Cap 5 - Análise de treliças

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5.1 Estruturas isostáticas 
A figura 5.1 mostra uma estrutura simples ou armação, semelhante às 
empregadas em pontes. Ela consiste em perfis pré-fabricados de aço rebitados 
uns aos outros nas juntas. Para o estudo analítico, o sistema deve ser simpli- 
ficado da seguinte maneira: 
a) as barras são consideradas rígidas e sem peso; 
b) as juntas são supostas tais que as barras possam girar sem atrito nos 
rebites; cada barra é capaz de efetuar rotação ao redor das juntas sem 
encontrar qualquer momento resistente (figura 5.2). 
 
FIGura 5.1 Treliça rígida carregada em C e D. FIGura 5.2 Junta G. 
 
 
Serão consideradas apenas estruturas com juntas situadas em um plano, 
e não serão considerados deslocamentos fora desse plano. 
 
Se b for o número de barras e k o número de nós, considerando 3 reações 
de apoio, a equação de estabilidade da treliça pode ser expressa por: 
 
b + 3 = 2k, ou 
 
 
 
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b = 2k – 3 (5.2) 
 
No caso de b < 2k – 3, a estrutura não será rígida. 
O menor número possível de juntas em uma treliça isostática é k = 3. 
Então, o número de barras será 2k – 3 = 6 – 3 = 3. Nesse caso a estrutura é 
triangular (figura 5.3). 
 
 
 
Se agora, k = 4, temos b = 5. A figura 5.4 dá exemplos. 
Observação: Quando duas barras se cruzam sem a indicação de uma 
junta, supõe-se que elas sejam capazes de se movimentarem livremente uma 
em relação a outra. 
 
FIGura 5.4 Treliças com quatro nós e cinco barras. 
 
 
No caso de k = 5, o número de barras será b = 7 (figura 5.5). 
 
FIGura 5.5 Treliças com cinco nós e sete barras. 
 
 
 
5.2 Esforços nas barras 
Consideremos forças externas, ou cargas, aplicadas a alguns nós ou a 
todos os nós. Cada barra estará em equilíbrio sob a ação de duas forças, que 
são as reações em suas extremidades. Essas duas forças devem ter a mesma 
intensidade e agir em sentidos opostos ao longo da barra (figura 5.6). 
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FIGura 5.6 Esforços nas barras e equilíbrio dos nós. 
 
 
Se as forças se afastam uma da outra, diz-se que a barra está submetida 
à tração; se as duas forças forem dirigidas uma para a outra, diz-se que a 
barra está submetida à compressão. O termo esforço é empregado tanto num 
caso como no outro. Associa-se à tração o sinal +, e à compressão o sinal – 
(figura 5.7). 
 
 
 
FIGura 5.7 Esforços nas barras. 
 
 
5.3 Método dos nós 
O que se segue tem caráter geral, mas vamos considerar como exemplo 
a treliça da figura 5.1, sendo as cargas aplicadas nos nós C e D (figura 5.8). 
 
FIGura 5.8 Treliça em diagrama de corpo livre. 
 
 
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Ay e 
 
São dadas as cargas e queremos determinar os esforços. Cada nó pode ser 
considerado uma partícula em equilíbrio, sob a ação de uma carga (se existir) 
e das reações das barras que aí se reúnem (figura 5.6). 
Como as forças estão em um plano, há duas equações de equilíbrio para 
cada nó, e 2k equações em total se o número de nós for k. Essas equações 
envolvem três componentes incógnitas das reações externas nos suportes e um 
número de esforços desconhecidos igual ao número de barras, isto é, 2k – 3. 
Assim o número total de incógnitas é 2k, e temos 2k equações lineares para 
determiná-las. “Assim, em uma treliça isostática o problema de calcular as 
reações externas nos suportes e os esforços nas barras é um problema 
determinado, que consiste na resolução de equações simultâneas em número 
duas vezes maior que o de nós”. 
Se a estrutura fosse hiperestática, o número de incógnitas seria maior 
que o de equações, e o problema seria indeterminado, a não ser se fossem 
levadas em consideração as propriedades elásticas das barras. 
Reduzindo o problema da estrutura isostática a solução de um sistema 
de equações lineares simultâneas, pode-se pensar que nada mais resta a dizer 
a respeito. Entretanto, o sistema de equações obtido da maneira descrita an- 
teriormente, pode ser bastante complicado, e é possível evitar muito esforço 
modificando-se o método. 
Primeiramente determina-se, através das três equações da estática, as 
reações externas nos vínculos. 
Tomando como exemplo a treliça da figura 5.8, teremos: 
Fx = 0, Fy = 0 e Mz = 0 
e com isso Ay, By e Bx são determinados. 
Devemos notar que para iniciar, é necessário escolhermos um nó onde 
apenas duas barras se encontrem. 
Comecemos pelo nó A (figura 5.9). Conhecendo 
 
