Resumo de Cálculo

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Cálculo
Resumo Salva-vidas
=E!#TQYUWM2F
$H*RD)+09876
1
Limite
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$H*RD)+09876
2
LIMITE
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O que é Limite? 
Limite é o valor que uma função se aproxima quando a sua variável está tendendo para um valor. 
Vamos dar um exemplo.
Podemos ler esta equação da seguinte forma: limite de x2 com x tendendo a 4. 
Nesse caso, é só substituir o x pelo 4, ou seja: 
Obs.: A primeira coisa a ser feita é substituir o valor da variável na função. Entretanto, isso não significa 
que o limite da função vai coincidir com o resultado dessa função no ponto. Em alguns casos acontece a 
seguinte relação: 
Chamamos isso de indeterminação: o resultado da função não se encontra no ponto da variável.
lim x2 = ?
x 4
lim x2 ⇒ 42 =16 
x 4
lim f(x) ≠ f(a)
x a
3
LIMITE
Existem aproximadamente 7 formas clássicas de indeterminações:
Para resolver este tipo de equação é necessário encontrar formas diferentes da substituição, como a 
fatoração ou a regra de L’Hopital (regra que será explicada mais a frente).
• LEIS DO LIMITE 
Elas podem ser divididas em 6 partes. 
Vamos adotar os seguintes limites: 
 
1) Regra da Soma – O limite da soma entre duas funções tendendo ao mesmo número é igual a soma 
dos limites dessas funções.
lim [f(x) + g(x)] = M + P 
x a
lim f(x) = M 
x a
lim g(x) = P
x a
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0
0
∞
∞
∞ - ∞ 0 . ∞ ∞000 1∞, , , , , ,
4
LIMITE
2) Regra da Diferença – O limite da diferença entre duas funções tendendo ao mesmo número é igual a 
diferença dos limites dessas funções.
3) Regra do Produto – O limite do produto entre duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções.
4)Regra da Multiplicação por uma Constante – O limite de uma constante por uma função é igual ao 
produto da constante pelo limite da função.
lim [f(x) - g(x)] = M - P 
x a
lim [f(x) . g(x)] = M . P 
x a
lim [k . f(x)] = k . M 
x a
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5
LIMITE
5) Regra do Quociente – O limite da divisão entre duas funções é igual a divisão entre os limites 
dessas funções. Entretanto, o limite da função que fica no denominador deve ser diferente de zero.
6) Regra da Potenciação – O limite de uma função elevada a n é igual ao limite elevado a n dessa 
função.
Limites Laterais
Quando analisamos um limite , concluímos que x → a, ou seja, x se aproxima de a, 
por valores menores ou maiores que a. Contudo, é possível fazer x se aproximar de a usando 
somente valores maiores que a, ou seja, pela direita. Quando isso acontece, falamos que estamos 
tendendo a a+ . Logo, se x se aproximar de a usando apenas valores menores que a (pela esquerda), 
dizemos que estamos tendendo a a-.
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lim
x a
 f(x) 
g(x)
M
P
=
lim [f(x)]n = Mn 
x a
[lim f(x)]x a
6
LIMITE
Teorema de L’Hopital
O Teorema de L’hopital é utilizado quando se encontra uma indeterminação matemática.
Ele permite resolver a maioria dos limites com indeterminação matemática do tipo 0/0, ∞/∞. 
Em determinados casos, é possível transformar as demais indeterminações nestes dois tipos, para 
assim resolver pelo método de L’Hopital.
Vamos explicar este método em um exemplo:
Para resolver pela regra de L’Hopital é necessário derivar tanto a parte de cima quanto a debaixo e 
depois de derivado é só substituir:
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lim
x 2
x2 - x - 2
3x2 - 5x - 2
2x - 1
⇒
6x - 5
2.2 - 1
=
6.2 - 5
3
7
2
Derivada
8
DERIVADA
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O que é Derivada?
Podemos dizer que derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação a x, isso de acordo 
com a relação ∆x/∆y. Vamos ver alguns tipos de derivadas:
Derivada no Ponto
Quando você possui a função e o ponto em que se quer derivar, ou a função e o resultado da derivada, 
a fórmula a ser utilizada é:
Neste caso, l é o ponto em questão e x uma derivada qualquer. 
