Zaions D R (2008) - Apostila de Elementos de Maquinas II

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
ELEMENTOS DE 
MÁQUINAS II 
 
 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
 
Joaçaba, 29 de julho de 2008 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica ii 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
ELEMENTOS 
DE 
MÁQUINAS II 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
 
Joaçaba, 29 de julho de 2008 
 
Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas II do curso de 
Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina 
Campus de Joaçaba 
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo-
se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre os elementos de máquinas. 
No mesmo são tratados assuntos como: molas, dimensionamento de cordões de solda, freios, 
embreagens, transmissão por correia, corrente, e acoplamentos flexíveis e elementos de vedação 
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito 
de melhorar o aproveitamento dos mesmos. 
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho será aguardada, pois assim pode-se 
melhorá-lo com futuras modificações. 
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
Julho de 2008
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica iv 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS 
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou 
o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o 
grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de 
Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência, 
desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em 
Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente é doutorando do curso de Engenharia 
Mecânica pela Universidade Federal de Santa Catarina na área de concentração de Projeto de Sistemas 
Mecânicos onde desenvolve uma Metodologia para a Aquisição, a Organização e o Tratamento de Dados 
de Falhas e Reparos para Análise de Confiabilidade e Mantenabilidade 
Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na área 
mecânica e de produção. 
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica 
do SENAI – CET Joaçaba. 
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde atua nas 
disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e 
Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e Manutenção Mecânica. É também 
pesquisador nas áreas de Desenvolvimento de Projeto e Manutenção Industrial. 
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial, Gestão da Produção 
e Engenharia de Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando as disciplinas de 
Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de Especialização em 
Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e 
Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. 
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho 
Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período 
de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de 
2002 até dezembro de 2002. 
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do 
Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até 
Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. 
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa 
raiz de falhas. 
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba 
 e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br 
 Fone/Fax: (49) 3551 - 2035 
 
ÍNDICE 
1  MOLAS ........................................................................................................................................................................... 8 
1.1  MATERIAIS PARA MOLAS........................................................................................................................................ 8 
1.2  MOLAS HELICOIDAIS DE COMPRESSÃO ................................................................................................................. 11 
1.2.1  Nomenclatura e parâmetros ........................................................................................................................ 11 
1.2.2  Tensão nas Molas Helicoidais de Compressão ........................................................................................... 12 
1.2.3  Deflexão das molas helicoidais de Compressão ......................................................................................... 15 
1.2.4  Detalhes de Extremidades das Molas Helicoidais de Compressão ............................................................ 16 
1.2.5  Detalhes das deformações e comprimentos das molas ............................................................................... 18 
1.2.6  Estabilidade das Molas de Compressão (Segundo Shigley et al (2005)) .................................................... 18 
1.2.7  Resistência ao Escoamento sob Torção ...................................................................................................... 20 
1.2.8  Projeto de Molas Helicoidais de Compressão para Cargas Estáticas Segundo Shigley et al (2005) ........ 20 
1.2.9  Projeto de Molas Helicoidais de Compressão para Cargas Estáticas Segundo Norton (2004) ................. 22 
1.2.10  Resistência a fadiga sob torção .................................................................................................................. 23 
1.2.11  O diagrama S-N de Cisalhamento Torcional para Fios de Molas ............................................................. 24 
1.2.12  Diagrama de Goodman modificado para fio de mola ................................................................................ 25 
1.2.13  Projeto de Molas Helicoidais de Compressão para Cargas Dinâmicas (Fadiga) segundo Norton (2004) 27 
1.2.14  Frequência Crítica ...................................................................................................................................... 30 
1.3  MOLAS HELICOIDAIS DE TRAÇÃO ......................................................................................................................... 31 
1.3.1  Espiras ativas em molas de tração.............................................................................................................. 31 
1.3.2  Constante de mola helicoidais de tração .................................................................................................... 32 
1.3.3  Indice de mola ............................................................................................................................................. 32 
1.3.4  Pré-carga das espiras nas molas de tração ................................................................................................ 32 
1.3.5  Deflexão de molas helicoidais de tração .................................................................................................... 33 
1.3.6  Tensões nas espiras das molas helicoidais de tração ................................................................................. 33 
1.3.7  Tensões nas extremidades (ganchos)das molas helicoidais de tração ....................................................... 33 
1.3.8  Materiais para molas helicoidais de tração ............................................................................................... 35 
1.4  ASSOCIAÇÃO DE MOLAS ........................................................................................................................................ 35 
1.5  MOLAS HELICOIDAIS DE TORÇÃO .......................................................................................................................... 36 
1.5.1  Terminologia aplicada ................................................................................................................................ 37 
1.6  MOLAS BELLEVILLE .............................................................................................................................................. 42 
1.7  MOLAS DIVERSAS .................................................................................................................................................. 43 
1.7.1  Mola Voluta ................................................................................................................................................ 43 
1.7.2  Molas cônicas ............................................................................................................................................. 44 
1.7.3  Molas e Lâminas Planas ............................................................................................................................. 44 
2  LIGAÇÕES SOLDADAS ............................................................................................................................................ 46 
2.1  INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................................... 46 
2.2  TIPOS DE JUNTAS SOLDADAS ................................................................................................................................. 47 
2.2.1  Soldas de topo ............................................................................................................................................. 47 
2.2.2  Soldas em ângulo (filete)............................................................................................................................. 48 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica vi 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
2.2.3  Soldas de topo e ângulo (filete) ................................................................................................................... 48 
2.3  TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS ............................................................................................................................ 52 
2.4  FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS ............................................................................................................................ 56 
2.5  RESISTÊNCIA DE JUNTAS SOLDADAS ..................................................................................................................... 59 
3  FREIOS ......................................................................................................................................................................... 61 
3.1  FREIOS DE TAMBOR E SAPATA .............................................................................................................................. 61 
3.1.1  Freio de tambor com sapatas simples ......................................................................................................... 61 
3.1.2  Freios de tambor com sapatas duplas externas .......................................................................................... 64 
3.1.3  Freios de tambor com sapatas duplas internas .......................................................................................... 65 
3.2  FREIO DE TAMBOR E CINTA .................................................................................................................................... 66 
3.2.1  Freio de cinta para rotação em um sentido ................................................................................................ 67 
3.2.2  Freio de cinta para rotação nos dois sentidos ............................................................................................ 67 
3.2.3  Freio de cinta diferencial ............................................................................................................................ 68 
4  EMBREAGENS ........................................................................................................................................................... 70 
4.1  EMBREAGENS DE DISCOS MÚLTIPLOS ................................................................................................................... 70 
4.2  EMBREAGENS CÔNICAS ......................................................................................................................................... 72 
4.2.1  Acoplamentos de embreagens cônicas ........................................................................................................ 73 
4.2.2  Força axial na embreagem cônica .............................................................................................................. 73 
4.2.3  Força axial necessária a separar o acoplamento cônico ........................................................................... 74 
4.2.4  Capacidade de transmitir potência ............................................................................................................. 74 
4.3  CALOR DESENVOLVIDO ......................................................................................................................................... 74 
4.4  VIDA PROVÁVEL .................................................................................................................................................... 76 
4.5  EMBREAGENS E ACOPLAMENTOS DIVERSOS .......................................................................................................... 77 
4.5.1  Embreagem tipo engrazador ....................................................................................................................... 77 
4.5.2  Embreagem de sobrecarga ......................................................................................................................... 78 
5  CORRENTES ............................................................................................................................................................... 79 
5.1  DIMENSIONAMENTO .............................................................................................................................................. 79 
5.2  SISTEMA TRIBOLÓGICO DA CORRENTE .................................................................................................................. 84 
5.3  FORÇAS TRANSMITIDAS ......................................................................................................................................... 86 
5.4  AVARIAS NAS CORRENTES DEVIDO A FALHA NA LUBRIFICAÇÃO ............................................................................ 86 
5.5  PROPRIEDADES DOS LUBRIFICANTES PARA CORRENTES ......................................................................................... 87 
5.5.1  Aderência .................................................................................................................................................... 87 
5.5.2  Detergência ................................................................................................................................................. 87 
5.5.3  Estabilidade a elevadas temperaturas ........................................................................................................ 87 
5.5.4  Proteção anticorrosiva ...............................................................................................................................88 
5.5.5  Resistência ao meio ..................................................................................................................................... 88 
5.5.6  Carbonização .............................................................................................................................................. 88 
5.5.7  Poder humectante ....................................................................................................................................... 88 
5.5.8  Poder Lubrificante ...................................................................................................................................... 88 
5.6  SELEÇÃO DO LUBRIFICANTE E MÉTODO DE LUBRIFICAÇÃO .................................................................................. 88 
 
