03-ESTATISTICA_09-03-2021

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Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
	
TEMA 03: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MÉDIA, MEDIANA E 
MODA 
 
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas estatísticas. O primeiro grupo é 
formado pelas Medidas de Tendência Central (ou Medidas de Posição), que informam a 
magnitude da amostra estudada: um valor que seja representativo do que é típico da 
amostra. Essas medidas nos dão uma visão global da amostra sem se ater às 
características individuais de seus elementos. O outro grupo leva em conta as variações 
dos elementos da amostra em torno de suas medidas centrais e é formado pelas Medidas 
de Dispersão. 
MÉDIA 
 
A média é seguramente a medida de tendência central mais usada. É chamada de média 
simples quando a frequência dos diversos valores é igual a 1, ou de média 
ponderada quando algum dos dados são dotados de frequência maior que 1. Focaremos 
no cálculo da média aritmética simples. 
 
A média aritmética é o resultado da soma dos valores de todos os elementos dividida pelo 
número total de elementos, ou seja, pela frequência total. Em outras palavras se tivermos 
um conjunto de valores #	 = 	 {'!, '", '#, . . . , '$ } a média aritmética deste conjunto será 
calculada através das fórmulas: 
 
 !" = !%"!&"⋯"!'$ ou !" =
∑!(
$ 
 
onde: *+ é a média aritmética; '!, '", etc. são os diversos valores; N o total de elementos 
da amostra. 
 
 Exemplo 1: Calcular a média aritmética da população #	 = 	 {2; 	5; 	7; 	9; 	10; 	12; 	16; 	18}. 
 
*+ = ∑*!+ 	→ 	*+ =
",-,.,/,!0,!",!1,!2
2 →	*+ = 9,9 
 
No exemplo acima, cada valor aparecia apenas uma única vez. Caso os valores se repitam 
na amostra, ou seja, se eles tiverem uma frequência diferente de um ('! com f1; '" com 
f2 etc.) então a fórmula para o cálculo da média aritmética será: 
 
!" = ∑%& . '&∑'&
 
 
Este último conceito define a média ponderada, sendo que eventualmente as frequências 
podem ser substituídas por “pesos” que conferem a importância diferenciada de cada valor. 
 
Exemplo 2: Calcular a média aritmética dos valores relacionados na 
tabela ao lado: 
Como no exemplo anterior o cálculo da média aritmética consiste na 
soma de todos os valores dividida pela quantidade total de 
elementos. Note que cada um dos valores da tabela aparece certo 
número de vezes. Por exemplo, o valor 25 aparece 37 vezes. 
Portanto, precisamos multiplicar 25 por 37. A coluna C, na tabela a 
seguir, mostra todos os cálculos deste tipo. 
 
 Quando somamos essa coluna obtemos o valor 9491 que 
corresponde à soma de todos os elementos da amostra, que 
por sua vez possui 193 elementos. Assim a média é: 
 
 !" = ∑!(.((∑(( →	!
" = )*)++), 	→ 	!" = 49,2 
 
 
 
 
Quando os dados são apresentados agrupados em classes (intervalos), o processo de 
cálculo será semelhante ao anterior com a diferença que o valor a ser usado é o ponto 
médio do intervalo (pmi) no lugar do valor do elemento médio ('3): xi = pmi 
Exemplo 3: Dada a tabela de frequências abaixo, calcule a média aritmética: 
Como os dados estão divididos em 
intervalos (classes), devemos determinar 
os pontos médios (pmi) de cada um 
deles para calcular a média. 
A tabela a seguir apresenta os valores e 
cálculos necessários para se determinar 
a média aritmética para uma amostra 
que estivermos descrevendo. As colunas 
E e F da tabela bem como os 
somatórios mostram os cálculos 
necessários para a obtenção da média 
aritmética. 
 
