Aula-09-F328-1S-2016

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Aula 9: Campos Magnéticos 
Produzidos por Correntes 
F 328: Física Geral III
1º semestre 2016
1F328 – 1S2016 1
,ˆ2r
rvqkB m
×
=
!!
),(planoaolarperpendicué vrB !!
!
( )vr
r
vqB !!,sen,1,, 2α
vetorialmente:
constante km = 10-7 T m/A
Define-se: ,
4
0
π
µ
=mk
permeabilidade do vácuo
B
!
A
mT104 70
⋅
×= −πµ
q
Para carga q que se movimenta com velocidade , 
verifica-se (exp.) que o campo magnético :
v!
F328 – 1S2016 2
Campo magnético: carga em movimento
d
!
B = µ 0
4π
id
!
l × r̂
r2
Lei de Biot-Savart
: elemento de comprimento sobre a linha de corrente
: vetor que vai de até o ponto P.
ld
!
lid
!
r!
i
P
F328 – 1S2016 3
Para um fio percorrido por uma corrente estacionária i, verifica-se 
que o campo magnético em um ponto P é dado por:
!
B = µ0
4π
id
!
l × r̂
r2C
∫
A
mT104 70
⋅
×= −πµ : permeabilidade do vácuo
!
B
Campo magnético - corrente elétrica 
== 2
sen
4 r
dzidB o θ
π
µ
ββ 222 cosecsen Rr
r
R
=⇒=
B = −µ0i
2π R π
2
0
∫ senβ dβ = µ0 i2π R
βββ dRdz
R
z 2coseccotg −=→=
Lei de Biot-Savart
34 r
rlidBd o
!!! ×
=
π
µ
como:
Sentido do campo : regra da mão direita (ver figura)B
!
i
B
!
2
sen
4 r
dzio β
π
µ ( ) βθθπβ sensen- =∴=
r!
β
ld
!
Bd
!
z
i
F328 – 1S2016 4
Campo magnético: fio retilíneo longo 
i
As linhas de campo magnético são linhas que nos permitem 
visualizar a configuração do campo magnético de uma dada
distribuição de correntes no espaço. 
Como vimos, no entorno de um fio longo transportando uma 
corrente i, elas são da forma:
corrente “entrando” no papel
ld
!
i=0
B
!
Observe que as linhas de são fechadas.B
!
F328 – 1S2016 5
Campo magnético: fio retilíneo longo 
• Calcular o campo magnético no ponto O.
• Para os segmentos e da figura, é nulo 
(vetores paralelos e antiparalelos)
• No arco são perpendiculares.
R
iB
π
ϕµ
4
0=
rld !
"
×
rld !
"
e
ϕ : ângulo central definido pelo arco
Se 
Neste caso:
AA ʹ CC ʹ
,CA i
i
ld
!r̂
ϕ
φ =2π
R
iB
2
0µ= campo no centro de uma espira
F328 – 1S2016 6
Campo magnético: arco circular 
)ˆ(
2
ˆ
2
00 rdl
d
iield
d
iiBldiFd bbabbaabbba −=×=×= π
µ
π
µ
ϕ
!!!!
A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:
O fio b, na presença de , fica sujeito a uma uma força dada por:
A força sobre um comprimento Lb do fio b vale:
=
b
ba
L
F
d
ii ba
π
µ
2
0
Esta expressão possibilita a definição do ampère.
ϕπ
µ e
d
iB aa ˆ2
0=
!
∫
×
=
a
aa
a r
rldiB 2
0 ˆ
4
!
!
π
µ
(de atração, neste caso)
aB
!
ϕê
ib
ia bb
ldi
!
aa ldi
!
d
r!
baF
!
)ˆ(
2
0 r
d
LiiF bbaba −= π
µ! ou
(módulo da força por unidade de comprimento)
aB
!
aB
!
F328 – 1S2016 7
Força entre dois fios condutores paralelos 
Questão Moodle
F328 – 1S2016 8
Bd
!
⊥Bd
!⊥
+= BdBdzBd
!!!
||)(
)90(sen
4
0
2
0
r
dlidB
π
µ
=
22
222 cose
zR
R
r
RzRr
+
==+= α
Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:
2/322
2
0
)(2
)(
zR
RizB
+
=
µ
Como a soma vetorial dos se anula:
Usaremos a lei de Biot-Savart para calcular
em pontos do eixo central da espira.
B
!
B(z) = dB||∫ =
µ0iR
4π (R2 + z2 )3/2
dl
espira
∫
||Bd
!
r! z
ld
!
Bd
!
α∫∫ == cos)( || dBBdzB
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Campo magnético: espira
2/322
2
0
)(2
)(
zR
iRzB
+
=
µ
3
0
2
)(
z
iAzB
π
µ
=
3
2
0
2
)(
z
RizB µ≈
3
0
2
)(
z
zB µ
π
µ !!
=
Para pontos afastados :Rz >>
(a espira se comporta como um ímã – ver semelhança das linhas)
Como: : área da espira 
: momento de dipolo magnético
A = π R2
nAi ˆ=µ!
Vimos que:
≈
i
B
!
F328 – 1S2016 10
Campo magnético: espira
Vamos calcular a integral de linha ao longo da curva C (veja 
figura) do campo magnético devido a um fio retilíneo longo 
percorrido por uma corrente i:
θϕ cosdlrd =
Bdl cosθ
C
!∫ = Br!∫ dφ =
µ0i
2π r!∫ r dφ =
µ0i
2π
dφ!∫ = µ0i
r
iB
π
µ
2
0=
Como : 
!