5.6.1  Viscosidade ................................................................................................................................................. 88 
5.6.2  Método de Lubrificação .............................................................................................................................. 90 
5.7  ESPECIFICAÇÕES DE TRANSMISSÕES POR CORRENTES DE ROLOS .......................................................................... 92 
6  CORREIAS .................................................................................................................................................................. 94 
6.1  CORREIAS SINCRONIZADORAS ............................................................................................................................... 94 
6.2  CORREIAS TRAPEZOIDAIS ...................................................................................................................................... 95 
6.2.1  Dimensões ................................................................................................................................................... 96 
6.2.2  Partes componentes .................................................................................................................................... 97 
6.2.3  Seleção das correias trapezoidais ............................................................................................................... 98 
6.2.4  Forças Transmitidas em Correias ............................................................................................................ 104 
6.3  CORREIAS PLANAS .............................................................................................................................................. 107 
6.3.1  Norma para especificação de correia plana ............................................................................................. 110 
7  ACOPLAMENTOS ................................................................................................................................................... 113 
7.1  ACOPLAMENTOS RÍGIDOS ................................................................................................................................... 113 
7.2  ACOPLAMENTOS ELÁSTICOS ............................................................................................................................... 115 
7.2.1  Alinhamento de eixos ................................................................................................................................ 117 
7.2.2  Especificação de acoplamentos elásticos ................................................................................................. 120 
7.2.3  Seleção de outros tipos de acoplamentos .................................................................................................. 123 
8  ELEMENTOS DE VEDAÇÃO ................................................................................................................................. 130 
8.1  INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................................... 130 
8.2  ELEMENTOS DE VEDAÇÃO ESTÁTICA .................................................................................................................. 130 
8.2.1  Juntas ........................................................................................................................................................ 131 
8.2.2  Junções...................................................................................................................................................... 132 
8.3  ELEMENTOS DE VEDAÇÃO DINÂMICA ................................................................................................................. 133 
8.3.1  Elementos de Vedação por contato ........................................................................................................... 133 
8.3.2  Elementos de Vedação dinâmica sem contato .......................................................................................... 143 
8.4  CONSIDERAÇÕES SOBRE FABRICAÇÃO ................................................................................................................ 145 
9  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................................... 146 
10  EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................... 148 
10.1  MOLAS ................................................................................................................................................................ 148 
10.2  LIGAÇÃO SOLDADA ............................................................................................................................................. 151 
10.3  FREIOS ................................................................................................................................................................ 154 
10.4  EMBREAGENS ...................................................................................................................................................... 157 
10.5  CORRENTES ........................................................................................................................................................ 158 
10.6  CORREIAS ............................................................................................................................................................ 158 
10.7  ACOPLAMENTOS.................................................................................................................................................. 159 
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 8 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
1 MOLAS 
Mola é um elemento de máquina que se caracteriza pela possibilidade de apresentar deformações 
relativamente grandes, sem que o limite de elasticidade do material seja ultrapassado. A maioria emprega 
material metálico, mas outros materiais como plástico, não metálicos e outros tem sido utilizados com 
sucesso dentro de suas características (SHIGLEY, 1984). 
As molas são utilizadas em máquinas para exercer forças, proporcionar flexibilidade ou para 
armazenar ou absorver energia. Em geral, as molas podem ser classificadas quanto à forma (planas, 
helicoidais, quadradas, etc...) e quanto ao esforço no elemento (flexão e torção) (SHIGLEY, 1984). 
1.1 MATERIAIS PARA MOLAS 
Na fabricação de molas, são usados tanto processos de trabalho a quente, como trabalho a frio. Esta 
escolha depende das dimensões, do índice de curvatura da mola e das propriedades desejadas. Em geral o 
fio tratado termicamente não deve ser usado, se 
D
d
dp f4 6 ou se . Ao enrolarem-se as espiras, induz-
se tensões de trabalho nas espiras da mola (molas de tração e compressão). Muito freqüentemente, no 
processo de fabricação, estas tensões são aliviadas após o enrolamento das espiras, através de um 
tratamento térmicoadequado. 
Há uma grande variedade de materiais próprios para a confecção de molas, tais como: aços ao 
carbono, aços liga, aços resistentes a corrosão, materiais não ferrosos como bronze fosforoso, latão para 
molas, ligas de cobre berilo e ligas de níquel (SHIGLEY, 1984) 
Pode-se comparar os materiais para molas através da observação das resistências à tração, e, estas 
variam tremendamente com o diâmetro do fio (que não podem ser especificadas até que ele seja 
conhecido) e, de uma maneira mais branda, com o material e processo de fabricação. Conforme Shigley et 
al (2005), a resistência a tração “Sut” do fio de uma mola é determinada com uma boa estimativa a partir 
da seguinte expressão: 
Equação 1.1 mut d
AS = 
Elementos de Máquinas II 9 
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Os valores das constantes “A” e “m” da Equação 1.1 tem 
sido calculadas a partir de pesquisas recentes e podem se 
obtidos para alguns materiais através da Tabela 1.2. O uso dos 
valores das constantes “A” e “m” da Tabela 1.2 fornecerão o 
resultado da Equação 1.1 em MPa. 
A Tabela 1.1 ilustra os diâmetros preferenciais de fio para 
fabricação de molas. 
A Equação 1.1 indica a resistência à tração “Sut”. 
Conforme Norton (2004) uma estimativa razoável do limite de 
resistência a torção de materiais comumente utilizados em 
molas é de 67% do limite de resistência a tração do material. 
Isso pode ser identificado pela Equação 1.2: 
Equação 1.2 utus SS ⋅= )76,0( 
Shigley et al (2005) apresenta uma estimativa grosseira 
para calcular a resistência ao escoamento por torção pode ser 
assumida que a resistência ao escoamento a tração seja entre 
60 a 90% da resistência à tração. Então, a teoria da energia de 
distorção pode ser empregada para obter a resistência ao 
escoamento de torção ( yys SS ⋅= 577,0 ), onde essa abordagem 
é aplicada no intervalo utysut SSS ⋅≤≤⋅ 52,035,0 . Resumindo 
tem-se que: 
Equação 1.3 uty SaS ⋅= )9,0 6,0( 
Equação 1.4 yys SS ⋅= 577,0 
A Tabela 1.3 indica a descrição e aplicação para alguns 
materiais comuns para fios de molas. A Tabela 1.4 apresenta 
algumas propriedades mecânicas de alguns fios de mola 
 
 
 
Tabela 1.1 – Diâmetros 
preferenciais de fio 
 
Fonte: Noton (2004) 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 10 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
 
Tabela 1.2 – Constantes “A” e “m” para uso na Equação 1.1 
Material Número 
ASTM 
Diâmetro 
[mm] 
Expoente 
“m” 
Constante 
“A” 
Custo 
relativo 
do fio 
Fio musical “corda de piano” A228 0,10 – 6,5 0,145 2211 2,6 
Fio temperado em banho de óleo 
e revenido 
A229 0,5 -12,7 0,187 1855 1,3 
Fio repuxado a frio A227 0,7 – 12,7 0,190 1783 1,0 
Fio de Cromo-vanádio A232 0,8 – 11,1 0,168 2005 3,1 
Fio de Cromo-silício A401 1,6 – 9,5 0,108 1974 4,0 
Fio de aço inoxidável 302 A313 0,3 – 2,5 0,146 1867 7,6 - 11 
Fio de bronze-fosforoso B159 0,1 – 0,6 0 1000 8 
 0,6 – 2,0 0,028 913 
 2,0 – 7,5 0,064 932 
Fonte: Shigley et al (2005) 
 