 Note que há o 
somatório total dos 
valores dos 
elementos (col’s E 
e F). Lembre 
também que ∑83 =
84. Portanto, a 
média aritmética 
será de: 
!" = ∑.-& . '&∑'&
 
 
!" = 369136,5225 
 
34 = 5567, 8 
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Propriedades das médias aritméticas: 
 
(i) A soma algébrica dos afastamentos (ou desvios, ou resíduos) de um conjunto 
de números tomados em relação à média é nula. (ii) Se multiplicarmos ou 
dividirmos todas as informações por uma constante, a média aritmética ficará 
multiplicada ou dividida por essa constante. (iii) Somando-se ou subtraindo-se 
uma constante a todos os valores de um conjunto de informações, a média 
aritmética ficará somada ou subtraída dessa constante. 
MEDIANA 
Conceitualmente definimos mediana como o valor, dentro de um conjunto de 
valores ordenados, que divide exatamente esse conjunto em duas metades, com 50% dos 
valores superiores à mediana e 50% inferiores. Logo: 
 
* Caso N seja um número ímpar a mediana será o valor do elemento central (chamado de 
Elemento Mediano) 
* Caso N seja um número par a mediana será a média aritmética simples dos dois 
elementos centrais. 
Exemplo 4: Dados os dois conjuntos de notas abaixo, calcule a mediana: 
 
Grupo A = {6,2; 4,2; 8,7; 6,4; 2,8; 9,1; 5,0; 3,9; 7,1}. 
 
Para calcular a mediana é necessário ordenar os dados em ordem crescente: 
 {2,8; 3,9; 4,2; 5,0; 6,2; 6,4; 7,1; 8,7; 9,1} 
 
 Como o número de elementos é ímpar (N = 9) a mediana será o valor do elemento central 
(o 5º elemento), ou seja, o valor da mediana será 6,2. 
 
Matematicamente, determinamos o elemento mediano (956) como: 
 
!!" =
# + 1
2 	→ 	!!" =
9 + 1
2 →	!!" = 5
# 
 
onde: : é o número total de elementos (ou frequência total, ft) 
 
Logo, o valor do 5º elemento é a mediana (;6): 9. = 7, 8 
 
Grupo B = {8,4; 6,3; 9,2; 4,9; 6,5; 8,0}, ordenando: {4,9; 6,3; 6,5; 8,0; 8,4; 9,2} 
 
:-/ =
; + 1
2 	→ 	:-/ =
6 + 1
2 →	:-/ = 3,5
0 
 
Evidentemente não existe um elemento 3,5º. A mediana será a média aritmética entre o 
valor dos 3º e 4º elementos: 
 
=/ =
%, + %*
2 	→ 	=/ =
6,5 + 8,0
2 → 	9. = @, 8A 
 
 Vejamos agora como encontrar a mediana quando trabalhamos com dados agrupados 
 
Exemplo 5: Calcular a Mediana para os dados relacionados a seguir, relativos ao número 
de filhos por família moradora em duas determinadas cidades. 
Perceba que o número de 
elementos (:	 = 	84 = 63 ) é 
ímpar, logo o Elemento 
Mediano será o 32º: 
956 =
63 + 1
2 	→		956 = 32 
 O 32º elemento tem o valor 
18, isso porque com os 
valores ordenados os 15 
primeiros referem-se a 
famílias com 0 filhos; do 16º 
ao 33º valores referem-se a 
famílias com 1 filho, e assim 
por diante. Logo a mediana 
será: Me = 1 
 
Portanto, podemos afirmar 
que 50% das famílias têm um filho ou menos e 50% das famílias tem um filho ou mais. 
 
Perceba que o número de elementos (N = 72) é par, logo o Elemento Mediano seria o 36,5º, 
que evidentemente não 
existe. 
956 =
72 + 1
2 	→		956 = 36,5 
O 36º elemento tem o valor 1 
e o 37º o valor o valor 2 , 
portanto o 36,5º seria um 
valor médio entre esses dois 
valores, ou seja a mediana 
será: ;> = !,"" = 1,5 
 
Portanto podemos afirmar 
que 50% das famílias têm 
menos de 1,5 filhos e 50% 
das famílias tem mais de 1,5 
filhos. 
 