Equação Geral da Derivada
Acima vimos a equação para achar a derivada em um ponto específico, agora vamos ver a equação 
para achar a derivada em qualquer ponto:
f ’(l) = lim
f(x) - f(l)
x - lx l
f ’(l) = lim
f(x + h) - f(x)
hh 0
9
DERIVADA
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DERIVADA
Equação da Reta Tangente no Ponto
A reta tangente é a reta que toca uma curva/superfície sem cortá-la, 
desta forma compartilhando um ponto só.
Derivada Implícita 
Quando possuímos uma função escrita da seguinte forma y = f(x), dizemos que y é uma função 
explícita de x, porque podemos isolar a expressão da função de um lado e a variável do outro. 
Entretanto, quando isso não acontece, podemos dizer que y é uma função implícita de x. 
A equação y = 2x2 - 3 é uma função explícita de x porque conseguimos escrevê-la como 
y=f(x), e f(x) = 2x2-3. 
Porém, a equação 4x2 - 2y = 6 determina a mesma função, pois se isolarmos o y, vamos obter 
y = 2x2 - 3, ou seja, quando escrevemos a equação nesta forma 4x2 - 2y = 6 , dizemos que y é 
uma função implícita de x.
y - f(l) = f ’(l) * (x - l) ou y = f ’(l) * (x - l) + f(l) 
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DERIVADA
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• TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 
1) Regra da Constante - a derivada de uma função constante de número real será sempre 0.
2) Regra da Identidade – a derivada da função identidade será sempre igual a 1.
3) Regra da Potência - subtrai 1 do expoente e desce o expoente original multiplicando pelo x.
f(x) = 9
f ’(x) = 0
f(x) = x
f ’(x) = 1
f(x) = 1/ x2
f(x) = x-2 
f ’(x) = -2x-2-1
f ’(x) = -2x-3
DERIVADA
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4) Regra da Homogeneidade – a regra da homogeneidade é similar à da potência, a diferença é que 
precisa multiplicar a constante pelo expoente.
5) Regra da Soma – quando existe mais de um elemento (somando ou subtraindo) na função, para 
resolve-la, é só aplicar a regra da homogeneidade em cada elemento.
f(x) = 5x4
f ’(x) = 5.4x4-1 
f ’(x) = 20x3
f(x) = 3x5 + 11x8
f ’(x) = 3.5x5-1 + 11.8x8-1 
f ’(x) = 15x3 + 88x7
11
DERIVADA
6) Regra da Multiplicação – na regra da multiplicação utilizamos a fórmula: uv = u’v + uv’
Vamos explicar como funciona em um exemplo.
Perceba que uv é uma multiplicação, ou seja, podemos chamar um termo de u e o outro de v, como 
demonstrado abaixo:
Após definir qual termo será u e qual será v, é preciso fazer a derivada de cada um:
f(x) = (3x2 + 1)(7x3 + x)
f(x) = (3x2 + 1)(7x3 + x)
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u = (3x2 + 1)
u’ = 3’.2x2-1 + 0
u’ = 6x
v = (7x3 + x)
v’ = 7.3x3-1 + 1
v’ = 21x2 + 1
u v
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DERIVADA
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Agora, vamos jogar na fórmula:
Depois da estrutura montada, é hora de aplicar a distributiva:
Agora é só somar os elementos com expoentes iguais e organizar em ordem decrescente de expoente:
uv = u’v + uv’
f(x) = 6x(7x3 + x) + (3x2 + 1)(21x2 + 1)
f ’(x) = 42x4 + 6x2 + 63x4 + 3x2 + 21x2 + 1
f ’(x) = 105x4 + 30x2 + 1
13
DERIVADA
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7) Regra do Quociente – na regra do quociente também existe uma fórmula, que é:
 
Abaixo vamos ver como ela funciona em um exemplo.
 
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u = u’v - uv’
v v2
f(x) = x2
u = x2
u’ = 2x
v = x3 + 7
v’ = 3x2
x2 + 7
f(x) = x2
x2 + 7
u
v
Na regra do quociente, o u e o v podem ser definidos pela ordem em que ambos se encontram na estrutura, 
como no exemplo abaixo:
Depois de definidos o u e o v, agora é só derivá-los:
DERIVADA
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Agora é jogar na fórmula:
 
Aplicando a distributiva e colocando em ordem decrescente de expoente:
u = u’v - uv’
v v2
f ’(x) = 2x(x3 + 7) - x2 (3x2)
(x3 + 7)2
f ’(x) = 2x4 + 14x - 3x4
(x3 + 7)2
f ’(x) = -x4 + 14x2
(x3 + 7)2
15
DERIVADA
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8) Regra da Cadeia – quando o expoente da expressão é diferente de 1.