 e sabendo-se que a 
resultante no nó é zero, podemos montar o triângulo de forças da figura 5.10. 
 
FIGura 5.9 Forças no nó A. FIGura 5.10 Triângulo de forças para o nó A. 
 
 
Pela lei dos senos: 
 
Ay 
sen

 
= 
AE 
sen90o 
 
 
 
= 
AC 
sen


 sen = cos
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

 
Daí tiramos imediatamente os módulos das forças AE e AC. 
Passando agora para o nó E, teremos o equilíbrio das figuras 5.11a e 5.11b. 
 
FIGura 5.11 (a) Equilíbrio do nó E. (b) Triângulo de forças para o nó E. 
 
 
Da treliça, conhecemos  e 

 
. Do nó A, já temos o valor de EA. Com 
isso, montamos o triângulo da figura 5.11b, donde tiramos, pela lei dos senos 
 
EF e EC: 
 
EA 
 
 
sen

 
EC 
= 
sen

 
EF 
= 
sen


  = 180 –  – 

Passo a passo, podemos determinar todos os esforços. Quando chegar- 
mos ao último nó, convém verificar o trabalho efetuado. 
 
► EXEMPLO 1: A figura 5.12 representa uma treliça com apoios em A e B. 
Dois pesos iguais a P = 10 000 kgf atuam sobre as juntas C e D. As barras 
estão inclinadas de 45o com a horizontal. Achar as tensões atuantes nas bar- 
ras 1, 2, 3, 4, 5 e 6, devido aos pesos. 
 
FIGura 5.12 
 
 
 
Solução: Por simetria, as reações em A e B serão: 
 
Ay = 10 000 kgf, By = 10 000 kgf e Bx = 0 
É conveniente considerarmos os esforços desconhecidos saindo do nó, isto 
é, que as barras sejam tracionadas. O valor positivo obtido para o esforço 
indica que a suposição estava correta; o valor negativo indica que nossa supo- 
sição não estava correta e o esforço na barra será de compressão. 
 
 
Nó A: 
 
FIGura 5.12 (a) 
 
 
Da figura 5.12a: 
 
 
 
 
 
Nó E: 
 
 
 
FIGura 5.12 (b) 
 
 
Da figura 5.12b: 
 
æ 
 
 
 
Nó C: 
 
 
 
FIGura 5.12 (c) 
 
 
 
 
 
Da figura 5.12c: 
 
 
 
Para dar a resposta, podemos organizar o seguinte quadro: 
 
Barra no 1 2 3 4 5 6 
Força (kgf) –14 142 +10 000 +14 142 –20 000 0 +20 000 
 
Para verificar os resultados, equilibremos o nó B e calculemos a reação 
By, a qual deverá coincidir com o valor 10 000 kgf. 
 
FIGura 5.12 (d) 
 
 
Da figura 5.12d, usando a simetria da treliça: 
 
 
 
 
 
 
► EXEMPLO 2: As juntas C, D e E de uma ponte suportam cargas 
verticais P = 10 000 kgf. As barras fazem um ângulo de 45o com a 
horizontal (figura 5.13). Calcular as forças nos membros: 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8 e 9, causadas pelas cargas mencionadas. 
 
FIGura 5.13 
 
Solução: Calculando as reações, encontraremos respectivamente: 
 
 
RA = 15 000 kgf e RB = 15 000 kgf (verticais, sentido para cima) 
Método dos nós – Equilibremos cada nó, começando pelo que 
possui duas barras. 
 
