Probabilidade | Resumo

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Probabilidade | Resumo
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1 — Experimento Aleatório: é todo acontecimento cujo resultado depende apenas do
acaso, ou seja, acontecimentos desse tipo, quando repetido nas mesmas condições,
podem ter resultados diferentes e essa inconstância e atribuída ao acaso.
Exemplos:
• A retirada de uma carta de um baralho comum e observar o seu naipe.
• O lançamento de uma moeda, no qual se considera apenas a face que ficar voltada
para cima.
• O sorteio de um bilhete de um total de 20 bilhetes numerados de 1 a 20.
• O lançamento de um dado, no qual se considera apenas a face que ficar voltada para
cima.
2 — Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
: Espaço amostral
n(): número de elementos de
Exemplos:
• A retirada de uma carta de um
baralho comum e observar o seu
naipe.
: conjunto formado por todas as
cartas do baralho e
n() = 52.
: Espaço amostral
n(): número de elementos de
Exemplos:
• O lançamento de uma moeda, no
qual se considera apenas a face
que ficar voltada para cima.
 = {C, K}, em que C indica a face
coroa e K indica a face cara.
n() = 2.
2 — Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
: Espaço amostral
n(): número de elementos de
Exemplos:
• O sorteio de um bilhete de um 
total de 20 bilhetes numerados de 
1 a 20.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
n() = 20
2 — Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
: Espaço amostral
n(): número de elementos de
Exemplos:
• O lançamento de um dado, no 
qual se considera apenas o número 
de pontos da face que ficar voltada 
para cima.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n() = 6
2 — Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
3 — Evento: todo subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
E: evento, subconjunto do espaço amostral
n(E): número de elementos desse subconjunto
Evento complementar de E: subconjunto do
espaço amostral formado pelos elementos que
não pertencem ao evento E.
തE: evento complementar de E
n(തE): número de elementos de തE
n(തE) = n() – n(E)
Ex.: Lançar um dado e tirar
um número múltiplo de 3.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n() = 6
E: {3, 6}
n(E) = 2
തE = {1, 2, 4, 5}
n(തE) = 4
Observações:
• Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo.
Ex.: retirar uma bola branca de dentro de uma caixa com 5 bolas brancas.
• Quando o evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível.
Ex.: Lançar um dado comum e sair o número 8 em uma das faces.
Exemplos:
• Retirar uma carta de um baralho comum com o naipe de espada. 
: {A♠️, 2♠️, 3♠️, 4♠️, 5♠️, 6♠️, 7♠️, 8♠️, 9♠️, 10♠️, J♠️, Q♠️, K♠️, A♣, 2♣,
3♣, 4♣, 5♣, 6♣, 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣, A♥, 2♥, 3♥, 4♥,
5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥, A♦, 2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦,
7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦}
n() = 52
E = {A♠️, 2♠️, 3♠️, 4♠️, 5♠️, 6♠️, 7♠️, 8♠️, 9♠️, 10♠️, J♠️, Q♠️, K♠️}
n(E) = 13
തE = {A♣, 2♣, 3♣, 4♣, 5♣, 6♣, 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣, A♥,
2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥, A♦, 2♦, 3♦,
4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦}
n(തE) = 39
Exemplos:
• Lançar uma moeda e obter a face cara 
(K) voltada para cima. 
 = {K, C}
n() = 2
A = { K }
n(A) = 1
ഥA = { C }
n(ഥA) = 1
• Sortear um bilhete com um número
par de um total de 20 bilhetes
numerados de 1 a 20.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
n() = 20
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
n(P) = 10
തP = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
n(തP) = 10
Exemplos:
• Lançar um dado e obter número de pontos
maior que 4 da face voltada para cima.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n() = 6
D = {5, 6} 
n(D) = 2
ഥD = {1, 2, 3, 4}
n(ഥD) = 4
• Lançar dois dados e obter soma
dos números de pontos maior que
12 das faces voltadas para cima.
 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
D = { }
n(D) = 0
Evento impossível.
Atividade resolvida:
1 — Uma bola será retirada aleatoriamente de uma urna, com bolas numeradas de 1 a 
15. Determine:
a) o espaço amostral.
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
b) o número de elementos do espaço amostral.
n() = 15.
c) o evento C e n(C), sendo C a retirada de uma
bola dessa urna, com um número ímpar.