 
Tabela 1.3 – Materiais comuns para fios de molas 
ASTM Material No SAE Descrição 
A227 Fio repuxado a frio 1065 Fio de mola mais barato e de uso mais geral. Adequado para 
carregamento, porém inadequado para carga de fadiga ou impacto. O 
intervalo de temperaturas vai de O a 120°C (250°F). 
A228 Fio musical (corda de 
piano) 
1085 Material mais tenaz e de uso mais generalizado para molas de pequenas 
espiras. Resistência mais alta de tração e fadiga de todos os fios musicais. 
Intervalo de temperaturas de O a 120°C (250°F). 
A229 Fio revenido em óleo 1065 Aço de uso geral para molas. Menos custoso e disponível em tamanhos 
maiores que os fios musicais. Adequados para carga estática, mas 
inadequados para carga de fadiga ou impacto. Intervalo de temperatura de 
0°C a 180°C (350°F). 
A230 Fio revenido em óleo 1070 Qualidade de mola para válvula - adequado para carga de fadiga. 
A232 Cromo vanádio 6250 Liga mais popular de aço para mola. Qualidade de mola para válvula - 
adequada para carga de fadiga. Também boa para cargas de choque e 
impacto. Para temperaturas até 220°C (425°F). Disponível na forma 
recozido e pré-revenido. 
A313 
(302) 
Aço inoxidável 30302 Adequado para aplicações de fadiga. 
A401 Cromo de silício 9254 Qualidade de mola de válvula - adequado para carregamento de fadiga. 
Segunda resistência mais alta para fio musical e tem resistência mais 
elevada à temperatura máxima de até 220°C (425°F). 
B134, 
260 
Latão de mola CA-260 Baixa resistência - boa resistência à corrosão. 
B159 Fósforo bronze CA-510 Resistência mais alta que a do latão – melhor resistência à fadiga – boa 
resistência à corrosão. Não pode ser tratado termicamente ou dobrado ao 
longo dos grãos. 
B197 Berílio Cobre CA-172 Resistência maior que a do latão - melhor resistência à fadiga - boa 
resistência à corrosão. Pode ser tratado 
termicamente ou dobrado ao longo dos grãos. 
- Inconel X-750 - Resistência à corrosão. 
Fonte: Norton (2004) 
Elementos de Máquinas II 11 
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Tabela 1.4 – Propriedades mecânicas de alguns fios de mola 
Material Limite elástico 
% do Sut
Diâmetro d E G 
 Tração 
Sy 
Torção 
Sys
[in] [GPa] [GPa] 
Fio musical A228 65 - 75 45 - 60 < 0,032 203,4 82,7 
 0,033 – 0,063 200,0 81,7 
 0,064 – 0,125 196,5 81,0 
 > 0,125 193,0 80,0 
Mola endurecida A227 60 - 70 45 - 55 < 0,032 198,6 80,7 
 0,033 – 0,063 197,9 80,0 
 0,064 – 0,125 197,2 79,3 
 > 0,125 196,5 78,6 
Revenido em óleo A239 85 - 90 45 - 50 196,5 77,2 
Mola de válvula A230 85 - 90 50 - 60 203,4 77,2 
Cromo-vanádio A 231 88 - 93 65 - 75 203,4 77,2 
Cromo-vanádio A 232 88 - 93 203,4 77,2 
Cromo-silício A401 88 - 93 65 - 75 203,4 77,2 
Aço inoxidável A313 65 - 75 45 - 55 193,0 69,0 
Aço inoxidável 17-7 PH 75 – 8- 55 - 60 208,4 75,9 
Aço inoxidável 414 65 - 70 45 - 55 200,0 77,2 
Aço inoxidável 420 65 - 75 50 - 55 200,0 77,2 
Aço inoxidável 431 72 - 76 50 - 55 206,0 79,3 
Bronze-fósforo B159 75 - 80 45 - 50 103,4 41,4 
Bronze-cobre B197 70 50 117,2 44,8 
Bronze-cobre B197 75 50 - 55 131,0 50,3 
Liga inconel X-750 65 - 70 40 - 45 213,7 77,2 
Fonte: Shigley et al (2005) 
1.2 MOLAS HELICOIDAIS DE COMPRESSÃO 
1.2.1 Nomenclatura e parâmetros 
A nomenclatura e os parâmetros 
dimencionais de uma mola helicoidal de 
compressão são ilustrados na Figura 1.1. 
 
 
 
Figura 1.1 - Parâmetros dimensionais das molas 
helicoidais de compressão 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 12 
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1.2.2 Tensão nas Molas Helicoidais de Compressão 
Na Figura 1.2 é ilustrada uma mola helicoidal de compressão de fio de seção circular, carregada por 
uma força axial “F”, onde “D” é o diâmetro da mola e “d” é o diâmetro do fio (SHIGLEY, 1984). 
Supondo o corte de uma parcela da mola e substituindo o efeito da parcela removida pelos esforços 
internos, observa-se que estes, são um esforço e uma torção na parte remanescente da mola (SHIGLEY, 
1984). 
Para melhor entender o efeito de torção, imagine um fio enrolado sobre um cilindro, por exemplo, um 
retrós de linha. Ao tomarmos a extremidade do fio e tracionarmos no sentido axial do cilindro, o fio se 
desenrolará do mesmo. Ao soltarmos a extremidade do fio, este girará em torno de seu próprio eixo, 
comprovando a torção que o fio sofre ao ser tracionado. O mesmo efeito ocorrerá para o caso da mola 
helicoidal sujeita a um esforço de tração (SHIGLEY, 1984). 
 
Figura 1.2 - Mola helicoidal. Fonte: Shigley et al (2005) 
A tensão desenvolvida no fio, devido ao momento torçor, é: 
Equação 1.5 
J
rT ⋅
=τ 
onde: 
T - Momento torçor: [ ] [ ] [ ]
2mDNFNmT ⋅= 
r - raio de giração: [ ]
[ ]
r m
d m
=
2
 
J - Momento polar de inércia: [ ] [ ]( )J m d m4
4
32
=
⋅ ⋅π .
 
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A tensão desenvolvida no fio, devido ao esforço cortante, será: 
Equação 1.6 τ =
F
A
 
Somando-se os efeitos devidos a torção (Equação 1.5) e do cisalhamento (Equação 1.6), e substituindo 
os valores correspondentes obtem-se a máxima tensão no fio da mola (Equação 1.8): 
Equação 1.7 
A
F
J
rT
+
⋅
=maxτ 
Equação 1.8 24max
4
22
32
d
F
d
dDF
⋅
⋅
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
ππ
τ 
Substituindo 
D
d
C= , que representa o índice de mola, teremos : 
Equação 1.9 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⋅
⋅
⋅⋅
=
Cd
DF 5,018 3max π
τ 
A Equação 1.9 pode ainda ser rearranjada de forma a salientar o fator de correção de tensão de 
cisalhamento Ks ou também como é conhecido “fator de acréscimo de tensão devido ao cisalhamento”. 
Este fator é calculado a partir da seguinte expressão: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
C
K s
5,01 ou 
C
CK s ⋅
+⋅
=
2
12 
Assim, substituindo estas expressões na Equação 1.9 tem-se que: 
Equação 1.10 sKd
DF
⋅
⋅
⋅⋅
= 3max
8
π
τ 
Para a maioria das aplicações, o índice de mola “C” varia entre 4 a 12. 
A Figura 1.3 que segue mostra o efeito de 
cada um dos esforços e o efeito total, sobre a 
seção do fio sendo que: (a) efeito da torção pura; 
(b) efeito do cisalhamento puro; (c) soma dos 
efeitos de torção e cisalhamento; e (d) efeito 
resultante devido à torção, cisalhamento e ao 
efeito de curvatura; 
Figura 1.3 - Efeitos dos esforços sobre a seção 
do fio de uma mola helicoidal. Fonte: Shigley 
(1984)
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1.2.2.1 Efeito de Curvatura 
Wahl apud Shigley (1984), demostrou analiticamente que nas molas helicoidais, a tensão máxima 
desenvolvida na borda interna do fio da mola (Figura 1.3 d), engloba duas parcelas: devido ao 
cisalhamento e devido a curvatura do fio, e pode ser calculada pela (Equação 1.11) : 
Equação 1.11 
CC
CKW
615,0
44
14
+
−⋅
−⋅
= 
O fator de Wahl “KW” pode também ser determinado pelo gráfico da Figura 1.4 onde os valores são 
determinados, em função do índice de mola. Os valores obtidos na Figura 1.4 são válidos para molas 
helicoidais de tração e compressão com fio de seção circular. 
 