Nó A: 
 
FIGura 5.13 (a) 
Da figura 5.13a. 
+ Fy = 0: F1 + 15 000 = 0 
F1 = –15 000 kgf (compressão) 
Fx = 0: F2 = 0 
 
Nó F: 
 
 
FIGura 5.13 (b) 
 
 
 
Da figura 5.13b: 
 
 
Nó C: 
 
 
FIGura 5.13 (c)
 
 
 
Da figura 
5.13c: 
 
 
 
 
 
 
 
Nó G: 
 
 
 
FIGura 5.13 (d) 
 
 
Da figura 5.13d 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Digite aqui] 
 
 
Nó D: 
 
 
 
FIGura 5.13 (e) 
 
 
Da figura 5.13e: 
2 
 
Tabela de resultados: 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Força (kgf) –15 000 0 +21 200 –15 000 –5 000 +15 000 +7 100 –20 000 0 
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5.4 Método das seções 
Quando precisarmos calcular os esforços em apenas algumas das barras, 
o método dos nós pode tornar-se desnecessariamente trabalhoso. 
A figura 5.14 mostra uma estrutura resolvida, no exemplo 2,com as mes- 
mas cargas. Queremos determinar os esforços nas barras 6, 7 e 8. Considera-se 
como sistema a parcela da estrutura delimitada pela linha interrompida, que 
corta as barras 6, 7 e 8, mas que não corta outras. Sobre esse sistema atuam 
as seguintes forças externas: 
– a carga P = 10 000 kgf em C; 
– a reação Ay = 15 000 kgf em A; 
– os esforços F6, F7 e F8. 
 
FIGura 5.14 Método das seções. 
 
 
Considerando momento em torno de G: 
 
 
 
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► EXEMPLO 4: Determinar os esforços nas barras (1) e (2) da treliça mos- 
trada na figura 5.17. 
 
FIGura 5.17 
 
 
Solução: Façamos primeiramente uma seção passando pela barra (2). 
 
FIGura 5.17 (a) 
 
 
 
Da figura 5 · 17a: 
Tomemos Mo = 0: 
F2 · 2 h – 5 000 · 2 h – 3 000 h = 0 
2 F2 = 13 000 
F2 = + 6 500 kgf 
Façamos agora uma seção passando pela barra (1). 
 
FIGura 5.17 (b) 
 
 
 
 
Da figura 5.17b: 
Note que  = 45o 
 
_ 
Devemos observar que os esforços nas barras (1) e (2) foram calculados 
sem os valores das reações nos apoios. 
 
 
 
 
 
5.5 Exercícios propostos 
Para os exercícios de 1 a 4: Utilizando o método dos nós, determinar os 
esforços em cada barra da treliça representada nas figuras 5.25 a 5.28. Indicar 
a natureza do esforço. 
 
1) Figura 5.25. 
 
FIGura 5.25 
 
 
2) Figura 5.26. 
 
 
FIGura 5.26 
 
 
 
 
 
3) Figura 5.27. 
 
 
 
FIGura 5.27 
 
 
4) Figura 5.28. 
 
 
 
FIGura 5.28 
 
 
 
 
 
 
6) Encontrar os esforços nas barras (1) e (2), da treliça da figura 5.30. 
 
FIGura 5.30 
 
 
7) Determinar os esforços nas barras (1) e (2) da treliça da figura 5.31. 
 
FIGura 5.31 
 
 
 
 
8) Calcular os esforços nas barras (1) e (2) da torre representada na figura 
5.32. (Sugestão: tomar a seção S). 
 
FIGura 5.32 
 
 
9) Calcular os esforços nas barras (1), (2) e (3) da treliça da figura 5.33, 
devido ao peso P das tubulações. 
 
FIGura 5.33 
 
 
 
 
 
 
 
10) Achar o esforço na barra (1) da treliça representada na figura 5.34. 
 
FIGura 5.34 
 
 
Para os exercícios de 11 a 19: Por qualquer método, determinar os esforços 
nas barras das treliças representadas nas figuras 5.35 a 5.43. 
 
11) Figura 5.35. 
 
FIGura 5.35 
 
 
 
 
 
 
12) Figura 5.36. 
 
FIGura 5.36 
 
 
13) Figura 5.37. 
 
FIGura 5.37 
 
 
 
 
 
 
14) Figura 5.38. 
 