 
Número de filhos 
por família
Quantidade de 
famílias na cidade
Valor Frequência simples
xi fi fac
0 15 15
1 18 33
2 12 45
3 8 53
4 5 58
5 3 61
6 1 62
Mais do que 6 1 63
Soma 63
CIDADE A
Frequência 
acumulada 
crescente ( ≤ )
Número de filhos 
por família
Quantidade de 
famílias na cidade
Valor Frequência simples
xi fi fac
0 15 15
1 21 36
2 16 52
3 9 61
4 6 67
5 4 71
6 1 72
Mais do que 6 0 72
Soma 72
CIDADE B
Frequência 
acumulada 
crescente ( ≤ )
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Quando trabalhamos com dados agrupados em classes (intervalos) o cálculo da Mediana é 
mais trabalhoso porque conseguimos determinar o elemento mediano e a classe da qual o 
elemento faz parte, mas não o valor exato da Mediana. A maneira de contornarmos este 
inconveniente é utilizando os conceitos de interpolação. Interpolar significaachar, dentro de 
uma faixa de valores, aquele valor que melhor corresponde às condições estabelecidas. No 
caso do cálculo da Mediana o processo de interpolação gera a seguinte fórmula, que 
sempre iremos usar: 
 
 !! = #$"! + &#$%		%		&&'_&)*&+% ' × 	ℎ 
 
onde: ;6 é a mediana; liMe é o limite inferior da classe que contém o elemento mediano 
(classe mediana); Eme é o elemento mediano; fac_ant é a frequência acumulada crescente até 
a classe anterior à classe mediana; fMe é a frequência da classe mediana; h é a amplitude. 
Exemplo 6: Calcule a Mediana para a tabela a seguir que apresenta a distribuição de 
vendas de determinada empresa. 
 
O elemento mediano é dado por: 		976 = !#8,!8 = 72° 
O 72º elemento está na 4º classe que chamamos de classe mediana, ou seja a mediana é 
um valor entre R$ 140.000,00 e R$ 170.000,00. Obteremos o resultado usando a fórmula da 
interpolação: 
+" = ,-," + .
!!" 		−		0-._-/0
0," 1
× 	ℎ = 140.000 + .72 − 5726 1 × 	30.000
= :$<=>. ?@>, BC 
 
Portanto podemos afirmar que 50% das vendas mensais dessa empresa estão acima de R$ 
157.307,69 e 50% abaixo deste mesmo valor. 
MODA 
 
É simplesmente o valor que mais vezes se repete numa distribuição de frequências, ou 
seja, aquele valor dotado de maior frequência. 
O cálculo da Moda para dados isolados ou para dados não agrupados em classes é 
imediato, decorre de simples observação (exemplo 7). Já para dados agrupados é 
necessário adotar algumas recomendações feitas por estatísticos renomados. No exemplo 
8 apresentamos um cálculo deste último tipo de distribuição. 
 
Exemplo 7: Encontre a Moda para os conjuntos de dados mostrados abaixo, referentes ao 
consumo de rolamentos em várias linhas de produção. 
 
Linha A: {21; 22; 24; 24; 25; 25; 25; 27; 28). A moda evidentemente é: Mo = 25 
 
Linha B: {8; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12}. Neste conjunto temos duas 
modas: Mo = 9 e Mo = 11. Chamamos de amostra multimodal. 
 
Linha C: {15; 18; 25; 32; 43; 50; 61}. Não existe um valor que se repita mais de uma vez. 
Temos uma amostra sem moda, ou seja, amodal. 
A moda é o valor de maior frequência, portanto para a 
linha D teríamos Mo = 13. 
 
__________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quantidade 
de meses
frequência
li ls fi fac
1 R$50.000,00 |------ R$80.000,00 12 12
2 R$80.000,00 |------ R$110.000,00 18 30
3 R$110.000,00 |------ R$140.000,00 27 57
4 R$140.000,00 |------ R$170.000,00 26 83
5 R$170.000,00 |------ R$200.000,00 21 104
6 R$200.000,00 |------ R$230.000,00 18 122
7 R$230.000,00 |------ R$260.000,00 12 134
8 R$260.000,00 |------| R$290.000,00 9 143
143TOTAL
Classes número
Frequência 
acumulada 
crescente 
( ≤ )
Vendas mensais, em R$
Valor Quantidade de 
rolamentos 
consumidos
Número de vezes 
em que ocorreu o 
consumo
Valor Frequência
xi fi
8 18
10 25
12 32
12 45
15 28
16 21
17 12
21 8
Linha D
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Exemplo 8: Calcule a moda para a distribuição de Rendas Familiares apresentada no 
quadro abaixo: 
 
 
Você pode notar que os valores se repetem mais na classe 4 (a frequência é a maior de 
todas), logo a moda deve ser um valor entre R$2.000,00 e R$2.450,00. Mas exatamente 
qual é o valor da moda? 
Normalmente esse cálculo poderá ser feito por três recomendações diferentes: As formulas 
de Czuber; King e Pearson, que utilizaremos a seguir. 
 