Figura 1.4 – Valores dos fatores de correção de tensão para molas helicoidais de seção circular, de 
comrpessão ou tração (Somente para fator de Wahl). Fonte: Shigley (1984) 
Definindo-se KW = KC.KS , onde KC representa o efeito isolado da curvatura, tem-se que: 
Equação 1.12 
S
W
C K
K
K = 
Bergsträsser apud Shigley (1984) também elaborou uma expressão levando em consideração os 
mesmos efeitos que diverge em seu resultado em aproximadamente 1% com relação a expressão de Wahl. 
Shigley et al (2005) prefere a utilização do fator de Bergsträsser ao invés do fator de Wahl nos cálculos 
de molas. A Equação 1.13 é o fator de Bergsträsser. 
Equação 1.13 
34
24
−⋅
+⋅
=
C
CK B 
Definindo-se KB = KC.KS , onde KC representa o efeito isolado da curvatura, tem-se que: 
Equação 1.14 
S
B
C K
KK = 
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Conforme Shigley (1984) resultados experimentais revelam que a tenão de cisalhamento devido ao 
efeito da curvatura se localiza principalmente na parte interior da mola. As molas submetidas a apenas 
uma solicitação estática sofrem um escoamento localizado nas bordas interiores, aliviando-se assim as 
tensões. Assim, para solicitações estáticas, pode-se desprezar o efeito da curvatura e usar 
preferencialmente a Equação 1.13. Para solicitações dinâmicas, KC é usado como um fator de redução da 
resistência a fadiga e, portanto deve-se usar a Equação 1.14, pois a mesma indicará nesta situação a 
tensão correta. 
Assim para cargas estáticas a seguinte expressão deve ser usada para calcular a máxima tensão de 
cisalhamento em uma mola helicoidal: 
Equação 1.15 SKd
DF
⋅
⋅
⋅⋅
= 3max
8
π
τ 
Assim para cargas dinâmicas a seguinte expressão deve ser usada para calcular a máxima tensão de 
cisalhamento em uma mola helicoidal: 
Equação 1.16 CKd
DF
⋅
⋅
⋅⋅
= 3max
8
π
τ 
O uso de seção especial (quadradas, retangulares), para o fio da mola, não é recomendável, a não ser 
que haja limitação de espaço. Os fios de seção especial, não são feitos em grandes escalas, como os de 
seção circular, e, por isso, não se beneficiam dos avanços tecnológicos de fabricação, podendo não ser tão 
resistentes como os de seção circular. Quando as limitações de espaço são severas, recomenda-se o uso de 
molas em paralelo, concêntricas, Este tipo de montagem pode oferecer vantagens econômicas, assim 
como de resistência, sobre as molas de fio especial (SHIGLEY, 1984). 
1.2.3 Deflexão das molas helicoidais de Compressão 
Para obter a equação da deflexão de uma mola helicoidal, deve-se considerar um trecho elementar de 
fio, de espessura dx, formado por duas superfícies transversais adjacentes. Na Figura 1.5 esta 
representado este segmento de fio com diâmetro d. Considerando a linha AB na superfície do fio, antes de 
carregado, após a deformação, esta linha sofrerá uma rotação de um ângulo γ e ocupará a nova posição 
AC. A equação de Hooke, para a torção, é (SHIGLEY, 1984): 
G
τγ = 
Gd
DF
⋅⋅
⋅⋅
= 3
8
π
γ 
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Figura 1.5 - Deflexão das molas helicoidais. Fonte: Shigley (1984) 
Chamando de “N = Na” o número de espiras ativas, o comprimento do fio em trabalho será π ⋅ ⋅D N . 
Substituindo o valor de γ na equação, e, posteriormente, fazendo-se a integração de uma extremidade do 
fio em relação a outra, obtém-se a deflexão angular, que é: 
dx
d
ND
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅= ∫
⋅⋅π γα
0
2 ou dx
Gd
DFND
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
⋅⋅
= ∫
⋅⋅π
π
α
0 4
16 ou 
Gd
NDF
⋅
⋅⋅⋅
= 4
216α 
A força F, tem um braço de alavanca 
D
2
, portanto, a deflexão sob a carga é 
2
Dy ⋅= α resultando em: 
Equação 1.17 
Gd
NDF
y a
⋅
⋅⋅⋅
= 4
38
 
Shigley et al (2005) obtem a mesma expressão acima, através da análise do trabalho de deformação 
por torção. 
Por definição, a constante de mola é a relação entre a força aplicada pela deformação produzida 
k
F
y
= , desde que respeitada a lei de Hooke. Assim tem-se que: 
Equação 1.18 
aND
Gdk
⋅⋅
⋅
= 3
4
8
 
As equações apresentadas são válidas para molas helicoidais de compressão e tração, mas deve-se 
observar que, molas helicoidais longas, com comprimento livre maior que 4 vezes o diâmetro médio, 
sujeitas a compressão, podem falhar por flambagem. Este efeito pode sercorrigido através da montagem 
da mola com uma mangueira interna ou então dentro de um tubo, lembrando que ao ser comprimida a 
mola aumenta seu diâmetro externo, logo, deve-se prever uma folga para que não ocorra engripamento. 
1.2.4 Detalhes de Extremidades das Molas Helicoidais de Compressão 
As molas helicoidiais de compressão, que obrigatoriamente, devem ter as espiras afastadas entre si, 
transmitem a carga através de suas extremidades. O tipo de extremidade influi no número de espiras 
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inativas da mola, que devem ser subtraídas do número total de espiras para se obter o número de espiras 
ativas (SHIGLEY, 1984). 
 
Figura 1.6 - Tipos de extremidades em molas de compressão. 
Fonte: Norton (2004) 
A Figura 1.6 ilustra os tipos de extremidades para molas de compressão e a Tabela 1.5 identifica as 
expressões a serem usadas nos cálculos de molas. 
Tabela 1.5 – Fórmulas para dimensões de molas de compressão 
Termo Tipos de Extremidades de Mola 
Simples ou plana 
ou em ponta 
Simples/Plana e 
esmerilhada 
Esquadrejada e 
Fechada 
Esquadrejada 
eesmerilhada 
Número de espiras 
de extremidade 
“Ni” 
0 1 2 2 
Número de espiras 
totais “Nt” 
aN 1+aN 2+aN 2+aN 
Numero de espiras 
ativas “Na” 
aN 1−tN 2−tN 2−tN 
Comprimento livre 
da mola “Lf” 
dNp a +⋅ )1( +⋅ aNp dNp a ⋅+⋅ 3 dNp a ⋅+⋅ 2 
Comprimento 
sólido da mola “LS” 
)1( +⋅ tNd tNd ⋅ )1( +⋅ tNd tNd ⋅ 
Passo da mola “p” 
a
f
N
dL −
 
1+a
f
N
L
 
a
f
N
dL ⋅− 3
 
a
f
N
dL ⋅− 2
 
Fonte: Shigley et al (2005) 
Não existe uma regra segura, porém, com este procedimento o resultado final está muito próximo do 
real. 
No projeto de molas, é usual desprezarem-se os efeitos da excentricidade de carga devido ao tipo de 
extremidade. Costuma-se também, desprezar-se os efeitos das tensões residuais causados por tratamento 
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térmico ou encruamento, no entanto, estes dois fatores são levados em conta através do aumento do fator 
de segurança. É prática normal, na fabricação de molas de compressão, aproximá-las do comprimento 
sólido, (mola totalmente comprimida até as espiras se tocarem) pois esta prática induz uma tensão 
residual em sentido oposto a tensão de trabalho e tem efeito de aumentar a resistência da mola 
(SHIGLEY, 1984). 
1.2.5 Detalhes das deformações e comprimentos das molas 
As molas possuem diversos comprimentos e deformações de interesse. A figura abaixo ilustra estas 
dimensões. 
 
Figura 1.7 - Vários comprimentos e deformações de uma mola helicoidal de compressão em uso. Fonte: 
Norton (2004) 
1.2.6 Estabilidade das Molas de Compressão (Segundo Shigley et al (2005)) 
Uma mola de compressão é carregada como 
uma coluna e, portanto pode flambar (Figura 1.8) 
se muito esbelta e quando a deflexão se tornar 
muito grande. 
 