FIGura 5.38 
 
 
15) Figura 5.39. 
 
FIGura 5.39 
 
 
 
 
 
 
16) Figura 5.40. 
 
 
 
FIGura 5.40 
 
 
17) Figura 5.41. 
 
FIGura 5.41 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Figura 5.42. 
 
FIGura 5.42 
 
 
19) Figura 5.43. 
 
FIGura 5.43 
 
 
 
 
 
 
Para os exercícios de 20 a 28: Utilizando qualquer método isostático es- 
tudado, determinar a intensidade e o sentido dos esforços nas barras (1) das 
treliças mostradas nas figuras 5.44 a 5.52. 
 
20) Figura 5.44. 
 
FIGura 5.44 
 
 
21) Figura 5.45. 
 
FIGura 5.45 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Figura 5.46. 
 
FIGura 5.46 
 
 
23) Figura 5.47. 
 
FIGura 5.47 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Figura 5.48. 
 
FIGura 5.48 
 
 
25) Figura 5.49. 
 
FIGura 5.49 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) Figura 5.50. 
 
FIGura 5.50 
 
 
27) Figura 5.51. 
 
FIGura 5.51 
 
 
 
 
 
 
 
 
28) Figura 5.52. 
 
Figura 5.52 
 
 
Respostas dos exercícios propostos 
1) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 
Força (kgf) 1 000 1 414 –1 000 –1 414 1 000 0 
 
2) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 
Força (kgf) 1 000 –1 414 0 1 000 –1 414 –1 414 2 000 
 
3) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 
Força (kgf) –P –0,707 P 0,5 P 0 0 
 
4) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Força (kgf) 4 820 –2 670 0 –2 670 1 200 2 000 2 000 –3 610 2 000 
 
 
 
 
 
 
6) F1 = 2 400 kgf e F2 = 0 
7) F1 = –5 000 kgf e F2 = –1 414 kgf 
8) F1 = 2 500 kgf e F2 = –2 500 kgf 
9) F1 = –5,33P, F2 = –2P e F3 = –1,67P 
10) F1 = P 
11) 
 
 
 
(Continuação) 
 
Membro no 7 8 9 10 11 
Força (kgf) –6 000 3 500 –3 000 2 700 –2 000 
 
12) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Força (kgf) –1 525 –1 940 –1 560 –970 –970 –970 1 100 440 –215 
 
(Continuação) 
 
Membro no 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 
Força (kgf) –230 –230 0 0 0 –26 1 340 –1 130 1 050 –750 
 
13) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 
Força (kgf) 1 000 –1 750 –1 600 –1 750 1 000 
Membro no 1 2 3 4 5 6 
Força (kgf) –5 400 –3 600 –1 800 2 060 2 060 4 100 
 
 
 
 
 
 
14) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Força (kgf) –2 250 –400 +2 250 –1 600 –1 450 –600 +1 600 +600 +400 
 
15) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 
Força (kgf) –6 400 –1 400 +2 500 –4 500 –4 500 +1 400 –3 500 
 
(Continuação) 
 
Membro no 8 9 10 11 12 13 14 
Força (kgf) –1 400 +2 500 0 +2 500 0 +2 500 0 
 
16) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 
Força (kgf) –2 830 –3 530 –4 240 –2 120 500 –500 500 
 
(Continuação) 
 
Membro no 8 9 10 11 12 13 14 15 
Força (kgf) –500 500 –500 –1 500 1 500 2 120 1 414 707 
 
17) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 
Força (kgf) –1 300 –1 300 2 800 1 900 2 800 –2 600 –2 600 
 
18) 
 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Força (kgf) 1 433 500 1 000 –1 414 –2 026 1 483 0 612 –866 
 
19) 
 
 
 
20) F1 
 
= 
288,68 
Membro no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Força (kgf) 4 820 –2 670 –2 670 –3 610 2 000 2 000 0 1 200 2 000 
 
 
 
 
 
 
 
_ 
21) F1 = 1414,21 kgf 
22) F1 = 8,31 tf 
23) F1 = 5 217 kgf 
24) F1 = –1 250 kgf 
25) F1 = 3 400 kgf 
26) F1 = 29,3 tf 
27) F1 = 223,4 kgf 
28) F1 = 5