Recomendação (método) de Czuber 
 
Para utilizarmos a recomendação de Czuber devemos inicialmente localizar a classe que 
tem maior frequência, a chamada classe modal. No nosso exemplo essa classe é a de 
número 4. Em seguida, aplicamos a seguinte fórmula: 
=B = CD10 + E
('10 − '234)
('10 − '234) + ('10 − '5064)
I × 	ℎ 
onde: Mo é a moda; liMo é o limite inferior da classe modal; fMo é a frequência da classe 
modal; fant é a frequência da classe imediatamente anterior à classe modal; fpost é a 
frequência da classe imediatamente posterior à classe modal; h é a amplitude modal. 
No nosso exemplo ficaria: 
=B = 2000 + L (31 − 28)(31 − 28) + (31 − 18)M × 	450	 → 9N = O$8. QRS, TR 
 
 
Recomendação (método) de King: 
 
Para utilizarmos a recomendação de King devemos localizar a classe que tem maior 
frequência, ou a classe modal, em seguida aplicamos a seguinte fórmula: 
=B = CD10 + E
'5064
('234 + '5064)
I × 	ℎ 
No nosso exemplo ficaria: 
=B = 2000 + L 18(28 + 18)M × 	450	 → 9N = O$8. 5@7, Q6 
 
Recomendação (método) de Pearson: 
No caso de Pearson a recomendação parte de conceito diferente das anteriores. Baseia-se 
no uso da Média e da Mediana: ;@ = 3 ×;> − 2 × *+. 
 
No nosso exemplo teríamos: Me = R$2094,36; *+ = C$2123,59, logo: 
=B = 3 × 	2094,36 − 2 × 2.123,59	 → 9N = O$8. QTA, RR 
 
 
 
Perceba que cada recomendação resultou em valor diferente. Isso ocorre porque são 
recomendações que partem de considerações diferentes. A experiência nos ensina qual a 
melhor recomendação a se utilizar em cada caso prático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quantidade 
de meses
frequência
li ls fi
1 R$650,00 |------ R$1.100,00 16
2 R$1.100,00 |------ R$1.550,00 21
3 R$1.550,00 |------ R$2.000,00 28
4 R$2.000,00 |------ R$2.450,00 31
5 R$2.450,00 |------ R$2.900,00 18
6 R$2.900,00 |------ R$3.350,00 16
7 R$3.350,00 |------ R$3.800,00 12
142
Classes número
Rendas familiares mensais, em R$
Valor
TOTAL
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Lista #2 – Estatística – Medidas de Tendência Central 
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Exercício 1: Em determinada empresa os salários dos colaboradores de nível 
superior, sem nível de chefia, distribuem-se conforme a tabela abaixo. 
 
 
 
Nessas circunstâncias podemos afirmar que o salário médio; mediano e modal 
(segundo King) são respectivamente quanto? (R.: R$ 2596; R$ 2547; R$ 2868) 
 
 
 
Exercício 2: Na tabela abaixo são mostradas as variações de preços das cinco 
mais importantes despesas de uma família e os gastos médios mensais da mesma 
antes do aumento. 
 
 
 
Baseados nesses dados podemos afirmar que as médias simples e ponderadas de 
aumentos das despesas dessa família foram respectivamente quanto? 
 (R.: 2,0% e 3,9%) 
 
 
 
Exercício 3: Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos 
recentemente e os rendimentos correspondentes a cada um desses investimentos. 
Os dados estão reunidos no quadro abaixo: 
 
Com base nesses dados podemos dizer que o rendimento médio dessas 
aplicações é de quanto? (R.: 13%) 
 
 
Exercício 4: Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos 
recentemente e os rendimentos correspondentes a cada um desses investimentos. 
Os dados foram reunidos no quadro abaixo: 
 
 
 
Com base nesses dados podemos dizer que os rendimentos mediano e modal 
dessas aplicações são de quanto? (R.: 13% e 13%) 
 
