Somente 5 poliedros de Platão

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Para provar aos meus alunos que só existem cinco poliedros regulares, usaria como estratégia o exposto na Aula 7 do nosso material didático, a saber: “...a soma dos ângulos internos dos polígonos que concorrem num mesmo vértice do poliedro deve ser menor do que 360º...”.
Também relembraria aos alunos a definição de polígonos regulares (são aqueles que possuem todos os lados e ângulos congruentes, ou seja, com mesma medida) e poliedros (são sólidos geométricos limitados por um número finito de polígonos planos que formam as faces do poliedro. Importante relembrar também algumas características dos poliedros, privilegiando arestas e vértices, dentre outras. 
Dito isto, segue a demonstração segundo a qual a soma dos ângulos que incidem num mesmo vértice do poliedro é inferior a 360º.
· Suponhamos que o poliedro regular tem todas as faces triangulares (equiláteras). Os ângulos de cada face, todos, têm 60º. Em cada vértice têm que incidir pelo menos três faces. Se incidem exatamente 3, a soma dos ângulos dos 3 triângulos incidentes em cada vértice é exatamente 180º; se incidem exatamente 4, essa soma é de 240º e se incidem exatamente 5, essa soma é de 300º. Se incidissem 6 ou mais triângulos, essa soma seria superior a 360º o que não é possível. Portanto existem no máximo 3 sólidos regulares com faces triangulares (equiláteras).
· Suponhamos agora que o poliedro regular tem todas as faces quadradas. Os ângulos de cada face têm agora 90º. Em cada vértice têm que incidir pelo menos três faces. Se incidem exatamente 3, a soma dos ângulos dos 3 quadrados incidentes em cada vértice é 270º. Se incidissem 4 ou mais triângulos, essa soma seria superior a 360º o que não é possível. Portanto existem no máximo um sólido regular com faces quadradas.
· Suponhamos agora que o poliedro regular tem todas as faces pentagonais (regulares). Os ângulos de cada face têm agora [(5 - 2 ) x 180º)] : 5 = 108º. Em cada vértice têm que incidir pelo menos três faces. Se incidem exatamente 3, a soma dos ângulos dos 3 pentágonos incidentes em cada vértice é exatamente 324º. Se incidissem 4 ou mais pentágonos, essa soma seria superior a 360º o que não é possível. Portanto existem no máximo um sólido regular com faces pentagonais.
Um raciocínio análogo permite concluir que não podem existir poliedros regulares com faces hexagonais ou com mais lados.
Portanto, fica provado que existem somente cinco poliedros regulares, também conhecidos como “Poliedros de Platão”, a saber: 
· Tetraedro: 4 faces triangulares;
· Hexaedro: 6 faces quadrangulares;
· Octaedro: 8 faces triangulares;.
· Dodecaedro: 12 faces pentagonais;
· Icosaedro: 20 faces triangulares.
Referências Bibliográficas/Fontes de consulta:
- Aula 7 do caderno didático disponível pelo CEDERJ
- Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 10 – Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo.
- ProvaExistem5Solidos (up.pt)
Para provar aos meus alunos que 
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Se incidissem 4 ou mais pentágonos, essa soma seria superior a 360º o que não é 
possível. Portanto existem no máximo um
 
sólido regular com faces pentagonais.
 
Para provar aos meus alunos que só existem cinco poliedros regulares, usaria como 
estratégia o exposto na Aula 7 do nosso material didático, a saber: “...a soma dos ângulos 
internos dos polígonos que concorrem num mesmo vértice do poliedro deve ser menor do 
que 360º...”. 
Também relembraria aos alunos a definição de polígonos regulares (são aqueles que 
possuem todos os lados e ângulos congruentes, ou seja, com mesma medida) e poliedros 
(são sólidos geométricos limitados por um número finito de polígonos planos que formam 
as faces do poliedro. Importante relembrar também algumas características dos poliedros, 
privilegiando arestas e vértices, dentre outras. 
Dito isto, segue a demonstração segundo a qual a soma dos ângulos que incidem num 
mesmo vértice do poliedro é inferior a 360º. 
 Suponhamos que o poliedro regular tem todas as faces triangulares (equiláteras). 
Os ângulos de cada face, todos, têm 60º. Em cada vértice têm que incidir pelo 
menos três faces. Se incidem exatamente 3, a soma dos ângulos dos 3 triângulos 
incidentes em cada vértice é exatamente 180º; se incidem exatamente 4, essa soma 
é de 240º e se incidem exatamente 5, essa soma é de 300º. Se incidissem 6 ou 
mais triângulos, essa soma seria superior a 360º o que não é possível. Portanto 
existem no máximo 3 sólidos regulares com faces triangulares (equiláteras). 
 
 Suponhamos agora que o poliedro regular tem todas as faces quadradas. Os 
ângulos de cada face têm agora 90º. Em cada vértice têm que incidir pelo menos 
três faces. Se incidem exatamente 3, a soma dos ângulos dos 3 quadrados 
incidentes em cada vértice é 270º. Se incidissem 4 ou mais triângulos, essa soma 
seria superior a 360º o que não é possível. Portanto existem no máximo um sólido 
regular com faces quadradas. 
 
 Suponhamos agora que o poliedro regular tem todas as faces pentagonais 
(regulares). Os ângulos de cada face têm agora [(5 - 2 ) x 180º)] : 5 = 108º. Em 
cada vértice têm que incidir pelo menos três faces. Se incidem exatamente 3, a 
soma dos ângulos dos 3 pentágonos incidentes em cada vértice é exatamente 324º. 
Se incidissem 4 ou mais pentágonos, essa soma seria superior a 360º o que não é 
possível. Portanto existem no máximo um sólido regular com faces pentagonais.