usando a identidade trigonométrica fundamental    
2 2
sen cos 1   , segue que 
   
2 2
sen(arcsen ) cos(arcsen ) 1x x  
e então 
 
22 2cos(arcsen ) 1 cos(arcsen ) 1x x x x     . 
 
 Da mesma forma 
 
   
2 2 2sen(arccos ) cos(arccos ) 1 sen(arccos ) 1x x x x     
 
 
Substituindo esses resultados na expressão (**), obtém-se 
 
 
 
1/2
2
3 32
2
11
'( ) .
11 1 1
xx
H x
xx x
 
 
   
   
 
 
 
Usando isto na expressão (*), tem-se a derivada procurada 
 
 
 
 
 
1/2
2
2
3 32
2
11
'( ) 4 . ( ) 2 1 .
11 1 1
xx
G x x H x x
xx x
 
   
       
    
 
 
 
ou 
 
 
1/2
2
arccos( ) 1/2 2
33 32
2arcsen( )
1cos 2 1
'( ) 4 . .
1 sen 11 1 1
x
x
xt x x
G x x d
t xx x
t
 
    
      
       
 
 
 
(iii) Substituindo 1/2
2
2
2
x   na expressão obtida, o item (i) já mostrou que : 
1/24
3
4
2 cos
0
2 1 sen
t
H d
t
t


   
        
 
 
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a1
3
 
 
 
   
1/2
1
1/4
3 3/21
1
1/4 1/4 1/4
1/2 1/2
3/2 3/2 3/2
4
1 22 1 2
' 2. .
2 1 21 2 1 1 2
2 2 2
2. 2 . 2. 2 .2.
1 2 1 2 1 2
8. 8
1 8
G




  
  
 
     
              
 
 
     
   