 
 
 
Exercício 5: O departamento de produção de uma empresa de confecções anota 
diariamente quantos defeitos ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir 
estão relacionadas as informações referentes aos últimos 120 dias: 
 
 
 
Nessas condições os números médio, mediano e modal de defeitos diários são, 
respectivamente quanto? (R.: 8,7; 8,0 e 7,0) 
 
Classes 
Salariais
Número de 
funcionários
A R$850,00 |-------- R$1.450,00 25
B R$1.450,00 |-------- R$2.050,00 32
C R$2.050,00 |-------- R$2.650,00 35
D R$2.650,00 |-------- R$3.250,00 37
E R$3.250,00 |-------- R$3.850,00 20
F R$3.850,00 |-------- R$4.450,00 13
G R$4.450,00 |--------| R$5.050,00 9
Limites de classes
Item Percentual de aumento
Despesas 
médias mensais 
(anteriores ao 
aumento)
Alimentação -6,0% R$1.280,00
Aluguel 11,0% R$1.325,00
Escolas 12,0% R$637,00
Plano de saúde 8,0% R$298,00
Lazer -15,0% R$165,0012% 13% 18% 9% 10% 11%
13% 15% 16% 14% 8% 17%
12% 13% 18% 9% 10% 11%
13% 15% 16% 14% 8% 17%
Número de 
defeitos diários
Número de dias
6 20
7 23
8 21
9 18
10 16
12 13
13 5
14 3
15 1
 Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
	
 
Exercício 6: Uma pequena agência de publicidade relacionou no quadro abaixo o 
custo das suas 120 últimas campanhas publicitárias: 
 
 
 
Nestas condições podemos afirmar que os custos mediano e modal (pelo método 
de King) das campanhas publicitárias dessa agência são, respectivamente, 
quanto? (R.: R$23.370 e R$26.892) 
 
 
 
 
 
Exercício 7: Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos e os 
rendimentos correspondentes a cada um deles. Os dados acham-se no quadro 
abaixo: 
 
 
 
Com base nesses dados podemos dizer que o rendimento médio, mediano e 
modal dessas aplicações é de quanto? (R.: 15%, 15% e 15%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 8: O departamento de produção de uma empresa de confecções anota 
diariamente quantos defeitos ocorreram na linha de produção. Na tabela abaixo 
estão relacionadas as informações referentes aos últimos 183 dias de produção. 
 
 
 
 
 
 
Nessas condições os números médio e mediano 
de defeitos diários é de aproximadamente quanto? 
(R.: 10, ambos) 
 
 
 
 
 
 
Exercício 9: Uma pequena agência de publicidade relacionou no quadro abaixo o 
custo das suas 130 últimas campanhas publicitárias: 
 
 
 
Nestas condições podemos afirmar que o custo médio, o custo mediano e o custo 
modal (método de King) das campanhas publicitárias dessa agência é 
respectivamente quanto? (R.: R$74.600,00; R$75.104,00; R$81.789,47) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classes
Quantidade 
de 
campanhas 
(f i)
A R$5.000,00 |-------- R$10.000,00 12
B R$10.000,00 |-------- R$15.000,00 15
C R$15.000,00 |-------- R$20.000,00 18
D R$20.000,00 |-------- R$25.000,00 23
E R$25.000,00 |-------- R$30.000,00 25
F R$30.000,00 |-------- R$35.000,00 14
G R$35.000,00 |--------| R$40.000,00 13
Custo das campanhas publicitárias
14% 20% 12% 15% 18% 10%
15% 11% 13% 17% 16% 19%
Classes
Quantidade 
de 
campanhas 
(f i)
A R$25.000,00 |-------- R$38.000,00 12
B R$38.000,00 |-------- R$51.000,00 15
C R$51.000,00 |-------- R$64.000,00 18
D R$64.000,00 |-------- R$77.000,00 24
E R$77.000,00 |-------- R$90.000,00 26
F R$90.000,00 |-------- R$103.000,00 14
G R$103.000,00 |--------| R$116.000,00 13
H R$116.000,00 |--------| R$129.000,00 8
Custo das campanhas publicitárias
Número de 
defeitos diários
Número de dias
6 33
8 36
10 36
11 40
13 16
14 13
16 5
18 3
20 1