Exemplo: 
1º Passo: Aplicar a regra da Homogeneidade:
2º Passo: Considerar a expressão igual a u e derivar:
3º Passo: Multiplicar a função por u’: 
4º e último Passo: Multiplicar o u’ pelo 100, pois o seu expoente é 1:
y = (x2 + 5x)100
y’ = 100 (x2 + 5x)99
y’ = 100(x2 + 5x)99 . (2x2 + 5)
y’ = (x2 + 5x)99 . (200x + 500)
u = x2 + 5
u’ = 2x + 5
16
3
DERIVADA
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Ponto Crítico
Ponto crítico nada mais é que a função f(x) aonde f'(x) =0.
Exemplo: 
Assim o ponto crítico é o lugar geométrico da função aonde x = 1, desta forma, para f(x):
Logo temos que o ponto crítico de f(x) é P=(1,6).
f(x) = -2x2 + 4x + 4
f(x) = -4x + 4
Para f ’(x) = 0
-x = -4/4 = -1 (-1)
x = 1
f(x) = -2x2 + 4x + 4
f(x) = -2(1)2 + 4(1) + 4
f(x) = -2 + 4 + 4 = 6
17
3
Integral
INTEGRAL
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O que é uma Integral?
A integral nada mais é que o oposto da derivada. Assim como a multiplicação está para a divisão e a soma 
para a subtração, a integral está para a derivada, por isso ela também é conhecida como antiderivação.
A integral pode ser dividida em duas partes: as integrais indefinidas e as definidas.
A integral indefinida tem como resultado uma função primitiva agregada de uma constante arbitrária 
(real) +C. Vamos a um exemplo:
Primeiro passo a se fazer, é representar a função na forma de integral:
Para resolver é só somar 1 ao expoente e dividir a função pelo resultado da soma:
Lembra que falamos que o resultado é igual a uma função primitiva somado de uma constante real?! 
Então, o resultado da integral acima é:
Muito cuidado para não esquecer a constante, ela faz parte do resultado!
f ’(x) = 3x2
g(x) = ∫ 3x2dx
g(x) = 3x3 / 3
g(x) = x3
g(x) = x3 + C
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INTEGRAL
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Propriedades:
1) A integral da diferença ou soma é a mesma coisa que a diferença ou soma das integrais.
2) A constante multiplicativa pode ser movida para fora do símbolo de integração.
Integral definida
∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ [f(x)dx± ∫ [g(x)dx
∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx
A integral definida é utilizada para calcular a área sob um 
gráfico. Ela é encontrada com a soma das áreas dos retângulos 
(base x altura) sob a curva e possui como resultado um valor 
numérico. Ela é definida dentro de um intervalo de tempo. 
Exemplo: Ao lado, podemos ver um gráfico com uma região 
preenchida, ou seja, delimitada. Neste exemplo, nós vamos 
calcular o valor da área desta região.
x
y
2
f(x) = x3
20
INTEGRAL
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Como dito anteriormente, a integral definida acontece dentro de um limite de integração. 
Neste caso, os limites são: 0 e 2. O início fica na parte debaixo e o fim em cima.
Vamos resolver:
1º Passo: Integrar
2º Passo: Substituir
Como a delimitação começa no número zero, não é necessário a substituição, pois o resultado vai ser 0.
3º Passo: Resolver
∫
2
 x3dx = A
 0
x4 
4
24 
4
20 
4
-
16
4
4=
21
INTEGRAL
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 • TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO:
1) Método da Substituição
Este método é utilizado para cálculo de integrais indefinidas de funções que possuem primitivas. 
Exemplo: 
1º Passo: Vamos assumir 2x + 4 = u e derivá-lo:
2º Passo: Agora vamos fazer as devidas mudanças na equação principal e integrá-la:
Último Passo: Agora é só substituir:
∫ 2 . (2x + 4)5dx
∫ 2 . (u)5dx u6
6
+ C
∫ 2 . (u)5 du
2
du
dx
= 2
u = 2x + 4 du = 2dx
dx = du
2
(2x + 4)6
6
+ C
22
INTEGRAL
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2) Integração por partes
A integração por partes se aplica em casos que a função é composta por um produto e em casos que 
uma das funções pode ser derivada repetidas vezes e a outra pode ser integrada repetidas vezes.