Figura 1.8 - Flambagem de molas helicoidais de 
compressão. Fonte: Norton (2004) 
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Shigley et al (2005) apresentam a equação abaixo para o cálculo da deflexão crítica de uma mola. 
Equação 1.19 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⋅⋅=
2/1
2
'
2'
1 11
eff
fcr
CCLy
λ
 
Equação 1.20 
D
L f
eff
⋅
=
α
λ 
Equação 1.21 ( )GE
EC
−⋅
=
2
'
1 
Equação 1.22 ( )
EG
GEC
+⋅
−⋅⋅
=
2
2 2'
1
π 
Onde: 
ycr – deflexão que corresponde ao início da instabilidade; 
λeff – razão efetiva de esbeltez, calculada pela Equação 1.20; 
α- condição de extremidade dada pela Tabela 1.6 que depende da forma como as extremidades da 
mola são apoiadas; 
E – módulo de elasticidade longitudinal [Pa]; 
G – módulo de elasticidade transversal [Pa] 
Tabela 1.6 – Constante de condição de extremidade α para molas helicoidais de compressão. 
Condição de extremidade Constante α 
Molas suportadas entre superfícies planas paralelas 
(extremidades fixas) 
0,5 
Uma extremidade suportada por superfície plana, 
perpendicular ao eixo da mola (fixa) e outra extremidade 
articulada (pivotada) 
0,707 
Ambas extremidades articuladas (pivotadas) 1 
Uma extremidade engastada e a outra livre 2 
Fonte: Shigley et al (2005) 
Shigley et al (2005) mensionam que a estabilidade absoluta ocorre quando o termo 2
'
2
eff
C
λ
 é maior que a 
unidade. Disso resulta que a condição para estabilidade absoluta é: 
Equação 1.23 ( )
2/1
2
2
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
⋅
⋅
≤
EG
GEDL f α
π 
Tem-se então que para aços: 
Equação 1.24 
α
DLf
⋅
≤
63,2 
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Para extremidades esquadrejadas e esmerilhadas tem-se que: 
Equação 1.25 5,0=α 
Equação 1.26 DL f ⋅≤ 26,5 
Norton (2004) salienta que a mola pode flambar se 4>
D
L f . 
1.2.7 Resistência ao Escoamento sob Torção 
A tabela 1.7 ilustra fatores de resistência ao escoamento sob torção“Sys” recomendados para diversos 
fios de mola comuns como uma porcentagem do limite de resistência a tração do fio. Esses valores devem 
ser usados para estimar a resistência de molas helicoidais à compressão em condições estáticas de 
carregamento. 
Tabela 1.7 – Resistência de escoamento torcional Sys para molas helicoidais de compressão em aplicações 
estáticas 
Material Percentual máxima do limite da resistência à 
tração 
Antes da remoção de 
deformação (ajuste use 
KW ou KB) 
Depois da remoção de 
deformação (Ajuste use 
KS) 
Fio musical (corda de piano) e aço carbono repuxado a 
frio( por exemplo A227, A228) 
45 60 - 70 
Aço carbono endurecido e revenido e aço de baixo liga 
(por exemplo, A229, A230, A232, A401) 
50 65 – 75 
Aços austeníticos inoxidáveis (por exemplo A313) 35 55 – 65 
Ligas não ferrosas(por exemplo B134, B159, B197 35 55 - 65 
Fonte: Shigley et al (2005) e Norton (2004) 
1.2.8 Projeto de Molas Helicoidais de Compressão para Cargas Estáticas Segundo Shigley et al 
(2005) 
No projeto de molas helicoidais sujeitas a cargas estáticas, segue na seqüência deste texto algumas 
recomendações que devem ser seguidas. 
O intervalo recomendado para o índice de mola é dado pela Equação 1.27 sendo que para valores mais 
baixos torna-se mais difícil de conformar a mola devido aos perigos de ocorrer fissuras. 
Equação 1.27 124 ≤≤ C 
O intervalo recomendado para o número de espiras ativas é: 
Equação 1.28 153 ≤≤ aN . 
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A força operacional máxima deve ser limitada a SFF ⋅= 8
7
max onde FS é a força de serviço. Isso evita 
o contato entre as espiras, devido a imperfeições na fabricação, evitando não linearidades da mola. 
Definindo a folga fracionária até o fechamento como sendo ξ, tem-se que 
Equação 1.29max)1( FFS ⋅+= ξ 
Como SS FFF ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅+=⋅+=
8
7)1()1( max ξξ tem-se que 15,0143,07
1
≅==ξ . Assim é recomendado 
que ξ seja: 
Equação 1.30 15,0≥ξ 
Conforme Shigley et al (2005), além das relações e propriedades do material para molas, tem-se que o 
coeficiente de segurança Ns seja: 
Equação 1.31 2,1≥SN 
Shigley et al (2005) salientam que ao considerar o projeto de uma mola para produção em grandes 
quantidades, pode-se levar em consideração o valor da figura de mérito, do inglês figure of merit – fom 
que pode ser o custo do fio do qual a mola será fabricada. O valor de fom pode ser calculado por: 
Equação 1.32 
4
 material) do relativo custo(
22 DNd
fom t
⋅⋅⋅⋅
⋅−=
πγ
 
Shigley et al (2005) sugere a seguinte extratégia de cálculo: 
1 – Como primeira escolha, selecione um fio de aço duro repuxado cujo custo relativo do mateiral é 1; 
2 – Escolha um tamanho de fio “d” e com todas as decisões feitas gere uma coluna com os seguintes 
parâmetros: d, D, C, Dext, Dint, Na. Ls, L0, (Lf)cr, NS e fom; 
3 – Incremente os tamanhos de fio disponíveis e vá gerando colunas com os seguintes parâmetros: d, 
D, C, Dext, Dint, Na. Ls, L0, (Lf)cr, NS e fom; 
4 – Observe as recomendações da Equação 1.27 a Equação 1.31 e elimine aquelas opções que não 
atendem a estas recomendações; 
5 – Das opções restantes, escolha aquela que apresenta maior fom; 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 22 
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Shigley et al (2005) sugere também o uso das seguintes expressões para o cálculo de molas 
submetidas a cargas estáticas deduzidas a partir das equações iniciais deste capítulo: 
Equação 1.33 
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
⋅⋅+⋅
⋅
−⋅
+⋅
=
⋅
⋅⋅
⋅= 2
max
3
18
34
248
d
CF
C
C
d
DF
K
N
S S
B
S
ys
π
ξ
π
 