C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
n(C) = 8
d) o evento D e n(D), sendo
D a retirada de uma bola
dessa urna, com um número
múltiplo de 5.
D = {5, 10, 15}
n(D) = 3
Na turma em que Marcela estuda há 30 alunos. A professora deles, Dona
Edvane, irá sortear um prêmio entre esses alunos. Qual é a chance de
Marcela ser sorteada?
Espaço amostral: 30 alunos, n() = 30
Evento M: Marcela ser sorteada, n(M) = 1
Chance de Marcela ser sorteada: 1 em 30
Espaço amostral equiprovável: todos os elementos do espaço amostral
 têm a mesma chance de acontecer, são igualmente prováveis.
Definição de probabilidade:
• : espaço amostral
• n(): número de elementos de
• E: evento
• n(E): número de elementos de E
• P(E): probabilidade do evento E ocorrer
P E =
n(E)
n(Ω)
Propriedades:
• A probabilidade de um evento certo E é igual a 1  P(E) = 1.
• A probabilidade de um evento impossível E é igual a 0  P(E) = 0.
• Se E é um evento de , então 0 ≤ P(E) ≤ 1.
• Se തE é o complementar de E, sendo E um evento de , então:
P(E) + P(തE) = 1.
Exemplo 1 — Lançando simultaneamente um dado e uma moeda, determine:
a) o espaço amostral Ω e o número de elementos do espaço amostral n(Ω).
Ω = {(1,K), (1,C), (2,K), (2,C), (3,K), (3,C),(4,K), (4,C), (5,K), (5,C), (6,K), (6,C)}
n(Ω) = 12
b) o evento E e n(E), sendo E o lançamento simultâneo desse dado e dessa moeda, em que o
número de pontos da face do dado voltada para cima ser um múltiplo de 3.
E = {(3,K), (3,C), (6,K), (6,C)}
n(E) = 4
c) a probabilidade de ocorrência do evento E.
n(E) = 4 e n(Ω) = 12
P E =
n(E)
n(Ω)
=
4
12
=
1
3
≅ 33%
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Uma urna contém bolinhas numeradas
de 1 a 30.
Espaço amostral : Todas as bolinhas
numeradas de 1 a 30 e n() = 30
Considere os seguintes eventos:
E: retira-se, aleatoriamente, uma
bolinha com um número ímpar.
E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,
23, 25, 27, 29} e n(E) = 15.
F: retira-se, aleatoriamente, uma
bolinha com um número múltiplo de 5.
F = {5, 10, 15, 20, 25, 30} e n(F) = 6
G: retira-se, aleatoriamente, uma
bolinha com um número múltiplo de 4.
G = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} e n(G) = 7
Determine:
a) a probabilidade dessa bolinha estar com um número ímpar ou múltiplo de 4.
P(E U G) = P(E) + P(G) – P(E ∩ G)
Evento (E ∩ G): Bolinha com número ímpar e múltiplo de 4.
E ∩ G =
P(E U G) = P(E) + P(G) =
n(E)
n(Ω)
+
n(G)
n(Ω)
P(E U G) =
15
30
+
7
30
P(E U G) =
22
30
=
11
15
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Uma urna contém bolinhas numeradas
de 1 a 30.
Espaço amostral : Todas as bolinhas
numeradas de 1 a 30 e n() = 30
Considere os seguintes eventos:
E: retira-se, aleatoriamente, uma
bolinha com um número ímpar.
E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,
23, 25, 27, 29} e n(E) = 15.
F: retira-se, aleatoriamente, uma
bolinha com um número múltiplo de 5.
F = {5, 10, 15, 20, 25, 30} e n(F) = 6
G: retira-se, aleatoriamente, uma
bolinha com um número múltiplo de 4.
G = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} e n(G) = 7
Determine:
b) a probabilidade dessa bolinha estar com um número ímpar ou múltiplo de 5.
P(E U F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
Evento (E ∩ F): Bolinha com número ímpar e múltiplo de 5.
E ∩ F = {5, 15, 25} e n(E ∩ F) = 3
P(E U F) =
n(E)
n(Ω)
+
n(F)
n(Ω)
−
n(E ∩ F)
n(Ω)
P(E U F) =
15
30+6
30 −
3
30
P(E U F) =
18
30
P(E U F) =
3
5