A fórmula da integração por partes pode ser escrita de duas formas: 
 ou, mais abreviada:
Exemplo: Calcule
Então, temos: 
∫ u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u’(x)dx ∫ udv = uv - ∫ vdu
∫ xsenxdx
u = x dv = senxdx
v = -cosx
du = dx
= 1du
dx
∫ udv = uv - ∫ vdu
∫ xsenxdx = x(-cosx) - ∫ (-cosx)dx
= -xcosx + ∫ cosxdx
= -xcosx + senx + C
23
TABELA DE DERIVADAS, INTEGRAIS E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
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• Derivadas: sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.
1. y ' =nun 1u 'y = un
2. y ' = u 'v + v 'uy = u v
3. y ' = u 'v v 'u
v2
y = u
v
4. y ' = au (ln a) u ', a > 0, a 1( )y = au
5. y ' = euu 'y = eu
6. y = loga u y ' =
u '
u
loga e
7. y = lnu y ' = 1
u
u '
8. y = uv y ' = v uv 1 u '+uv (lnu) v '
9. y = sen u y ' = u 'cos u
10. y = cos u y ' = u 'sen u
11. y = tg u y ' = u 'sec2 u
20. y = arc cosec u, u 1 y ' =
u '
u u2 1
, u >1
19. y = arc sec u, u 1 y ' =
u '
u u2 1
, u >1
18. y = arc cot g u u '
1+u2
12. y = cotg u y ' = u 'cosec2u
13. y = sec u y ' = u 'sec u tg u
14. y = cosec u y ' = u 'cosec u cotg u
15. y = arc sen u y ' =
u '
1 u2
16. y = arc cos u y ' =
u '
1 u2
17. y = arc tg u y ' = u '
1+u2
TABELA DE DERIVADAS, INTEGRAIS E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
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• Identidades Trigonométricas
1. sen2x + cos2 x =1
2. 1+ tg2x = sec2 x
3. 1+ cotg2x = cosec2x
4. sen2x = 1 cos 2x
2
5. cos2 x = 1+ cos 2x
2
6. sen 2x = 2 sen x cos x
7. 2 sen x cos y = sen x y( )+ sen x + y( )
8. 2 sen x sen y = cos x y( ) cos x + y( )
9. 2 cos x cos y = cos x y( )+ cos x + y( )
10. 1± sen x =1± cos
2
x
TABELA DE DERIVADAS, INTEGRAIS E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
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• Integrais
y '
y '
y ' 0, a 1)
y '
y '
y '
y '
y '
1. du = u+ c
2. un du = u
n+1
n+1
+ c, n 1
3. du
u
= ln u + c
4. au du = a
u
ln a
+ c, a > 0, a 1
5. eu du = eu + c
6. sen u du = cos u+ c
7. y 'y ' ) v 'cos u du = sen u+ c
8. tg u du = ln sec u + c
9. cotg u du = ln sen u + c
10. sec u du = ln sec u+ tg u + c
11. cosec u du = ln cosec u cotg u + c
12. sec u tg u du = sec u+ c
13. cosec u cotg u du = cosec u+ c
14. sec2 u du = tg u+ c
15. cosec2u du = cotg u+ c
16. du
u2 + a2
=
1
a
arc tg u
a
+ c
17. du
u2 a2
=
1
2a
ln u a
u+ a
+ c, u2 > a2
18.
d
u
u2
+a2
=
ln u+ u2 + a2 + c
19.
du
u u
2a2
=
1
a
arc sec u
a
+ c
20.
d
u
u2
a2
=
ln u+ u2 a2 + c
21.
du
a2
u2
=
arc sen u
a
+ c, u2 < a2
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• Fórmulas de Recorrências
1. sennau du = sen
n 1au cos au
an
+
n 1
n
senn 2au du
2. cosn au du = sen au cos
n 1 au
an
+
n 1
n
cosn 2 au du
3. tgnau du = tg
n 1au
a(n 1)
tgn 2au du
4. cotgnau du = cotg
n 1au
a(n 1)
cotgn 2au du
5. secn au du = sec
n 2 au tg au
a(n 1)
+
n 2
n 1
secn 2 au du
6. cosecnau du = cosec
n 2au cotg au
a(n 1)
+
n 2
n 1
cosecn 2au du
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