B ⋅d
!
l = Bdl cosθ
B
!
θ
ϕd
B
!
r!
θcosdl
!
B ⋅d
!
l
C
"∫
θ B
!
r!
ld
!
C
i
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Campo magnético - integral de linha 
A lei de Ampère é geral, mas sua utilidade no 
cálculo do campo magnético devido a uma 
distribuição de correntes depende da simetria 
do sistema.
!
B ⋅
C
"∫ d
!
l = µoienv
ienv = i1 − i2 ⇒ Bdl cosθ = µo
C
!∫ (i1 − i2 )
Da figura ao lado, temos que:
!
B ⋅
C
"∫ d
!
l = µo i1 − i2( )
ld
! B
!
C
amperiana
C
sentido de 
integração
sentido de 
integração
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Lei de Ampère
Questão Moodle
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i
!
B ⋅d
!
l
C
"∫ = µ0 i
para curva C, é paralelo a B
!
ld
!
e ∴=uniformeB
!
Lei de Ampère:
!
B ⋅d
!
l
C
"∫ = B dl"∫ = B ⋅ 2π r = µ0 i ⇒ B =
µ0 i
2π r
a bússola aponta sempre
na mesma direção (norte
geográfico)
a bússola aponta na 
direção de resultanteB
! limalhas de ferro nas 
proximidades do fio
ld
!
i=0
C
r
ld
!
i
B
!
B
!
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Campo magnético: fio retilíneo longo
!
B ⋅d
!
l
1
"∫ = Bdl cosθ
1
!∫ = µ0 i0
1cos0o =⇒= θθ
Campo magnético possui simetria cilíndrica em torno do fio e a 
mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do fio.
é paralelo a 
r
iB
π
µ
2
00= (fora do fio)
ld
!!
B
Curva 1 ( r > R ):
00)2( irB µπ =
0i
ld
!
Bdl cosθ =
1
!∫ B dl!∫ = B ⋅ 2π r
F328 – 1S2016 15
Campo magnético: fio cilíndrico longo
Campo magnético possui simetria cilíndrica em torno do fio e a 
mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do fio.
(dentro do fio)
Curva 2 ( r < R ):
0i
ld
!
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Bdl cosθ =
2
!∫ B dl!∫ = B ⋅ 2π r
Corrente envolvida pela curva 2 (de raio r):
2
2
0 R
riienv π
π
=
⇒== 2
2
000)2( R
riirB env π
π
µµπ r
R
iB 2
00
2π
µ
=
Sentido : regra da mão direita.B
!
Campo magnético: fio cilíndrico longo
Gráfico B(r) x r:
•Para r < R: 
•Para r > R:
r
R
iB 2
00
2π
µ
=
r
iB
π
µ
2
00=
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Campo magnético: fio cilíndrico longo
Questão Moodle
F328 – 1S2016 18
• Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é 
chamado de solenoide.
• O campo magnético do solenoide é a soma vetorial dos campos 
produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma. 
Solenoide compactoSolenoide esticado
≈
ímã
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Solenoides e Toroides 
O campo no interior de um solenoide é praticamente uniforme. As figuras 
abaixo mostram um solenoide ideal e um solenoide real. Em ambos os 
casos, os campos fora do solenoide são muito fracos, em comparação com 
aqueles no interior.
Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd:
!
B ⋅
C
"∫ d
!
l =
!
B ⋅d
!
l +
!
B ⋅d
!
l +
!
B ⋅d
!
l +
!
B ⋅d
!
l
d
a
∫
c
d
∫
b
c
∫
a
b
∫ = Bh =µ0ienv
inB 0µ=
Se n: número espiras por unidade comprimento do solenoide:
nhiienv =
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Campo magnético: solenoide 
!
B ⋅
C
"∫ d
!
l = B(2πr) = µ0i N
)toroide(
2
0
r
iN
B
π
µ
=
A figura mostra o enrolamento de um toroide de N voltas, 
transportando uma corrente i. O campo é diferente de zero apenas 
no interior do toroide e sua intensidade varia com r. 
Aplicando-se a lei de Ampère para a 
curva tracejada em azul, tem-se:
B
!
Note que como N/(2πr) ≈ n, esta expressão é semelhante ao campo 
magnético de um “solenoide enrolado”
i
i
B
!
ld
!
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Campo magnético: toroide
Os exercícios pares do Livro texto capítulo Campo Magnético:
Consultar:
https://www.ggte.unicamp.br/ea
Lista de exercícios do capítulo 29
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
•Informações complementares
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F328 – 1S2016 23
1. xn dx∫ = x
n+1
n+1
, (n ≠ −1);
2. dx
xn∫ = x
−n dx∫ , (n ≠1);
3. dx
x∫ = ln x ;
4. dx
x2 +a2( )3/2
∫ = x
a2 x2 +a2
;
5. dx
x2 +a2( )1/2
∫ = ln x+ x2 +a2( );
6. xdx
x2 +a2( )3/2
∫ = − 1
x2 +a2
;
7. xdx
x2 +a2( )1/2
∫ = x2 +a2 ;
8. sin2 (θ )dθ∫ = θ2 −
sin(2θ )
4
;
9. cos2 (θ )dθ∫ = θ2 +
sin(2θ )
4
;