Onde: 
Equação 1.34 
S
ys
N
S
=α 
Equação 1.35 
( )
2
max18
d
F
⋅
⋅+⋅
=
π
ξ
β 
Substituindo-se a Equação 1.34 e Equação 1.35 na Equação 1.33 tem-se uma equação quadrática em 
C: 
Equação 1.36 
β
α
β
βα
β
βα
⋅
⋅
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−⋅
+
⋅
−⋅
=
4
3
4
2
4
2
2
C 
1.2.9 Projeto de Molas Helicoidais de Compressão para Cargas Estáticas Segundo Norton (2004) 
O dimensionamento de molas helicoidais pode diferenciar de autor para autor. Aqui neste capítulo, 
estaremos abordando o método de dimensionamento baseado em Norton (2004). 
Geralmente o processo de dimensionamento de molas é iterativo, algumas hipóteses devem ser feitas 
para posteriormente determinar tensões, deformações, constantes de mola. A solução do problema deve 
então ser analisada e caso for conveniente, poderá ser adotada. Parâmetros tais como, peso, custo, níveis 
de tensão, devem ser analisados durante o dimensionamento. 
Norton (2004) menciona que o diâmetro do fio da mola “d” e o índice de mola “C” de modo a 
determinar do diâmetro médio da mola “D”. Um material da mola é escolhido por tentativas e sua 
resistência associada ao diâmetro do fio deve ser calculada. É conveniente calcular as tensões antes de 
calcular a deflexão pois ambas dependem de “d” e “D” porém a deflexão depende também de Na. Se a 
força F estiver definida, a respectiva tensão pode ser calculada pela Equação 1.17 ou Equação 1.18, 
conforme o caso. Se dois níveis de forças forem definidos com uma deflexão associada, pode-se então 
calcular a constante de mola. 
Elementos de Máquinas II 23 
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O estado de tensão é então comparado à resistência ao escoamento sob carregamento estático. 
Conforme Norton (2004), o coeficiente de segurança para carga estática é calculado através da seguinte 
expressão: 
Equação 1.37 
τ
ys
S
S
N = 
Norton (2005) recomenda a seguinte análise: 
1 – Se o valor da tensão calculada for muito alto comparado à resistência do material, o diâmetro do 
fio, o índice de mola ou o material podem ser alterados para melhorar o resultado; 
2 – Quando a tensão calculada ao nível de força de trabalho (operação) parecer razoável em 
comparação a resistência do material, pode-se assumir tentativamente novos valores para o número de 
espiras e para a tolerância de contato e a partir daí calcular uma nova constante de mola, deflexão e 
comprimento livre; 
3 – Deve ser verificada a possibilidade de flambagem da mola; 
O uso do computador para resolver as equações matemáticas é fundamental para encotrar a solução do 
problema. Percebe-se que a otimização dos parâmetros de uma mola dependem fundamentalmente de 
processos iterativos e bastante trabalhosos para serem resolvidos a mão. Por isso lembre-se: Na 
engenharia o trabalho braçal deve ser automatizado com o uso de programas de computadores que podem 
ser facilmente implementados em planilhas eletrônicas como o Excel ou Calc. 
1.2.10 Resistência a fadiga sob torção 
A resistência a fadiga sob torção varia no intervalo 103≤N≤107 com o material e com o fato de ter 
sofrido ou não jateamento de esferas. A Tabela 1.8 ilustra o valor recomendado para diversos materiais de 
fios para as condições com e sem jateamento de esfera para três pontos nos respectivos diagramas S-N: (i) 
105 ciclos; (ii) 106ciclos; e (iii) 107ciclos. Observem que são resistências à fadiga com torção e que foram 
determinadas para molas testadas sob tensões com componentes médias e alternantes idênticas 
( 0
min
min ==
τ
τ
R ). Portanto, elas não são diretamente comparáveis a nenhum dos limites de resistência à 
fadiga sob carregamento alternado gerado pelos corpos de prova submetidos a flexão alternante conforme 
estudados no Capítulo 4 de Elementos de Máquinas I devido ao carregamento torcional e da presença de 
componente média e alternante. Utilizaremos a designação “Sfw” para estes ensaios de fadiga de fios 
(wire) para diferenciá-los dos limites de resistência descritos no Capitulo 4 de Elementos de Máquinas I. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 24 
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Tabela 1.8 – Resistência a fadiga torcional máxima Sfw’ para molas helicoidais de compressão de fio 
redondo em aplicações cíclicas (razão de tensão, R=0) 
Vida a fadiga 
(Ciclos) 
Percentual do limite de resistência a tração “Sut” 
ASTM 228, aço inoxidável austenítico 
deformação permanente: 
ASTM 230, e A232 e não ferrosos 
deformação permanente: 
Sem jateamento Com jateamento Sem jateamento Com jateamento 
105 36% 42% 42% 49% 
106 33 39 40 47 
107 30 36 38 46 
Pesquisas desenvolvidas indicam que os materiais de fios de mola apresentam um limite de fadiga que 
é independente do tamanho ou da composição da liga que os constitui. Zimmerli apud Norton (2005) 
reporta que todos os fios de aço de mola com menos de 10 mm de diâmetro apresentam um limite de 
resistência à fadiga torcional para vida infinita com razão de tensão R = 0 (Para diferenciar do limite de 
resistência relativo às tensões alternadas, chamaremos de “Sew”). 
Assim, temos que: 
Equação 1.38 MPaSew 310´= (Molas não jateadas) 
Equação 1.39 MPaSew 465´= (Molas jateadas) 
Não existe necessidade neste caso de aplicar correções para condição de superfície, tamanho ou 
fatores de correçãode carga para determinar Sew ou Sfw uma vez que os dados de teste foram obtidos sob 
condições reais no que refere a estes aspectos dos materiais de mola. No entanto, esses valores podem ser 
corrigidos caso a mola operar em temperaturas diferentes da ambiente, ou em ambientes corrosivos ou 
quando se deseja levar em consideração a confiabilidade. Assim as expressões corrigidas podem tomar a 
seguinte forma: 
Equação 1.40 daeConfiabiliaTemperaturewew CCSS ⋅⋅= ´ 
Equação 1.41 daeConfiabiliaTemperaturfwfw CCSS ⋅⋅= ´ 
OBS.: Nas discussões futuras deste trabalho, usaremos Sew = S’ew e Sfw = S’fw, lembrando que 
estamos assumindo projeto para temperatura ambiente e para uma confiabilidade de 50%. 
1.2.11 O diagrama S-N de Cisalhamento Torcional para Fios de Molas 
Um diagrama S-N de cisalhamento por torção para um fio de material e tamanho particular pode ser 
construído a partir das informações contidas na tabela Tabela 1.2 e Tabela 1.8. A região de interesse para 
fadiga a alto ciclo corresponde ao intervalo de N= 1000 até N = 107 ciclos e mais. 
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O limite de resistência a fadiga torcional para uma vida infinita “Sew” é determinado pelas Equação 
1.40 e Equação 1.41. 
A resistência a tração para N = 1000 ciclos “Sm” é normalmente da ordem de 90% da resistência a 
tração “Sut” ou seja Sm = 0,9Sut. Como aqui estamos trabalhando com carregamento torcional, as 
resistências à tração no fio devem ser convertidas à resistência torcional. Assim, tem-se que: 
Equação 1.42 ( ) ututusms SSSS ⋅≅⋅⋅≅⋅≅ 6,067,09,09,0 
Assim: 
Equação 1.43 utms SS ⋅≅ 6,0 
A Figura 1.9 ilustra o diagrama S-N de fadiga torcional de fio musical (Corda de piano) de vários 
diâmetros. 
 
Figura 1.9 - Diagrama S-N de fadiga torcional de fio musical (Corda de piano) de vários diâmetros. 
Fonte: Norton (2004) 
1.2.12 Diagrama de Goodman modificado para fio de mola 
Um diagrama de Goodman modificado pode ser construído para qualquer situação de carregamento da 
mola. No caso de molas, o diagrama de Goodman é construído utilizando a resistência a torção e 
aplicando as tensões torcionais calculadas diretamente a esse diagrama ao invés de se utilizar das tensões 
equivalentes de von Mises estudadas no capítulo 4 de Elementos de Máquinas I. 
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Ses ou Sfs 
Tensão de cisalhamento média τm 
Te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
 a
lte
rn
an
te
 τ
a 
Sus 0,5.Sfw ou 
0,5.Sew 
C 
B 
A 
m 
Linha de Goodman 
0,5.Sfw ou 
0,5.Sew 
45o 
 
Figura 1.10 - Diagrama de Goodman modificado de tensões torcionais para fio de mola 
Norton (2004) sugere o seguinte procedimento para determinar os pontos característicos do diagrama 
de Goodman modificado: 
1 – Cálculo da tensão de resistência a tração do material utilizando-se a Equação 1.1: 
mut d
AS = 
2 - Cálculo da tensão de resistência a torção do material utilizando-se a Equação 1.2: 
utus SS ⋅= )76,0( 
3 – Determinar Sfw ou Sew, dependendo de se tratar de vida finita ou infinita respectivamente. A 
resistência a fadiga Sfw é determinada a partir da Tabela 1.8. Determina-se Sfw@1E6. A partir do cálculo de 
Sfw, determina-se as coordenadas de intersecção com o diagrama de Goodman dada pela expressão 
fwS⋅5,0 . Este ponto é plotado como o ponto B no diagrama. Para o caso de vida infinita se utiliza o Sew e 
oponto B é determinado pelas coodenadas ewS⋅5,0 . 
4 – Observe na Figura 1.10 que a resistência a fadiga do fio Sfw é plotada em uma linha a 45o da origem 
de modo a corresponder às condições de ensaio de componentes de tensão média e alternantes iguais ou 
seja 0
min
min ==
τ
τ
R . O ponto B é então conectado com o limite de resistência ao cisalhamento Sus no eixo 
das tensões médias no ponto A, para traçar o diagrama de Goodman que é estendido ao ponto C; 
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5 – Pode-se então agora deteminar o valor da resistência à fadiga sob condições alternantes (R=-1), que 
corresponde ao ponto C no diagrama. Este valor pode ser determinado a partir da equação da lina de 
Goodman, definida em termos de seus pontos conhecidos, A e B: 
Equação 1.44 
fwus
fw
SS
S
m
⋅−
⋅
−=
5,0
5,0
 
Equação 1.45 usfs SmS ⋅−= 
Equação 1.46 
fwus
usfw
fs SS
SS
S
⋅−
⋅⋅
=
5,0
5,0
 
6 – O uso da linha de Goodman é conservadora para razões de tensão R≥0 e seu uso é justificável neste 
caso porque as molas devem ser carregadas sempre na mesma direção. Molas helicoidais de compressão 
tendem a ter razões de tensão “R” entre 0 e 0,8, o que coloca suas coordenadas de tensão a direita da linha 
de 45o na figura, onde a linha de Goodman é mais conservadora que a linha de Gerber. 
7 – Qualquer outra combinação de tensão média e alternada com uma razão de tensão R≥0 para o material 
em questão e vida pode agora ser plotada neste diagrama a fim de obter o coeficiente de segurança. 
1.2.13 Projeto de Molas Helicoidais de Compressão para Cargas Dinâmicas (Fadiga) segundo 
Norton (2004) 
Quando as molas estão sujeitas a cargas dinâmicas, ocorre a fadiga nas mesmas. O procedimento para 
o projeto de molas helicoidais de compressão para cargas dinâmicas é similar ao de cargas estáticas, 
porém com algumas diferenças significativas. Uma mola carregada dinamicamente opera entre dois níveis 
de força (Fmax e Fmin) e a partir destes valores, deve-se determinar as componentes média e alternante (Fa e 
Fm). As seguintes expressões são utilizadas: 
Equação 1.47 
2
minmax FFFa
−
= e 
2
minmax FFFm
+
= 
Uma razão de força RF pode ser definida como: 
Equação 1.48 
max
min
F
F
RF = 
Nos casos mais comuns de carregamentos de molas, Fmax e Fmin são positivos, com uma razão de força 
aproximadamente entre 8,00 pp FR . 
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O problema no dimensionamento assim como mencionado no item anterior também é um processo 
iterativo. Um diâmetro inicial “d” deve ser assumido e um índice de mola “C” deve ser precisamente 
escolhido, a partir dos quais é determinado o diâmetro médio da mola “D”. O material da mola também 
deve ser escolhido e as resistências relevantes do material devem ser calculadas com base no diâmetro 
“d” assumido para o fio. Os limites de resistência ao cisalhamento, de resistência ao escoamento sob 
cisalhamento e de resistência à fadiga (ou resistência a fadiga correspondente a determinado número de 
ciclos) devem ser determinados. As componentes Fmax e Fmin devem ser calculadas. 
No caso de carregamentos repetidos, onde há a componente média Fm, necessita-se elaborar o diagrma 
de Goodman para analisar a falha. Uma vez que as maiores tensões desenvolvidas na mola são de 
cisalhamento por torção e a maior parte dos dados de material são para carregamento torcional, 
utilizaremos o diagrama de Goodman torcional. O diagrama de Goodman modificado é construído a 
partir da resistência torcional do fio “Sfw”, ou do limite de resitênciaà fadiga sob torção do fio “Sew” 
definidos ao longo de uma linha que 45o a partir da origem para representar os dados de teste que foram 
gerados para RF = 0. O gráfico de Goodman modificado também é construído utizando-se do limite de 
resistência à fadiga sob carregamento alternante “Ses” e o limite de resistência à torção “Sus”. 
A linha de carga, que representa o estado de tensão aplicado, não é desenhada a partir da origem neste 
caso, mas sim a partir de um ponto no eixo mτ representando a tensão inicial nas espiras iτ , resultantes 
da montagem. Isso pressupõe que alguma pré-carga é aplicada às molas o que geralmente costuma 
acontecer. Não se quer Fmin = 0 em uma situação de carga dinâmica pois isso criará condições para cargas 
de impacto nas espiras. Se Fmin = 0 a linha de carga iniciará na origem. 
 
Ses 
Tensão de cisalhamento média τm 
Te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
 a
lte
rn
an
te
 τ
a 
Sus τi τm 
τa 
0,5.Sew 
Sa 
C 
B 
D E 
A 
Linha de carregamento 
ml 
Linha de Goodman 
Ponto de Falha 
Estado de tensão 
 
Figura 1.11 - Diagrama de Goodman modificado mostrando a a linha de carga e dados necessários para o 
cálculo do coeficiente de segurança de uma mola de compressão carregada dinamicamente 
Elementos de Máquinas II 29 
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O coeficiente de segurança para fadiga torcional é determinado através da razão entre a resistência 
alternada “Sa" na intersecção da linha de carga e a linha de Goodman (ponto D) e a tensão alternante 
aplicada aτ no ponto E confome equação abaixo: 
Equação 1.49 
a
a
fs
S
N
τ
= 
A Equação 1.49 pode ser rearranjada em termos das variáveis conhecidas do problema resultando na 
Equação 1.50. A dedução desta expressão é feita por Norton (2004) nas páginas 716 e 717. 
Equação 1.50 
( )
( ) ausimes
iuses
fs SS
SS
N
τττ
τ
⋅+−⋅
−⋅
= 
Onde: 
Equação 1.51 
ewus
usew
es SS
SS
S
⋅−
⋅
⋅=
5,0
5,0 
Utilizam-se também as expressões abaixo para determinar Fa e Fm: 
Equação 1.52 Fa
F Fmá x min=
−
2
 Fm
F Fmá x min=
+
2
 
Por sua vez, as tensões desenvolvidas por estas cargas, levando em consideração também o fator de 
concentração de tensão devido ao cisalhamento KS e fator de Wahl KW são: 
Equação 1.53 3.
..8
d
DF
K aWa π
τ = τ
πm s
mK
F D
d
=
8
3
. .
.
 
A tensão de montagem ou de pré-carga é determinada utilizando-se a seguinte expressão onde Fi é a 
força de montagem ou pré-carga da mola: 
Equação 1.54 3.
..8
d
DF
K iSi π
τ = 
Este procedimento pressupõe que a pré-carga não variará de forma significativa durante a vida da 
mola e que também, qualquer aumento da carga será tal que uma razão constante entre as componentes 
alternantes e médias será mantida (Caso 3 do Capítulo 4 – Solicitações dinâmicas de Elementos de 
Máquinas I). Se, contudo essa não for a situação, deverá ser utilizado os casos 1, 2 ou 4 descritos. 
Se o coeficiente de segurança for muito baixo, o diâmetro do fio, índice de mola ou material podems 
ser modificados para melhorar os resultados. Uma vez que o coeficiente de segurança a fadiga seja 
aceitável, um número inicial de espiras e um limite de interferência (folga entre espiras) podem ser 
assumidos e cálculos seqüenciais para a constante de mola, deflexão e comprimento livre podem ser 
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desenvolvidos. Qualquer valor não adequado destes parâmetros irá requerer novas iterações através de 
modificações de hipóteses. 
Da mesma forma que em projetos de molas sujeitas a cargas estáticas, aqui também será necessário o 
uso freqüente de programas ou planilhas computacionais. Para implementar os cálculos em uma planilha 
do tipo Excel, em média são necessários de 10 a 30 horas de dedicação inicial podendo necessitar mais 
conforme o grau de sofisticação. Porém posteriormente a obtenção da solução é muito mais rápida 
inclusive com a geração do memorial de cálculo. 
1.2.14 Frequência Crítica 
As molas helicoidais, são utilizadas freqüentemente em aplicações que implicam em um movimento 
alternativo muito rápido entre as espiras, como nas molas de válvulas de motores de combustão interna. 
Neste caso, o projetista deve certificar-se que a Frequência natural não fique muito próxima da 
Freqüência de aplicação da carga. Tais condições fariam a mola entrar em ressonância com o movimento 
aplicado. Como as molas helicoidais são praticamente livres de amortecimento, as tensões e deflexões 
geradas durante a ressonância seriam mito elevadas (SHIGLEY, 1984). 
Wahl demonstrou que a freqüência crítica da molas helicoidais, vale: 
Equação 1.55 f
m k
M
= ⋅
2
 
onde: 
f - freqüência, em ciclos por segundo (Hert); 
m - 1, 2 ... primeira harmônica, segunda harmônica, etc...; 
k - Constante de mola (
N
m
) 
M - massa do arame em Kg massa 
A massa pode ser determinada, por: 
Equação 1.56 ( )M A L
d
D N= ⋅ ⋅ =
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ρ
π
π ρ
2
4
 ou 
4
22 ρπ ⋅⋅⋅⋅
= a
NDd
M 
onde ρ é igual a massa específica do arame. 
A freqüência natural, deve ser de 15 a 20 vezes a freqüência de funcionamento, para evitar-se a 
ressonância. Se a freqüência natural não for suficientemente alta, a mola deverá ser redimensionada, 
aumentando-se k e ou diminuindo-se M (SHIGLEY, 1984). 
Elementos de Máquinas II 31 
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1.3 MOLAS HELICOIDAIS DE TRAÇÃO 
As molas helicoidais de tração são similares às molas helicoidais de compressão, porém são 
carregadas a tração. Devido a isso, as molas de tração devem, necessariamente, ter meios de transferir a 
carga do suporte para o corpo. Embora isso possa ser feito com uma peça rosqueada ou um gancho, estas 
soluções aumentam o custo do produto, assim, geralmente, se emprega um dos métodos mostrados na 
Figura 1.12, devendo-se considerar a concentração de tensão ocasionada. 
 
 
Figura 1.12 - Extremidades de molas de tração. Fonte: Shigley (1984) 
1.3.1 Espiras ativas em molas de tração 
Todas as espiras no corpo da mola são 
consideradas espiras ativas, mas tipicamente uma 
espira é adicionada ao número de espiras ativas 
para obter um corpo de comprimento “Lb” . As 
expressões abaixo são usadas em molas 
helicoidais de tração: 
Equação 1.57 1+= at NN 
Equação 1.58 tb NdL ⋅= 
A Figura 1.13 ilustra as dimensões de uma 
mola de tração. 
 
 
 
Figura 1.13 – Dimensões de uma mola de tração. 
Fonte: Norton (2004) 
 
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1.3.2 Constante de mola helicoidais de tração 
As espiras de mols helicoidais de tração são 
enroladas de forma a criar uma pré-carga na 
mola. O fio é torcido a medida que é enrolado, 
criando então a pré-carga nas espiras que deve 
ser superada quando se quer separa-las. A Figura 
1.14 mostra uma curva típica de carga versus 
deflexão de uma mola helicoidal de tração. A 
constante da mola “k” é linear exceto para a 
parte inicial. A constante de mola pode então ser 
determinada por: 
Equação 1.59 
y
FF
k i
−
= 
Equação 1.60 
aND
Gdk
⋅⋅⋅
= 3
4
8
 
 
Figura 1.14 - Curva força-deflexão de uma mola 
helicoidal de tração indicando sua força de pré-
carga. Fonte: Norton (2004) 
Observe que nenhuma deflexão ocorre até que a força aplicada esceda a pré-carga Fi, que é imposta 
pela mola. 
1.3.3 Indice de mola 
O índice de mola C recomendado para molas helicoidais de tração também deve estar entre 4 a 8. 
1.3.4 Pré-carga das espiras nas molas de tração 
A pré-carga Fi pode ser controlada, até certo ponto, durante o processo de fabricação de molas, e deve 
ser especificada de maneira a manter as tensões iniciais dentro do intervalo preferencial dado pela média 
dos valores das Equação 1.61 e Equação 1.62: 
Equação 1.61 [ ] ( ) 70,006894752864033875,181231,4 23 ⋅+⋅−⋅+⋅−= CCCMPaiτ 
Equação 1.62 [ ] ( ) 70,006894753840434277,139987,2 23 ⋅+⋅−⋅+⋅−= CCCMPaiτ 
Norton (2005) apresenta um gráfico relacionando as duas expressões acima. Observem que o 
resultado das expressões é em psi. 
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1.3.5 Deflexão de molas helicoidais de tração 
A deflexão é calculada a partir da mesma expressão utilizada no caso de molas de compressão, porém 
com a introdução da pré-carga Fi: 
Equação 1.63 
( )
Gd
NDFF
y ai
⋅
⋅⋅−
= 4
38
 
1.3.6 Tensões nas espiras das molas helicoidais de tração 
Assim para cargas estáticas e utilizando-se o fator de Wahl a seguinte expressão deve ser usada para 
calcular a máxima tensão de cisalhamento em uma mola helicoidal: 
Equação 1.64 SKd
DF
⋅
⋅
⋅⋅
= 3max
8
π
τ 
Assim para cargas dinâmicas e utilizando-se o fator de Wahl e a Erro! Fonte de referência não 
encontrada. a seguinte expressão deve ser usada para calcular a máxima tensão de cisalhamento em uma 
mola helicoidal: 
Equação 1.65 CKd
DF
⋅
⋅
⋅⋅
= 3max
8
π
τ 
Sendo KW = KC.KS , onde KC representa o efeito isolado da curvatura, tem-se que: 
Equação 1.66 
S
W
C K
K
K = 
Equação 1.67 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
C
K s
5,01 
Equação 1.68 
CC
CKW
615,0
44
14
+
−⋅
−⋅
= 
1.3.7 Tensões nas extremidades (ganchos) das molas helicoidais de tração 
Os ganchos e laços padrão possuem dois pontos de alta tensão, como ilustrado na Figura 1.15. A 
máxima tensão de torção ocorre no ponto B onde o raio de flexão é mínimo. Há também uma componente 
de tensão devido à flexão no ponto A do gancho ou laço, uma vez que a extremidade é carregada como 
uma viga curva. Wahl apud Norton (2004) define um fator de concentração de tensões Kb para flexão em 
um fio curvo. A tensão de flexão no ponto A é encontrada a partir de: 
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Equação 1.69 23
416
d
F
d
FDKbA ⋅
⋅
+
⋅
⋅⋅
⋅=
ππ
σ 
onde: 
Equação 1.70 ( )14
14
11
1
2
1
−⋅⋅
−−⋅
=
CC
CCKb 
e 
Equação 1.71 
d
R
C 11
2 ⋅
= 
Sendo R1 o raio médio do laço. Observe que para uma extremidade padrão, o raio médio do laço é 
idêntico ao raio médio da espira. 
 
Figura 1.15 - Pontos de máxima tensão no gancho ou no laço de uma mola helicoidal de extensão. Fonte: 
Norton (2004) 
A tensão de torção no ponto B é encontrada a partir da seguinte expressão: 
Equação 1.72 32
8
d
FDKWB ⋅
⋅⋅
⋅=
π
τ 
onde: 
Equação 1.73 
44
14
2
2
2 −⋅
−⋅
=
C
C
KW 
e 
Equação 1.74 
d
R
C 22
2 ⋅
= 
Sendo R2 o raio do lado flexionado. C2 deve ser maior que 4. 
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1.3.8 Materiais para molas helicoidais de tração 
Os mesmos materiais são utilizados para fios de molas helicoidais de tração e compressão. Alguns dos 
dados de resistências utlizados em molas de compressão são aplicáveis a molas de tração. A Tabela 1.9 
mostra valores recomendados de resistência ao escoamento sob cargas estáticas do corpo, da espira e 
extremidades para torção e flexão. A Tabela 1.10 mostra a resistência à fadiga recomendada para dois 
materiais a diferentes valores de vida, apresentando dados separados para as espiras, de corpo e de 
extremidades. Os limites de resistência à fadiga da Equação 1.12 e Equação 1.13 são válidos para molas 
de tração e devem ser convertidos a valores alternados com a Equação 1.51 para que possam ser usados 
na expressão do coeficiente de segurança da linha de Goodman da Equação 1.50. 
Tabela 1.9 – Resistência de escoamento torcional Sys e flexão Sypara molas helicoidais de extensão em 
aplicações estáticas 
Material Percentual máxima do limite da resistência à 
tração“Sut” 
Sys em torção Sy em flexão 
 Corpo Extremidade Extremidade 
Fio musical (corda de piano) e aço carbono 
repuxado a frio( por exemplo A227, A228) 
45% 40% 75% 
Aço carbono endurecido e revenido e aço de baixo 
liga (por exemplo, A229, A230, A232, A401) 
50 40 75 
Aços austeníticos inoxidáveis (por exemplo A313) 35 30 55 
Ligas não ferrosas(por exemplo B134, B159, B197 35 30 55 
Fonte: Norton (2004) 
Tabela 1.10 – Resistência a fadiga torcional máxima Sfw’ e resistência a fadiga flexional Sfwb para molas 
helicoidais de tração de fio redondo de aço ASTM A228 e aço inoxidável tipo 302 em aplicações cíclicas 
(razão de tensão, R=0) 
Vida a fadiga 
(Ciclos) 
Percentual do limite de resistência a tração “Sut” 
Sys em torção Sy em flexão 
Corpo Extremidade Extremidade 
105 36% 434% 51 % 
106 33 30 47 
107 30 28 45 
Fonte: Norton (2004) 
1.4 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS 
Molas helicoidais podem ser associadas tanto em paralelo como em série. A associação mais usada é 
em paralelo, e geralmente com uma montagem de molas concentricamente, que podem ter uma ou mais 
das seguintes finalidades (SHIGLEY, 1984): (i) Necessidades de grandes forças em pequeno espaço; (ii) 
Assegurar a continuidade de funcionamento, mesmo que precariamente, quando uma das molas venha a 
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falhar; e (iii) Necessidade de força que não varie diretamente com a deflexão ( molas com comprimentos 
diferentes). 
A constante de mola equivalente, para os dois casos, pode ser obtida pelas seguintes equações 
ilustradas na Tabela 1.11, conhecendo-se as constantes de mola individuais. 
Tabela 1.11 – Associação de molas 
Associação Constante de mola equivalente 
Em paralelo k k k= + +1 2 ....... 
Em Série 
..........11
1
21
++
=
kk
k 
Para molas concêntricas, o enrolamento das molas devem ter sentidos opostos. 
1.5 MOLAS HELICOIDAIS DE TORÇÃO 
As molas helicoidais de torção, são usadas em dobradiças de portas, chaves de partida de automóveis, 
fechaduras, etc...,na verdade em qualquer aplicação onde haja necessidade de se aplicar torque. São 
enroladas da mesma maneira que as molas de tração ou compressão, porém, têm extremidades adequadas 
para transmitir torque (SHIGLEY, 1984). A Figura 1.16 ilustra alguns tipos de molas helicoidais de 
torção com suas extremidades.